Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

()

[]





= ω −τ +ϕ = ω − +ϕ =







,cos() cos

Sxt A t A t



=ω−+ϕ





cosAtx

. (2.4.3)

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû

èìååò âèä:

()



=ω−+ϕ





,cosSxt A t x

, (2.4.4)

èëè

()



=ω−+ϕ





,sinSxt A t x

, (2.4.5)

ãäå S — ñìåùåíèå ÷àñòèö ñ êîîðäèíàòîé õ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-

ñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t ; õ — ðàññòîÿíèå äî èñòî÷íèêà êîëåáàíèÿ;

À — àìïëèòóäà (ïîëàãàåì, ÷òî âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áåç çàòóõà-

íèÿ, ïîýòîìó A = const).

Èíîãäà óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:

() ( )

=ω−+ϕ

,cosSxt A t kx , (2.4.6)

ãäå

ωπ

— âîëíîâîå ÷èñëî.

Êàê âèäèì, óðàâíåíèå ïëîñêîé âîëíû âêëþ÷àåò äâå ïåðåìåí-

íûå — êîîðäèíàòó õ è âðåìÿ t :

(,)Sfxt

. Íà ðèñ. 2.4.1. ïðèâåäå-

íû çàâèñèìîñòè

()Sfx

()Sft

Óðàâíåíèÿ (2.4.4) è (2.4.5) ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ ïîïåðå÷íûõ,

òàê è ïðîäîëüíûõ âîëí è ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì äèôôåðåí-

öèàëüíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ

222

1SS

xvt

∂∂

. (2.4.7)

§ 2.4. Óïðóãèå âîëíû. Çâóê

Ðèñ. 2.4.1. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïëîñêîé âîëíû:

à — çàâèñèìîñòü ñìåùåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òî÷åê ñ ðàçëè÷íûìè êîîðäèíàòàìè x

â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè; á — çàâèñèìîñòü ñìåùåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òî÷åê

ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé êîîðäèíàòîé x â ðàç-ëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè (λ — äëèíà âîëíû;

Ò — ïåðèîä)

àá

Åñëè â ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íåñêîëüêî âîëí, òî ïðîèñõîäèò

èõ ñëîæåíèå. Èíòåðôåðåíöèåé íàçûâàåòñÿ ÿâëåíèå ñëîæåíèÿ êîãå-

ðåíòíûõ âîëí, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî íàáëþäàåòñÿ óñèëåíèå èõ àìï-

ëèòóäû â îäíèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà è îñëàáëåíèå â äðóãèõ. Ïîä

êîãåðåíòíûìè ïîíèìàþòñÿ âîëíû, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ îäèíà-

êîâîé ÷àñòîòîé ω è íå çàâèñÿùåé îò âðåìåíè ðàçíîñòüþ ôàç ∆ϕ,

ωπ

∆ϕ = ∆ = ∆

, (2.4.8)

∆õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ õîäà âîëí.

Óñëîâèå ìàêñèìàëüíîãî óñèëåíèÿ âîëí —

∆=

; ∆

=π

2 n

, (2.4.9)

à èõ ìàêñèìàëüíîãî îñëàáëåíèÿ —

()

∆= +

;

()

∆ϕ = + π21n , (2.4.10)

ãäå n = 0, ±1, ±2, …

Ïîäðîáíåå ÿâëåíèå èíòåðôåðåíöèè áóäåò ðàññìîòðåíî â ïàðà-

ãðàôå 13.2.

Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåíîñîì ýíåðãèè,

âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ êîëåáëþùèõñÿ ÷àñòèö

è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè. Èç âûðàæåíèÿ

(2.3.16) ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíÿÿ ïî âðåìåíè îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåð-

ãèè (ýíåðãèÿ åäèíèöû îáúåìà), ïåðåíîñèìîé âîëíîé, ðàâíà

==ω =ωρ

22 22

d1 d1

d2 d2

wA A

, (2.4.11)

ãäå dE — ýíåðãèÿ, çàêëþ÷åííàÿ â îáúåìå dV; À — àìïëèòóäà êîëå-

áàíèÿ ÷àñòèö; ω — èõ öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà:

d/dmV

— ïëîò-

íîñòü ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà.

