Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика
Подождите немного. Документ загружается.
21
Çäåñü ñêîðîñòü èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê, òàê êàê êîëè÷åñòâî
ïðåïàðàòà â êàìåðå  óâåëè÷èâàåòñÿ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.5.3)
íàéäåì èñõîäÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà
â îáåèõ êàìåðàõ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì è ðàâíûì
′
=+
0
MMM. (1.5.4)
Òîãäà
−
′
=−= −
00
(1 e )
el
kt
MMMM
. (1.5.5)
Ðèñ. 1.5.2. Çàâèñèìîñòü êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â êà-
ìåðàõ À (à) è Â (á) âî âðåìåíè t
àá
Ðèñ. 1.5.3. Çàâèñèìîñòü
êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà
â êàìåðå À îò âðåìåíè t
â ïîëóëîãàðèôìè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ
Èç óðàâíåíèé (1.5.2) è (1.5.5) âèäíî, ÷òî ïðè t = 0 Ì = Ì
0
,
Ì' = 0, à ïðè t → ∞, íàîáîðîò, Ì = 0, à Ì' = Ì
0
. Ãðàôèêè ôóíêöèé
(1.5.2) è (1.5.5) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.5.2.
Ïðîëîãàðèôìèðîâàâ (1.5.2), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
ln M = ln M
0
– k
el
t . (1.5.6)
Äàííîå óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò ïåðåéòè îò ýêñïîíåíöèàëüíîé
çàâèñèìîñòè ê ëèíåéíîé (ðèñ. 1.5.3) è âû÷èñëèòü êîíñòàíòó ñêî-
ðîñòè ýëèìèíàöèè (èëè ëþáîãî äðóãîãî ïðîöåññà), åñëè èçâåñòíû
íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà è êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â íåêîòî-
ðûé ìîìåíò âðåìåíè t:
=
0
1
ln
el
M
k
tM
. (1.5.7)
Äîïóñòèì, ÷òî ïåðåãîðîäêà ìåæäó êàìåðàìè À è Â ïðîïóñêàåò
ïðåïàðàò â îáå ñòîðîíû, íî ñ ðàçíîé ñêîðîñòüþ (â êà÷åñòâå êàìåð
À è  â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàþò íå îðãàíèçì è îêðóæàþùàÿ ñðå-
§ 1.5. Îäíîêàìåðíàÿ ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü
22
äà, à, íàïðèìåð, îðãàí è êðîâü). Óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà
ïðåïàðàòà â êàìåðå À ïðèìåò âèä:
=− +
A
AB A BA B
d
d
M
kM kM
t
, (1.5.8)
ãäå Ì
À
è Ì
Â
— êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â ñîîòâåòñòâóþùåé êàìåðå;
k
ÀÂ
— êîíñòàíòà ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ïðåïàðàòà èç êàìåðû À
â êàìåðó Â; k
ÂÀ
— êîíñòàíòà ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ïðåïàðàòà èç
êàìåðû Â â êàìåðó À.
Ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìåæäó êàìåðà-
ìè óñòàíîâèòñÿ ðàâíîâåñèå, òî åñòü êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â îáåèõ
êàìåðàõ íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè:
=
A
d
0
d
M
t
.
Èç ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò ðàâåíñòâî
∞∞
=
AB A BA B
kM kM
, (1.5.9)
ãäå
∞
A
M è
∞
B
M — êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà â êàìåðàõ À è Â, ñîîòâåò-
ñòâåííî, ïîñëå íàñòóïëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Èç óðàâíåíèÿ (1.5.9) ìîæíî
ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîíñòàíòû ðàâíîâåñèÿ Ê:
∞
∞
==
AB B
BA
A
kM
K
k
M
. (1.5.10)
Êàê âèäèì, íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ïðåïàðàò ìîæåò ïðîíèêàòü â
îáå ñòîðîíû, åãî êîëè÷åñòâî â êàìåðàõ À è  íå óðàâíÿåòñÿ ââèäó
íåðàâåíñòâà êîíñòàíò ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ âåùåñòâà â ïðîòèâî-
ïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Îò êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà Ì óäîáíåå ïåðåéòè ê åãî êîíöåíòðà-
öèè ñ:
M(t) = Vñ(t), (1.5.11)
ãäå V — êàæóùèéñÿ îáúåì ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåïàðàòà. Êàæóùèéñÿ
îáúåì íå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîìó îáúåìó òêàíè, à ÿâëÿåòñÿ ëèøü
êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó êîëè÷åñòâîì ïðåïà-
ðàòà è åãî êîíöåíòðàöèåé â òåñò-òêàíè
1
. Âåëè÷èíó V ìîæíî âû-
1
Òåñò-òêàíü — òêàíü, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â õîäå
èññëåäîâàíèÿ. ×àùå âñåãî òåñò-òêàíüþ ÿâëÿåòñÿ êðîâü.
