Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§3. Функції комплексної змінної
511
Таблиця
3.4 -
Інтегрування функцій комплексної змінної
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1 2
Інтеграл
від функції
м>- Дг)
вздовж кривої
С
с
Формули
для
обчислення інтегралів
1.Зведення
до
обчислення
криволінійних інтегралів
другого роду.
\№<Ь
= \{и +
іу)(ах
+ іау) =
с
с
-^иах-уау
+
і^исіу
+ уах,
с
с
де
г = х
+ і
у,
/(:) = п
+ і
V.
2.Зведення
до
обчислення
визначених інтегралів.
Р
С
а
де
С: х = х(і), у = у(() або :(() = х(і) +
іу(і),
початковій
та
кінцевій точкам дуги
С
відпо-
відають значення
1
= а,
1
= Р.
3. Формула
Ньютона-Лейбніца.
]/(--)<& =Ф(2)
І*'
=Ф(Г,)-Ф(2
0
)
,
-0
де функція
Дг)
аналітична
в
області
2
0
,2,
є£>, Ф(2) -
первісна
для
функції
/(2).
4. Формула
інтегрування частинами.
] д 2)
Ф
'(2) <к
= [/(2)
ф(2)]
І;;- - }
Ф(2)/'(2)
А ,
-0
-0
де функції
Д2), ф(г)
аналітичні
в
однозв'яз-
ній області
О, 2
0
,2,
є О.
5. Формула
заміни змінної.
|Дг)й2=
|/[ф(и')]ф'(и<)йи',
('
г,
де функція
IV=/(2)
така,
що
функція
2 = ф(»
взаємно однозначно відображає контур
С, в
площині
IV на
контур
С в
площині
2 .
512
Глава 6. Довідковий матеріал
Продовження таблиці
3.4
1 2
Інтегральна формула Коші
2Л/
}, 2-2
0
де функція /(г) аналітична в області /9 ,
обмеженій кусково-гладким замкненим
контуром С , і на самому контурі; г
0
?І),
контур С - додатно орієнтований.
Формула для обчислення
інтегралів
|-^-сі = 2л//(г
0
)
Формула для похідної п -го
порядку
2Л/ £
(2-2
0
)"
+1
Формула для обчислення
інтегралів
|
іА
=
2д/
/,
"
,(
-"°
)
г(----'оГ'
"
!
Основна теорема Коші.
Якщо функція /(і) аналітична в однозв'язній області О , обмеже-
ній контуром С і і
—
замкнений контур в В , то
1/(1)0-1
= 0.
/.
Якщо функція /(г) неперервна в замкненій області О = О + С , то
=0.
с
Узагальнена теорема Коші.
Якщо функція /(:) аналітична в многозв'язній області й , обмеже-
ній контуром С і внутрішніми по відношенню до нього контурами у, ,
у
2
,-.., 7*, і неперервна в замкненій області £) = £) +
С
+
+уГ+У2+...
+ у
і
,
де знаки верхніх індексів означають напрямки обходів, то
\/(2)0-2=0.
к
§3.
Функції комплексної змінної
513
Таблиця 3.5 - Комплексні ряди
Поняття або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Числовий ряд
~\
+
-2
+•••
+ -«
+•••
= X
2
" '
л = 1
де
:„ = х„
+іу„
.
Степеневий ряд
с
0
+с
]
і
+ с
2
і
2
+...
+
с
п
:"+...=
Хс„г"
л=0
Формули
для обчислення
радіуса збіжності
1 с„ 1
К= Ііт /-^-г,
К+іІ
/?= Ііт -=!=
»-»- 4/1 1
Ряд Тейлора
для функції /(:), одно-
значної і аналітичної в
точці і = г
0
оо оо АП) ґ \
» = 0 я = 0 " •
1 г Яг)
де с„= І—
У1
' , ск, « = 0,1,2,...
2я/
г(2
-
2о
)-'
Формули розкладу в ряд Тейлора елементарних функцій
е" =
оо П
££_ |
2
|< + оо,
зіпг
_2я+І
",^
0
(
° (277 + 1)!' І-І
< +
°°'
СОЗ 2
=
!(-')"
|*|<
+
~,
л
=о (
2
")
!