Ïîòîêîì ýíåðãèè âîëíû íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðå-

íîñèìîé ÷åðåç íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü çà åäèíèöó âðåìåíè:

Φ= =

wSv

, (2.4.12)

ãäå v — ñêîðîñòü âîëíû.

Ïîòîê ýíåðãèè, ïðèõîäÿùèéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíî-

ñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ðàñïðîñòðàíåíèþ âîëíû, íàçûâàåòñÿ èí-

òåíñèâíîñòüþ:

===ρω

IwvAv

. (2.4.13)

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

Åäèíèöà èçìåðåíèÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè — äæîóëü íà

ìåòð â êóáå:

[]

w = Äæ/ì

; ïîòîêà ýíåðãèè — âàòò: [Ô] = Âò; èíòåí-

ñèâíîñòè — âàòò íà ìåòð â êâàäðàòå: [I] = Âò/ì

Âûðàæåíèå (2.4.14) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âåêòîðíîé ôîðìå:

Iwv. (2.4.14)

Âåêòîð

íàçûâàþò âåêòîðîì Óìîâà. Âåêòîð Óìîâà ïîêàçûâàåò

íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è ðàâåí êîëè÷åñòâó ýíåðãèè,

ïåðåíîñèìîé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõ-

íîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.

Ïðîäîëüíûå óïðóãèå âîëíû ñ ÷àñòîòàìè îò 16 äî 20 000 Ãö,

âîñïðèíèìàåìûå îðãàíàìè ñëóõà ÷åëîâåêà, íàçûâàþòñÿ çâóêîâûìè

âîëíàìè. Êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé ν > 20 000 Ãö íàçûâàþòñÿ óëüòðà-

çâóêîì, à ñ ν < 16 Ãö — èíôðàçâóêîì. Ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå ïðè

t = 0 °Ñ ðàâíà

331,6v ì/ñ. Ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé çâó-

êà, êàê è ëþáîé âîëíû, ÿâëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòü. Íà ÷àñòîòå 1000 Ãö

÷åëîâåê ñïîñîáåí âîñïðèíèìàòü çâóêè â äèàïàçîíå èíòåíñèâíîñòè

îò I

= 10

–12

Âò/ì

äî I

max

= 10 Âò/ì

, ãäå I

— ïîðîã ñëûøèìîñòè

(íàèìåíüøàÿ èíòåíñèâíîñòü çâóêà, ïðè êîòîðîé çâóê åùå âîñïðè-

íèìàåòñÿ îðãàíàìè ñëóõà); I

max

— ïîðîã áîëåâîãî îùóùåíèÿ (íàè-

áîëüøàÿ èíòåíñèâíîñòü çâóêà, ïðè êîòîðîé âîñïðèÿòèå çâóêà îðãà-

íàìè ñëóõà åùå íå âûçûâàåò áîëåâîãî îùóùåíèÿ). Ïîðîã

ñëûøèìîñòè è ïîðîã áîëåâîãî îùóùåíèÿ çàâèñÿò îò ÷àñòîòû âîñ-

ïðèíèìàåìîãî çâóêà (ðèñ. 2.4.2) è ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ó ðàçíûõ ëþ-

äåé. Êàê ïðàâèëî, ñ âîçðàñòîì ïîðîã ñëûøèìîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ,

à ïîðîã áîëåâîãî îùóùåíèÿ — óìåíüøàåòñÿ.

Òàê êàê äèàïàçîí èíòåíñèâíîñòåé çâóêîâ, âîñïðèíèìàåìûõ

÷åëîâåêîì, î÷åíü âåëèê, òî äëÿ ñðàâíåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé çâóêà

óäîáíî èñïîëüçîâàòü ëîãàðèôìè÷åñêèå åäèíèöû è ëîãàðèôìè÷å-

ñêóþ øêàëó:

, (2.4.15)

ãäå I

= 10

–12

Âò/ì

— ñòàíäàðòíûé ïîðîã ñëûøèìîñòè íà ÷àñòîòå

ν = 1 êÃö; L

— óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî

— áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, äëÿ åå ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ ïðèíÿòà

åäèíèöà áåë (Á).

