Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Ряди
501
Продовження таблиці
2.1
1 2
Ознака Лейбніца
Ряд
Х(~')"
+
'
и
я
збігається, якщо
»=і
и, > м
2
> и-) > ... та Ііт и„ = 0 .
я
Ряди лейбніцевого
типу
Х
(
-
1г
'
= і-
Ч1-...+Н)-'
!
+
....
„_і п 2 3 п •
у(-І)"-
1
= 1
1
+
1
+
„_, 1
+
„Г|
2«-1 3 5 2/7-1
Це умовно збіжні ряди
Достатня ознака
збіжності
Якщо ряд Х|
м
я| збіжний, то збіжний і ряд Х
м
я •
я=1
л=І
Ряд Х«„
я=1
абсолютно збіжний
Якщо ряд Х|
и
п
| збіжний.
/1=1
Ряд X"»
л=1
умовно збіжний
Якщо ряд Х
м
я збіжний, а ряд XI
м
"! розбіжний.
и=і
/і=і
502
Глава 6. Довідковий матеріал
Таблиця 2.2 - Функціональні ряди. Степеневі ряди
Поняття або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1 2
Функціональний ряд Хм*)
п -а частинна сума ряду
$„(*)=І>* оо
Сума ряду
8(х)
= Ііт 5„(х)
п -й залишок ряду
г
п
(х)
=
8(х)-8
п
(х)
=
£«,(х)
Степеневий ряд
Х
а
«*
п
и=0
або
Х
а
« (*-*)" -
л=0
де а, а
й
, а
х
, а
2
, ••• - дійсні числа.
Радіус збіжності
степеневого ряду
Я = Ііт
а
"
або
/?= Ііт -====•
Ряд Тейлора
для функції /(х)
/(х)=£^;,
(в
>(х-
в
/
*=0
А
-
Ряд Маклорена
для функції /(х)
4 = 0
*
!
Формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена
ї-
, X X X
2!
п\
§2. Ряди
503
Продовження таблиці 2.2
.
X X X .
Л ч
и
X
51ПХ
= Х + +... + (-1) +...=
З!
5! 7! (2« + 1)!
оо
Х
2
"
+1
=
У(-1)"
, -°о<х<+°°,
я
£
0
(2/7
+ 1)!'
2
4 6 2л
]
Х
X X / і\
п
X
+ +... + (-1) + ...=
2!
4! 6! (2«)!
х
г
"
= У(-1)" ,
-оо<Х<+оо,
„=о (2я)!
,
т
, т(т-\)
2
/77(/77
-
1)...(/77
-/7
+ 1) „
(1+х) =\ + тх +
—
-'-х
1
+ ... +
—
— -х +...=
2!
/з!
=
і+
ут(т-Ц(т-2)...
(//7-/7
+ 1) _
1<х
^
77!
1+Х
1
л
=
1
1
= 1-х + х
2
-х
3
+... + (-1)"х"+...= Х(-1)"х", -1<х<1,
=
1
+ х + х
2
+ х
3
+ ... + х" + ...= У^х", -1<х<1,
1 х
п=0
1п(1
+ х) = х- — +
—
' х"+...= У
(
~
1)П
' х", -1<х<1
2 3 /7
и =
,
/7
Г
Ч
г
5 7 2л+І
агсїа х = х + + ... + (-1) +... =
3 5 7 2// +
1
оо
2л+1
,
-1<х<1,
«=0
2/7+1
1 х
3
1-3 х
5
1-3-...(2/7-1) х
2п+1
агс5іп
х = х + 1- 1-... н 1-... =
2 3 2-4 5 2-4-...-2/7 2/7+1
^,(2/7-1)!!
х
2и+|
= х + > - , -1<х< 1,
„=і
(2/7)!!
2// + 1
де (2,7-1)!!=1-3-...
(2/7-1),
(2/7)!!=2-4-...-2/7.
504
Глава 6. Довідковий матеріал
Продовження таблиці 2.2
1 2
Рівняння та функції Бесселя
Рівняння Бесселя
X
і
у* + ху' + (х
2
- V
2
) у = 0, V
-СОП5І.
Загальний розв'язок
а) V - не ціле число
б)
V - ціле число
а)
>>
= Су
у
(х) + С
2
/_
у
(х)
б)
у =
С\У(х)
+
С
2
К,(х)
Функції Бесселя першого
РОДУ
ГЮрЯДКу
V І -V
відповідно
/ (
Х
) = у Ш
*ТО
Г
(* + 1)Г(А+У + 1)'
- <-"' І)
к
%Г(к + \)Г(к-\ + \) '
Функція Бесселя другого
роду порядку V
К
ч
(х)
= у(х)\пх + х~
ч
£дх*
к = 0
Гамма-функція
Ейлера
Г(р)= \е-
х
х
р
^ах (р>0),
0
Пр + \) = рЦр),
для цілих значень р > 0
Г(р
+ ]) = р\
§2.