5П2 :
о»
Т
2л+1
„=о (2я+1)! ' '
сЬг
=
V Л
І2І<
+ оо
7
514
Глава
6.
Довідковий матеріал
Продовження таблиці
3.5
1
1п(1
+
2
)=2Н)
й+
'
—,
|
2
|<1,
и = 1
іп(і-
2
)=-х—,
и-і<і,
агсг§2
= ХН)"^ г,
|г|<1,
я = 0
2п+\
{]+:Г=]+
^а(а-т-2)...(а-п
+
У
г
^
^
л = 1
1
+ 2
= Х(-1)
Я
2",
|2|<1
1-2
2*".
<
1
.
я = 0
Ряд Лорана
для функції /(г), одно-
значної
і
аналітичної
в кільці
г <
12
-
2
0
1
< /?
п =
\(2-2
0
)
„
=0
Де
с.
№
2Ш
'
г
(2-2
0
)
п+1
аг
, л = 0,
±1,
±2,
§3.
Функції комплексної змінної
515
Таблиця 3.6 - Лишки функцій та їх застосування
Поняття або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Лишок функції /(2)
в особливій точці і
0
ГЄ5/(2
0
)
= -!-|/(2)а2,
де контур у - коло з центром у
ТОЧЦІ
2
0
достатньо малого радіуса і такого, щоб
коло не виходило за 'межі області
аналітичності функції /(2) і не містило
всередині інших особливих точок функції
№ •
Формула
для обчислення лишку
ГЄ5/(2
0
)
=
С„,
Формули для обчислення лишку
для різних типів особливих точок
1.
2
0
- усувна особлива точка
ГЄ5/(2
0
)
= 0
2.
20 - полюс п -го порядку
ге5/(2
0
) = —!— Ііт
^і(/(
2
)(
2
-
го)
")
3.20 - простий полюс
ГЄ5/(2
0
)=
Ііт (/(2)(2-2
0
))
або
гезА,
0
)=
ф(
;°>
якщо /(
г
)=«-->
\|/(2
0
) \|/(2)
4.
2
0
- істотно особлива точка
Основна теорема про лишки -
теорема Коші
ГЄ5/(2
0
)
=
С_,
4.
2
0
- істотно особлива точка
Основна теорема про лишки -
теорема Коші
|/(2)^
= 2Я/ХгЄ5/(2,)
( * = 1
516
Глава
6,
Довідковий матеріал
§4.
Операційне числення
Таблиця 4.1
-
Таблиця зображень основних функцій
Оригінал
/(г)
Зображення
Р(р)
1
1
2 3 1
1 1
1
/>
2
е-
ш
1
р +
а
3
ЗІПр/
Р
4
СОЗр'
/>
/>
2
+Р
2
5
5П(37
Р
Р
2
-Р
2
6
спр>
Р
2
-Р
2
7
е зіпр/
Р
(р + ос)
2
+р
2
8
є
-0
" созР?
Р +
а
(р
+
а)
2
+$
2
9
<?-°"5пР>
Р
(р + «)
2
-р
2
10
<Г
а
'спр/
р +
а
(р + а)
2
-р
2
11
/"
я!
12
«!
(р +
а)
п+1
13
/зіп
аі
2ра
(р
2
+а
2
)
2
14
і соз
а/
Р
2
~а
2
(р
2
+а
2
)
2
§4.
Операційне числення
517
Продовження таблиці 4.1
1 2 3
15
/5П
аі
2ра
(Р
2
~а
2
)
2
16
?сЬ аі
2
2
р +а
(Р
2
~а
2
)
2
17
—^Дзіп аі - аі соз аі)
2а"
1
(р
2
+а
2
)
2
Зображення похідних функції /(І)
ДОИВД,
Ґ(0 =
Р
Р(р)-Д0),
Ґ(І)
=
Р
2
Р(Р)-РЯ0)-Г(0),
/"(/)
•=
Р
3
ПР) - р
2
т - Р/\О) - ҐФ),
/<") (о =•
Р
" Р(
Р
) - р-
]
до) -
Р
"~
2
ґ(0) -...- /
(пЧ)
(0).