Êàê ïðàâèëî, óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà èçìåðÿåòñÿ íå â áå-

ëàõ, à â äåöèáåëàõ

(1 äÁ = 0,1 Á). Óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà

â äåöèáåëàõ âûðàæàåòñÿ êàê

Óðîâåíü èíòåíñèâíîñòè çâóêà ïðèíÿòî èçìåðÿòü â äåöèáåëàõ, òàê êàê â ïðî-

ìåæóòî÷íîì äèàïàçîíå ÷àñòîò è èíòåíñèâíîñòåé çâóêîâ ìèíèìàëüíîå çàìåòíîå

ðàçëè÷èå â óðîâíå èíòåíñèâíîñòè çâóêà, âîñïðèíèìàåìîå óõîì ÷åëîâåêà, ñîîòâåò-

ñòâóåò ïðèìåðíî 1 äÁ.

§ 2.4. Óïðóãèå âîëíû. Çâóê

Ðèñ. 2.4.2. Êðèâûå ðàâíîé ãðîìêîñòè — çàâèñèìîñòü óðîâíÿ èíòåíñèâíîñòè îò

÷àñòîòû ïðè çàäàííîé ãðîìêîñòè. Íèæíÿÿ êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîðîãó ñëûøè-

ìîñòè; âåðõíÿÿ — ïîðîãó áîëåâîãî îùóùåíèÿ

дБ

10 lg

. (2.4.16)

Ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ñðåäå çâóêîâàÿ âîëíà âûçûâàåò åå

ñãóùåíèå è ðàçðåæåíèå, êîòîðûå ñîçäàþò äîáàâî÷íûå èçìåíåíèÿ

äàâëåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê åãî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ â ñðåäå. Ïîýòî-

ìó çâóê èíîãäà îöåíèâàþò â åäèíèöàõ çâóêîâîãî äàâëåíèÿ, êîòî-

ðîå ñâÿçàíî ñ èíòåíñèâíîñòüþ çâóêà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

, (2.4.17)

ãäå p — ñðåäíÿÿ àìïëèòóäà çâóêîâîãî äàâëåíèÿ; ρ — ïëîòíîñòü

ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çâóê; v — ñêîðîñòü çâóêà.

Íà ÷àñòîòå 1000 Ãö ïîðîãó ñëûøèìîñòè ñîîòâåòñòâóåò äàâëåíèå

= 2•10

–5

Ïà, ïîðîãó áîëåâîãî îùóùåíèÿ — p

max

= 60 Ïà.

Òàê æå êàê è èíòåíñèâíîñòü çâóêà, çâóêîâîå äàâëåíèå óäîáíî

âûðàæàòü â ëîãàðèôìè÷åñêèõ åäèíèöàõ:

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

дБ

10 lg 20 lg

. (2.4.18)

Ãðîìêîñòüþ çâóêà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ çâó-

êîâîå îùóùåíèå äëÿ äàííîãî çâóêà. Ãðîìêîñòü ñëîæíûì îáðàçîì

çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè çâóêà (à ñëåäîâàòåëüíî, è çâóêîâîãî äàâ-

ëåíèÿ) è ÷àñòîòû.

Ñîãëàñíî ç à ê î í ó Â å á å ð à — Ô å õ í å ð à, óâåëè÷åíèå

ðàçäðàæåíèÿ â ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè âûçûâàåò óâåëè÷åíèå

åãî îùóùåíèÿ â àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ïîýòîìó ãðîìêîñòü

èçìåðÿåòñÿ â ëîãàðèôìè÷åñêèõ åäèíèöàõ (ôîíàõ):

, (2.4.19)

ãäå k — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, çàâèñÿùèé îò ÷àñòî-

òû è èíòåíñèâíîñòè çâóêà. Óñëîâíî ïðèíèìàþò, ÷òî íà ÷àñòîòå

1000 Ãö

, ïîýòîìó íà óêàçàííîé ÷àñòîòå óðîâåíü ãðîìêîñòè

ñîâïàäàåò ñ óðîâíåì èíòåíñèâíîñòè (ðèñ. 2.4.2).

