Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Індивідуальне завдання
З
481
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
е-
+1
-(--•)
сі:,
С:
-ск,
С.Ь| = 1.
+
2:
-
сії, С:\:-і =1
:
2
+1
-сі:,
С:\:\ =
]
:'+2:
:'
+л'
Іп(-
+ 2)
--(-—2)
1п(е
+ г)
'—сі:
,
С
:
І
г
-21
= 3 .
ск,
С:
2
- = -
=
+
•
^ ^ сі.
, С
.
|
_
І
^
4
зіп.52
(
2
'+9)(г
+ 9)
С05(2
+ пі)
:(: + 2)
сі:
, С: \: =3.
-аг,
С: ЬІ = 5 ,
.-+16
сіН2г
10.
12.
14.
16.
18.
20.
-сі:,
С
:
І-1 = 4 . 22.
24.
26.
-&
, С:І2-4| = 3.28.
(^+4)
(
2
+ 3)
2.2
-сі:
, С:І2-2| = 2. 30.
(2^+2+1)
СЬ22 + 3
2
2
+9
СЬ22-3
сії, С:І2-2| = 3.
сі:,
С: 2
+
2/
=2.
2
і
+ А
\п{е
:
+3)
2
і
+1
1п(е"'-4)
сі:,
С:\
-"(г
2
-1)
1\\:
сі:,
С:
2(2^+9)
СІН:
сі:,
С:І2-2| = 2.
(2"+2)(2-1)
-сі:,
С:\
СШ2
У
(2^+2X2
+ 2)
-сі:,
С:\:\ =
:
СІП
2
-02, С:І2І=4.
(2-1)(2^-9)
^ А,С=|г-2|=2.
(2-2)(2
2
+9)
ІЬ32
(2
+
1)(2
2
+16)
сіп 22
-02,С:І2-3|=3.
(2
+
2)(2
2
+3)
02,С:І2-3|=3.
(2
+
1)(2^+5)
а2,С:|2-2| = 3.
(2-1)(2-2)
-сі:,
С: 2-2 =2
482
Глава 5. Типові розрахункові завдання
Задача 5. [ гч.З, § 6, приклад 10 ]
Обчислити задані невласні інтеграли, використовуючи лишки функцій.
Варіанти завдань
(х +
х)С05Х
х
4
+ 13х
2
+36
ах
, Г соз2х
3. І —
т-СІХ.
і(х
2
+1)
2
.
+
Г (Х
3
+
1)ЗІПХ
,
5.
І —; ах .
х
4
+5х
2
+4
''і
+ оо
м
+оо
"І
т
X
созх
х
4
+10х
2
+9
соз2х
-ах.
х'
-х +
1
X
-сіх
ХЗІП-
— ах.
х
2
+4
хсозх
-2х+10
созх
-сіх
І5
' / - 2 2
1 (х
2
+16)(х
2
+9)
А.
17
- і
|9
' 1
+ 00
21.
/
+°<
23.
|
созх
соз2х
' 2 11
х +
—
4]
ох
-ах .
хзіпх
(х
2
+1)
2
ах.
(х +
1)зіп 2х
х
2
+2х + 2
сіх.
1
(х +х)зіпх
х
4
+13х
2
+36
.
+
Г зіп2х
4.
І —
г-ддг.
-і
(х
2
+1)
2
ах
І
(х +Х)С05Х
х
4
+5х
2
+4
сіх.
8
.
[^™2£_
Д
.
и
- і
+ оо
+ оо
+ оо
20.
І
+ оо
22.
|
+ оо
24.
|
х
2
-х +
1
зіп2х
(х -х+ 1)"
-сіх .
хсоз-
-сіх.
х
А
+4
хзіпх
.2
•2х + 10
зіпх
-ах .
(х
2
+16)(х
2
+9)
сіх.
зіпх
(х-
+1)"
зіп2х
4
хсозх
-сіх.
-сіх .
(х-
+ 1)~
-сіх
(х + 1)соз2х
х
2
+2х + 2
сіх
§4.
Індивідуальне завдання
4.
483
2
5
.
7
/
5ІП
*
сіх. 26. 7
/
С
°
5
?
Х
сік.
_іх
4
+5х
2
+4
Л, х
4
+
5х
2
+ 4
27.
7-^.А.
28.7-^Ц-Л.
29.7-ЇІ^тА.
зо.
7-ф»1£.
Л
.
ХС05Х
Зі.
\^ах
х-
+1
§4.
Індивідуальне завдання
4.
Операційне числення
Задача
1. [ гл.4, § і, приклади 10-13]
Знайти оригінал
/(/) за
заданим зображенням
Р(р).
Варіанти завдань
і./=Х/0
= -гЛ ' 2.
