Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

Диференціальні рівняння

491

Таблиця 1.2 - Диференціальні рівняння вищих порядків

Назва

диференціального рівняння

та його вигляд

Підстановка

або

метод розв'язання

Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку

и)

=Дх)

Загальний розв'язок отримується

п -кратним послідовним інтегруванням

Р{х,у

{п)

)

= 0

Рівняння зводиться до вигляду

а)

п)

=Дх)

або

б) х = /(/">)

а) попередній випадок

б) у

п)

=і

з.

/Чх,У*\/*

\...,У

п)

)

= о

(к)

= Р(х)

Р(у,у',у',...,/

п)

) = 0

у'

= р(у)

Г(х,у',у\...,у

{п)

) = 0,

де

Г(х,/,/,...,У"))

^-Ф(х,^/,...,У

)

ах

Зводиться до рівняння, порядок якого на

одиницю нижче

Ф(х,у>,У,...,У

ч)

)

= С

6. Рівняння однорідне відносно

функції та її похідних

Г(х,у,у',...У

н)

)

= 0,

де Р{х,іу,1у',...,іу

(п)

) =

= І

Р(х,у,у',...,у

{п)

)

у = е'

або

у'

= гу

Лінійні диференціальні рівняння п -го порядку

Однорідні рівняння

п)

+ а,

(*Ху

(

"-"

+... + а„_, (*)/ + а„ (х) ^ = 0

Загальний розв'язок

У = Іс,у,(х),

і=\

де у\(х),у

(х),...,у

(х) -

фундаментальна система

розв'язків цього рівняння,

С,, /' =

п - довільні сталі

492

Глава

Довідковий матеріал

Продовження таблиці

1.2

Неоднорідні рівняння

я)

+ в, (х)у

(

+... +

а„_, (х)/

+ а„ (х)у

Дх)

Загальний розв'язок

У(х)

= у

(х)

у(х),

де

(х) -

загальний розв'я-

зок відповідного однорідно-

го диференціального рівнян-

ня,

а у(х) -

деякий частин-

ний розв'язок неоднорідного

рівняння

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

-го

порядку

зі

сталими коефіцієнтами

Диференціальне

рівняння

/»>

ау»-'>+...+ая_у+а„,

= о

Характеристичне

рівняння

к"

+0,*"-'

+... + а

^к+а

= 0

Корені характерис-

тичного рівняння

к\, к

,...,к„

Різновиди

коренів

дійсний корінь

кратності

/С|

ос+

;'Р

комплексно-

спряжені корені кратності

Лінійно незалежні

розв'язки

\хе

...„х^'е*

соз|1х,

хе

софх,софх,

/"чт^,

хе

$\ф,

..,х

ш:

5іп|ії.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку

зі

сталими коефіцієнтами

Диференціальне

рівняння

у"'

ру'+с/у

= 0

Характеристичне

рівняння

+ рк + д = 0

Корені характерис-

тичного рівняння

]

Різновиди коренів

{

Фк

х2

=а±/(3

Фундаментальна

система розв'язків

=е

кх

= ХЄ

=Є°

С05(3х

=Є

аї

8ІПрХ

Загальний розв'язок

у = С

кіХ

+С

е<

іХ

= (С, +

х)е

= (С

софх

зіпРх)е

са

§1.

Диференціальні рівняння

493

Продовження

таблиці

1.2

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

-го

порядку

зі

сталими коефіцієнтами

Диференціальне

рівняння

(а)

+...

а„_

у'

а„у

Ах)

Відповідне

однорідне рівняння

у<»

-»+...

_У

у = 0

Характеристичне

рівняння

к" +а\к"~

+... +

]

к+а

= 0

Корені характерис-

тичного рівняння

к\,

,•

•

• ,к

Вигляд правої

частини

І.

/(х) = 0^(х)е

, О^(х) -

многочлен степеня

Зв'язок

з коренями

характеристичного

рівняння

а не є

коренем

характеристичного

рівняння

корінь

характеристичного

рівняння кратності

Вигляд частинного

розв'язку

РЛФ

(х)

—

много

у=х>Р,(х)е

шен степеня

Вигляд правої

частини

II.

