Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Індивідуальне завдання
2.
471
оо
Ґ
і
ч/7-І
П оо
2П±2
28.
У/
}
Х
• 29. £ *
зо.
X
~
2
и(и-1)
„Го (2« + 1)(2« + 2)
2/7-1
оо /
„
=1
2/7(2,7-1)
зі. Х(-і)"
1
1
— +
|х
,7 /7
+
1
Задача
5. [ гл.2, § 2,
приклад
3 ]
Визначити область збіжності заданих степеневих рядів.
Варіанти завдань
1-а)Х
10"
х"
я=1
П
.
. п\ х"
2.
а) У
„=І
77
."+1
3.а)Х
5"
+
'/7'
4-юХ^т;
«=і
л"
5.а)Х
(0,1)"
х
2
"
6-а)Х
5"х"
,7+і)
2
4г
п=\
(2,7
+ 1)
оо
я
7.а)Х^;
я=1
V,?
оо
?
п я
8.а)Х^;
я=і
V,/
я=1
л"
10.
а)Х
/
V" я
'
/7 ) X
11.а)Х*"і8
я=1
,7+1;
5"
/7
я=|
/7 2
б)
X
(х +
2)"
б)
X
«=1 /7
•
2"
л/З/7
+
1
2
(*-2)
я=1
б)
Х(-0
я
(*-4)
2л
,7-3"
б
)
X —
(Х-1)"
~
2"
Іп(,7+1)
6)1
(х-4)
2л-І
6)1
2,7-1
(х-2)"
«=і
„"
/7"
ІП
1
+
6)1
б)
X
(х +
5)"
~ (л+1)"
'
,7"(х-5)"
и=|
(3/7
+ 1)
10
Зп
я=|
"
(х
+
4)"
б)
х-
п=1
П л/,7
472
Глава 5. Типові розрахункові завдання
5"х
12-а) 1^=; б)Х(2 + х)"
я=1 6 \П „=\
13.
а) £
(л + 1)
2
х"
л=1 ^
- 2" х"
14. а) X ,
я=і
л/2и-1
~
у
»
15.
а) І
я
* ;
„ТІ
2"л/3л-1
оо -,Я Л
16.а)ХІ^-;
я=1 V/!
17.
а) X
2"
х"
„Ґ, 2л-1
..Зл
23.
а) £(-1)"
я=|
24. а) X
25.а)Х^х";
я!
б)Х
(х + 5)
2л-І
б)Х
„=і 2л-4"
- (2/1-1)"(х+1)"
ТЛ-1
я
я=І 2 /7
я=1 "
(х + 2)"
4
л
(х-2)"
Л=І
б) £(-')
18.
а) У— ;
„Ті 8"(я
2
+І)
оо Я
19.
а) І^-;
20.
а) X я! х" ;
н=|
оо Я
21.
а) У , .
з"-'л/з/7+7
22.а)Х(-іГ'ях"
; б) X
б)Х
я=1
«=і л/л-2"
б) Х(3я + 2)(х+1)"
я+і (* -5)"
(2я + 1)4"
б)Х
(х + 3)
2л
Я
=і (я+ 1)4"
я
5
(х + 2)
2
"
+І
б) X
„Ті (я + 1)!
(х-3)
2
б)Х
„ТІ (я+1)1П(/7+1)
(х-2)"
Зя+1 „ТІ (2/7-1)2"
б)Х
(х-1)
я-9"
2 л
б) X (-і)
„_і (х-2)
2л
2л
§2.
Індивідуальне завдання 2.
473
26.
а) У —; б) У (-1)"
+1
„Ті »! „Т,
(л+1)1п(л+1)
«=І
(2л)!
л
=і л-5
28.а)Х^;
б)
£
Н)
-І£^1.
ОО ОО / І \/І
«Ті
(Л+1)!
Я
Т| Л-
°° „"
)У £
„=і
3" 72л+
1
и=1 «
Задача 6. [ гл.2, §2, приклада 5-7]
Розкласти задану функцію /(х) у степеневий ряд Тейлора (Макло-
рена) в околі вказаної точки а . Знайти область збіжності отриманого ряду
до цієї функції.