Ряди
505
Таблиця
2.3 -
Ряди Фур'є
Поняття
або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Ряд Фур'є
для періодичної функції
/(х)
з періодом
2л
—
+ Х(
а
л со$пх + Ь
п
зіппх)
,
1
к
де
а
0
=— і/(х)сіх,
л
-
1
-тс
1
к
а
п
=—
[Дх)со5яхах,
л
•'
-тс
1
к
Ь
п
=
—
1
Дх)зіппхсіх,
и = 1,2,...
л
-
1
-тс
а)
ряд
Фур'є
для
парної функції
Дх)
=
-^-+Хй„С05«Х,
2
п
=1
2
к
де
а
0
=
— [Дх)ох,
л
о
2
11
а„ = —
[
Д х) соз
пх
сіх
.
л
б)
ряд
Фур'є
для
непарної функції
Дх)
=
Х&
й
зіплх,
11=1
2
11
де
/З
я
=
—|Дх)зіпгахах
71
0
Ряд Фур'є
для періодичної функції
Дх)
з періодом
21
а
0
ЛГ
1
( кпх , . лях
"\
—
+
> а„ соз
\-Ь„ ЗІП
,
Де
а
0
= у
'
-/
1
'
г
лих
а
п
=-^]/(х)со5—ах,
1г,,,.
ЛЯХ , , „
Ь„
=-\
Дх)зш—— ох,
п =
\,2,...
1
-і '
506
Глава 6, Довідковий матеріал
Продовження таблиці 2.3
1
2
а) ряд Фур'є для парної функції
... . а
0
^ ппх
Дх) =
-^-+2,а„
соз—-,
2 '
Де а
0
=-\Дх)ах
,
' 0
2г,. . ппх ,
а
п
= -)Дх)со$—ах.
І
0
/
б) ряд Фур'є для непарної функції
^, . ппх
/00 =
2А
5Ш—
—,
2 г ппх
де /3„ = -Ч
Лх)5іп——ох
.
' 0 '
Ряд Фур'є в комплексній формі
а) для періодичної функції /(х)
з періодом 2к
Дх)= XV,
де С„
=-ї-}/(хК"'
ї
йх,
-тс
и = 0,±1,+2,...
б) для періодичної функції /(х)
з періодом 21
/00=
Хс„
е
~',
Де С„ =— \Дх)е
1
сіх,
21 І,
п = 0, ±1, +2,...
Інтеграл Фур'є:
/(х) = — ^сіа ^ Ді)со%а(і - х)ііі
71
0
а) якщо /(х) - парна,
/(*)=-/
71
0
|/(0
С08Ш
СІІ
и 0
созоосй'а
б) якщо /(х) - непарна,
/«=-?
11
0
|
/(1)5'таісіі
_ 0
8Іп ах сіа
§2.
Ряди
507
Продовження таблиці
2.3
1 2
в)
в
комплексній формі
А*)
=
^ї
+
\Яі)е'
м
Ле
іах
а-а
Перетворення Фур'є
а) косинус-перетворення
Р
с
•
(ос) = Л—
^
/ (1) соз
аі
сії (пряме),
V
я
0
]~{х)
= Л—
Г/^-(а)
соз
остача
(обернене).
б) синус-перетворення
Ї2
+
°°
Р
$
(ос)
=
-І— §
/(і)
зіп
аі
сії (пряме),
'
п
0
/(х) =[/^(оОзіп ссе
асх (обернене).
\к 1 •
в) загального вигляду
1
+
°°
^(а) =
-~=
\/(і)е~
іШ
сії
(пряме),
+~
/(х)
= -т=-
Г
/^(ос) е
,аї
ас* (обернене).
508
Глава 6. Довідковий матеріал
§3. Функції комплексної змінної
Таблиця 3.1 - Комплексні числа
Поняття або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
Комплексне число
Алгебраїчна форма
Тригонометрична форма
Показникова форма
2 = Х + Іу , /" = -1
2 = г(С05ф + / 5ІПф)
Модуль комплексного
числа
• = |--| = ^
+
У~
Головне значення
аргументу
ф=аг
8
:
агсІ§ —,
ДҐ>0,
(М(х,у)е 1, IV чверті)
х
V
гс + агсіе —,
дг>0,і>>0,
(М(х,у)е II чверп)
X
л + агсІ§ —, х<0,у<0, (М(х,у)є III чверті)
х
-, х = 0,у>>0,
2
--, д = 0,.к0
Дії над комплексними числами
Алгебраїчна
форма
1. 2, +2
2
= (х,
+7>,)
+ (х
2
+ /
>
',) = (х, +Х
2
)+І(у
1
+у
2
)
2
- -і ~-2 = (
х
і
+і
У\)-(х
2
+іу
2
)^{х
{
-х
2
) + і(у
х
-у
2
).
