Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Числові ряди
171
Теорема.
Для
того,
щоб ряд
(2.14)
був
збіжним
до
числа
5 = X + іУ ,
необхідно
і
достатньо,
щоб
ряди
Х
х
п
та
Х^« були збіжними
до X та У .
II. Контрольні питання та завдання
1.
Дайте означення числового ряду, члена ряду, частинної
суми
і
суми ряду. Визначте збіжність ряду.
2.
Дайте означення
п
-го залишку ряду.
3.
Сформулюйте необхідну умову збіжності ряду.
4.
Сформулюйте достатню умову розбіжності ряду
5.
Дайте означення геометричного ряду.
6. Який ряд називають гармонічним, узагальненим гармо-
нічним?
7.
Сформулюйте властивості збіжних рядів.
8. Дайте означення знакододатного ряду.
9. Сформулюйте першу ознаку порівняння збіжності ряду.
Наведіть приклади.
10.
Сформулюйте граничну ознаку порівняння, наведіть
приклади.
11.
Сформулюйте ознаку Даламбера збіжності ряду.
12.
Сформулюйте радикальну ознаку Коші збіжності ряду.
13.
Сформулюйте інтегральну ознаку Коші збіжності ряду.
14.
Дайте означення знакозмінного
та
знакопочережного
рядів.
15.
Сформулюйте теорему Лейбніца: достатню умову збіж-
ності знакопочережних рядів.
16.
Дайте означення абсолютної
та
умовної збіжності
зна-
козмінних рядів.
17.
Наведіть приклади умовно збіжних рядів.
18.
Дайте означення ряду
з
комплексними членами, наве-
діть ознаку його збіжності.
172
Глава 2. Ряди
///. Приклади розв 'язання задач
Приклад 1. Знайти частинну суму 5„ ряду, довести його
збіжність, користуючись безпосередньо означенням збіжності
ряду, знайти суму 5 ряду:
1 1
+ + ...+
1-3 3-5
1
(2«-1) (2л + 1)
+ ...= 1
£(2,і-1)(2и + 1)
• п -й член ряду и„ = є правильним раціональним
(2и-1)(2и+1)
дробом відносно п . Розкладемо и
п
на суму найпростіших дробів:
1 А В
(2и-1)(2л + 1) 2и-1 2/7+ Г
звідси,
використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, або метод
задання частинних значень, отримуємо В = —, А = —.
Отже,
Тому
5.
2(2,7-1
2и + і)'
1 1 1
1-3 3-5 "' (2л-1)(2« + 1)
Ііїї-Г
НІ з
+ |
з~і "
+
(2,1-1
і
-1 2и + 1
\ 2п+\
/
Ііт 8
п
= Ііт
—
2,7 +
1
,
Отже,
3 Ііт 8
п
, ряд збігається, а сума ряду 5 = Ііт 8
п
- —. Л
Л-»оо , я—>°° 2
Приклад 2. Знайти частинну суму 8
п
заданого ряду, довес-
ти його збіжність, знайти суму 5 ряду:
1 1 1
агсІ2
—
+ агсїе
—
+... агсіе
—т-
+...
.
2 8
&
2п
2
§
1.
Числові ряди
173
• Знайдемо частинні суми ряду
5], 8
2
, 5
3
, щоб,
помітивши законо-
мірність результатів, застосувати метод математичної індукції
для
отриман-
ня виразу
для 8
п
.
1
5,
=агсг§-;
1
>
Л
8
2
=
агсг§
—
+
агсІ§—
=агсі§
Щ
агсі§ —+ агсЩ
2
8 \ 2
1
1
2
8 2
= агсі§
-±-=
агсі§-;
2
8
г>
3
=^
2
+ аігд§— =
агсі£у
+ агсі§— =агсі§^---
1
З
11
•=
агсі§—.
4
Звернемося
до
методу математичної індукції.