/г(р)
=
-
т
Ц-.
р-
+р- +р р +р-
^,
6»
+
4
_, „ 1
3.
^(/?)
= ^ • 4. Р{р)
=
~^ .
(р
+
1)(/?
2
+4р
+
5)
/+8
5-
ПР)= 6.Р{р)
=
-^—
р(р
3
+1)
р
3
-і
7.
Р(р)
= -—\
. 8. Р(р)
=
- Ц-
рЧр-4) (р +
\)(р
2
+4р
+
5)
9.
П
Р
) = ^ • Ю. Р(р)= ,
3
^
+
2
9
.
(/?+1)(/>
2
-2/?
+
5)
р
3
+2р
2
+3р
Н.
^(р)
= ,
2
^
2
-. 12.
/-(р)=
2
2
.
(р
1
+ \)(р
г
+4)
р{Ґ+\У
\З.Р(р)=
9
3/?+
'
2
. 14. /ЗД
/7
2
+4р
+
5'
' (р
2
+4р
+
&)
2
484
Глава 5. Типові розрахункові завдання
Зо
е~
р/2
15.
Р(р)
=
у • \6. Г(р)
=
—з ;
(р + \)(р
2
+р +
\)
(р
2
+\)(р
2
+2)
П.
Р(р)
=
? .18. Г(р)
=
-2—.
(р + \)(р
2
+2р +
2) р
3
-1
19.
Р(р) =
2р
~
А
.
20.
Р(р)
(р-\){р
2
-Ар + 5)
' '
(/г+1Х/-2)'
21.
з
3
^
2
6
. 22. Р(
Р)
= Г
]
ч
р-2р
2
+5р
р(р- +
3/7
+
3)
23.^)=
2
^
3
.
24.ад
= ^ ,
(/7-1)(/7
2
-/7+1)
(Р+0(Р
2
+2/7 +
3)
25.
Р(р) = ,
3/?
. 26.
^(р)
= ^
(/7
2
+4/7
+ 8)
2
(р-2)(р
2
-4/7 + 5)
27.
/Ч/>)
= ?
.28. ^(р)
= .
(/7-2)(/7
2
+2/7
+ 3)
(р
_і
)(/
,2_
/
,
+
1)
29.
Д/7) = ^
. 30.
Р(р) - '
6
(/> +
2)(/7
2
-2/7 + 2)
(/7-|)(/7
2
+4/7
+ 5)
Р(р)
р
+Р+1
(/7-1)(/7
+ 2)
2
Задача 2.
[
гл. 4,
§
2, приклад
2 ]
Знайти розв'язок
х = х(і)
задачі Коші для заданого диференціального
рівняння другого порядку операційним методом.
Варіанти завдань
1.
х"-х'
=
г,
х(0)
=
0,х'(0)
= 1.
2.
х'+х'
=
5П/, х(0)
=
2, х'(0)
= 1.
3.
2х'-х'
=
зіпЗ/, х(0)
= 2,
х'(0)= 1
.
4.
х*-х'
=
соз/, х(0)
=
1, х'(0)
=
1
.
5.
х' +
4х'
+
29х
=
е^
2
', х(0)
=
0,х'(0)
=
1
.
6. х' + 2х'
=
е'+2, х(0)
=
1, х'(0)
= 2 .
7.
х* + х' +
х =
7е
2
', х(0)
=
1, х'(0)
= 4.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
485
8. х' + х = 6е"', х(0) = 3,х'(0) = 1.
9. х"-3х' + 2х = е', х(0) = 1, х'(0) =
1
.
10.
х' + 2х' = зіп^-, х(0) = -2, х'(0) = 4.
11.
х" + х'-2х = -2/-2, х(0) = 1, х'(0) = 1.
12.
х*+х' = /
2
+2/, х(0) = 0, х'(0) = -2 .
13. х'-9х =
$іп/-со5',
х(0) = -3, х'(0) = 2.
14.
х" + 3х'-10х = 3со53', х(0) = 3, х'(0) = -1.
15.
х"-х' = 4зіп/, х(0) = -1, х'(0) = -2.
16.
х" + х' + х = 1
2
+1, х(0) =
1,х'(0)
= -3.
17.
х" + 4х' + 4х = е
2
', х(0) = 1, х'(0) = 2.
18.
2х"+5х' = 29со5', х(0) =-1, х'(0) = 0 .
19.
х"
+ 4х' = 4е
21
, х(0) = 1, х'(0) = 2 .
20.
х" + 2х'+10х = 2£?~'со$3/, х(0) = 5, х'(0) =
1
.
21.
х" + х' = 2со5/, х(0) = 0, х'(0) =
1
.
