Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§5.
Основні формули диференціального числення
521
Продовження таблиці
5.З
1 2
Залишковий член
у
формі
Лагранжа
Я
І1
(х)
=
І
7
—^-(х-аГ\
(л
+ 1)!
р
= а,+ М г -
пЛ
Д<ЦЧхЛ.
Залишковий член
у
формі
Пеано
Я„(х)
=
о((х-а)"),
х
—>
а
Формула Маклорена
(Тейлора
при а = 0 )
к=0
К
-
Основні розклади функцій
за
формулою Маклорена
"
х*
к=о
к
-
2к-1
к=\
х= У (-])*-'
—
+о(х
2п
);
со5х=
У(-1)*^^+о(х
2
"
+І
);
•
•
(2к-\)\
Пк\\
к _Х ,
„,„2/1+1,
*=о
І2к)\
1п(1
+ х)=Х(-0"
Ч
^ +
о(х");
к = \
к
(1
+
х)"=1
+
І
м(и
-
1)
-
(д
-*
+
'У +
о(х").
к=\
к
*
Екстремуми функцій
Необхідна умова локального екстремуму функції
Дх) в
точці
х
0
Достатні умови локального екстремуму
в
точці
х
0
/ правило.
/
(х)
змінює знак
з "+" на "-" в
околі 0(х
о
,5)
=> Дх
0
) = у
тт
;
/
(х)
змінює знак
з "-" на "+" в
околі О(х
0
,8)
=> Дх
0
) = у
тт
;
/'(х)
не
змінює знаку
в
околі О(х
0
,8)
=>
Дх
0
)*у
тхі
, Дх
0
)*у„
П правило.
/\х
0
)<0
=» Дх
0
) =
Утт
;
/\х
0
)>о
=> Дх„ ) =
>>„,,„;
/'(^о)-^
=>
потрібне додаткове дослідження.
522
Глава
6.
Довідковий матеріал
§6.
Основні формули інтегрального числення
І. Невизначений інтеграл
Основна таблиця інтегралів
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
а+1
х
а
Ох=-—
+ С,(а*-1),
Гіах = х
+ С,
а+1
СІХ
: 1п\х\ +
С
.
Іп а
е
х
сіх
=
е
х
+
С .
соз х
сіх
=
зіп
х
+ С.
зіп х ах = -соз
х
+ С .
ах
соз
2
х
ах
зіп
2
х
ах
•
= 1§х +
С.
І1
-сІ§,х + С .
= агсзіп х
+
С.
сіх
. х _
,
=
агсзіп —
+ С.
л/а
2
-х
2
ах
—
=
агсІ§
х + С.
1
+
х~
ах 1 х ^,
—
- =
-агстг-
+ С.
д^
+
дг-
а а
ах
2
2 і.
а
-х ^а
1п
а
+ х
а-х
+
С .
§6.
Основні формули інтегрального числення
523
14.
Г-*_
-\/х ±Д
15.
Чх
2
±а
2
,6.^
= 1п
Іп
х +
\х ±д
+ С .
=л/х
2
±д
2
+С.
17./
51ПХ
сіх
СО$Х
ІП
Ї8
+ с.
X 71 ^
—+
—
2 4
18. |г§ х дх = -1п| со5х| + С .
19.
|сі£ х Дх = Іп І зіп х
І
+ С .
20.
|$Ь х Дх = сЬ х + С.
21.
|сН х Дх = зЬ
Х
+ С .
г ях
22.
|
23.
|
сЬ
2
х
дх
5Ь
2
Х
іЬх + С.
= -сш х + С.
Заміна змінної
_[/(х)Дх =
X = ф(0
ох = ф'(0
д>
=
//(Ф(0)-Ф'(0Л.
Інтегрування частинами
|і/
ду = «V -|у ои .
Інтегрування найпростіших дробів
1) І Дх = Л1пх-д+С.