Нехай
8„ =
агсі§
5
я+
і
= $
п
+
агсІ§
п
+
1
1
2(п +
\)
2
•= агсі§
п
+1
•агсІ§-
1_
2(п +
\)
2
-
+
-
1
: агсІ§
п +
1
2(п + \у
1-Ї
1-
•
=
агсІ§
(2п
г
+ 2и +
1)(/?
+
1)
2(п
+ \у
(2п
2
+
2п + \)(п + \)
= агсіе
г
агсі§
(2п
2
+2п +
!)(«
+ 2)
2(п
+ \у-п
п +
\
п +
2 '
Доведено,
що, за
умови,
що 8
п
=
агсі§
ї
і
8
п
=
агсі§
п
принципом математичної індукції маємо
п
п +
\
п+1
8
п+1
=
агсЩ
/7
+
1
/7
+ 2
.
За
Далі знаходимо
ЇХ
7Т
5
= Ііт 5„ = Ііт
агсі§
=
агсі§
1
= —.
п—>«>
п—><*>
/7+1 4
71
Отже,
ряд
збігається
і
його сума
5 = —. Л
4
174
Глава 2, Ряди
Приклад 3. Дослідити на збіжність заданий ряд, викорис-
товуючи достатню ознаку розбіжності:
^ п
"ЇІО/ї + Г
• Оскільки
Ііт—= —*0,
ґ
»^~10я + 1 10
то виконується досіатня умова розбіжності (Ііт и
п
^0), тобто ряд
У—-— розбігається.-4
„_,10л + 1
Приклад 4. Дослідити на збіжність задані ряди, викорис-
товуючи ознаки порівняння:
^\П
2
+8/7 + 10' ' ^\П-У ' ' „^1п«
п +
5
, ^ 1 . 1
г
)
^6(и
4
+ 1)
:
Д)
5з«
+ 1
;
Є)
„5
(
2п
+ 1)
4
^ ^ у '
„Тїи
2
+
8,7
+ 10 '
„ . „ ~ ] „
Порівняємо цей ряд з рядом 2^~2'
якии є
узагальненим гармоніч-
ні и
оо і
ним рядом X
П
Р
И
Р
—
2 > 1 і є збіжним. Врахуємо, що
п={П
Р
<
_1_
п
2
+8п + 10 и
2
'
Тоді згідно з першою ознакою порівняння маємо, що заданий ряд збі-
гається.
Тут можна було застосувати і граничну ознаку порівняння, скористав-
шись тим, що при п
—>
°°
1 1_
п
2
+ 8,7 + 10 я
2
'
§
1.
Числові ряди
175
б) У—
1
—.
л=1
и
°° 1
Порівняємо цей ряд з геометричним рядом X— '
якии є
збіжним,
л=і
з"
бо д =
—
> 1. Врахуємо, що
и-3"
З"
Тоді згідно з першою ознакою порівняння, заданий ряд також збіжний.
1
в
и=2
1п
"
Порівняємо цей ряд з гармонічним рядом Х~
>
який є розбіжним.
«=і«
Врахуємо, що 1п п < п , звідки
1 1
ІП/7 П
Отже,
за першою ознакою порівняння, заданий ряд також є розбіжним.
~
1
Порівняємо цей ряд з рядом X— ,
ЩО
є збіжним, бо є узагальненим
и=1
«'
гармонічним рядом X при р = 3 > 1 .
„=і«"
Скористаємось граничною ознакою порівняння, поклавши
п
+ 5 1
6(л +1) п
Тоді
..
и„ (л + 5)-и
3
.. /г
4
Ііт — = Ііт = Ііт
И->~У„
6(/7
4
+ 1)-
1
п->~6/!
4
6
Отже,
заданий ряд збіжний.
д)І-
Порівняємо цей ряд з гармонічним рядом У —, який є розбіжним.
п=\"
Врахуємо, що при и —» <»
176
Глава 2. Ряди
1 ]_ \_
Зп + \ 3 п
Маємо, що заданий ряд розбіжний за граничною ознакою порівняння.