Ãðîìêîñòü — ñóáúåêòèâíàÿ âåëè÷èíà, íî, òåì íå ìåíåå, ãðîì-

êîñòü çâóêà äàííîé ÷àñòîòû ìîæåò áûòü îöåíåíà ïóòåì ñðàâíåíèÿ

ñ ãðîìêîñòüþ ÷èñòîãî òîíà ÷àñòîòîé 1000 Ãö. Íà îñíîâàíèè ñðåä-

íèõ äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ó ëþäåé ñ íîðìàëüíûì ñëóõîì, áûëè

ïîñòðîåíû êðèâûå ðàâíîé ãðîìêîñòè (ðèñ. 2.4.2), ïîçâîëÿþùèå

îïðåäåëèòü ñâÿçü ìåæäó ãðîìêîñòüþ è èíòåíñèâíîñòüþ çâóêà íà

ðàçíûõ ÷àñòîòàõ.

Èçìåíåíèå ÷àñòîòû çâóêîâûõ êîëåáàíèé, ñâÿçàííîå ñ îòíîñè-

òåëüíûì äâèæåíèåì èñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ, íàçûâàåòñÿ àêó-

ñòè÷åñêèì ýôôåêòîì Äîïëåðà. Êîãäà èñòî÷íèê è ïðèåìíèê çâóêà

ñáëèæàþòñÿ, ÷àñòîòà çâóêà ïîâûøàåòñÿ (òàê êàê ïðè ýòîì íàáëþäà-

òåëü âñòðå÷àåò çà îäèí è òîò æå èíòåðâàë âðåìåíè áîëüøå âîëí, ÷åì

ïðè îòñóòñòâèè äâèæåíèÿ), à åñëè îíè óäàëÿþòñÿ, — ïîíèæàåòñÿ.

Ïðè îäíîâðåìåííîì äâèæåíèè íàáëþäàòåëÿ è èñòî÷íèêà ÷àñ-

òîòà çâóêà, âîñïðèíèìàåìàÿ íàáëþäàòåëåì, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

ν=ν

, (2.4.20)

ãäå ν

— ÷àñòîòà çâóêà, ïîñûëàåìîãî èñòî÷íèêîì; v

— ñêîðîñòü

äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà çâóêà; v

— ñêîðîñòü äâèæåíèÿ íàáëþäàòåëÿ;

— ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà â äàííîé ñðåäå. Â ýòîé ôîð-

ìóëå âåðõíèå çíàêè ñîîòâåòñòâóþò âçàèìíîìó ñáëèæåíèþ èñòî÷-

íèêà è íàáëþäàòåëÿ, à íèæíèå — óäàëåíèþ.

§ 2.4. Óïðóãèå âîëíû. Çâóê

Ýôôåêò Äîïëåðà ïîçâîëÿåò èçìåðÿòü ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îáúåê-

òîâ. Â ìåäèöèíå îí èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè êðî-

âîòîêà, ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êëàïàíîâ è ñòåíîê ñåðäöà.

ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß

ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×

Çàäà÷à 2.1. ×èñëî îáîðîòîâ ðîòîðà öåíòðèôóãè äîñòèãàåò n = 2•10

îá/ìèí.

Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ äâèãàòåëÿ âðàùåíèå ïðåêðàùàåòñÿ ÷åðåç t

= 8 ìèí.

Îïðåäåëèòå óãëîâîå óñêîðåíèå ε, çàâèñèìîñòü óãëà ïîâîðîòà öåíòðèôóãè

îò âðåìåíè ϕ(t) è ÷èñëî îáîðîòîâ N, ñäåëàííîå ðîòîðîì äî ïîëíîé îñòà-

íîâêè, ñ÷èòàÿ äâèæåíèå ðàâíîçàìåäëåííûì.