Варіанти завдань
1.
/(х) = е-"\ а = 0. 2. Дх) = Іпх, а =
1
.
3.
Дх) = - , а = 2 . 4. Дх) = зіп
2
х, а = 0.
х
5.
Дх) = 3\ а = 0. 6. Дх) = е~
2
\ а = 1.
7.
Д
Х
) = —!— ,о = 3. 8. Дх) = соз
2
х, а = 0 .
2х + 5
9. Дх) = зіп — , а = 2, 10. Дх) = , о = 0.
4 3 + 4х
11.
Дх) = л/27-х , а = 0. 12. /(х) = (1-ф"
2ї
, а = 0.
13.
Дх) = зіп2х + 2хсоз2х, я = 0 . 14. Дх) = Іп(1 + х-2х
2
) , а = 0.
15.
/(*) = -!_
а
= 2. 16. Дх) = —— ,а = 3.
х-1 х
2
-6х + 5
17.
Дх) = —— , а = -4. 18. /(х) =
^
2
-
4і+1
, а = 2.
х
2
+Зх + 2
474
Глава 5, Типові розрахункові завдання
19.
/(*)
=
1
, а = 2.
л/х-ї
21.
Дх) = зпх,
о
= 0.
23.
Дх) =
-
7
20.
/(х) = зіп(х
2
+4х), а = -2 .
12 + х-х"
25.
Дх) = (х - 1)зп
х
, а = 0 . 26. Дх)
••
22.
Дх) = 2хсоз
2
-, а = 0.
2
2
3
а = 0 . 24. Дх) = соз — , а = 0.
6
+
х-х
, а = 0.
27.
/(х) = є
2
*-" , а = 1.
29.
Дх) = 1п(5х + 3), а =
1
28.
Дх) = зіпЗх-ЗхсозЗх, д = 0.
1
ЗО.
Дх)--
х
2
-
, д = 1.
31.
Дх) =
лІ]+х
2
, а = 0.
Задача
7. [ гл.2, § 2,
приклади
8 -
І і
]
Обчислити задані визначені інтеграли з точністю до
0,001,
викорис-
товуючи відповідні розклади елементарних функцій в степеневі ряди.
4.
|л/хзіпхдх.
ах
Варіанти завдань
2.
(соз— ах .
і
4
о
0,8 ,
, г
1
-
созх
.
5.
ах.
0.1
1п(1+х)
3.
І'"" -'ах.
о
0,1
о
0,5
о 4й7
о
0,1
І
1-е"
дх.
6. /є"
6
' дх .
ах
о
1,5
0^21
+х'
0,4 /
10.
| соз
5х
ч2
0
1
І 2
13./
дх
ол/8
+
х
0,5
дх.
11. І
о
.4.
]
°-.
4
1-
Є
-*/2
-дх.
1п|
1+-
о
0,2
, ^ (•
1-СОЗХ
, ,_ г
16.
/ — 17. |
зіпх
Дх.
0,4 І*
12.
І
Є ^
о
1 ,
15.
\е'
х
"ах
о
18.
\
Є
-^
СІХ.
ах.
о
§2.
Індивідуальне завдання 2.
475
0,5 0,5
22.
\е-^
2
ах.
о
0,5
25.
]іп(1 + л:
3
)бЛ:. 26. |7хсо5хах.
о
0,5
23.
|-Уі + х
л
дх .
о
0,2
О
0,5
О
0,25
28.
|агст§ — ох. 29. |іп(1 + л/х)ях .
о
зі-
і
А
І
1
+ х
4
0,5 • 2
81ПХ
19.
|х!п(1+х
2
) Л. 20. |іп(1+х
2
)ях. 21. \ ^—^-ах
24.}і^ох.
27
.