•' х-д
2)
і
Дх
1-А: (х-д)
+ С
„. г Лх + В , А , , 2
3) І— ДХ = — ІП(Х +
/7Х
+ о) +
х + /?х + а/ 2
х +
^
агс{§ -
•
+ С.
524
Глава
6.
Довідковий матеріал
Ах
+ В
А(1
2
+
а
2
у
к+і
(
р\
V
В-А±- /,,де
1
2
)
г
сії
~
\і
2
+а
2
)
к
~
,
к> \ .
(х
+ рх + а)
І
-Г
А
•'
(х +
/?х
+ о)
і
1
2а
2
(Л-1)
(?
2
+а
2
)*-
При
к = \: /, =
•'
г + а'
2
-к + \
х
= і-£
2
сіх
=
сії
4
1
' д
2
2к-2
к
~
1
' ^
-
= —
агсіе—
+ С
а
а
(
р\
V
В-А±- /,,де
1
2
)
г
сії
~
\і
2
+а
2
)
к
~
,
к> \ .
Інтегрування ірраціональних функцій
Інтеграл Підстановка
|/?
х,х*' ,х'
2
,...,х""
сіх
\
)
х
= 1
к
,
де
к -
загальний знаменник
дробів
—, і = \,п.
3
усх+сі) \сх+сі) \СХ+СІ)
V
/
схх
+ Ь
к
7
= /
•
сх
+ а
де
к -
загальний знаменник
дробів
— , /' = 1, п .
з,
^В^х,^ах
2
+Ьх +
с^сіх
Підстановки Ейлера:
&)4ах
2
+ Ьх + с
=1±хл/я
, а > 0 ;
5)4 ах
2
+Ьх + с = х 1±т[с ,с> 0 ;
в^ях
2
+Ьх+с =^а(х-Х\)(х-х
2
)
=
= /(х-х,).
Диференціальний біном
\х
т
(а +
Ьх
п
)
р
сіх
а)
р -
ціле число
а)
1 = \[х , де х -
загальний
знаменник дробів
т і п
§6.
Основні формули інтегрального числення
525
ял
т + ]
о) ціле число
п
б) а + Ьх" - Ґ , де і - загальний
знаменник дробу р
„ /и +
1
в) + р - ціле число
п
в) ах'" + Ь — I
і
, де 5 - загальний
знаменник дробу р
Інтегрування тригонометричних функцій
|/с(зіп х, соз х) ах
X
21 1-і
2
зіпх = — ; созх = —
\ + 1
2
\+1
2
|/?(зіп
я
х, соз"' х) сіх,
п , т - парні, хоча б одне з
них від'ємне
• 2 Г
2
2 1
зіп х = — ; соз х = -
1
+ /
2
1
+ /
2
|/?(зіп" х, соз"' х) ах,
п — 2к, т = 2р
.
2
1
_
СОЗ 2 X 2
1
+ соз 2 X
зіп х- ; соз х =
2 2
|соз тх соз пх ах
соз тх соз пх =
у[соз(/п
+ п)х + соз (т - п)х]
|зіп тх соз пх ах
зіп тес соз пх = •^•[зіп(от + гі)х + зіп (т - п)х]
|зіп тх зіп пх ах
зіп отх зіп пх = •^•[соз(/и - п)х - соз (т + п)х]
Тригонометричні підстановки
\к^х,т!а
2
-X
і
ах
х = а зіп / або х - а соз /
\к\хАа
г
+х
2
^ ах
х - а Щі або х = а с!§ /
|/?|х,л/х
2
-а
2
^ах
а а
х = або х =
соз/
зіп;
II.
Визначений інтеграл
Формула Ньютона-Лейбніца
ь
\/{х)ах = Р{х)\
Ь
а
=ПЬ)-Р(а)
а
526
Глава
6.
Довідковий матеріал
Заміна змінної
*
г
х = ф(У), СІХ = ®'(І)СІІ
Р
Г
Дх)сіх = ^
Л
У' = |/[ф(ґ)]ф'(0<А
І Ф(а)
= а,
ф(|3)
= 6 £
Інтегрування частинами
ь ь
III.
