Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2,

Застосування операційного числення

451

\2х" - х + 9х - у* - у - 3у = 0,

4-57. і . , . ,

[2х + х +7х->' + у -5_у = 0,

х(0) = х'(0) = 1, Х0) = /(0) = 0.

х'

- у' - 2х + 2у =

- 2(,

х + 2у + х = 0,

х(0) = х'(0) = Я0) = 0.

х'

= -у-2,

4.59. • у'= -х-2,

/ = -х-у, х(0) = -1, Х0) = 0, г(0) = 1.

4.60.

4.61.

X =У + 2,

у'

= Зх + 2 ,

г' = 3х + у, х(0) = 0, у(0) = 2(0) = \.

х'

= 2х - у + 2,

у'

= Х + 2,

2 = -Зх + у-2г, х(0) = у(0) = \, г(0) = 0.

ГЛАВА

5. ТИПОВІ РОЗРАХУНКОВІ ЗАВДАННЯ

§1.

Індивідуальне завдання

Диференціальні рівняння

Задача

1. [ гл. І, § 1,

приклади

З -14 ]

Розв'язати задані диференціальні рівняння першого порядку.

Варіанти завдань

а)

(\+х

)сіу

+ х(\ +

)ах

= 0; б) / = ^ + зіп^;

) У+УЩх

созх

г)

сіу =

(у

-у)сіх;

д) (\0ху-&у

+ \)сіх + (5х

-8х +

3)ф-

= 0.

а)

х+ь

сіу

= хах ;

в) у'-^

= х

;

д) Зх

ах

(х\"-1)0у

= 0.

а) / =

(2х-1)сі§

у;

в)

(х

1)/

+ 4ху

= 3;

+ у

б)

х-у

г)

ху'

у = у

\пх ;

б)

у - ху'

= —і--;

соз

г)

у'

у = хі[у ;

,2.2

д)

Зх

+ —

соз

У У )

2х

сіх

соз

—сіу

= 0 .

)

Л^ах

-^-аУ

= 0;

б) (х-у)ах+(х+у)Оу

= 0;

г) /+2>>

.у

е*;

соз

х соз у

в) {\-х)(у'+у)

= е-

;

д) (Зх

+4\;

)Л:+(8х>' + Є'

')^

= 0.

5.а) (\+е

)уау-е>сІх=0;

б) (>>

-2ху)йх+х

й(у

= 0

в) ху'-2у

= 2х

; г) у-'= у

созх

.уІ§х

;

Д)

гх-і-^-"

<&-

2.У--

= 0.

1ндиаід>альне завдання

453

6. а) (у

+3)сіс ус/у = 0 ; б) у

+х

у' = хуу';

в) / = 2х(х

+у)\ г) хусіу = (у

+х)ах;

д) \у+

\ах + (2ху+Щх)ау = 0.

\ соз х )

а) зіпусозхс/у ^озузіпхо^ ; б) ху -у = хі&—;

в)у'-у = е

; г) ху'+2у +

=0;

д) (Зх

у + 2і> + 3)ах + (х

+2х + 3.у

)а!у = 0.

8. а) / = (2 .у +1)Щх; б) ху' =

у-хе

у/х

;

в) ху' + у + хе

= 0;

Д)

х 1 1 .

+ — + — ах +

[УІХ

+У

У) \^

У У

]

г)

у'х в'ту = ху'-2у;

1 х

ау = 0.

ау

9. а) (зіп(х + у) +

5Іп(х

- у)) сіх

= 0;

соз у

г х + у

б) ху -у = (х + у)\п —; в) соз>>ах = (х + 2со5>>)зіп.уй[у;

г) (2х

у\пу-х)у'= у;

д) (зіп 2х - 2 соз(х + у)) сіх - 2 соз(х + у) сіу = 0.

10.

а) (1 +і?

дг

)>у'= е

; б) ху' =

.у

соз Іп —;

в) х

у' + ху +

= 0 :

л т '

У •

У X

Д)

2 X

+-Т

У І

сіх

ху

|^ = о.

11.

а) зіпхі§уах= 0 ; б) (у + ^ху)ах = хау :

зіпх

в) х'у + х = 4 у

+ Зу

; г) ху' - 2х

>[у =4у ;

454

Глава 5. Типові розрахункові завдання

12.

а) Зе

$тусіх + (\-е

)со%усіу; б) ху' = ^х

- у

+у;

усіх + 4\пу<

— СОЗ —

\Х

в) {2х + у)

сіу

- усіх+ 4\п у Оу ; г) ху

у' = х

+ у

;

д)

-^г-СОЗ

—

ДХ

•

+ 2у

13.