о
х
0,8
ЗО.
|х'°!>іпхах ,
Задача 8. [ гл.2, § 2,
приклад
12 ]
Знайти к перших членів розкладу в степеневий ряд розв'язку дифе-
ренціального рівняння при вказаних початкових умовах.
Варіанти завдань
1.
/
=
2х+со5>>,
Я0) = 0; к = 5.
2.
у'
= 2уу', у(0) = 0, /(0) = 1; к=4.
3.
у'=уе
х
-ху
г
, Д0) =
1,/(0)
=
/(0)=1;
к=6.
4.
у'
= х +
у
2
, у(0) = \; к = 3.
5. / = созх + х
2
, у(0) = 0; к = 3.
6. (\-х)у"+у = 0, _у(0) = /(0) = 1; *=3.
7. у'=2х
2
+у
3
, у(\) = \ ; * = 3.
8. /
1-х'
+ 1, Д0) = 1; к = 5.
9. у'+у = 0, >>(0) = 0,/(0) = І; к=4.
10.
/ = х
2
+е^ , у(0) = 0; к=4.
11.
і>'
= 25Іпх + ху , _у(0) = 0; к = 1.
12.
у' = хе
х
+2у
2
, у(0) = 0; А =5.
476
Глава 5. Типові розрахункові завдання
13.
у' = у'+у'
2
+у
3
+х, Я0) =
1,/(0)
= 2,/(0) = 0,5; к = 6.
14.
/
=
Яі)=і./0) =
0;
*=4.
15.
у' = у'
2
+ху, ^(0) = 4,/(0) = -2; * = 5.
16.
/ = х
2
+.у
2
, Я-0 = 2, /(-1) = 0,5;
А
=4 .
17.
у' = х
2
+ху + е~
х
, у(0) = 0; А=4.
18.
у' = 4у+2ху
2
-е
іх
, у(0) = 2; к=4.
19.
4х
2
у"+у = 0, у(\) = \, /(1) = 0,5; * = 4.
20.
у' = е
3х
+2ху
2
, Я0) = 1; *=4.
21.
у' = ху + х
2
+у
2
, у(0) = 1; *=4.
22. / = хзіпх-у
2
, _у(0) = 1; к=4.
23.
у"
= хуу', у(0) = 0 = /(0) = 1; к = 6.
24. у"-2у'+2у = 2х, у(0) = 2, /(0) = 0; к =4.
25.
/+у = созх, у(0) = 0,/(0) = 2; А=4.
26.
у'+4у =
5іпх,
>>(0) =
1,
/(0) = 1; к=4.
21.
у"-у'+у = х
3
+6, у{0) = 0, /(0) = 1; к = 4.
28.
/-7/+6у=5Іпх,
у(0) = 0,/(0) = 0;
А
=4.
29.
2/+5/ = 29созх, у(0) = 3, /(0) = 0;
А
=4.
30.
/-4/ =
6х
2
+1,
у(0) = 2, у'(0) = 3; *=4.
31.
у'=
)'С05х
+ 2со5у , >'(0) = 0; к=4.
Задача 9. [
г-7.2,
£ 3, приклади 1-5]
Розкласти в ряд Фур'є періодичну з періодом 2л функцію /(х), за-
дану на відрізку [-ті, л].
Варіанти завдань
[ 0, -л<х<0, [5-х, -л<х<0,
1-
/(х) = \ 2. /(х) = \
[4х-3,
0<х<л. 1 0, 0<х<л.
,
,
[2х-1,
-л<х<0,
3.
Дх)= созх , -л<х<л. 4. Дх) = і
0, 0<х<л.
§2.
Індивідуальне завдання 2.
477
5.
Дх)
=
7- /(*)
=
9. Дх)
=
11.
/(*)
=
13.
/(*)
=
15.
/(*)
=
17.
/(*)
=
19.
Дх)
=
21.
/(*)
=
23.
Дх)
=
25.
Дх)
=
27.
/(*)
=
29.
Дх)
31.
Дх)
О, -л<х<0,
X
2
,
0<Х<Л.
0, -л<х<0,
3-х, 0<Х<Л.
