Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§7,

Основні формули елементарної математики

531

Якщо

п -

парне,

а"

- Ь" = (а + Ь) (а"~

]

- а"~

Ь + а^Ь

-... + аЬ"~

/З"

-1

Якщо

п -

непарне,

а"

+Ь" =(а +

Ь)(а"~

]

- а"'

-...-аЬ

+Ь"~

7.1.3 Властивості арифметичних коренів

Для будь-яких натуральних

п , к ,

більших одиниці,

та

будь-яких

не-

від'ємних

а, Ь

мають місце такі рівності:

(

-П<"4Ь, якщо 0<а<Ь;

[-а

при а<0;

ЛІ

= л/а ;

"Г~ "*ГТ

2п+І/

2и+1/—

, ч

\Іа=

\а ; V-о = - л/о (а > 0).

7.2 Тригонометричні функції

(У всіх формулах, наведених

цьому пункті, слід враховувати

область припустимих значень лівої

та

правої частини формул)

7.2.1 Співвідношення між тригонометричними функціями

одного і того ж аргументу

зіп

х +

соз

х = І ;

1§хсі§х

= 1;

Щх=

;

\ +

——;

созх

соз X

СОЗХ

, 2 І

сІех

= ;

сі§

х = —-—.

ЗІПХ

8ІП~Х

7.2.2 Формули додавання

зіп(х

_у)

зіпх соз

у +

созх зіп

у ;

зіп(х-

у) =

зіпх соз^

созх зіп

у;

532

Глава

Довідковий матеріал

СОЗ(.Г

+ у) =

СОЗХ

соз

у-зіпх

зіп у ;

соз(х-у)

созх созу+ зіпх

зіп у ;

, . 1§х + ї§у СІ§ХСІ§у-1

1-1§хг§у

сІ§х

сІ§у

Щх-Щу сг§хсІ§у

іВ(х-у)

= -2- —;

сЩ(х-у)

= — .

1§хІ§у сі£у-с1вх

7.2.3 Формули подвійного аргументу

зіп

2х = 2

зіпх созх

;

соз

2х =

соз

х-зіп

х = 2

соз

х -1 =

- 2

зіп

х ;

Щ2х=-^,

І8

2х=^1

х 2сі£х

7.2.4

Формули половинного аргументу

. •>

X І -

СОЗ

2ХІ+

СОЗ

зш~

—

= ; соз

—

2 2 2

2 X 1

-СОЗХ •>

X 1

+СОЗХ

созх

1-созх

х зіпх

1-созх

зіпх

созх

18- = - = —: ;

сі

^=-, = —

созх

зтх 2

1-созх

зіпх

7.2.5 Формули зниження степеня

1-соз2х

соз2х

зіп

х= ; соз х =

7.2.6

Формули перетворення суми в добуток

„

. х +

х - у

зіп х

зіп

у = 2 зіп

—

соз

—;

х+у

. х-у

зіпх-зту

= 2 соз

—

зіп

—

;

§7,

Основні формули елементарної математики

533

у х-у

СОЗ

X +

СОБ у

СОЗ сов :

х+у . х-у

соз

х-сову

- -2

ЗІП

СОЗ

+ зіп

х = 4Ї.

соз|

—

- х |= 42

зіп І —

х І;

соз х-зіпх

= л/2

зіп

-;с

"^2 соз

ТІ

—+х

1§

х +1§ у

••

х-І£у-

зіп (х

+ у)

созх созу

зіп (х-у)

созх созу

сіє X + сІ§ у

••

СІ§

х -

сІ§

••

5ІП(Х+

у)

зіпхзіпу

зіп (х-у)

зіпхзіпу

7.2.7 Формули перетворення добутку в суму

зіп

у =

— (соз(х

- у) -

соз(х

+ у));

созх созу

— (соз(х-у)

соз(х

+ у));

зіпх созу

— (зіп(х-у)

зіп(х

+ у)).

7.2.8 Вираження тригонометричних функцій через тангенс

половинного кута

зіпх

1§х

созх

і . 2 *

1-е 2

созх

сІ§

х =

.-«'§

сІ§

х =

«ї

534

Глава

Довідковий матеріал

7.2.9

Формули зведення

Назва функції

не

змінюється

Назва

)ункції змінюється

на

подібну

-а

л-а

л +

— -а

—+

Зл

-— +

ЗІП

—зіп

зіпа

-зіпа

соз а соз а -соз а

-соз а

СОЗ

соз а

-соз а -соз а

зіпа

-зіпа -зіпа

зіпа

-18 «

-і§а

Що.