а) / =

в) / =

•

1п

Зх-у

^ (

д)

•\]х

сіх

сіу = 0.

б) у =

х(у'-е

у/х

);

г) (х +

1)(/

+ .у

) = -у ;

д>>

= 0.

х +у~

14.

а) 3

д> + хдх = 0;

в) (]-2ху)у' =

у(у-\)\

д^Л

Ь^д^о.

х~

у-

ху

15.

а) (со$(х-2_у) +

со5(х

+ 2.у))>>':

б) ху'+ х + у = 0;

т) у - ху - -у е ;

16.

а) /^хО + у

);

в) у = х(у'- хсозх);

г) ху'+у = -ху

СОЗХ

в) х(у'-у) = е

;

сіх х

+у

Д)

у—

сіу = 0 .

б) усіх +

(2у[ху-х)Д>

= 0:

г) ху'-2у[х

у - у;

ЇЇ^сіх-

ху+

д>

= 0 .

х" *

17.

а) сі§хсоз

_удх + зіп

хЩусіу - 0;

х + у-2_

б) /

2х-2

г) /

ху = хУ;

в) (х>>'-1)1пх - 2у;

» 1

Д)

хе" +

У_

18.

а) у'зіпу - усовх + 2созх ;

б) /:

2у-2

сіх сіу = 0.

х+у-2'

Індивідуальне завдання 1.

455

д)

19.

а)

в)

а,

20.

в'

21.

а)

в'

22.

в^

д)

23.

а;

в}

д)

24.

а)

б)

г)

д)

25.

(2е

-х)у'=\;

2х

г) у =— є + у ;

2 ХСО&у

•

) ,

5х + т-^-у $ту ау=0.

зіп у

_2х + у-3

х-\

;

ху' + (х + 1)у = Зх

е~

; г) х'у + х = -х

у ;

Юху- —

сіх +

51ПІ>

)

1 + 0 + /)^ =0;

б) /

+У

сіх-

+у

ау = 0.

х + &у-9

б) /

\0х-у-9

г) х(х-1)/ +у

=ху;

лг-2_у + 3 .

-2х + 2 '

г) 2х

уу' + 3х

+1 = 0;

/сі§х + у = 2 ;

(х + у

) сіу = усіх;

сіх+ (со$у + хе

]

')сіу = 0 .

е'

, сіх

сіу + — = 0; б) у

х соз у

(зіп

у + хс\%у)у' =

;

(у

+ созх)ах + (Зх>>

+е

)сіу = 0.

зіп у сіх +1§ у сіу = 0 ;

(х +

1)/

+у = X

+х

;

хе

сіх + (х уе

+І£-у)сіу = 0 .

(

\+е

3у

)хсіх =

3у

сіу

; б) (х-і')_у<ах-х

й(у = 0;

ху'-2у + х

= 0 ; г) у'+ хі[у =3у ;

(5ху

-х

)сіх + (5х

у-у)сіу = 0.

сіу

(зіп(2х + у)- зіп(2х - у)) сіх = ——;

зіпу

б) хсіу-усіх = -\х

+ У

сіх;

сіу, •

сіх (\ ^

--2х

ху + у

=(2х

+ху)у';

в) ху'+ у = зіп х ;

У 2

У +~ = -ху ;

(соз(х + _у") + зіпх)ах + 2усоз(х + у

) сіу = 0.

соз усіх =

2Л/І+Х

сіу +

со$у4\

+х

^/у ;

456

Глава 5. Типові розрахункові завдання

б) (х

-2ху)у' = ху - у

; в) (х

-1)у'-ху = х

-х ;

г) хах =

ау;

д) (х

-4ху-2>>

)ах + (.у

-4ху-2х

)ау = 0 .

26.

а)

у'4\-х

- соз

у = 0 ;

в) (1 -х

)

у'

+ ху = 1;

б) (2л[ху - у)ах + хау = 0 ;

г) у' + 2ху = 2х

;

Д)

ЗІП у + у8ІПХ + -

1 ї

ах + ХС05у-С05Х+- о> = 0.

27.

а) е

\%,уах- ^—оу ;

соз"

;

б) ху' + у| 1п^-1 |=0;

в) у'ст.§х- у = 2соз

хсІ§х ; г)у' +

у=——;

д) І \ + -е

х/у

\ах +

і \

/У

оу = 0.

28.

а) у' + зіп(х + у) = зіп(х-у); б) (у

- 2ху)ах - х

ау = 0;

в) х

у'

—

2ху + 3 ;

(х-у)ох + (х + >')а> _

+ у

г) у - у (.§х + у" созх = 0 :

29.