Ðåøåíèå. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðè ðàâíîçàìåäëåííîì äâèæåíèè îïèñû-

âàåòñÿ óðàâíåíèåì:

ω=ω−ε

()tt,

ãäå ε — óãëîâîå óñêîðåíèå; ω=π

2 n — íà÷àëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü.

Ïðè t = t

ðîòîð îñòàíàâëèâàåòñÿ è ω(t

) = 0, òîãäà

ε= =

2 n

Ïåðåâåäÿ äàííûå âåëè÷èíû â ñèñòåìó åäèíèö ÑÈ (n = 333 îá/ñ;

= 480 ñ), ïîëó÷àåì:

рад/с

π⋅

ε= =

2 333

4,36

480

Çàâèñèìîñòü óãëà ïîâîðîòà ðîòîðà îò âðåìåíè ïðè ðàâíîçàìåäëåííîì

äâèæåíèè

ϕ=ω−

()

tt.

Çà âðåìÿ t

, ïðîøåäøåå ñ ìîìåíòà âûêëþ÷åíèÿ äî ïîëíîé îñòàíîâêè,

ðîòîð ïîâåðíåòñÿ íà óãîë

ϕ=ω −

101

èëè, ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ óãëîâîãî óñêîðåíèÿ,

ωω

ϕ=ω − = =π

01 01

101 1

tnt

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

Êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ ðîòîðà çà ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè ñîñòàâèò:

ϕπ

⋅

== = = ≈⋅

ππ

111

333 480

810

22 2 2

nt nt

N îá.

Çàäà÷à 2.2. Â öåíòðèôóãå ïðîèçâîäèòñÿ ñåïàðàöèÿ ÿäåð êëåòîê ïå÷å-

íè, äèàìåòð êîòîðûõ d = 8 ìêì, ïëîòíîñòü ρ

= 1,3•10

êã/ì

. Ðàäèóñ

ðîòîðà öåíòðèôóãè R = 0,05 ì, ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ν = 2 êÃö. Íàéäèòå

ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà ýòè ÷àñòèöû.

Ðåøåíèå. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà îáúåì æèäêîñòè V ïðè öåíòðèôóãè-

ðîâàíèè ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåé æèäêîñòè,

=ω =ρω

FmR VR,

ãäå ρ

— ïëîòíîñòü æèäêîñòè (âîäà);

Vd=π

— îáúåì ÷àñòèöû;

ω= πν2 — óãëîâàÿ ñêîðîñòü; R — ðàññòîÿíèå îò ÷àñòèöû äî îñè âðàùåíèÿ

(ðàäèóñ ðîòîðà öåíòðèôóãè).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, öåíòðîñòðåìèòåëüíàÿ ñèëà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ óäåð-

æàíèÿ ÷àñòèöû íà ðàññòîÿíèè R îò îñè âðàùåíèÿ, ðàâíà

=ω=ρω

11 1

FmR VR,

ãäå ρ

— ïëîòíîñòü ÷àñòèöû.

Òàê êàê ρ

> ρ

, òî F

> F

, òîãäà ÷àñòèöà äâèæåòñÿ îò îñè âðàùåíèÿ ïîä

äåéñòâèåì ñèëû

=−=πρ−ρπν

10 10

()2

FFF d R.

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå, â åäèíèöàõ ÑÈ (d =8•10

–6

ì), èìååì:

−

=π⋅ ⋅ −⋅ π⋅⋅ ≈

63 3 3 32

(8 10 ) (1,3 10 1 10 )(2 2 10 ) 0,05

−

≈⋅ =

634 10 Н 634 нН.

Çàäà÷à 2.3. Îïðåäåëèòå ðàçíîñòü ôàç ∆ϕ â ïóëüñîâîé âîëíå ìåæäó äâó-

ìÿ òî÷êàìè àðòåðèè, ðàñïîëîæåííûìè íà ðàññòîÿíèè ∆x = 20 ñì äðóã îò

äðóãà, ñ÷èòàÿ ñêîðîñòü ïóëüñîâîé âîëíû ðàâíîé v = 10 ì/ñ, êîëåáàíèÿ

ñåðäöà — ãàðìîíè÷åñêèìè ñ ÷àñòîòîé ν = 1,2 Ãö.