Я
ТЇ(2« + 1)
4
Порівняємо цей ряд з рядом '
якии
збігається, бо є узагальнє-
л=ІИ
ним гармонічним рядом X—
П
Р
И
Р = 4 > 1.
Врахуємо, що при п
—»
°°
1 _1_ _\_
(2« + 1)
4
~2
4
V '
Маємо, що заданий ряд збіжний за граничною ознакою порівняння.
Зауважимо, що в розглянутих прикладах виконувалась необхідна озна-
ка збіжності, тобто Ііт и
п
= 0 . М
Приклад
5. Дослідити на збіжність задані ряди, викорис-
товуючи
ознаку
Даламбера:
00
п
2
°° п"
и=І •> П=\
П
-
~
п
2
л=1
->
и
2
(к + 1)
2
(п + 1)
2
Маємо, що и
л
>0 и
п
- , м
п+1
= •
..
и
я+
і
(л+1)
2
-3
2
"
4
Ііт —— = Ііт
»-*» и„ и->~
3
2л+|
«
2
(л + 1)
2
~п
2
П
—> °°
л<,.
9
Отримали, що / = — < 1, отже, за ознакою Даламбера заданий ряд
збігається. ^
чИ+1
я=1
"
!
Маємо, що и
п
>0 и
п
= —, и
я+1
=
§
1.
Числові ряди
177
Ііт
*и+1
= ііт
. (л + 1)"
+|
-л! .. (л + 1)"
= Ііт
-= ііт
л + 1
= 1ітГі+ —) =е>\.
Отримали, що / = е > 1, отже, за ознакою Даламбера заданий ряд роз-
бігається. Ч
Приклад 6. Дослідити на збіжність задані ряди, викорис-
товуючи радикальну ознаку Коші:
а)Хагсі
8
"-;
б) £
и=1
П
П=\
• а)
£агс1
8
"-.
л=1
"
2и
2
+7
Маємо, що и„ > 0 и„ =
агсІ§"
—.
л
Ііт !(/й7 = Ііт агс{§ — = 0 < 1.
и—»<*> и—>•*> л
Отже, / = 0 < 1, за радикальною ознакою Коші ваданий ряд збігається.
6)1
л=1
ґ
3п
2
+ 5
2п
г
+7
Маємо, що и„ > 0 и
п
=
.. „/— Зл
2
+5
Ііт уи
п
= Ііт — =
Л—Л—2л~ + 7
^Зл
2
+5
2л
2
+7
Зл
2
+ 5~3л
2
2и
2
+ 7~2и
2
П
—> оо
= Ііт —- =
—
> 1.
«^~2л
2
2
Отже / = — > 1, за радикальною ознакрю Коші заданий ряд розбіга-
ється. Л
Приклад 7. Дослідити на збіжність задані ряди, викорис-
товуючи інтегральну ознаку Коші:
ОХ
і
„=і Зи +
1
б) X
1
в
=і(2и + 1)
4
ОХ
1
„=2«ІП її
178
Глава 2. Ряди
•а) І
Л=|
1
Зл +
1
Покладемо /(х) =
1
Зх +
1
Для даного ряду виконуються умови інтегральної ознаки Коші:
и„ > 0 , и„ >
и
п+х
,
Ди) = гі
п
\/п .
Розглядаємо невласний інтеграл:
7л*>*=7
А=ГГ^г=1
|п(з
*
+,}
\ ' Зх+\ 3 \ Зх +
1
З
— +оо
тобто невласний інтеграл розбіжний, отже і заданий ряд розбіжний за інтег-
ральною ознакою Коші.
6)1"
1
я
=і (2я+ІГ
Покладемо Дх) = -
(2х + 1)
4
Для даного ряду виконуються умови інтегральної ознаки Коші:
и„ > 0 , и
п
> , Дл) = и„ Ул .