а) у'соз' у - соз(2х + у) = соз(2х - у);

, х+2у-3,

6)У

=-2-х~Г>

г) / + ^

-Ь£;

* соз" х

д) 2(3ху

+2х

)ох + 3(2х

у + у

)ау = 0.

в) у'-3х

у-х

е* =0;

ЗО.

а) З

УУ

б) 2х

у'= у(2х

- у

);

г) у - у + У соз х = 0 ;

в) ху' + у = 1пх +1;

д) (Зх

+ 6х

у + Зху

)ах + (2х

+ Зх

у)сіу = 0 .

31.а)

,/зТ7 +

ЛП^/ = 0; б) У=1

7У

~1;

9х - у - 8

Індивідуальне завдання 1.

457

ХУ

в) у' + 2ху = хе

; г) у' = Хл[у +

д) ху

ах + у(х

+у

)с1у = 0 .

Задача 2. [ гл. 1, § І, приклади 18-20]

Розв'язати задану геометричну задачу.

Варіанти завдань

У варіантах 1-3 знайти рівняння кривої, яка проходить через точку

А(х

,у

), якщо довжина відрізка півосі абсцис, що відтинається її дотич-

ною,

дорівнює квадрату абсциси точки дотику.

1 А

Л(1; -2). 3. 3).

; -1

У варіантах 4-6 знайти рівняння кривої, що проходить через точку

А(х

,у

), якщо відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної в кожній її точці в

п разів більше кутового коефіцієнта прямої, яка з'єднує цю точку з почат-

ком координат.

А(\; 4), п = 6.

Л(3; -1), л = 8.

6. Л(-8; -2), л = 3 .

У варіантах 7-9 знайти лінію, яка проходить через точку А

(х

, у

)

і має таку властивість: в кожній точці А(х,у) нормальний вектор АВ з кін-

цевою точкою на осі Оу має довжину а і утворює гострий кут з додатним

напрямком осі Оу .

(\5;

\),а = 25.

8. Л

(12; 2), а = 20.

9. А

(3; 5), а = 5.

У варіантах 10-12 знайти рівняння кривої, яка проходить через точку

А(х

,у

якщо її піддотична вдвічі більше абсциси точки дотику.

10.

А(\; 2). 11. А(-\; 3). 12. Л(4; -1).

У варіантах 13-15 знайти лінію, яка проходить через точку А(х

,у

якщо відрізок кожної її дотичної, що міститься між осями координат, ді-

литься в точці дотику в співвідношенні а:Ь (відраховуючи від осі Оу ).

13.

А{2; 2),а:Ь = \\\.

14.

Л(1; 2),а:Ь = 2:\.

15.

А(1; -\),а:Ь = \:3.

458

Глава 5. Типові розрахункові завдання

У варіантах 16

—

18 записати рівняння кривої, що проходить через

точку А(х

,у

) і має таку властивість: довжина перпендикуляра, який опу-

шений з початку координат на дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки

дотику.

16.

А(5; 3). 17. Л(-1;4). 18. Л(0; -5).

У варіантах 19-21 знайти рівняння кривої, яка проходить через по-

чаток координат, якщо середина відрізка її нормалі від довільної точки кри-

вої до осі Ох лежить на параболі ау

- 2рх .

19.

а = 2, р = 4. 20. а = 1, р =-. 21.а = 3, р = 2.

У варіантах 22 — 24 записати рівняння кривої, яка проходить через

точку А(х

,у

), якщо відомо, що відрізок, який відтинає дотична в довіль-

ній точці кривої на осі Оу , дорівнює півсумі координат точки дотику.

22.

Л(10;-1). 23. /4(12;-2). 24. Л(1;-9).

У варіантах 25 - 27 знайти лінію, яка проходить через точку

(х

,у

)

і мас таку властивість: в кожній її точці А(х,у) дотичний вектор

АВ з кінцевою точкою на осі Оу має проекцію на вісь Оу , що дорівнює а.

25.

(1; 4), д = 2 .

26.

(-1;

5), а = \ .

21.

(1; 6), а = 3 .

У варіантах 28 - 29 знайти рівняння кривої, що проходить через точ-

ку А(х

,у

), якщо площа криволінійної трапеції, яка обмежена дугою цієї

кривої, в п разів більше довжини відповідної дуги.

28.

ДО; 2), п = 2.

29. А(0; -1), п = 4.

Уваріантах ЗО-31 знайти лінію, яка проходить через точку А(х

,у

)

і мас таку властивість: відрізок дотичної між точкою дотику і віссю ординат

має сталу довжину а .

30.

Л(2;0),а = 2.

31.