Дх) = є™[Є,,

(х)соф+Р,

(х)5Іпрх],

<2^ (х), Р^ (х) - МНОГОЧЛеНИ СТепенІВ

Х|,5

тах(5

]

)

Зв'язок

а±;'Р

з коренями

характеристичного

рівняння

а +

/(3

не є

коренем

характеристичного

рівняння

а ± /р -

корені

характеристичного

рівняння кратності

Вигляд частинного

розв'язку

}

=С'

[«,(*)С05|1Г+

1%(^)51П(ІГ]

г/,

(Х),У,

(х) - мно

= X

[11,(ДГ)С05Р.Г

г)51П|1дг]

гочлени степеня

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

другого порядку

зі

сталими коефіцієнтами

Диференціальне

рівняння

у'+РУ+ЯУ

= Д*)

Відповідне

однорідне рівняння

у"+ру'+ЯУ

= 0

Характеристич не

рівняння

+рк

д = 0

494

Глава

Довідковий матеріал

Продовження таблиці

1 2

Корені характерис-

тичного рівняння

Вигляд правої

частини

І.

Дх) =

(х)е

ах

бДх) ~

многочлен степеня

Зв'язок

з коренями

характеристичного

рівняння

а не с

коре-

нем характе-

ристичного

рівняння

£,,а

ї к

а -

однократ-

ний корінь

характеристич-

ного рівняння

А|,а

або

а*

к^а = к

а -

двократний

корінь характе-

ристичного

рівняння

а = к\

=к

Вигляд частинного

розв'язку

Р,{х)е

ах

Л(

у=хР,(х)е

х)

многочлен степ

у=х

Р,(х)е

еня

Вигляд правої

частини

II.

Дх) =

(Х)С05|ЗХ

(х)8іпрх],

(х), Р

(х) -

МНОГОЧЛеНИ СТеПеНІВ 5|,5

тах(5,,5

)

= *

Зв'язок

а±ф

з коренями

характеристичного

рівняння

± /р не є

коренем

характеристичного

рівняння

а±/р^А,

*А

± /р -

корені

характеристичного

рівняння

а +

ф = к

/р

Вигляд частинного

розв'язку

Є°"[и

(л-)С05рЛГ

+ У,

(л)51ПрДг]

(х),

V, (х)

- МНО

у =

хе

[«,(д-)соь|іі

і',(дг)5іпрдг]

очлени степеня

Неоднорідне рівняння Ейлера

х"у

{

]

х"-у-

+... +

а„_

ху'

а„у

= Дх), х

* 0

х = е',

якщо

X > 0,

Підстановка

х = е~',

якщо

х < 0.

Однорідне рівняння Ейлера

х"у

(п)

+а

]

х"-

(

])

+... +

}

ху'+а

= 0

= е',

якщо X

> 0, .

Підстановка

або у =

, х > 0.

х = е~',

якщо

х < 0

§1.

Диференціальні рівняння

495

Таблиця 1.3 - Системи диференціальних рівнянь

Лінійні системи диференціальних рівнянь

Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь

Вигляд системи

сіх

—г- =

Я|і(/)х,

+а

(і)х

+ ... +

]п

(і)х„,

сії

^- = а

(()х

]

+а

(і)х

+...+

2п

0)х„,

аі

Вигляд системи

= а„\ (І)х

+ а

п2

(І)х

+... + а

(1)х„

. аі

Матрична форма запису

де А(і) =

Х(/) =

СІ

Чі(')

'*і('Г

(і)

- = А(/):

' і

(/)

...

(і)...

п2

(і)...

сіХ

' сії "

40,

(х[(0

х'

(і)

/ло,

Фундаментальна система

розв'язків

(і)

(х\

к)

(і),

х[

\і),...,

(к

\і)У

,к = \7п~,

де Х

(і) - лінійно незалежні розв'язки

системи

Структура

загального розв'язку

однорідної системи

х(0 =

£с

(0,

де Х

(і) - фундаментальна система розв'яз-

ків системи, С

- довільні сталі, к = \,п

496

Глава

Довідковий матеріал

Продовження таблиці

1.3

Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

Вигляд системи

СІХ

—— =

іі

(і)х

(0*2

+--

а\„(І)х„ +/,(/),

сії

сіх

—

- =

2Х

(і)х

,(і)х

+...

2п

(і)х„ +/,(/).

аі

ск

сії

= а„і(І)х

]

+а„

(1)х

+...