:
2
= (х, + />,) • (х
2
+ і у
2
) = (х
]
х
2
-у
]
у
2
)+і(х
1
у
2
+х
2
у
]
)
4.
*1 +'>'!
-2 _ (*1 + '>'|)(*2 ~'>2) _
с
2
+/>'
2
2
2
-2
2
(х
2
+;>
2
)(х
2
-;'.у
2
)
*і*2
+ У|>'
2 (
. х
2
у, -х
1
у
2
_
~> 2
Х
2
+ у
г
5.
2"
х
2
+уІ
пє N.
н раї
Тут г, =х, +/>,.
2
2
= Х
2
+ Іу
2
, 2 = Х + /у .
§3.
Функції комплексної змінної
509
Продовження таблиці 3.1
1 2
Тригонометрична
форма
1. 2, -2
2
=/-,Г,[С05(ф,
+ ф
2
) +
/ЗІп(ф,
+ф
2
)] •
2. — = —
[С0$(ф,
-ф
2
) + /5Іп(ф, -ф
2
)] , 2
2
*0 .
3. = (г(С08ф +
/5ІПф))"
= г"(СОЗЖр + ! ЗІПИф) .
л пГ пГ ( ф+2Ал; . . <о+2кк\ . --
Л.'-ІІг
=Щг соз- + / зіп-^ , к=0, и-1.
\ п п )
Тут 2, = /-[(СОЗ ф! + /5ІПф| ) ,
2
2
= /-
2
(С05 ф
2
+ / 8ІПф
2
), 2 =
А-(С05
ф+ / ЗІПф) .
Показникова
форма
1.
.-
Г
2
2
=,-,Г
2
Є'
(Ф|+Ф2)
.
2. ^ = И-
Є
<^2\
22
Ф0.
*-2
^2
3.
=,-"е""
|)
.
/(Ф+2Ьс)
4.
^7 = Ч/г"е " , к = 0,п-\ .
Тут 2, =
Г,е'
Фі
,
2,
=Г
2
Є'
Ф2
,
2 = Ге'
Ф
.
Таблиця 3.2 - Функції комплексної змінної
Основні елементарні функції
Степенева функція
і" =(* + /»", «є N
Показникова функція
е
:
=
е
х+І¥
= е
х
(соз .у + /зіп у)
Тригонометричні
функції
СОЗ
2= ,
ЗІП 2=
2 2/
ЗІП
2
СОЗ 2
1§2= ,
СІ§2
= -
С032
51П2
Гіперболічні
функції
є* + е~~ , е
:
-е~"
СП
2 = ,
ЗП
2 =
2 2
зпг , спг
(П
2 = , сіп 2 =
СП
2
ЗП
2
510
Глава 6. Довідковий матеріал
Продовження таблиці
3.2
Логарифмічна
функція
Ьпг = 1п|21 + /(агег + 2кп), 2*0,
де ІП2 = 1п| л| +
/аг§2
;
ЬП2
=
\п2
+
2кпі
Загальна степенева
функція
2 —Є , ЯЄ С
Загальна показникова
функція
а -е ,аеС
Обернені тригонометричні
функції
Агс5ІП2 = -/Ьп(/2±л/1-2
2
),
Агссозг =
-/Ьп(2±\У2
-
1
),
7,
1
+ /2
АгсІ§2 = -- Ьп-—
г
,
2 1-/2
Агссіе 2 = — Ьп -—- .
2 2 + і
Обернені гіперболічні
функції
АГ5П2 = Ьп(2±л/2
2
+1 ),
АгсК2
= Ьп(2±\/2
2
-1),
1 .
1
+ 2
Агіп 2 =
—
Ьп ,
2 1-2
л • 1 , 2 + 1
Агсіп 2 = — Ьп .
2 2-1
Таблиця 3.3 - Диференціювання функцій комплексної змінної
Поняття або
співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Похідна функції
^=/(2)
=
и{х,у) +
іу(х,у)
, ,, .. Ан>
м>
= / (г) = Ііт —
д^->о Аг
Умови Коші-Рімана
ди ду ди ду
дх ду ду дх
Формули для
обчислення похідної
у'( ) ди ^.ду ду .ди ди
.
ди
д\>
^.
д\>
дх дх ду ду дх ду ду дх