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà
23
÷èñëèòü, ðàçäåëèâ êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè
íà êîíöåíòðàöèþ â ýòîò æå ìîìåíò. Óäîáíåå V âû÷èñëÿòü ïðè
t = 0:
=
0
0
M
V
c
, (1.5.12)
ãäå ñ
0
— êîíöåíòðàöèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
Åñëè âåñü ââåäåííûé ïðåïàðàò ïîñòóïàåò â ðàññìàòðèâàåìóþ
êàìåðó, òî Ì
0
ðàâíî äîçå ïðåïàðàòà.
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (1.5.11) â ñîîòíîøåíèå (1.5.1):
d
d
el
Vc
kVc
t
=−
. (1.5.13)
Ñîêðàòèâ íà ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó V, ïîëó÷àåì
=−
d
d
el
c
kc
t
. (1.5.14)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ
ln c = ln c
0
— k
el
t , (1.5.15)
èëè
−
=
0
() e
el
kt
ct c
. (1.5.16)
Âàæíûì ïàðàìåòðîì ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîä ïîëóâûâåäåíèÿ
ïðåïàðàòà t
1/2
, òî åñòü âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî êîíöåíòðàöèÿ
ïðåïàðàòà â êàìåðå ñíèæàåòñÿ âäâîå. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (1.5.15)
âìåñòî êîíöåíòðàöèè c êîíöåíòðàöèþ c
0
/2:
ln c
0
/2 = ln c
0
– k
el
t
1/2
,
îòêóäà ïîëó÷àåì
=≅
1/2
ln 2 0,693
el el
t
kk
. (1.5.17)
Äðóãèì ïàðàìåòðîì, õàðàêòåðèçóþùèì ïðîöåññ, ÿâëÿåòñÿ êëè-
ðåíñ C
l
, êîòîðûé ðàâåí îáúåìó òåñò-òêàíè, îñâîáîæäàþùåìóñÿ îò
ïðåïàðàòà çà åäèíèöó âðåìåíè. Âåëè÷èíà êëèðåíñà ðàâíà ïðîèçâå-
äåíèþ êàæóùåãîñÿ îáúåìà íà êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè:
C
l
= Vk
el
. (1.5.18)
Êðèòåðèÿìè ïðèìåíèìîñòè îäíî÷àñòåâîé ìîäåëè äëÿ èçó÷å-
íèÿ ôàðìàêîêèíåòèêè ïðåïàðàòà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ëèíåàðè-
çàöèè äàííûõ â êîîðäèíàòàõ «ln c — t», «dc/dt — c» èëè «ln dñ/dt — t».
§ 1.5. Îäíîêàìåðíàÿ ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü
24
§ 1.6. ÔÀÐÌÀÊÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÀß
ÌÎÄÅËÜ
Ñ ÏÎÄÊÀÌÅÐÎÉ
Ëåêàðñòâåííûå ïðåïàðàòû ÷àñòî ââîäÿò
íå íåïîñðåäñòâåííî â êðîâü, à â äðóãèå òêà-
íè. Íî â êà÷åñòâå òåñò-òêàíè ïî-ïðåæíåìó
èñïîëüçóåòñÿ êðîâü.  ýòîì ñëó÷àå êîíöåí-
òðàöèÿ ïðåïàðàòà â êðîâè äîñòèãàåò ìàê-
ñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ íå ñðàçó, à ëèøü ÷å-
ðåç íåêîòîðîå âðåìÿ. Ïîýòîìó ãðàôèê
çàâèñèìîñòè êîíöåíòðàöèè ïðåïàðàòà îò
âðåìåíè â ïîëóëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîð-
äèíàòàõ èìååò ëèíåéíûé õàðàêòåð ëèøü
ïîñëå äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé êîíöåíò-
ðàöèè (ðèñ. 1.6.1).
Äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ êðîìå
îñíîâíîé êàìåðû, ìîäåëèðóþ-
ùåé êðîâü è îñòàëüíûå òêàíè,
â êîòîðûå ïðîíèêàåò ïðåïàðàò,
ââîäÿò ï î ä ê à ì å ð ó, êîòîðàÿ
ìîäåëèðóåò òêàíü — ìåñòî ââå-
äåíèÿ ïðåïàðàòà (ðèñ. 1.6.2).
Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà óæå òðåáóåòñÿ ñèñòåìà èç ÷åòûðåõ óðàâ-
íåíèé:
′′
′′
=−
′′
=−
′′′
=
d
;
d
d
;
d
d
,
d
in
in el
el
M
kM
t
M
kM kM
t
M
kM
t
(1.6.1)
ãäå Ì'', Ì è Ì''' — êîëè÷åñòâî ïðåïàðàòà â ïîäêàìåðå (À), îñíîâ-
íîé êàìåðå (Â) è îêðóæàþùåé ñðåäå (Ñ) ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì
M" + M + M''' = M
0
(Ì
0
— êîëè÷åñòâî ââåäåííîãî ïðåïàðàòà); k
in
—
êîíñòàíòà âñàñûâàíèÿ ïðåïàðàòà èç ïîäêàìåðû â îñíîâíóþ êàìå-
ðó; k
el
— êîíñòàíòà ýëèìèíàöèè ïðåïàðàòà èç îñíîâíîé êàìåðû.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ ñèñòåìó (1.6.1) ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé
(Ì''(0) = Ì
0
, Ì(0) = 0), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà
ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå:
Ðèñ. 1.6.1. Àïïðîêñèìàöèÿ
äàííûõ ôàðìàêîêèíåòèêè öå-
ôàëåêñèíà â ñûâîðîòêå êðîâè
ìûøåé, ïîëó÷àâøèõ ïðåïàðàò
âíóòðü â äîçå 400 ìã/êã, îä-
íî÷àñòåâîé ìîäåëüþ ñî âñàñû-
âàíèåì (k
in
= 4,60 ÷
–1
, k
el
=
= 0,90 ÷
–1
)
M''
M M'''
A
BC
k
in
k
el
Ðèñ. 1.6.2. Îäíîêàìåðíàÿ ìîäåëü
ñ ïîäêàìåðîé
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà
25
−−
=−
−
0
() (e e )
()
el in
kt kt
in
in el
Mk
Mt
kk
. (1.6.2)
Òàê êàê
M = cV,
ãäå c — êîíöåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå, V — åå êàæó-
ùèéñÿ îáúåì, òî çàâèñèìîñòü êîíöåíòðàöèè îò âðåìåíè èìååò ñëå-
äóþùèé âèä:
−−
=−
−
0
() (e e )
()
el in
kt kt
in
in el
Mk
ct
Vk k
. (1.6.3)
Çíàÿ ïàðàìåòðû k
in
, k
el
,
V è Ì
0
, ïî ôîðìóëå (1.6.3)
ìîæíî ðàññ÷èòàòü êîíöåí-
òðàöèþ ïðåïàðàòà â ëþáîé
ìîìåíò âðåìåíè.
Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé
Ì'', Ì è Ì''' îò âðåìåíè
ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.6.3.
Êàê âèäíî, êîíöåíòðàöèÿ
ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìå-
ðå â íåêîòîðûé ìîìåíò âðå-
ìåíè (t
max
) äîñòèãàåò ñâîå-
ãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
(ñ
max
), ïîñëå ÷åãî íà÷èíàåò
óìåíüøàòüñÿ.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
=
−
0
()
in
in el
Mk
B
Vk k
.