Ðåøåíèå. Ôàçà âîëíû â òî÷êå, ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè x â ìî-

ìåíò âðåìåíè t:

2tx t x

ωπν

ϕ=ω− = πν−

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Äëÿ òî÷êè, ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè (x + ∆x) â òîò æå ìîìåíò

âðåìåíè,

2()txx

πν

ϕ=πν− +∆

Òîãäà ðàçíîñòü ôàç ñîñòàâèò:

πν πν πν

∆ϕ=ϕ−ϕ = πν− −πν+ +∆ = ∆

222

22()txt xx x

vvv

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå â åäèíèöàõ ÑÈ (∆x = 0,2 ì), èìååì:

π⋅

∆ϕ = = π

21,2

0,2 0, 48 .

ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß

2.1. Êîëåñî ðàäèóñîì R = 0,1 ì âðàùàåòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó ϕ= + +

ABtCt,

ãäå Â = 14 ðàä/ñ; Ñ = 2 ðàä/ñ

. Îïðåäåëèòå ëèíåéíóþ ñêîðîñòü v òî÷åê íà

îáîäå êîëåñà â êîíöå òðåòüåé ñåêóíäû ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ.

2.2. Êîëåñî âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óãëîâûì óñêîðåíèåì. Íàéäèòå

ðàäèóñ êîëåñà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ê êîíöó äåñÿòîãî îáîðîòà ïîñëå íà÷àëà

âðàùåíèÿ åãî îáîä âðàùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 2,24 ì/ñ, èñïûòûâàÿ òàí-

ãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå a

= 0,1 ì/ñ

2.3. Òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 0,3 ì ñ ïîñòîÿííûì

óãëîâûì óñêîðåíèåì ε = 1 ðàä/ñ

. Íàéäèòå ïîëíîå óñêîðåíèå a òî÷êè ê êîí-

öó âòîðîé ñåêóíäû ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ.

2.4. Îäíîðîäíûé äèñê ðàäèóñîì R = 20 ñì è ìàññîé m = 2 êã âðàùà-

åòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó ϕ= + +

ABtCt, ãäå Ñ = 3 ðàä/ñ

. Íàéäèòå êàñàòåëü-

íóþ ñèëó F, ïðèëîæåííóþ ê åãî îáîäó.

2.5. Äðàæå ìàññîé m = 0,2 ã êàòèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 0,5 ì/ñ. Íàéäè-

òå åãî êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Å

êèí

2.6. Ëèçîñîìû îñàæäàþò â öåíòðèôóãå. Íàéäèòå äåéñòâóþùóþ íà íèõ

ñèëó F, åñëè èçâåñòíî, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà

ω = 2π•10

ðàä/ñ, åãî ðàäèóñ R = 0,1 ì, ïëîòíîñòü âåùåñòâà ëèçîñîì

ρ = 1200 êã/ì

, ðàäèóñ ëèçîñîìû r = 0,7 ìêì.

2.7. Íàïèøèòå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé

A = 5 ñì, ïåðèîäîì T = 1 ñ è íà÷àëüíîé ôàçîé ϕ

= π/4.

2.8. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 1 ã ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå

êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó õ =

ππ







3cos

t ñì. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñèëó

max

, äåéñòâóþùóþ íà òî÷êó.

2.9. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå çàäà÷è 2.8, íàéäèòå ïîëíóþ ýíåðãèþ Å êîëåá-

ëþùåéñÿ òî÷êè.

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

2.10. Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿò-

íèêà λ = 0,093. Çà ñêîëüêî âðåìåíè àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà óìåíü-

øàåòñÿ â 2 ðàçà, åñëè åãî äëèíà l = 1 ì.

2.11. Òî÷êà, îòñòîÿùàÿ îò èñòî÷íèêà âîëíû íà ðàññòîÿíèè

x , ñî-

âåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé A = 10 ñì. Îïðåäåëèòå åå ñìåùåíèå S îò

ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè

. Íà÷àëüíàÿ ôàçà ðàâíà íóëþ.