22.
х" + 4х'+10х = 35іп', х(0) = -2, х'(0) = 3 .
23.
х"-2х'=е'(г
+/-3), х(0) = 2, х'(0) = 2.
24.
х" + 4х' = зіп2/, х(0) = 0,х'(0) = 1.
25.
х'-х'-6х = 2, х(0) =
1,х'(0)
= 0.
26.
х" - Зх' + 2х = 12е
3
', х(0) = 2, х'(0) = 6.
27.
х" + х'-2х = е"', х(0) =
-1,
х'(0) = 0.
28.
х'-2х'-3х = 2/, х(0) = -2, х'(0) = 3.
29.
х' + 4х = 85іп2/, х(0) = 3, х'(0) = -1.
30.
х' + х' = /со52/, х(0) = 0, х'(0) = 0.
31.
х'-3х' + 2х = 2е
3
', х(0) = 1, х'(0) = 3.
Задача 3. [ гл.4, § 2, приклад 3 ]
Знайти розв'язок х = х(і), у = у(() задачі Коші для заданої системи
диференціальних рівнянь операційним методом.
486
Глава 5. Типові розрахункові завдання
3.
5.
7.
13.
15.
17.
х + Зх = 0
у'
+ х + 2у = 0
х(0) = 0, Я0) = 1.
х'-2х = 0
у'
+ 2х + 4 у = 0
х(0) = 0, 7(0) = 1.
х'
+ 6х + 2у = 0
/-2х + 8>' = 0
х(0) = 1, 7(0) = 1.
]х' + 4х + 3у = 0
|/+Зх + 4>' = 0
х(0) = 0, 7(0) = 2 .
х'+х + 7 = 0
у'
+ 4х + у = 0
х(0) = 0, у(0) = 2 .
]х'-4х + 37 = 0
І7'-Зх-47 = 0
х(0) = 2, у(0) = \.
іх'+2х + у = 0
1/-х + 2.у = 0
х(0) = 0, у(0) = \.
\х'-4х + у = 0
І7'-4х-4у
= 0
х(0) = 1, у(0) = 0.
Гх'-5х = 0
Ь'
+ 2у = 0
х(0) = 1, Д0) = 0.
Варіанти завдань
х' + 5х + 2у = 0
6.
10.
12.
14.
16.
18.
у + 4 у = 0
х(0) = 1, у(0) = 0.
х'+6х + 2у = 0
у'
+ 2х + 2у = 0
х(0) = 1, 7(0) = 0.
х'
+ х + 2у = 0
у'
+ 2х + у = 0
х(0) = 1, у(0) = 0 .
х'-4х-3.у
= 0
/-Зх-4у = 0
х(0) = 2, у(0) = \.
х'
+ 2х + 8у = 0
/+2х + 2.у = 0
х(0) = 1, 7(0) = 0.
х'+4х + 9у = 0
7'-х + 47 = 0
х(0) = 0, ДО) = 2
х' + 2х- у = 0
у'
+ х + 2у = 0
х(0) = 1, Д0)= 1.
х'+2х
= 0
у'
+ 3у = 0
х(0) = 0, >'(0) =
1
.
х'-7х = 0
7'-Зх -27 = 0
х(0) = 1, 7(0)=
1
.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
487
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
\х'+2х + 2у = 0
1/+3х +
3>>
= 0
х(0) = 0, у«0)
=
1.
\х'-3х-8у = 0
\у' + 2х-3у = 0
х(0) = 1, у(0) = 1.
Гх'+бх-у = 0
\у' + 4х + 6у = 0
х(0)= 0, у(0) = І.
\х'-7х + 9у = 0
\у'-х-7у = 0
х(0) = 1, яо) = о.
|х'-5х + 16у = 0
1/-Х-5.У
= 0
х(0) = 1, у(0)=1 -
\х'-8х + у = 0
1/-х-8.у
= 0
х(0) = 0, у(0) = \.
|х'-3х-4у = 0
|/-4х + 3;у = 0
х(0) = 1, у(0) = \.
20.
22.
24.
26.
28.
ЗО.
х'+3х+3у = 0
/-7х-7у = 0
х(0) = 1, у(0) = 0.
|х'-5х +
8>>
= 0
[у'-2х-5у = 0
х(0) = 1, у(0\=0.
х'+7х-9у = 0
у'+х
+ 7у = 0
*(0) = 1, у(0) -
1
.
х'+5х-16у = 0
у'
+ х + 5у = 0
х(0) = 0, у(0) = \
Гх'-7х-4.у = 0
\у' + Лх-1у = 0
х(0) = 1, у(0) = 0.
\х'-9х-у = 0
}/+х-9.у
= 0
х(0) = 1, у(0) = 0.