Òîãäà óðàâíåíèå (1.6.3) çàïèøåòñÿ â âèäå:
−−
=−
() (e e )
el in
kt kt
ct B
. (1.6.4)
 ñëó÷àå, êîãäà âñàñûâàíèå ïðåïàðàòà ïðîèñõîäèò íàìíîãî áûñò-
ðåå åãî âûâåäåíèÿ (k
in
>> k
el
), ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ t ÷ëåíîì óðàâ-
íåíèÿ åõð (–k
in
t) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà óðàâíåíèå (1.6.4) óïðî-
ùàåòñÿ:
−
≈
() e
el
kt
ct B
. (1.6.5)
 ýòîì ñëó÷àå íèñõîäÿùàÿ ÷àñòü çàâèñèìîñòè (ðèñ. 1.6.1) õà-
ðàêòåðèçóåò â îñíîâíîì ýëèìèíàöèþ ïðåïàðàòà. Åñëè æå, íàîáî-
Ðèñ. 1.6.3. Çàâèñèìîñòü êîëè÷åñòâ ïðåïàðàòà
â ïîäêàìåðå M", îñíîâíîé êàìåðå M è îêðó-
æàþùåé ñðåäå M''' îò âðåìåíè t
§ 1.6. Ôàðìàêîêèíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ ïîäêàìåðîé
26
ðîò, ñêîðîñòü âñàñûâàíèÿ íàìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè âûâåäåíèÿ
(k
in
<< k
el
), óðàâíåíèå (1.6.4) ñâîäèòñÿ ê âèäó:
−
≈
() e
in
kt
ct B
, (1.6.6)
à íèñõîäÿùàÿ ÷àñòü êðèâîé õàðàêòåðèçóåò â îñíîâíîì ïðîöåññ âñà-
ñûâàíèÿ.
Åñëè æå êîíñòàíòû âñàñûâàíèÿ è âûâåäåíèÿ èìåþò îäèíàêî-
âûé ïîðÿäîê, òî îáå ÷àñòè êðèâîé õàðàêòåðèçóþò êàê ýëèìèíà-
öèþ, òàê è âñàñûâàíèå ïðåïàðàòà.
Îïðåäåëèì âðåìÿ t
max
, â òå÷åíèå êîòîðîãî äîñòèãàåòñÿ ìàêñè-
ìàëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñ
max
, äëÿ ÷åãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì âûðà-
æåíèå (1.6.4):
()
−−
=− +
d
ee
d
el in
kt kt
el in
c
Bk k
t
.
Ïðèðàâíÿâ ýòî âûðàæåíèå íóëþ, îïðåäåëèì ìàêñèìàëüíîå çíà-
÷åíèå ôóíêöèè:
−−
=− + =
max max
d
ee0
d
el in
kt kt
el i n
c
kk
t
,
îòêóäà ïîëó÷àåì t
max
:
=
−
max
ln
in
el
in el
k
k
t
kk
. (1.6.7)
Èç óðàâíåíèÿ (1.6.7) âèäíî, ÷òî âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëü-
íîé êîíöåíòðàöèè íå çàâèñèò îò äîçû ââåäåííîãî ïðåïàðàòà, à öå-
ëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ êîíñòàíòàìè âñàñûâàíèÿ è âûâåäåíèÿ. Ïîä-
ñòàâèâ (1.6.7) â (1.6.3), ìîæíî îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ êîíöåíò-
ðàöèþ ïðåïàðàòà â îñíîâíîé êàìåðå.
§ 1.7. ÌÍÎÃÎÊÀÌÅÐÍÛÅ ÔÀÐÌÀÊÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÌÎÄÅËÈ
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîãîêàìåðíûõ ìîäåëåé òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü
ñèñòåìó èç íåñêîëüêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Êîíöåíò-
ðàöèÿ ïðåïàðàòà â êàêîì-ëèáî îðãàíå çàâèñèò îò ñêîðîñòåé íå-
ñêîëüêèõ ïðîöåññîâ:
1) ñêîðîñòè âñàñûâàíèÿ ïðåïàðàòà èç ìåñòà ââåäåíèÿ (íàïðè-
ìåð èç êèøå÷íèêà) â êðîâü, åñëè îòñóòñòâóåò íåïîñðåäñòâåííîå
ââåäåíèå ëåêàðñòâà â êðîâåíîñíîå ðóñëî (ýòîò ïðîöåññ õàðàêòåðè-
çóåòñÿ êîíñòàíòîé k
12
);
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà
27
2) ñêîðîñòè òðàíñïîðòà ïðåïàðàòà èç êðîâè â îðãàí (êîíñòàíòà
k
23
);
3) ñêîðîñòè îáðàòíîãî ïðîöåññà: òðàíñïîðòà ïðåïàðàòà èç îðãà-
íà â êðîâü (êîíñòàíòà k
32
);
4) ñêîðîñòè âûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà èç îðãàíèçìà âûäåëèòåëüíîé
ñèñòåìîé (êîíñòàíòà k
4
)
1
.