518
Глава
6.
Довідковий матеріал
§5.
Основні формули диференціального числення
Таблиця
5.1 -
Основні правила
та
формули диференціювання
Основні правила диференціювання
1.
С' = 0 .
2.
(Си)'
=
Си'.
3.
(и + у)' =
и'+у'.
4.
(иу)' =и У+ и-у'.
и
у-и-у
-
--, У*0.
V
6.
(ди)Ь =/;•«;.
7.
х' = -\-, де х = х(у) -
обернена функція
для
функції
у = у(х) .
Ух
Тут
С -
стала,
и = и(х\ у = у(х) .
Правило диференціювання добутку
п
функцій
и
= и(х), у = у(х),
и»
=
м>(х),...,:
= і(х):
(и
•
V
•
\У ...
і)'
=
и
•
у
•
м>...
і
+ и
•
у'
•
м>...
х +
...
+
и
•
V
•
м>...
г'.
Основні формули диференціювання
І.
(и
а
)' =
аи
а
~
і
-и,
ає К.
2.
(1о§
0
«)' =
—
и .
ита
3.
(1п
и)'
=
-и.
и
4.
(а")' =
а"1паи'.
5.
(е
и
)' = е
и
и .
6. (зіп
и)'
= соз и
•
и .
1.
(сози)'= -зіпм•
и .
8. (і
8И
)'=
_!_.«'.
соз
и
9. (сі£«)' = у--"'-
зіп
и
§5.
Основні формули диференціального числення
519
Продовження таблиці 5.1
10.
(агсзіп и)'= . —и.
УІ\-и
2
11.
(агссоз и)' = —, ^
•
и .
12.
(агст§и)' =——т-и'.
1
+ и
13.
(агссІ§и)' --—-
•
и .
\ + и
14.
(зЬг/)' = спг/г/.
15.
(спи)' = зЬи
•
и .
16.
ЦЬи)' = -\-и .
сЬ'и
17.
(сіЬм)' = у- и .
зЬ и
Тут и = и(х). Якщо и(х) = х , то и'(х) = х' = 1.
Таблиця 5.2 - Основні поняття та формули
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Похідна
у = Ііт -
£
-
Дї^О Дх
Диференціал
ау = у'Ах або ау = у'ах
Похідна п -го порядку
~ї = Ґ
п)
(х) = {ґ^\х))
ах
Формула Лейбніца
(и-у)
(п)
= ^С
к
п
и
(
"-%
(к)
.
к=0
Тут м
(0)
= и , у
<0)
= V , С
к
- число
к п\
комбінацій з л по к, С„ =
1
.
520
Глава
6.
Довідковий матеріал
Продовження таблиці
5.2
1
2
Похідні
від
функції,
заданої параметрично
їх
= х(і),
1..
/.\ ,
" У XX
= /
*/
Диференціал
п -го
порядку
Таблиця
5.3 -
Застосування похідної
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1 2
Рівняння дотичної
до кривої
у = /(х)
у точці
(х
0
,у
п
)
У-Уо
=
Ґ(х
0
)(х-х
0
)
Рівняння нормалі
до кривої
у = /(х)
у точці
(х
0
,у
0
)
У
Уо=
г>
. Л.х х
0
)
/
(*о)
Кут
між
двома кривими
У
= /\(х) та ^ = /
2
(х)
у точці
їх
перетину (х
()
,
у
0
)
1
6ф
=
^(хо)-^Ьо)
1
+
/і'(х
0
)-/
2
'(*о)
При прямолінійному русі
точки
з
законом руху
5
=
5(/):
ШВИДКІСТЬ
V
прискорення
а
а
=
.$"(/)
Формула Коші
(відношення скінченних
приростів)
/(*>-/(«>
=
Л<0
>сє(в>і)
£(/>)-я(я)
£(<?)
Формула Лагранжа
(формула скінченних
приростів)
ДЬ)-Да)
=
/'(с)(Ь-а), се(а,Ь)
Формула Тейлора
для функції
/(х) з
центром
розкладу
в
точці
х = а
І(х)=^^—^-(х-а)
к
+
К
п
(х)