ГЛАВА 6. ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
§1.
Диференціальні рівняння
Таблиця І.
І
- Диференціальні рівняння першого порядку
Назва
диференціального рівняння
та його вигляд
Підстановка
або
метод розв'язання
І
2
Рівняння з відокремленими
змінними
/
І
(х)сіх = /\(у)с/у
\^(х)ах = \і
2
(у)ау
+
С
Рівняння з відокремлюваними
змінними
\^
х)
сІх=\^
{у)
ау
+
С,
1
/
2
М
1
ЕхіУ)
/
2
(дг)*0,
£,(>>)
*0
Рівняння, звідні до рівнянь 3
відокремлюваними змінними
а) у'
=
/(ах
+ Ьу +
с);
б) / = /
(а
І
х
+
Ь
]У +
с
і
\
уа
2
х
+
Ь
2
у
+
с
2
]
а, Ь,
де А = ' ' = 0
а
2
Ь
2
а) 2 =
ах + Ьу +
с
;
б) 2
=
а
х
х + А,у
Рівняння, однорідні відносно
змінних
М(х,у)ах+ Н(х,у)ау = 0,
де
М(Хх,Ху)
=
Х
к
М(х,у),
М(кх,Ху)
=
Х
к
ії(х,у)
або
у'
=
/(х,у),
де
/(кх,Ху) = Х°/(х,у) = Ях,у)
у
=
их, V = и(х)
§1.
Диференціальні рівняння
489
Продовження таблиці
1.1
1
2
Рівняння, звідні
до
рівнянь,
однорідних відносно змінних
У'- А
А
\
Х+
Ь\у+с
1
л
[а
2
х
+ Ь
2
у
+
с
2
)'
а,
Ь,
де
А = '
1
* 0
а
2
Ь
2
х
= Х| +
И,
у = у
]
+ к ,
де
к і к
—
корені системи рівнянь
|Я|/7 + /3
|
£
+ С
1
=0,
\а
2
И +
Ь
2
к + с
2
= 0.
Лінійні рівняння
Рівняння
лінійні однорідні:
у'+Р(х)у
= 0
Є рівнянням
з
відокремлюваними
змінними.
Загальний розв'язок:
Рівняння
лінійні неоднорідні:
у+Р(х)у
= /(х),
Дх)*0
1.
Підстановка Бернуллі:
у
= «V, и = и(х), V = У(Х)
2.
Метод варіації довільної сталої (метод
Лагранжа).
Загальний розв'язок відшукується
у вигляді:
у = С (х)е '
3.
Метод інтегрувального множника
(метод Ейлера).
Обидві частини рівняння множаться
на
інтегрувальний множник:
ц(х)
=
^
/,(0А
Рівняння Бернуллі
у'+Р(х)у
=
у
а
/(х),
аєК
або
у
= иу, и = и(х),
V
= у(х)
Рівняння Ріккаті
у+Р(х)у
+ 0іх)у
2
=/(х).
Якщо
1) Р,
<2,
/ -
сталі;
2)
Є(*) = 0;
3)
/(*) = 0;
4) відомий частинний
розв'язок
у
і
= У](х)
1)
є
рівнянням
з
відокремлюваними
змінними;
2)
є
лінійним рівнянням;
3)
є
рівнянням Бернуллі;
4) зводиться
до
рівняння Бернуллі
підстановкою
у = у
х
+ 2
490
Глава
6.
Довідковий матеріал
Продовження таблиці
1.1
1
2
Рівняння
у
повних диференціалах
Р(х,у)ах
+ (2(х,у)ау = 0,
де Р(х,у)ах
+ (2(х,у)ау = а'и,
тобто рівняння вигляду
йм
= 0.
Критерій того,
що
рівняння
є
рівнянням
у
повних диференціалах
дР
_ д(3
ду
дх
Загальний інтеграл
и(х,у)
= С
Рівняння, звідні
до
рівнянь
у
повних диференціалах
Р(х,у)іЬ
+
О.(х,у)<іу
= 0,
дР
^ д(0
ду
дх
Обидві частини рівняння множаться
на інтегрувальний множник
ц(х, у)
..
і (дР дд)
(2{ду
дх )
то
Ц = и,(х)
знаходиться
з
рівняння
ах
то
р = р(у)
знаходиться
з
рівняння
ау
Рівняння, нерозв'язні відносно
похідної
а)
у =
/(х,у);
б)
х =
Ду,у')
а)
У'
=
Р;
б)
у'
=
р
Рівняння Лагранжа
У
=
*ф(/)
+ \|Ч/)
Рівняння Клеро
у
=
ху' + Ч(у')
у'
= р
у'
= р