Êàæäûé îðãàí, â êîòîðîì ìîæåò íàõîäèòüñÿ ïðåïàðàò (êèøå÷-
íèê, êðîâü, îðãàí-ìèøåíü è äð.), ïðåäñòàâèì â âèäå îòäåëüíûõ
áëîêîâ (êàìåð) (ðèñ. 1.7.1), â êàæäîì èç êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå
ïðåïàðàòà îäíîðîäíî.
Íà äàííîì ýòàïå ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè óæå ìîæíî
ñîñòàâèòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ
óêàçàííûé ïðîöåññ.  íàøåì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ çàïèøóòñÿ â âèäå:
=−
=− + + +
=−
1
12 1
2
4232323121
3
23 2 32 3
d
;
d
d
() ;
d
d
,
d
c
kc
t
c
kkckckc
t
c
kc kc
t
(1.7.1)
ãäå ñ
1
, ñ
2
è ñ
3
— êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà â ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì
áëîêàõ.
Íà ñëåäóþùåì ýòàïå òðåáóåòñÿ ðåøèòü ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ,
÷òî íå âñåãäà âîçìîæíî â îáùåì âèäå.  òàêîì ñëó÷àå èõ ðåøàþò
ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ.
Èíîãäà ÷èñëî ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ìîæíî ñîêðàòèòü. Âñå
ïðîöåññû ðàçäåëÿþòñÿ íà áûñòðûå, ñðåäíèå è ìåäëåííûå. Äàííîå
ðàçäåëåíèå óñëîâíî. Äîïóñòèì, ìû íàáëþäàåì çà ïðîöåññîì â òå-
Ðèñ. 1.7.1. Ñõåìà ïåðåìåùåíèÿ ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà â îðãàíèçìå
Îðãàí-
ìèøåíü
Èíàêòèâàöèÿ
è âûâåäåíèå
ïðåïàðàòà
Êðîâü
k
4
Ïðåïàðàò
Êèøå÷íèê, êîæà,
ìûøöû
k
12
k
32
k
23
1
Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îòñóòñòâóåò èíàêòèâàöèÿ è íåîáðàòèìîå ñâÿçûâàíèå ïðå-
ïàðàòà â îðãàíèçìå.
§ 1.7. Ìíîãîêàìåðíûå ôàðìàêîêèíåòè÷åñêèå ìîäåëè
28
÷åíèå íåñêîëüêèõ ÷àñîâ.  òàêîì ñëó÷àå ïðîöåññû, ñîâåðøàþùèå-
ñÿ â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ìèíóò, áóäóò ÿâëÿòüñÿ áûñòðûìè, íåñêîëü-
êèõ ÷àñîâ — ñðåäíèìè, íåñêîëüêèõ ñóòîê — ìåäëåííûìè. Òîãäà
ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî, íàáëþäàÿ çà ïðîöåññîì íåñêîëüêî ÷àñîâ, ìû íå
óñïåâàåì ïðîñëåäèòü çà ìåäëåííûìè ðåàêöèÿìè, è ïåðåìåííûå,
îïèñûâàþùèå èõ, îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè â òå÷åíèå ïåðèîäà íà-
áëþäåíèÿ. Â òî æå âðåìÿ áûñòðûå ïðîöåññû óñïåâàþò ïðîéòè â ñà-
ìîì íà÷àëå ïåðèîäà íàáëþäåíèÿ è äàëåå òàêæå îñòàþòñÿ ïîñòîÿí-
íûìè. Ïîýòîìó ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â ñîñòàâ óðàâíåíèé áûñòðûõ
ïðîöåññîâ, ìîæíî çàìåíèòü íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè, à ïåðåìåí-
íûå, âõîäÿùèå â ñîñòàâ óðàâíåíèé ìåäëåííûõ ïðîöåññîâ,— ñòàöèî-
íàðíûìè. Äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü ÷èñëî äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé è ÷èñëî ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, â ïðèâåäåííîé
ñèñòåìå óðàâíåíèé (1.7.1) êîíöåíòðàöèþ ñ
2
â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ
ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé.