(1)х

+/„(/),

Матрична форма запису

сіХ

сії

= А(/)Х(/)

+ Р(/)

де

Р(0 =

(/.(0,/

(0,...,/

(0)

Відповідна однорідна

система

ЛХ

А(/)Х(/)

Структура

загального розв'язку

неоднорідної системи

х(/) =

(/)

х(/),

де

(/) -

загальний розв'язок відповідної

однорідної системи,

Х(/)

—

частинний

розв'язок заданої неоднорідної системи

Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами

Вигляд системи

—

АХ(/),

сії

де

«11

\2 •••

Оті

••• "2л

а„|

п2

... а

х(0

дХ

дї

Диференціальні рівняння

497

Продовження таблиці 1.3

Метод Ейлера

Характеристичне рівняння

аеЦА-/\.Е) = 0

Корені характеристичного

рівняння

,...,Х

Загальний розв'язок

однорідної системи

Формування

(Хк)

{1)

а) X - дійсний корінь

кратності 1

іХ)

(!)

а)

У?

де

б) X - комплексний

корінь кратності 1

Х^

(0 =

КеХ

,Л

'(0,

Х)

ІтХ

а)

в) X - корінь кратності

г>2

(Х)

(1):

и\

])

+а\

...

а\'

)

(

]

а[

+а

(2)

+ ...

+аЦЬ^

Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами

сГХ

Вигляд системи

АХ(/)+Р(0.

де А - матриця коефіцієнтів а, системи,

- сталі, і, і = 1, п,

Х(0 =

(х,(0,

(/),...,х„ (О)

х, (/) - шукані функції, / = 1, п

р(0

= (/.(0,/

(0,-,/

(0)

(

(і) - задані функції, і = ], п

498

Глава

Довідковий матеріал

Продовження таблиці

1.3

Загальний розв'язок

неоднорідної системи

Х(/)

= Х

(/) +

Х(0,

де

(/) -

загальний розв'язок відповідної

однорідної системи

= А Х(7),

сії

Х(і)

деякий частинний розв'язок неодно-

рідної системи

Метод підбору частинного розв'язку

Вигляд функцій

/, (/)

правої частини

(Р(і)со5$1

+ 0(1)$іп$1)е

Вигляд частинного розв'язку (аналогічно

неоднорідному диференціальному

рівнянню

п -го

порядку

таблиця

1.2)

§2.

Ряди

499

§2. Ряди

Таблиця 2.1- Числові ряди

Поняття або

співвідношення,

що визначаються

Формула

1 2

Числовий ряд

м, +и

+... + и„ + ... = У^и*

п -а частинна сума ряду

к=\

Ряд збіжний

Ііт 5„ = 5

Необхідна умова

збіжності ряду

Якщо ряд 2^

п збігається, то Ііт и

—

0 .

»=і

Достатня умова

розбіжності ряду

Ііт и

Геометричний ряд

а + ац + ац

+... + ац"~

+ ... - X ,

я=1

ряд збігається при

< 1, 5 = ° ,

1-а

ряд розбігається при | д

Гармонічний ряд

,11 1 ^ 1

1 +

—

+ - + ...

+—+...=

2 3 п

п=і

ряд розбіжний

Узагальнений

гармонічний ряд

я=1

ряд збіжний при р > 1,

ряд розбіжний при р <

Знакододатний ряд

Х"„,

и„ >0

я=І

500

Глава 6. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 2.1

1 2

Ознаки порівняння для рядів

£и

(1), ХМ2), «„>0,у„>0

л=1

а) и„ <У„, Уя

якщо ряд (2) збіжний, то ряд (1) збіжний,

якщо ряд (1) розбіжний, то ряд (2) розбіжний.

б) 3 Ііт — = / Ф 0 , то обидва ряди збіжні, або обидва розбіжні.

л^~

V,,

Достатні ознаки збіжності для ряду Х

л=1

Ознака Даламбера

3 Ііт

+І

=/,

л->~

и„

1 < \ - ряд збіжний,

> 1 - ряд розбіжний,

= 1 - потрібне додаткове дослідження.

Радикальна ознака Коші

Ііт

ц/І7^~

= /,

л—><*>

- ряд збіжний,

> 1 - ряд розбіжний,

—

потрібне додаткове дослідження.

Інтегральна ознака Коші

И|

>и

^ и

> ...

3 функція /(х) така, що /(п) = и„, У

я.

Тоді інтеграл

|/(Х)ЙХ

збіжний (або розбіж-

ний) одночасно з заданим рядом.

Знакозмінний ряд

л=1

де и

- задані числа, як додатні, так і від'ємні.

Знакопочережний ряд

и,-и

+щ -... +

(-1)"

гг

+... =

£(-1)"

+І

и„,

и„>0

н=1