Л(-1;4), а = 3.

Задача 3. [ гл. 1, §2, приклади 3-9]

Розв'язати задані диференціальні рівняння, що допускають зниження

порядку.

У п.а) знайти загальний розв'язок.

У п.б) розв'язати задачу Коші.

і;

Індивідуальне завдання

459

а)

= х +

5Іпх;

б)

а)

2ху'у"

= у'

-1;

б)

З.а)

• 2 ' і

+17 = 1;

б)

а)

, '3 '2

>у

+у =у ;

б)

а)

/хіпх

= у \

б)

а)

у"'+

іЛ§х

зіп2х

;

б)

а)

б)

а)

* 'і

_у + ху = 1;

б)

а)

(1+х

= 2х.у;

б)

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Варіанти завдань

б)

4//=/-1,

Я0) =

л/2,/(0)=

2л/2

.»

, ..'2

2у

-7=' Я0) = /(0) = 0.

л/.У

= /

; б)

уу'-у'

=у

, Я0) = 1,/(0) = 0.

= /+*; б)

2уу"-у'

+\=0,

Д0) =

2,/(0)

= 1.

2х//

= у'

+1 ; б)

у)

у"

= 5у'

, у(0) = 0, /(0) = 1.

х/

+ / = 1; б)// + 4 = 0, у(0) =

-1,/(0)

= -2.

х/

/-х-1=0;

б)

2уу"+у

-у'

=0, у(0) =

/(0)=1.

у = 2/

; б) уу' =

2ху'

у(2) = 2, /(2) = 0,5 .

у"

2ху'

=0; б) / +

-?—/

=0, ДО) = 0, /(0) =

1-у

х/

= /1п^; б) / = 2/, Я-1) =

1,/(-1)=1.

х/

+ / + х = 0; б) //+9 = 0, у(1) = 1,/(1) = 3.

= ^;

б)4

^т,Я0)

0,/(0)

= 1.

у/-2у/к7-/

=.0;

б) 7-1)/ = 2/

, у(0) = 2, /(0) = 2.

460

Глава 5, Типові розрахункові завдання

21.

а) /"сю 2х = 2/; б) у

у" = у

-16, у(0) = 2л/2, у'(0) = лІ2 .

22.

а)

ху"-у'-х5'т—

= 0; б) / = 505Їп

сову,

у(]) = —, _у'(1) = 5.

х 2

23.

а)

у'-2у'сі§х=5Іп

х; б) у' = 32/ , у(4) = 1, /(4) = 4 .

24.

а) у~Щх = 2у"; б) / + 325Іпусо-г

у = 0, у(0) = 0, у'(0) = 4.

25. а) / + / = 5іпх; б) у\х

+1) = 2х/, _у(0) = 1, у'(0) = 3.

26.

а)

(\+е

)у'

+ у' = 0; б) (1 + у)/ = /

+у\ у(0) = 0, /(0) = 1.

27.

а) / + 4/ = соз2х; б)

уу"-у'

\пу,

у(0) = /(0) = 1.

28.

а)

х\пху"=

у"; б) / =

+ /

, у(0) = 1, /(0) = -1.

29.

а)(1+х

)/+2х/=х

; б)

уу"-2уу'\пу

= у'

, у(0) =

0,/(0)

ЗО.а) у"-Л— =

(

-\);

б) (2у + 3)/-2/

=0,Я0) =

0,/(0)

= 3.

х -1

31.

а)у

+у"і£х

= —1—; б) 4/

+ у'

, у(0) =

1,/(0)

= 0.

созх

Задача 4. [ гл /, $ 2, приклади 12-14]

Знайти загальний розв'язок однорідної о диференціального рівняння

зі сталими коефіцієнтами.

Варіанти завдань

І.а)/-2/+2у = 0; б) 4у"' + 3у" = 0 .

а) / + б/+25у = 0; б) у" - у" - у'+ у = 0.

З.а) у' +

2у'+у

= 0; б) у" + 3/ + 2/ = 0 .

а)/ + 4у' = 0; б) у"-\3у" + 12/ = 0 .

а) 4у" + 4у'+ у = 0; б) у" - у" = 0 .

6. а) 9у"-6у' + у = 0; б)у" + у = 0.

а) у'-4у' + 4у = 0; б) у'"-у" = 0.

8. а) у"-6у'+10у = 0; б) у'-Зу'+Зу'-у = 0.

9. а) у"-10у' + 25у = 0 ; б) у"-4у" + Зу' = 0.

10.

а) 4у" + 8у'-5у = 0 ; б) Зу" +/=0.

11.

а) /+9/ = 0; б) 9у~-6у"+у' = 0.