сі§а

-сг§а сі§а

-сі§а

СІ§ -сг§а -сг§а сща (§а

-г§а (§а

7.2.10

Значення тригонометричних функцій

Значення кута

Функції

град рад

зіп

соз а

18 а

сі§а

0°

0 0 1 0

не існує

30°

л/З

45°

42_

60°

л/з

90°

0 не існує 0

180°

-1

не існує

270°

Зл

-1 0

не існує 0

360°

2л 0 1 0

не існує

7.2.11

Властивості обернених тригонометричних функцій

агсзіп

(-а) =

-агсзіп

а,

|а|<1;

агссоз

(-а) =

л-агссоз

а,

|а|<1;

агсх§

(-а) = -

агсІ§

а, а є К ;

агссі§

(-а) - л -

агссі§

а, аєК;

• • ,

агсзіп

а +

агссоз

=—,

\а <1;

1 1

агсі§ а+агссг§

а=—, ає К.

§7.

Основні формули елементарної математики

535

7.2.12

Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння

Розв'язки рівняння

зіпх

= я, |а|^1

= (-1)"

агсзіпа

+ яя, пє2

созх

= я,

|сг|^1

х =+агссозя

2я/7,

иє2

\&х

= а , а є К

агсі§а

+ ш, пє2

сІ§х

= а , ає К

агссід

а + кп , пє2

Окремі розв'язки тригонометричних рівнянь

зіпх

= 0

<=>

кп, п є 2 ,

зіпх

= ±1

<=>

= ±—н

2я«,

/?є 2,

созх

= 0

<=>

Я/7,

2, ,

созх

= І

<=>

= 2я/7,

є 2 ,

созх

= -І

<ї=>

+ 2Я/7,

є 2 .

7.3

Властивості логарифмів

. Основна логарифмічна тотожність

І08

"-'

х>0, я>0, я*1.

2°

Логарифм основи дорівнює одиниці

Іо§

я = І .

3°

Логарифм одиниці дорівнює нулю

Іо

8в

= 0.

4°.

Формула

для

логарифма добутку

ІО£

(Х|

) =

1о§

х,

+І0£

х, >0 , х

>0.

5°

Формула

для

логарифма частки

1о§

х,-1о§

, х,>0,х

>0.

6°.

Формула

для

логарифма степеня

1о§

=р

1о§

х,

Х>0,/7єК.

536

Глава

Довідковий матеріал

Формула переходу

до

нової основи логарифма

І0Е

х=-!^і£, х>0,ЬєК,6>0,6*1.

Зокрема,

І0

8<7

* = т

^—

;

І0

8а

•

§6

•

7.4

Прогресії

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

а„=а„_,+а\

л>2

де сі

—

різниця прогресії

2>„ =

2>„_і

. " ^

де

д -

знаменник прогресії

Формула

п -го

члена

=а

\ +

(п~\)сі

\,2,...

К=Ь

= 1,2,...

Формула суми перших

членів

1-д

Формула

для

різниці Формула

для

знаменника

сі

-а„_

]

п>2

д=А,

Л>2

Сума натуральних чисел

від

до л

Сума нескінченно спадної

геометричної прогресії

„_

л(и + 1)

8 =

^ , \д\<1

1-д

7.5

Основні формули комбінаторики. Біном Ньютона

Число перестановок

з п

елементів знаходяться

за

формулою

Р„ =1-2-...(л-1)л = л!, 0!=1.

Число розміщень

з п

елементів

по т

елементів знаходяться

за

формулою

„

п(п-\)...(п-(т-\))

(л

- ту.

§7.

Основні формули елементарної математики

537

або

Число комбінацій з п елементів по т елементів знаходяться за формулою

г<т

_ А„ _ЯО-1).-(Я-ОИ-1))

" Р "

С"

от!

(Й-/И)!

Властивості комбінацій:

р/м

_ рн-т .

І-2-...-от

С" = С° = 1

Формула бінома Ньютона має вигляд

ш=0

/и

я!

де С„ = число комбінацій з т? елементів по т елементів; пє N.

(«-от)!

Сума біноміальних коефіцієнтів =2".

7.6

Числові значення деяких величин

Позначення

величини

Числове

значення

Позначення

величини

Числове

значення

3,14159

2,71828

2л

6,28318

\/е

0,36788

л/2

1,57080

7,38906

л/3

1,04720

Ге

1,64872

л/4

0,78540

\%е

0,43429

л/6

0,52360 Іп 10 2,30258

1/л

0,31831 1 радіан

57°17'45'

Л~

9,86960

1°(град)

0,0174 (рад)

1,77245

1,41421

7л"

1,46459

7з

1,73205

СЛОВНИК КЛЮЧОВИХ СЛІВ

Українською

мовою

Російською

мовою

Англійською

мовою

абсолютний

абсолютний аЬзоІиіе

абсциса абсцисса

аозсізза,

х-соогш'паїе

адитивність

аддитивность асішііуігу

аксіома

аксиома

ахіот

алгебраїчний

алгсбраический

аІееЬгаіс

аналіз;

математичний

аналіз;