2.12. Óðàâíåíèå íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé èìååò âèä: =π5cos2xt, ãäå

[x] = ñì. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå a òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè

x = 100 ì îò èñòî÷íèêà âîëíû, â ìîìåíò âðåìåíè = 1t ñ ïîñëå íà÷àëà åå

ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ñêîðîñòü âîëíû v = 300 ì/ñ.

2.13. Äâå òî÷êè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ∆x = 1 ì, ëåæàò íà ïðÿ-

ìîé, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà ñî ñêîðîñòüþ v = 200 ì/ñ.

Ïåðèîä êîëåáàíèé T = 0,04 ñ. Íàéäèòå ðàçíîñòü ôàç ∆ϕ êîëåáàíèé ýòèõ

äâóõ òî÷åê.

2.14. Ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà çâóêà, âîñïðèíèìàåìîãî ÷åëîâå÷åñêèì

óõîì, ν = 20 êÃö. Íàéäèòå äëèíó âîëíû λ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ÷àñòîòå,

åñëè ñêîðîñòü çâóêà â âîçäóõå ðàâíà v = 340 ì/ñ.

2.15. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ çâóêà ÷åðåç ïåðåãîðîäêó åãî èíòåíñèâíîñòü

óìåíüøèëàñü â 1000 ðàç. Íà ñêîëüêî óìåíüøèëàñü åãî ãðîìêîñòü, åñëè

÷àñòîòà çâóêà ν = 1 êÃö?

ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß

2.1. Ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ:

à) âòîðîé ïðîèçâîäíîé óñêîðåíèÿ ïî âðåìåíè;

á) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïåðåìåùåíèÿ ïî âðåìåíè;

â) âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïåðåìåùåíèÿ ïî âðåìåíè;

ã) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé èìïóëüñà ïî âðåìåíè;

ä) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé èìïóëüñà ïî êîîðäèíàòå.

2.2. Ðàâíîïåðåìåííîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþ-

ùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé:

à)

ε=





ω=ω +ε





ϕ=ϕ +ω



const,

;

ã)

ε=





ω=ω +ε +ε





ϕ=ϕ +ω



const,

;

á)

ε=





ω=





ϕ=ϕ +ω



const,

ä)



ε=



ω=ω +ε





ϕ=ϕ +ε



â)



ε=



ω=ω +ε





ϕ=ϕ +ω +ε



const,

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

2.3. Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü v ñâÿçàíà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ñëåäóþùèì

ñîîòíîøåíèåì:

à) =ω

vR;á) ω=vR ;ã)

ω=

;â) ω= π2 v ;ä) =ωvR.

2.4. Íîðìàëüíîå óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:

à) =ω

aR;á) =

;â)

a ;ã) =ε

aR;ä)

2.5. Òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå íàïðàâëåíî:

à) ïî ðàäèóñó ê öåíòðó;

á) ïî ðàäèóñó îò öåíòðà;

â) ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ (íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ

ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà);

ã) ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ (íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ

ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè);

ä) ïî êàñàòåëüíîé âäîëü ñêîðîñòè (ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè) èëè

ïðîòèâ (ïðè çàìåäëåííîì).

2.6. Ìîìåíò èìïóëüñà ðàâåí:

à)

LrP

=⋅

;á)

L ;â)

LFr

=⋅

;ã) =ε

LI;ä) =

LIv.

2.7. Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ èìååò

âèä:

à)

M ;á)

MrP

=⋅

;â) =ω

MI;ã)

Mr=⋅ε

;ä) =ε

MI.

2.8. Ìîìåíò èíåðöèè ñïëîøíîãî øàðà ðàäèóñà R ðàâåí:

à) =

ImR;ã) =

ImR;

á)

ImR;ä) =

ImR.

â) =

ImR;

2.9. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òåëà ðàâíà:

à)

кин

EIv= ;ã)

кин

;

á)

кин

EI=ε;ä)

кин

â)

кин

E =

;

2.10. Ìîùíîñòü â ñëó÷àå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî

ôîðìóëå:

à) =εNI;á)

N ;â)

NFv=

;ã) =ωNM;ä)

N .

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà