Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

і;

Диференціальні рівняння першого порядку

Задача знаходження розв'язку рівняння

У=/(х,у),

яке задовольняє початкову умову

У(х

) = Уо>

називається задачею Коші

З погляду геометри загальний розв'язок у = ф(х,С) визначає на пло-

щині множину інтегральних кривих, які залежать від параметра С Розв'я-

зати задачу Коші означає виділити з множини інтегральних кривих таку, яка

проходить через задану точку (х

,у

)

Рівняння (1 2) має розв'язок, якщо воно задовольняє умови теореми

Коші про існування і єдишсть розв'язку

Теорема Коші. Нехай функція {(х,у) і їі частинна похідна {[(х,у) виз-

начені і неперервні у відкритій області О площини хОу і ючка (х

,з'

)є О

Тоді існує єдиний розв'язок у - ф(х) рівняння у -

/(х,у),

який задоволь-

няє умову

У(х

) = У

Точки площини, в яких не виконуються умови теореми Коші, назива-

югься особливими Розв'язок диференціального рівняння, в кожній точці якого

порушується умова сдиності, називається особливим розв 'язком

Процес знаходження розв'язків диференціальних рівнянь називаєть-

ся інтегруванням диференціальних рівнянь

Різні типи диференціальних рівнянь першого порядку та методи

їх інтегрування

Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлювани-

ми змінними. Рівняння вигляду

Мх)<іх

= /

(у)<іу (13)

називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними

Інтегруючи ліву та праву частини цьою рівняння, отримаємо йоіо

загальний інтеграл

ІМх)сЬ

= \/

(

)сіу + С,

де С - довільна стала.

Рівняння вигляду

Мх)

8і

(у)<Ь=Г

(х)8

{у)(іу (14)

називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними

Глава

Диференціальні рівняння

Поділивши обидві частини цього рівняння

на

функцію

(у)

•

(х) * 0,

зводимо його

до

рівняння

відокремленими змінними

.Ш

8ііУ)

Далі,

інтегруючи обидві частини рівняння, отримаємо його загаль-

ний інтеграл

сІу

+ С.

Зауважимо,

що

ділення

на (у)

•

(х)

може звести

до

втрати роз-

в'язків диференціального рівняння,

що є

розв'язками рівнянь

£,00

о,

(х) = о.

Диференціальні рівняння, звідні

до

рівнянь

відокремлювани-

ми змінними. Рівняння вигляду

у'

= /(ах + Ьу

с), (1.5)

де

а,Ь, с -

задані числа, заміною змінних

= ах

Ьу

с (1.6)

перетворюється

рівняння

відокремлюваними змінними. Дійсно, якщо

пе-

рейдемо

до

змінних

х та г ,

матимемо

ах

,ау ах

= а + Ь—, — = а + Ь/(г)

ах

ах ах

або

аг

•

ах .

а +

ЬДг)

Отримали рівняння

відокремленими змінними. Інтегруючи, маємо

= \-± - + С.

а + Ь /

Диференціальні рівняння, однорідні відносно змінних

Функція /(х,у) називається однорідною функцією

п -го

виміру від-

носно змінних

х та у,

якщо

для

будь-якого Я,

* 0

справедлива тотожність

/Ох,Ху)

= Х

Дх,у).

Диференціальне рівняння вигляду

М{х,у)(іх

Щх,у)ау

= 0 (1.7)

називається однорідним відносно змінних

х та у,

якщо функції М(х,у)

та

N{x,у)

однорідними функціями однакового виміру.

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

Останнє рівняння простим перетворенням зводиться до вигляду

У=Ях,у),

(1-8)

де функція /(х, у) є однорідною функцією нульового виміру, тобто для будь-

якого X * о

/(Хх,Ху) = Х° Дх,у) =

/(х,у).

Отже,

рівняння, однорідне відносно змінних, має вигляд (1.7) або (1.8)

при виконанні вказаних відповідних умов.

Враховуючи, що в рівнянні (1.8) права частина задовольняє умову

/(Хх,Ху) =

/(х,у),

X * 0, покладемо X = — . Тоді отримаємо

і рівняння (1.8) прийме вигляд

' ^ (1.9)

Введемо нову шукану функцію и(х) = —, звідки у = и{х)

•

х .