5ІПх|,
-Л<Х<Л.
-х,
-тх<х<0,
1, 0<Х<Л.
О, -л<х<0,
6х-5,
0<х<л.
О, -л<х<0,
3-8х, 0<х<л.
О, -тт<х<0,
7Х
X
4"
_
2"
О, -7І<Х<0,
--2,
0<х<л.
5
-х-1 , -л<х<0,
1, 0<Х<7Г.
зіпх, -л<х<0,
-, 0<х<л.
2
--3,
-л<х<0,
0<х<л.
О,
0<х<л.
О, -л<х<0,
10х-3,
0<х<л.
= 10-х, -л<х<л.
3-х, -л<х<0,
О, 0<х<л.
6. Дх)
8. Дх):
10.
Дх)-
12.
Дх)--
14.
Дх) =
16.
Дх) =
18.
Дх) =
20.
Дх) =
22.
Дх) =
24.
Дх) =
26.
Дх) =
-1,
-л<х<0,
х, 0 < х < л.
28.
Дх)
ЗО.
Дх)
ГЗх + 2, -л<х<0,
[ 0, 0<х<л.
:2х, -л<х<л.
=
5-х,
-Л<X<л.
7-Зх, -л<х<0,
О, 0<х<л.
х, -л<х<0,
2-х, 0<х<л.
7х-1,
-л<х<0,
О, 0<х<л.
0, -л<х<0,
4-9х, 0<х<л.
3 + х, -л<х<0,
2,
0<х<л.
зіпх, -л<х<0,
1, 0<х<л.
х, -л;<х<0,
4-х, 0<х<л.
= спх, -л<х<л.
1, -л<х<0,
х, 0 < х < л .
478
Глава
5.
Типові розрахункові завдання
§3. Індивідуальне завдання 3.
Функції комплексної змінної
Задача
1. [ гл.З, § 1,
приклад
4 ]
Для заданого комплексного числа знайти: модуль, головне значення
аргументу, тригонометричну
та
показникову форму. Зобразити
це
число точ-
кою
на
комплексній площині.
Варіанти завдань
1.
2
=
1
+
/л/3
.
2.
7
. 7л/3
2
2
3.
4.
г
= -1-/л/з .
5.
1
і
*~
У2~
+
л/2~'
6.
7.
г
= 4ї-і.
8.
2
= 2 +
5;
.
9.
10.
г--\
+
і.
11.
2
=
2-5/.
12
13.
2
= -!-( .
14.
2
= -2 + 5/.
15
16.
2
=
-2-2/.
17.
2
=
-2-5/.
18
19.
2
=
2л/з+2/.
20.
2
= -2 + 2/.
21
^
ї_
л/2
4І'
1
і_
4і
л/2
"2
' 2
г
1 л/з 1 л/з
22.
2 = -1 +
/л/3.
23.2 = — + / —. 24.2 = 1—.
2
2 2 2
1
л/3
25.
2 =
2л/3 -2/. 26.2=- +
/ —
.
27. г =
1-/л/з.
2
2
28.
2
=
л/з~
+
/.
29.
г =
-1
ч
іА.
30.
г
=
-1
+
і
іА.
2
2 2 2
31.2=^-і.
2
2
Задача
2. [
гл.З,
£ /,
приклади
8, 9 ]
Знайти
всі
корені заданого рівняння
та
зобразити
їх на
комплексній
площині.
§3.
Індивідуальне завдання 3.
479
Варіанти завдань
1.32г
5
+1=0. 2. 32г
5
-/ = 0. 3. 64г
6
+1=0.
4.
1252-
3
-1 = 0. 5. 625г
4
+1 = 0. 6. 27г
3
-/ = 0.
7. 27г
3
+1=0. 8. 256г
4
-1=0. 9. 256г
4
+1=0.
10.
343г
3
+1=0. 11. (г + 1)
4
+ 16 = 0. 12. (г + 2)
3
-8/ = 0.
13.