Розглядаємо невласний інтеграл:
"'ах 1
+
?с!(2х
+ \) _ 1 (2х + 1)'
3
2 -З
1
, (2х + 1)"
- 1
1
_
1
~ 6 27 ~ 162
2 ! (2х + 1)
4
6 (2х + 1)
3
невласни
знакою К
Зауважимо, що раніше ряди ]Г
тобто невласний інтеграл збіжний, отже і заданий ряд збіжний за інтеграль-
ною ознакою Коші.
1
Зи +
1
та
/7 = 1
(2и + 1)
4
були досліджені
за допомогою ознак порівняння (приклад 4 д),е)).
•>і-А-
„=2 ПІП Л
Покладемо Д х) = —^——.
х 1п" х
Для даного ряду виконуються умови інтегральної ознаки Коші:
и„ >0, и„
^и„
+і
,
Дл) = к„ для « =
2,3,....
§
1.
Числові ряди
179
Розглядаємо невласний інтеграл:
1
1п2
2
2
х ,П х
2
ІП х ІПХ
тобто невласний інтеграл збіжний, отже і заданий ряд збіжний за інтеграль-
ною ознакою Коші. •<
п"
Приклад
8. Довести, що Ііт = 0, використовуючи
п-»°°
(2п)\
п"
ряд,
для якого и„
—
є загальним членом.
(2/7)!
°°
п"
•
Згідно з умовою розглядаємо ряд
~(2«)!
Доведемо, що цей ряд збіжний і скористаємось необхідною ознакою
збіжності: для збіжного ряду Ііт и
п
-0.
Для доведення збіжності ряду використаємо ознаку Даламбера.
п" (л + 1)"
+
' (л+1)"
+1
и„>0 и„=——,
и„+і
~ - —
(2л)!
" ' (2(л +
1))!
(2л + 2)!
(л + 1)
и
и
(2и + 2)!л"
и^~(2л
+ 1)(2л + 2)
(л + 1) ~ л
(2л + 1)(2л + 2)~4л
2
Л
—> оо
..
ел .. І
= Ііт—-=е1іт— = 0<1.
и—4л
я—»
00
4л
Отже, за ознакою Даламбера ряд збігається, і згідно з необхідною
ознакою збіжності
Ііт
и„ - Ііт ——
=
0 ,
я-*»
л->~(2л)!
що й треба було довести. Л
Приклад
9.
Дослідити
на
збіжність задані знакозмінні
ряди
та
встановити характер збіжності (абсолютна, умовна):
П=\
П ,7=1 5
180
Глава 2. Ряди
2л +
1
в)І(-іГ4=;
г)2(-і)"^
л
=і УЛ „=і Зи + 2
^
а
) X
С
°з^ • Заданий ряд є знакозмінним.
Складаємо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду ^ '
С
°
5
"'
л=і я
3
°° 1
Порівняємо цей ряд з рядом X
—
у
>
Щ°
є
узагальненим гармонічним
рядом при /? = 3 > 1 і є збіжним. Врахуємо, що
Ісоз«| 1
з ~~
з
"
п я
Отже, ряд, складений з абсолютних величин членів заданого ряду, є
збіжним згідно з першою ознакою порівняння. Звідси випливає, що заданий
ряд є абсолютно збіжним.
00
я
б) X —
•
Заданий ряд є знакопочережним.
и=і 5
Складаємо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду X ~
•
Дослідимо його на збіжність, використовуючи ознаку Даламбера.
п
п п + \
.. и
я+|
.. (я + 1)-5
й
1
Ьт = Ііт ^ = - <
1
.
л->~
и„ «-><» 5"
•
я 5
Отже, ряд, складений з абсолютних величин членів заданого ряду,
збігається. Звідси випливає, що заданий ряд є абсолютно збіжним.
°° 1
в) X
—
7=
• Заданий ряд є знакопочережним.
»=і >/«
°° 1
Складаємо ряд з абсолютних величин членів заданого ряду X ~7= •
и=і >/я
Цей ряд розбігається, бо є узагальненим гармонічним рядом при
,-!>..
Отже, ряд, не є абсолютно збіжним.