Застосування визначеного інтеграла
Площа плоскої фігури
£>
Декартова система координат
О:
у =
/(*),
Д*)>0,
х
= а, х = 6,
_у
= 0.
ь
8 =
І/(х)сЬ
а
£>:
Д
;
=
/і(х),7
=
/
2
(
л:
).
/,(х)</
2
(х),
х
= а, х
=
Ь,
а <Ь.
Ь
5
= /[/
2
00-/,(*)]<&
а
Полярна система координат
£>:
р = р(ф), а < ф < Р .
і
р
5
= -/р
2
(ср)Лр
а
Параметричне задання
0:у =
/(х),хє[а,Ь],
\х
= х(1),
\у
=
У(<),
/>
5
=
_[у(х)ах
=
а
X
=
х(/),
7
=
7(0,
сіх
= х
(1)сіі,
х
=
а,
і
=
а,
х
=
й,
/ = р.
3
= \у(І)х (!)Л
а
Довжина кривої
/1
Декартова система координат
1:у
=
Дх),
а<х<Ь.
1
= \^\
+
у'\х) СІХ
а
Полярна система координат
1:
р = р(ф), а < ф < Р.
р
,
1 =
|А/Р
2
(Ф)
+ Р'
2
(Ф) <*Р
а
Параметричне задання
ісК
2
Ь:\
а
<
і < р ;
\у = у«),
/=}7*'
2
(о+/
2
(о
§6.
Основні формули інтегрального числення
527
І: •
Ьс
К
3
х
= х(і),
у
= у(і), а <
1
< р .
Р
,
/
=
|
Л
/х'
2
(/)
+ /
2
(/) + /
2
(0 сії
а
Об'єм тіла
за
площами паралельних перерізів
8(х)
-
площа перерізу тіла
площиною, перпендикуляр-
ною
осі Ох, а <х < Ь
Ь
V
=
\8<х)сіх
СІ
Об'єм тіла обертання
Декартова система координат
В '-У
—
/І
Х
)>У
= 0, х = а,х - Ь,
вісь обертання
- Ох
Ь
у
х
=
п\у
2
(х)сіх
а
О
•
У\ =
/і
(*).
Уг = їг
(*)>
0</,(х)</
2
(х),
х
= а, х = Ь,
вісь обертання
- Ох
ь
У
х
=к\[/
2
2
(х)-/
2
(х)]сіх
а
й:х
=
(р(у),
х = 0, у = с,у = сі,
вісь обертання
- Оу
СІ
У,=к^
2
(у)сіу
с
О-Хі
=ФіО), х
2
=
<?
2
(у),
0<ф,О>)<ф
2
(.у),
у
= с, у = сі,
вісь обертання
- Оу
СІ
У
у
=п\[Ч>
2
2
(у)-^
2
(у)]сІУ
с
Поля
Фі
жа система координат
£>:
р =
р(ф),
=
а, ф
2
= р (а
<
р)
2
Р
V =—л|р
3
(ф)-5Іпфо'ф
Поля
Фі
Площа поверхні обертання
Декартова система координат
1:
У
=
/(х)>0, а<х<Ь.
Ь
1
Р
х
=
2к\/(х)4\+Г
2
(х)ах
а
Полярна система координат
/:
р =
р(ф),
а < ф
<
р.
Р
,
Р
х
=
2л|р5Іпфд/р
2
(ф)
+ р'
2
(ф) сіу
а
Параметричне задання
\х
= х(і),
\у
= у(і),
Р
,
Р
х
=
2к\у(1)4х'
2
(і)
+
у
2
(1)сіі
а
528
Глава
6.