Підстановкою

у = и(х)х (1.10)

рівняння (1.9) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійс-

но,

поклавши в рівнянні (1.9)

у = и

•

х, у'

—

и х + и ,

маємо

х — + м = /(1,м).

ах

Відокремивши змінні, отримаємо

гіи _ ах

/(1,м)-и х

Інтегруючи, маємо

ДІ,и)-«

х = Се

Іп|х|+1п|С|

І-

Враховуючи, шо и = —, отримаємо загальний інтеграл рівняння (1.8).

Глава 1. Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння, звідні до однорідних рівнянь відносно

змінних. Рівняння вигляду

(1.П)

х + Ь

у + с

де а,,Ь,, с,, / = 1,2 - задані числа, с,,с

- одночасно не дорівнюють нулю,

зводиться до однорідного рівняння відносно змінних заміною

х = х

+ И, у- у\ + к , (1-12)

якщо А =

- Ь

]

Ф 0.

Числа И і к знаходяться із системи

й|/г + Ь)к + С| = 0,

И + Ь

к + с

= 0.

У випадку Д = 0 рівняння (1.11) зводиться заміною

2 = о,х + Л|_у (1-13)

до рівняння з відокремлюваними змінними.

Лінійні диференціальні рівняння. Диференціальне рівняння пер-

шого порядку називається лінійним, якщо воно містить у та у' у першому

степені, тобто мас вигляд

у'+Р(х)у

= Дх), (1.14)

де Р(х) і /(х) - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Якщо /(х) = 0, то рівняння (1.14) називається однорідним, у проти-

лежному випадку - неоднорідним.

У лінійному однорідному диференціальному рівнянні

у'+Р(х)у

= 0, (1.15)

змінні відокремлюються і розв'язання його виглядає так:

^+Р(х)у = 0, ^ = -Р(х)сІх.

ах у

Інтегруючи, маємо

\п\у\ = -\Р(х)ах +

\п\С\,

у = Се ' . (116)

Для інтегрування неоднорідного лінійного рівняння (1.14)

у'+Р(х)у

= Дх)

можуть бути застосовані такі три методи.

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

Метод підстановка (метод Бернуллі).

Метод Бернуллі полягає в тому, що розв'язок цього рівняння шука-

ють у вигляді добутку двох функцій (підстановка Бернуллі)

у = и(х)-у(х), (1.17)

де одну з цих невідомих функцій можна взяти довільною (тотожно не рів-

ною нулю), а інша визначиться з умови задовільняння рівнянню (1.14).

Знаходячи похідну

у'

= и'у + иу'

і підставляючи значення у та у' у рівняння (1.14), дістанемо

и\ + ф'+Р(х)у] = /Ос). (1.18)

Користуючись довільністю у виборі функції у(х), доберемо її так,

щоб вираз у квадратних дужках дорівнював нулю, в результаті чого рівнян-

ня (1.18) спроститься. Отже, маємо систему рівнянь

Ь'+/>(х)у = 0,

' \г\

(І

[НУ = Дх).

Відокремлюючи в першому рівнянні системи змінні, знайдемо його

загальний розв'язок:

— = -/>(*) У; — = -Р(х)ах;

СІХ V

їп\у\ = -\Р(х)сіх +

\п\С\;

-(І'(Х)ІІХ ...

= Се

. (1.20)

Приймемо за функцію V частинний розв'язок рівняння (1.19), поклав-

ши у загальному розв'язку (1.20) С =

, тобто

= е

. (1-21)

Далі розв'язуємо друге рівняння системи, де функція V визначається

формулою (1.21). Розв'язавши це рівняння, знайдемо функцію и(х) . Маємо:

сій

йх

е ^'

(х)ііх

/(х); сіп = /(х)

е^'

<Г)Л

сіх ;

и = \Дх)е^'

{х)іІХ

ск + С. (1.22)

Підставляючи функції (1.21) і (1.22) у формулу (1.17), знаходимо за-

гальний розв'язок рівняння (1.14)

ИУ

ПхНх

[\/(х)

е!''

іх)с

0Х

С\ (1.23)

Глава 1. Диференціальні рівняння

Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа).

Врахуємо, що для лінійного неоднорідного диференціального рівняння

у'+Р(х)у

= /(х)

(1.14)

відповідне однорідне рівняння має вигляд

у'+Р{х)у

= 0 (1.15)

і його загальний розв'язок визначається формулою

у = С е

. (1-16)

Згідно з методом варіації довільної сталої розв'язок рівняння (1.14)

шукатимемо у вигляді

у = С(х)е

. (1.24)

Цей вигляд отримується з формули (1.16), якщо в ній замінити сталу

С на функцію С(х).

Піде гавляючи в рівняння (1.14) функцію у у вигляді (1.24) та її похідну

у =С (х)е ' -С(х)е

Р(х),

отримуємо для визначення невідомої функції С(х) диференціальне рівнян-

ня з відокремлюваними змінними

С (х) = Дх) е

Загальний розв'язок цього рівняння

С(х) = \/(х)е^

Пх)их

ах + С, (1.25)

де С - довільна стала.

Підставляючи (1.25) у формулу (1.24), знаходимо загальний розв'я-

зок рівняння (1.14)

= (іЯх)еІ''

и)

*<Ь +

сУІ

Г{х)Л

(1.26)

Метод інтегрувального множника (метод Ейлера).

Відповідно до цього методу, неоднорідне диференціальне рівняння

у'+Р(х)у = /(х) (1.14)

множиться зліва та справа на інтегрувальний множник

ц(х) = е'

т)Л

. (1.27)

У результаті зліва отримуємо похідну деякої функції, інтегрування якої

зводить до цієї функції.

Дійсно,

•

е +Р(х)уе

= Лх)е

§ 1. Диференціальні рівняння першого порядку

у-є

= Дх)е

}

Інтегруючи, маємо:

уе

Остаточно

у=е^

Пх)і1х

^Дх)е^'

и)ііх

Л + с| (1.28)

Диференціальні рівняння, звідні до лінійних

Рівняння Бернуллі

Рівнянням Бернуллі називається рівняння вигляду

у'+Р(х)у

= у

/(х), схєК, (1.29)

де Р(х), Дх) - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

При а = 0 це рівняння лінійне, а при а =

- з відокремлюваними

змінними. Якщо ос

0, а * 1, то заміна

г = у

(1.30)

зводить знову до лінійного рівняння відносно функції г(х).

На практиці розв'язок рівняння Бернуллі зручніше шукати методом

Бернуллі у вигляді

У = ИУ, (1.31)

не зводячи його попередньо до лінійного рівняння. Зазначимо, що при а > 0,

крім розв'язку у = гіу Ф 0 , рівняння Бернуллі має розв'язок у = 0.

Рівняння Ріккаті

Рівнянням Ріккаті називається рівняння вигляду

у'+Р{х)у

+ 0(х)у

=/(х), (1.32)

де Р(х), р(х), {(х) - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Якщо Р, £>, / - сталі числа, то це рівняння інтегрується відокрем-

ленням змінних:

ау

А >

}

/-Ру-д

Коли <2(х) - 0, рівняння (1.32) стас лінійним, а у випадку /(х) = 0 -

рівнянням Бернуллі. У загальному вигшДку рівняння (1.32) не інтегрується в

квадратурах.

. ^ .

Якщо відомий частинний розв'язок у

^.^(х) рівняння Ріккаті, то

заміною у = У\ +: рівняння Ріккаті зводиться дсрівняння Бернуллі.

Глава 1. Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння

повних диференціалах

Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

Р(х,у)сіх

+ д(х,у)ау = 0

(1.33)

називається рівнянням

повних диференціалах, якщо його ліва частина

повним диференціалом деякої функції

и(х,у),

тобто

Р(х,

у)ах + у) ау = йи{х, у) = ^-ах + ~ау,

(1.34)

ах

оу

а отже,

Р(х,у)=~,

Оіх,у)=^-.

(1.35)

ах

ау

Для того,

щоб

рівняння (1.33) було рівнянням

повних диференціа-

лах, необхідно

достатньо,

щоб

виконувалась умова

ду

дх

Отже,

якщо рівняння (1.33)

рівнянням

повних диференціалах,

то

воно може бути записане

вигляді

а"и(х,у)

= 0.

(1.37)

Загальний інтеграл цього рівняння

и(х,у)

= С,

(1.38)

де

С -

довільна стала.