г
4
+16 = 0. 14. г
6
-729 = 0. 15. г
4
+16 = 0 .
16.
г
4
-16/ = 0. 17. г
6
+729 = 0. 18.
2
4
-16/
= 0.
19.
(г + 1)
3
-8 = 0. 20. (г+1)
3
+8 = 0. 21. г
4
+16/ = 0.
22.
(г-1)
4
—16/ = 0. 23. (г + 2)
4
-81 =0 . 24. (г + 1)
4
-16 = 0.
25.
г
6
-64і=0. 26. г
6
+64 = 0. 27. г
5
-32/ = 0.
28.
г
7
-128 = 0. 29. г
7
+128 = 0. 30. г
3
+/ = 0.
31.
8г
3
-/ = 0.
Задача 3. [ гл.З, § 5, приклад 8 ]
Знайти всі розклади в ряд Лорана заданої функції /(г) за степенями
2
- г
0
, в залежності від її особливих точок.
Варіанти завдань
1.Дг)=
-, г
0
= 1. 2. /(*) = -.г
0
=2.
(г + 2)(г-1)
2
0' + 3)(г-2)
2
3.
/(.-) = ! -,
г
0
=3.
4. Дг) = ! -,
г
0
=-1.
(г + 4)(г-3)
2
(2-2)(г
+ 1)
2
9. Дг) =
г
- -,
г
0
=3.
10. /(.-) =
:
- -,
г
0
=-1.
(г + 4)(г-3)
2
(2-2)(г
+ 1)
2
11.
Дг)=
г
, г
0
=-2. 12. Дг) = - -,
г
0
=-3.
(г-3)(г + 2)
2
0--1)(г + 3)
2
480
Глава 5, Типові розрахункові завдання
2 + 3 _7
2-2X2-3)'
Ч
~ 2 '
2 +
1
= 3.
2-4)(2 + 2) '
Ч
= 3.
2-2
ч
= -3
2 + 4)(2 + 2)'
ч
= -3
2-4
= 3.
2-5)(2-2)
'
Ч
= 3.
22-1
_ 5
2-2)(2-3)'
Ч
~ 2'
32-1
Ч
= 2.
2-3)(2 + 4) '
Ч
= 2.
Зг-2
Ч
= 2.
2-3)(2 + 4) '
Ч
= 2.
Зг + 2
_ 7
2-3)(2-4)'
ч
~ 2 '
Зг-4
ч
= 1.
2-2)(2 + 2) '
ч
= 1.
2(2 + 1)
. 2о=1.
И. /(2) =
16.
/(2) =
18.
Д2) =
20.
/00 =
22.
/00 =
24.
/00 =
26.
/(2) =
28.
/(2) =
30.
/00 =
2 + 2 _ 7
(2-2)(2-3)'
20
"2
2-1
(2 + 4)(2-3)
2-3
(2 + 2)(2 + 3)
2+4
(2 + 5)(2 + 2)
22+1
(2 + 2)(2 + 3)
32 +
1
. ^0
=
2.
5
,ч=-
2
-
.
-
7
о=-5.
^0
__7
(2 + 3)(2 + 4) '
70
~ 2
32 + 3
(2 + 3) (2-4)
32-3
(2 + 3)(2-4)
32 + 4
(2-3)(2 + 3)
Ч = 2.
••2.
> ^0
Задача 4. [ гл.З, § 4, приклади 8- 10, §6, приклади 4-6]
Обчислити задані інтеграли вздовж вказаних контурів, використову-
ючи:
а) інтегральну формулу Коші; б) лишки функцій.
Варіанти завдань
1.
Г * ,
С:\г-,\Л.
;.2(2
2
+4) ' ' 2
3.
йг, С :! я -
31
= -.
І5ЬІ2
' ' 2
5.
[—гіг,
С:|г-1І
= 3.
2.
\-^-сЬ,
С:\і\ = 2.
І 2
2
+
1
4.
|— С: 2-2/ =2
6.
{4^^,
С:|2-2| = 2
+4