Довідковий матеріал
Статичні моменти плоскої кривої
/
відносно координатних осей
1:у
= Дх),
а<х<Ь;
відносно
осі Ох
Ь
М
х
=ІДх)^\
+ Г
2
(х) сіх
а
1:
У
= Д
Х
),
а<х<Ь;
відносно
осі Оу
М
у
=
\х^+/'
2
(х)
сіх
а
Статичні моменти плоскої фігури
О
відносно координатних осей
0:у
= Дх),у - 0, х = а,х = Ь ;
відносно
осі Ох
і
ь
М,=-|/
2
(х)
ах
а
й:у
=
/(х),7
= 0, х = а,х = Ь;
відносно
осі Оу
Ь
М
у
=\х-Дх) сіх
а
Моменти інерції плоскої кривої
/
відносно координатних осей
1:у
= Дх),
а<х<Ь;
відносно
осі Ох
Ь
їх
=|/
2
(*)т/і+/'*(*)
а
І:у
= Дх),
а<х<Ь;
відносно
осі Оу
Ь
.
І, =\х
2
-4\ + ГНх) сіх
а
Моменти інерції плоскої фігури
й
відносно координатних осей
0:у
=
/(х),у
= 0, х = а,х = Ь ;
відносно
осі Ох
і
ь
І
х
=-І/\х)сЬ
а
В
'•
У -
/(
х
),У
=
0>
х = а,х = Ь ;
відносно
осі Оу
Ь
і
У
=
\х
2
/(х)
СІХ
а
Координати центра
ваі и
плоскої кривої
/
1:у
= Дх),
а<х<Ь
Ь
.
[лґл/1
+ /
2
{х)
СІХ
м
у
і
с
М
ь
г
і ц
ОХ
а
1:у
= Дх),
а<х<Ь
\Дх)^
+
/\х)
СІХ
у
=
М
*
=
1
М
ґ 1 Ч~
|Л/І
+ /
2
(Х)
СІХ
а
§6.
Основні формули інтегрального числення
529
Координати центра ваги плоскої фігури О
0:у = /(х), у = 0, х = а, х = Ь
ь
\х/(х)ах
6
М
ь
,
}/і» ах
а
0:у = /(х), у = 0, х = а, х = Ь
Ь
\Ґ'(х)ах
Ус
М *
2\/{х) ах
а
Робота змінної сили Г = Р(х)
а<х<Ь
Ь
А = \Г(х) сіх
а
530
Глава
6.
Довідковий матеріал
§7. Основні формули елементарної математики
7.1 Алгебраїчні функції'
7.1.1 Властивості степенів
Для будь-яких
х,у та
додатних
а, Ь
мають місце такі рівності:
а°=1;
(аЬ)
х
=а
х
Ь
х
;
а
х
•
а
у
=
а
х+у
;
а у
_ а
ь)
~17
(а
х
у=а
ху
;
7.1.2 Многочлени
Для будь-яких
а, Ь, с
мають місце такі рівності:
а
2
-Ь
2
=
(а-Ь)(а
+ Ь);
(а
+ Ь)
2
= а
2
+2аЬ
+ Ь
2
\
(а-Ь)
2
=а
2
-2аЬ
+
Ь
2
;
(а
+ Ь)
3
= а
3
+За
2
Ь
+
ЗаЬ
2
+ Ь
3
;
(а-Ь)
3
=а
3
~За
2
Ь
+
ЗаЬ
2
- /З
3
;
а
3
+Ь
3
=(а
+ Ь)(а
2
-аЬ
+ Ь
2
);
а
3
-Ь
3
=(а-Ь)(а
2
+аЬ + Ь
2
);
ах
2
+Ьх + с = а(х
-х^)(х
- х
2
),
7
. .
-Ь±лІЬ
2
-4ас
де
х, ,х
2
-
корені рівняння
ах~ + Ьх + с = 0, Х\-, =
2а
Для
иє N
а"
-Ь"
=(а-Ь)(а"-
]
+ а"'
2
Ь +
а"~
3
Ь
2
+...+
аЬ"'
2
+
/3""').