§ 1.8. ÌÎÄÅËÜ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÃÎ ÂÂÅÄÅÍÈß ÏÐÅÏÀÐÀÒÀ
Ïðè ââåäåíèè êàêîãî-ëèáî ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà ÷àñòî
òðåáóåòñÿ çíàòü âðåìåííîé õàðàêòåð (êèíåòèêó) åãî ðàñïðåäåëåíèÿ
â îðãàíèçìå. Åñëè ëåêàðñòâî áûëî ââåäåíî â íåäîñòàòî÷íîé äîçå
èëè æå î÷åíü áûñòðî ðàçðóøàåòñÿ èëè âûâîäèòñÿ èç îðãàíèçìà, òî
íå áóäåò äîñòèãíóò åãî ëå÷åáíûé ýôôåêò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç-
ëèøíå áîëüøàÿ äîçà ìîæåò âûçâàòü íåæåëàòåëüíûå ïîáî÷íûå ýô-
ôåêòû. Ìîäåëü, êîòîðàÿ áóäåò ðàññìîòðåíà íèæå, ïîçâîëÿåò âû-
áðàòü îïòèìàëüíûå äîçó è ïåðèîäè÷íîñòü ââåäåíèÿ ïðåïàðàòà.
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ïðîáëåìîé ïîä-
äåðæàíèÿ ïîñòîÿííîé êîíöåíòðàöèè ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà
â îðãàíèçìå. Äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ íåïðåðûâíî ñ ïîñòîÿííîé ñêî-
ðîñòüþ ââîäèòü âíóòðèâåííî èëè âíóòðèàðòåðèàëüíî ïðåïàðàò (ïðî-
ùå ãîâîðÿ — ïîñòàâèòü êàïåëüíèöó) (ðèñ. 1.8.1, à). Ïðè ââåäåíèè
(èíôóçèè) ïðåïàðàòà ñî ñêîðîñòüþ v åãî êîëè÷åñòâî M â êðîâè
áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþ
Ïðåïàðàò
v
c(t)
Êðîâü
M
í
k
el
Ðèñ. 1.8.1. Ââåäåíèå ïðåïàðàòà:
à — ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ; á — ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v è íàãðóçî÷íîé äîçîé M
í
Ïðåïàðàò
v
c(t)
Êðîâü
k
el
àá
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà
29
=−
d
d
el
M
vkM
t
, (1.8.1)
ãäå k
el
— êîíñòàíòà ñêîðîñòè âûâåäåíèÿ ïðåïàðàòà èç êðîâè.
Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî óðàâíåíèå â ïðåäåëàõ âðåìåíè îò 0 äî t
è êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà îò 0 äî Ì:
=
−
∫∫
00
d
d
Mt
el
M
t
vkM
;
−− =
00
1
ln( )
Mt
el
el
vkM t
k
;
−
=−
ln
el
el
vkM
kt
v
.
Âûðàçèì èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ M:
=−−
[1 e xp( )]
el
el
v
Mkt
k
. (1.8.2)
Äàëåå ïåðåéäåì îò êîëè÷åñòâà ïðåïàðàòà ê åãî êîíöåíòðàöèè,
äëÿ ÷åãî ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà êàæóùèéñÿ îáúåì V :
=−−
() [1 exp( )]
el
el
v
ct k t
Vk
. (1.8.3)
Êàê âèäíî èç óðàâíåíèÿ (1.8.3), êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà ñ òå÷å-
íèåì âðåìåíè âîçðàñòàåò è àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ïðè t →∞
ê ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ êîíöåíòðàöèè
∞
=
el
v
c
Vk
(1.8.4)
(ðèñ. 1.8.2, êðèâàÿ 2). Èç âûðàæåíèÿ (1.8.4) ìîæíî ïîëó÷èòü çíà-
÷åíèå ñêîðîñòè, ñ êîòîðîé ñëåäóåò ââîäèòü ïðåïàðàò äëÿ òîãî, ÷òî-
áû åãî êîíöåíòðàöèÿ â êðîâè ðàâíÿëàñü òðåáóåìîé (ñ*):