гармонічний аналіз

анализ;

математический

анализ;

гармонический анализ

апаїузіз;

саісиїиз;

Ьагтопіс апаїузіз

аналізувати

•

анализировать апаїузе

аналітичність

аналитичность

апаїуіісігу

аналітичний

аналитический

апаїугісаі

апліката аппликата

2-соогш'паІе

аргумент

аг§итепІ,

іпаерепсіепі уагіаЬІе

арксинус арксинус

агсзіпе

арктангенс арктангенс агсіапеепі

асимптота асимптота азутріоіе

астроїда астроида

азігоісі

бета-функція бета-функция

Ьеіа-шпсііоп

біном

бином

Ьіпотіаі

біном Ньютона бином Ньютона

Ьіпотіаі Гогтиіа

будь-який,

усякий любой

апу,

агЬіІгагу

варіація

вариация уагіаііоп

вгнутий

вогнутьій

сопсауіґу

вгнутість

вогнутость

сопсауе

Словник ключових слів

Українською

мовою

Вейєрштрас

величина

верхній

верхня межа;

верхня грань

взагалі

взаємно однозначна

відповідність

вигляд;

у вигляді;

явний вигляд

використання;

повторне

використання

вимагати

вимірність

вимірювання, вимір;

число вимірів

виняток;

за винятком

вираз

висновок;

робити висновок

виходити;

вихідний, початковий;

вихідне рівняння;

вихідні дані;

вихідна формула;

виходячи

Російською

мовою

Вейерштрасс

величина

верхний

верхняя граница;

верхняя грань

вообще

взаимно однозначное

соответствие

вид;

в виде;

явньїй

вид

использование;

повторное

использование

требовать

размерность

измерение;

число измерений

исключение;

за исключением

вьіражение

вьівод;

делать вьівод

исходить;

исходньїй;

исходное уравнение;

исходньїе данньїе;

исходная формула;

исходя

Англійською

мовою

\УеІЄГ8ІГа58

^иап^ігу,

5Іге

иррег,

Іор

иррег Ьоипа;

зиргетшп

іп

§епега1,

§епега11у

опе-іо-опе

соггезропсіепсе

азресі,

Гогт,

УІЄ\У;

іп іНе їогт, аз;

ехріісії

ґогт

изе,

иіііігаїіоп;

геизе,

геи$іп§

І5

гециігеа

сіітепзіоп

теавигетепі, ш'тепзіоп;

сіітепзіоп

ехсіизіоп, ехсерііоп;

\¥Іт Іпе ехсерііоп оґ

ЄХрГЄ85ІОП

сопсіизіоп;

сіга\у а сопсіизіоп

соте

ггот,

віагі

ггот;

іпіііаі,

огі§іпаІ,

іприї;

іприї еяиаііоп;

іприї оіаіа;

ахзитрііоп

Гогтиіа;

5ІагІіп§

ґгот,

Ье§іппіп§

ггот

540

Словник ключових слів

Українською

мовою

Російською

мовою

Англійською

мовою

вищевикладений;

вищевказаний;

вищедоведений;

вищезгаданий;

вищенаведений;

вищеописаний

вьішеизложенньїй;

вьішеуказанньїй;

вьішедоказанньїй;

вьішеупомянутьій;

вьішеприведенньїй;

вьішеописанньїй

зіаіесі

аЬоуе;

аЬоуе-тепІіопесі;

ргоуесі

аЬоуе;

аЬоуе-сіїео!,

аЬоуе-тепІіопесі;

Гоге§оіп§,

аооуе-тепііопесі;

а'езсгіЬесі

аЬоуе

вищий

вьісший

Ьі§пег

від'ємний

отрицательньїй

пеааііуе

від'ємник;

віднімання;

віднімати;

відняти

вьічитаемое;

вьічитание;

вьічитать;

вьічесть

зиоігапепа

;

зиЬігасІіоп, сіесіисгіоп;

зиоігасі, аесїисі;

зиЬігасІ

відновити восетановить

гезюге,

геезгаЬНзЬ

відношення

отношение

гаїіо,

яиоііепі,

геїаііоп

відповідність;

відповідності

соответствие;

соответствии

соггезропсіепсе;

ассогс1іп§1у

відповідь

ответ

ап$\уег, геріу,

гезропзе

відрізок отрезок

зеетепі,

сіозесі іпіегуаі

відстань

расетояние

сїІБІапсе,

зрасе

відтворювати

воспроизводить

гергосіисе

вісь

ось

ахіз

вказівка

указание

іпаісаііоп

включно

включительно іпсіизіуеіу

власний

собственньїй

спагасіегІБІіс

внаслідок

вследствие

зо

таї, оп

ассоипі

оґ

вперше

впервьіе

Гігхі,

Гог

те

ІІГБІ

ііте

вправо,

праворуч вправо

Іо

те

гі§пІ