Таким чином, задача інтегрування рівняння (1.33) зводиться

до

відшу-

кання функції

и(х, у),

такої,

що

для неї ліва частина рівняння

повним дифе-

ренціалом. Відшукання такої функції можна проводити двома способами.

Спосіб

Оскільки

має

місце співвідношення (1.34), матимемо

Р(х,у),

(1.39)

дх

^•=ОІХ,

(1.40)

ду

Інтегруючи (1.39)

по х,

отримаємо функцію и(х,у)

точністю

до

довільної сталої

ф(у) , яка

залежить

від у :

и(х, у)

] Р(х, у)ах +

у(у).

Для визначення функції

ф(у)

продиференціюємо отриману функцію

и{х,у)

по у і,

враховуючи (1.40), матимемо:

^ =

|- [/

Р(х, у) ах]+ чїу) = &х, У)

•

§1.

Диференціальні рівняння першого порядку

З цього рівняння визначаємо ф'(у) і, інтегруючи, знаходимо ф(_у), а

отже і и(х, у).

Спосіб 2. Скористаємось криволінійним інтегралом другого роду для

визначення функції

и(х,у),

для якої підінтегральний вираз є її повним ди-

ференціалом. У цьому випадку криволінійний інтеграл не залежить від шля-

ху інтегрування. Взявши криволінійний інтеграл від функції

Р{х,у)ах + д(х,у)ф

по будь-якому шляху від фіксованої точки (х

,у

) до точки із змінними

координатами

(х,у),

отримаємо шукану функцію и(х, у):

и(х,у)= \Р(х,у)ах + д(х,у)ау. (1.41)

Обчислення криволінійного інтеграла другого роду, як відомо, зво-

диться до обчислення визначеного інтеграла. При цьому за шлях інтегру-

вання зручніше вибрати ламану, складену з двох відрізків, паралельних осям

координат (рис. 1.1, рис. 1.2).

(х,у)

(х

,Уо)

(х.у

)

(х,у)

(х

,У

)

Рис.

1.1

Рис.

1.2

У такому випадку, згідно з шляхом інтегрування, представленим на

рис.

\Р(х,у)0х + О{х,у)сіу= \р(х,у

)ах+ \д(х,у)ау, (1.42)

(ї

,П)) -

о >о

або,

згідно з шляхом інтегрування, представленим на рис. 1.2,

<•*,»•)

\Р(х,у)йх + 0(х,у)ау=

\<2(х

,у)ау+

\Р(х,у)ах. (1.43)

Отже, функція и(х,у) обчислюється за формулою (1.41) з урахуван-

ням формули (1.42) або (1.43).

Диференціальні рівняння, звідні до рівнянь у повних диференціа-

лах. Метод інтегрувального множника

За певних умов множенням довільного рівняння

Глава 1. Диференціальні рівняння

Р(х,у)ах + д(х,у)ау = 0

(1-44)

на деякий множник \і(х,у) можна звести його до рівняння у повних дифе-

ренціалах. Такий множник називається інтегрувальним множником. Загаль-

ного методу знаходження функції р(дг, у) немає, але в деяких окремих випад-

ках цей пошук можна здійснити. Розглянемо методи знаходження інтегруваль-

ного множника ц(х, у).

Якщо д(дг, у) - інтегрувальний множник, то рівняння

цР(х,у)ах+ц(?(х,у)ау = 0

є рівнянням у повних диференціалах. Тоді повинна виконуватися умова

д(Рц) 9(0ц)

ду дх

тобто

звідки

дР „Зр дд д^і

ау ду ах ах

ду дх І дх

дР'

ду)

або

^аіпц ^д\п\і _дд дР

ду дх дх ду

(1.45)

Для знаходження

ц(лґ,у)

треба знайти який-небудь частинний роз-

в'язок рівняння (1.45) з частинними похідними відносно невідомої функції

ц(х,

у).

Рівняння (1.45) спрощується, якщо інтегрувальний множник залежить

від однієї змінної, наприклад, від х, тобто \і =

\і(х).

Тоді в рівнянні (1.45)

Зіпд

ду

= 0

і маємо

<Лпд _ 1 (дР дд

ах ~ д\ду дх У

(1.46)

з якого інтегруванням визначається спочатку

1п

ц, а потім і ц . Рівняння (1.46)

\(дР до)

має зміст лише у випадку, коли його права частина — — залежить

дуду дх )

лише від X .