=
*
el
vcVk
. (1.8.5)
Äëÿ òîãî ÷òîáû êàê ìîæíî áûñòðåå äîñòèãíóòü æåëàåìîãî ýô-
ôåêòà, â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òðåáóåòñÿ ââåñòè íåêîòîðóþ
äîçó ïðåïàðàòà (òàê íàçûâàåìóþ íàãðóçî÷íóþ M
í
ðèñ. 1.8.1, á), à ïîñ-
ëå ýòîãî íåïðåðûâíî ââîäèòü ïðåïàðàò ñî ñêîðîñòüþ v (òî åñòü
ñäåëàòü ïàöèåíòó óêîë è ïîñòàâèòü êàïåëüíèöó). Òîãäà â óðàâíå-
íèå èçìåíåíèÿ êîíöåíòðàöèè âî âðåìåíè (1.8.3) äîáàâèòñÿ ñëà-
ãàåìîå, îïðåäåëÿåìîå íàãðóçî÷íîé äîçîé M
í
:
§ 1.8. Ìîäåëü íåïðåðûâíîãî ââåäåíèÿ ïðåïàðàòà
30
ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß
=−−+ −=
н
( ) [1 exp( )] exp( )
el el
el
M
v
ct kt kt
Vk V
=− − −
н
1
exp( )
el
el el
vv
Mkt
Vk V k
. (1.8.6)
Òàê êàê ïðè t →∞ ìíîæèòåëü
exp (–k
el
t) → 0, òî êîíå÷íàÿ êîí-
öåíòðàöèÿ ïðåïàðàòà ïî-ïðåæíå-
ìó ðàâíÿåòñÿ ñ* = v/Vk
el
, òî åñòü
íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû íàãðó-
çî÷íîé äîçû. Êîíöåíòðàöèÿ ïðè-
áëèæàåòñÿ ê ñ*, åñëè âòîðîå
ñëàãàåìîå â óðàâíåíèè (1.8.6)
ðàâíÿåòñÿ íóëþ, à ýòî, â ñâîþ
î÷åðåäü, ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî
ëèáî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïðè
(v/k
el
– M
í
) ≠ 0, ëèáî ìãíîâåííî
ïðè (v/k
el
– M
í
) = 0 (ðèñ. 1.8.2,
êðèâàÿ 3 ). Îòñþäà ìîæíî ïîëó-
÷èòü âûðàæåíèå äëÿ íàãðóçî÷íîé
äîçû (M
í
*), ïðè ââåäåíèè êîòî-
ðîé íåîáõîäèìûé óðîâåíü êîí-
öåíòðàöèè ïðåïàðàòà áóäåò äîñ-
òèãíóò ìãíîâåííî:
M
í
* = v/k
el
= c*V.
Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ìãíîâåí-
íóþ íàãðóçî÷íóþ äîçó ëåêàðñòâà M
í
* è ñêîðîñòü åãî ââåäåíèÿ v
â îðãàíèçì.
Ðèñ. 1.8.2. Êèíåòèêà èçìåíåíèÿ êîí-
öåíòðàöèè ïðåïàðàòà â êðîâè:
1 — ïðè îäíîêðàòíîì ââåäåíèè; 2 — ïðè èí-
ôóçèè ïðåïàðàòà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ;
3 — ïðè ñî÷åòàíèè ââåäåíèÿ íàãðóçî÷íîé
äîçû è èíôóçèè ñ öåëüþ ìãíîâåííîãî ñîçäà-
íèÿ â êðîâè æåëàåìîé êîíöåíòðàöèè ïðåïà-
ðàòà — ñ*
ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×
Çàäà÷à 1.1. Ïåðâîíà÷àëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ â êðîâè íåêîòîðîãî ïðåïà-
ðàòà ðàâíÿëàñü c
0
= 50 ìêã/ìë, à ÷åðåç t = 10 ÷ óìåíüøèëàñü äî c = 20 ìêã/ìë.
Ðàññ÷èòàéòå êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè k
el
ýòîãî ïðåïàðàòà è âðåìÿ åãî ïîëó-
âûâåäåíèÿ t
1/2
. Ïðîöåññ ýëèìèíàöèè îïèñûâàåòñÿ îäíîêàìåðíîé ìîäåëüþ.
Ðåøåíèå. Êîíñòàíòó ýëèìèíàöèè âû÷èñëÿåì èç ëèíåàðèçîâàííîãî
óðàâíåíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèè (1.5.15):
1
0
ln ( / ) ln (50/20)
0, 092 ч .
10 ч
el
cc
k
t
−
== =
Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîôèçèêà