Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

191

Ряд (2.19) заміною х-а = X зводиться до ряду (2.18).

Теорема (Абеля). Якщо степеневий ряд Х

" збіжний при х = х

^0,

л=0

то він абсолютно збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність

|; якщо цей ряд розбіжний при х = х

]

, то він розбіжний всюди, де

|х|>|х,|.

Наслідком теореми Абеля е наявність існування для степеневого ряду

інтервалу збіжності. Для ряду (2.18) інтервалом збіжності с інтервал

(-Я, Я) ; для ряду (2.19) інтервалом збіжності с інтервал (а-Я, а + Я).

Число Я називається радіусом збіжності. Всередині інтервалу збіжності

ряд абсолютно збігається, за його межами - розбігається. Питання про збіж-

ність ряду при х = + Я (на кінцях інтервалу збіжності) розв'язується для

кожного ряду окремо.

Областю збіжності степеневого ряду є інтервал збіжності, до якого

приєднуються кінці інтервалу х = ±Я, якщо в цих точках ряд збігається.

Для визначення радіуса та інтервалу збіжності степеневого ряду

2~^

„

складаємо ряд із модулів його членів а„х" |. Далі, використову-

Я=0

(7=0

ючи ознаку Даламбера або радикальну ознаку Коші, отримуємо формули

для обчислення радіуса збіжності

/?=

Ііт

—>«•

або

(2.20)

Я = Ііт -7=-. (2.21)

Якщо К = + °° , то ряд є збіжним на всій числовій осі. Якщо Я = 0 , то

ряд збігається лише в точці х = 0 .

Радіус збіжності для ряду ^а

(х-а)" визначається за тими сами-

Л=0

ми формулами, що й для ряду

2~^

тобто за формулами (2.20) або (2.21).

я=0

Але інтервал збіжності знаходять з нерівності | х - а | < Я , тобто інтервал

збіжності (а - Я, а + Я) .

Зауважимо, що радіус та інтервал збіжності можна знаходити, засто-

совуючи безпосередньо ознаку Даламбера або радикальну ознаку Коші до

ряду, складеного з модулів членів вихідного ряду. З цією метою позначаємо

члени ряду (2.18): а

х" = и

(х). Вказані ознаки збіжності застосовуємо до

ряду Х| и„ (х) |. Інтервал збіжності знаходимо з нерівності

192

Глава 2. Ряди

Ііт

або

(2.22)

(2.23)

1іт

У|и

0с)|<1.

Властивості степеневих рядів

1°.

Степеневий ряд Х

" абсолютно і рівномірно збіжний на будь-

я=0

якому відрізку [-р, р], який цілком міститься в інтервалі збіжності (-/?, /є).

2°.

Сума степеневого ряду ^а

х" неперервна всередині його ін-

тервалу збіжності.

3°.

Степеневий ряд 8(х)= ^а

можна інтегрувати почленно в

и=0

його інтервалі збіжності (-/?, /?), причому радіус збіжності отриманого ряду

дорівнює Я . Зокрема, для всіх х є (-Я, Я) справедлива формула

\8(х)ах = ]

я=0

ах= У>„

п=0

я+1

п+

(2.24)

4°.

Степеневий ряд 8(х) =

2^,

можна диференціювати почлен-

но в будь-якій точці х його інтервалу збіжності (-/?, Я) , причому радіус

збіжності отриманого ряду також дорівнює Я . Для всіх х є (-/?, Я) справед-

лива формула

и-1

(2.25)

«=і

З властивостей 3° та 4° випливає, що ряд

можна інтегрувати

/1=0

на відрізку [0, х], хє (-Я, Я) і диференціювати в будь-якій точці хє (-/?, Я)

скільки завгодно раз. При цьому інтервалом збіжності кожного отриманого

ряду є той самий інтервал (-Я, Я) .

Ряд Тейлора

Основні поняття. Рядом Тейлора для функції /(*) називається ряд

вигляду

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

193

±^М(

-а)

(2.26)

*=о *'

Тут 0!=1, /

'(<з) = /(а), С

коефіцієнти Тейлора.

к\

При а = 0 ряд Тейлора приймає вигляд

І^х*. (2.27)

Ряд (2.27) називається рядом Маклорена.

Теорема. Якщо функцію /(х) в інтервалі (а- К, а + Я) можна роз-

класти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.

Наведемо умови, за яких сума ряду (2.26) збігається до функції /(х),

тобто умови розкладання функції в ряд Тейлора.

Теорема. Для того, щоб ряд Тейлора (2.26) збігався до функції /(х) в

інтервалі (а

—

Я, а + Я), необхідно і достатньо, щоб ця функція мала похідні

всіх порядків на цьому інтервалі і залишковий член її формули Тейлора

г„

(х)

прямував до нуля при п

—>

°° для всіх х з цього інтервалу.

Отже, при виконанні умов цієї теореми, маємо

/(*)= £^77^ (*-«)* (2.28)

або при а = 0

Дх)=^ґішхк

(229)

А:=0

Л!

Наведемо теорему, яка дає досить прості достатні умови розкладання

функції в ряд Тейлора.

Теорема. Якщо функція /(х) в інтервалі (а-Я, а + Я)має похідні

всіх порядків і існує число М > 0 таке, що | /

(п>

(х)

< М , х є (а - Я, а + Я),

п = 0,1,

2,...,

то функцію /(х) можна розкласти в ряд Тейлора.

Формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена

2 П оо /7

У , X X *

Є =1 + Х + +... + +...= > , -оо<дг<+оо

я! і>'

. X X X , ,

81ПХ = Х + +... + (-1) +...=

З!

5! 7! (2и + 1)!

2п+]

- У (-1)" , -°° < х < +°° ,

„Го (2,1 + 1)!'

194

Глава 2, Ряди

X X X /•

\ п X

+ +...+(-1) +... =

4! 6! (2л)!

оо 2л

= 2Н)" 7^7, ~°° < х < +°°,

л=0

(2л)'

.„ . т(т-\) •> т(т-\)...(т-п + \) „

+ х)

]

+ тх + —- -х- + ... + — —

-х +...=

л!

1-х + х

-х

+ ...+ (-1)"х" + ...=

Х(-1)"х",

-Кх<1,

\ + Х „

' =

+ х + х

+ х

+... + х" +...= X

-1<х<1,

п=0

ІП(1+

*) = *- — + — -... + ^-^-х"+...=

уОІІд:",

-1<Х<1,

2 3 л „_| л

пи

агсІех = х + + ... + (-1) + ...=

3 5 7 2л +

оо 2л + 1

Х(-і)"^-г.

-1<х<1,

л = 0

2л + Г

1 х

1-3 х

• 3•...-(2я-1) х

2п+|

агсзіп х = х + н +... л +... =

2 3 2-4 5 2-4-. ..-2л 2л +

^(2л-1)!!

2я+1

= х+У- ,

—1

< х < 1.

~, (2л)!! 2л+1

В останній формулі: (2л-1)!!=

• 3•... (2л-1), (2л)!!=2-4-...-2л .

Розкладання функцій в степеневі ряди в загальному випадку базуєть-

ся на використанні рядів Тейлора або Маклорена.

На практиці степеневі ряди для багатьох функцій можна знайти фор-

мально, використовуючи наведені формули розкладу елементарних функцій

в ряд Маклорена. Іноді корисно застосовувати почленне диференціювання

або інтегрування рядів. В інтервалах збіжності ряди збігаються до відповід-

них функцій.

§2.

Функціональні

ряди.

Степеневі

ряди

195

Наближені обчислення

за

допомогою степеневих рядів

Наближене обчислення значень

функції.

Нехай треба обчислити

значення функції/(х)

при х = х

Якщо функцію

/(х)

можна розкласти

степеневий

ряд в

інтервалі (-/?,

К) і х

(-/?,

К), то

точне значення

/(х

)

дорівнює сумі цього ряду

при х = х

, а

наближене

частинній сумі

8„

(х

Похибку

| /(х

) -

8„

(х

)

| можна знайти, оцінюючи залишок ряду

(х

Для рядів лейбніцевого типу

(2.9)

маємо

(*0

)

"л+1

(*0

) +

"п+2

(*0

) + • • •

"п+1

(*0

)

•

Для знакозмінних

та

знакододатних рядів величину

(х

як

прави-

ло,

оцінюють

так:

г„

(х

)

І и„

(х

)

п+2

(х

)

м„

(х

)

+... < а

+ а

+... = 5 ,

де

]Г

* -

певний знакододатний збіжний

ряд,

сума якого легко обчислю-

к = \

ється (наприклад, геометрична прогресія)

і для

якого

К+і(*о)|^а,,

|м„

(х

)|<а

, |и„

(х

)|<а

....

Наближене обчислення визначених інтегралів. Нехай потрібно знай-

ти інтеграл

Р(х) =

^/(х)сіх, який

або не

виражається через елементарні

функції,

або

складний

незручний

для

обчислень. Якщо функцію

/(х)

мож-

на розкласти

степеневий ряд,

що

рівномірно збігається

на

деякому відрізку,

то

для

обчислення заданого інтеграла можна скористатись властивістю

про

почленне інтегрування цього ряду. Похибку обчислень визначають

так

само,

як

і при

обчисленні значень функцій.

Наближене інтегрування диференціальних

рівнянь.

випадку, коли

точно проінтегрувати диференціальне рівняння

за

допомогою елементар-

них функцій

не

вдається, його розв'язок зручно шукати

вигляді ряду Тей-

лора

або

Маклорена.

Наприклад,

при

розв'язанні задачі Коші

у'=/(х,у),

у(х

) = у

використовується

ряд

Тейлора

^)=І

^т^(х-х

г,

«=о

я!

яеу(х

)

= у,

у'(х

)

/(х

,у

),ареітапохітих

(п)

(

о)

(« =

2,3,...)

знаходяться шляхом послідовного диференціювання заданого диференціаль-

ного рівняння

та

підстановки початкових даних

вираз

для цих

похідних.

196

Глава 2. Ряди

Рівняння та функції Бесселя

Рівняння Бесселя має вигляд

у"

+ ху' + (х

-ч

)у = 0, У-СОПЗІ. (2.30)

Якщо V - не ціле число, то загальний розв'язок має вигляд

у =

І,(х)

+ С

/^(х).

Якщо V - ціле, то

у =

}І

(х)

+ С

(х),

- (-1)1 |] -

(-1)1-

де

І(х)=Т

/ (х)=У ^-=-

%Г(к + \)Г(к + у + ])' ^

Г(* + 1)Г(А-у + 1)

Функції /

(х) та /_

(х) називаються функціями Бесселя першого

роду порядку V і -V відповідно.

(х) = /

(х)1пх + х~

^Дх* .

к =

Коефіцієнти Ь

знаходять з умови задовільнення функції АГ

(х) ди-

ференціального рівняння (2.30).

Функція А"

(х) з визначеними коефіцієнтами Ь

називається функці-

єю Бесселя другого роду порядку V .

У зазначених формулах Г(р) - гамма-функція Ейлера:

Т(р)= \е'

сІх (р>0).

Відомо, що

Пр + \) = рПр)

і для цілих значень р > 0

Г(р

+ ]) = р\

II. Контрольні питання та завдання

Дайте означення функціонального ряду; області його

збіжності.

Дайте означення рівномірно збіжного функціонального

ряду.

Який функціональний ряд називається мажоровним на

проміжку?

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

197

Сформулюйте ознаку Вейерштрасса рівномірної збіж-

ності функціонального ряду.

За яких умов функціональний ряд можна почленно ди-

ференціювати; почленно інтегрувати?

6. Дайте означення степеневого ряду.

Сформулюйте теорему Абеля.

8. Що є областю збіжності степеневого ряду?

9. Як знаходиться радіус збіжності степеневого ряду?

10.

Сформулюйте властивості степеневого ряду.

11.

Який ряд називається рядом Тейлора; рядом Маклорена?

12.

Які умови розкладання функції в ряд Тейлора?

13.

Наведіть формули розкладу функцій е

, зіпх, созх в

ряд Маклорена.

14.

Як використовуються степеневі ряди для наближених

обчислень значень функцій; визначених інтегралів?

15.

Як використовуються ряди Тейлора або Маклорена для

наближеного розв'язання диференціальних рівнянь?

///. Приклади розв 'язання задач

У цьому пункті розглянуто 14 прикладів розв'язання за-

дач,

які за своєю тематикою розподілились так:

Функціональні ряди: приклади 1-2.

Степеневі ряди: приклади 3 - 14.

Функціональні ряди

Приклад 1. Визначити область збіжності функціонально-

го ряду.

б) 1

п = \ П

198

Глава 2. Ряди

0 1

=п1

+ х

/7=0

2/7

д) Х2"соз"х:

/7 = 0

оо

е)Х

х"

+•

СОЗ

/7Х

2"х*

/7=0 Є

•а) X

/7=0

2/7 + 3

І 1-Х )

+ Х

Знайдемо область збіжності, використавши ознаку Даламбера:

Ііт

пт

2/7 + 51

+ х

1-х^|

/7 + 1

2/7 + 3

1-х

+ х

1-х

+ х

На основі ознаки Даламбера можна стверджувати, що: ряд збігається

< 1, тобто І1-х|<|і + х|, звідки х > 0 .

(і притому абсолютно), якщо

+ х

При

+ х

; 1 маємо І1-х| = І1 + хІ, звідки х = 0 .

Враховуючи, що ознака Даламбера не дає відповіді збіжний чи розбіж-

ний ряд у цьому випадку, підставляємо х = 0 в заданий ряд. Маємо число-

°° 1

вий ряд X — . Використовуючи, наприклад, граничну ознаку порівняння

/7 = 0

2/7 + 3

(порівнюємо з гармонічним рядом \ — , що є розбіжним), робимо висно-

„=1Л

вок, що цей ряд розбіжний.

Отже, область збіжності заданого ряду: 0 < х < + °° .

/7 = 1 Я

За ознакою Даламбера:

п+]

(х)

Ііт = Ііт

1п

и+1

хя

= Іпх

!!„(*) я-»-

(/7

+ 1)

1п"х

Достатньою умовою збіжності є те, що

11п

х | < 1, тобто ряд збігаєть-

ся для V х«

і -, е .

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

199

Дослідимо ряд на збіжність у точках Х) =

—

та х

= е , в яких ознака

Даламбера не дає відповіді на питання збіжний чи розбіжний ряд (ці точки

відповідають випадку, коли

11п

х | = 1).

При х, =

—

та х

= е маємо відповідно ряди:

£^ (1) та

£4

(2>-

л = 1 П

п=

\П

°° 1

Ряд (2) збігається, бо є узагальненим гармонічним рядом X—

п = \П

= 2 > 1.

Ряд (1) збігається абсолютно, бо ряд, складений із абсолютних вели-

°° 1

чин його членів, мас вигляд X

Г '

збіжним за тією ж причиною.

п = \П

Оскільки обидва ряди збігаються, то точки х,

—

та х

= е включа-

єм

ються в область збіжності.

Отже, область збіжності заданого ряду: х«

в) Хт^-

1 + х

" '

х"

Враховуючи, що и„ (х) = — , розглянемо такі проміжки зміни

аргументу х:

|х|<1,

|м

(х)|<|х"|, п—>°°; ряд XI

\" збігається, бо при зада-

ному значенні х є геометричним рядом, для якого |д| = |х|<1,іза ознакою

порівняння заданий ряд збігається;

1 °° 1 1

| х | = 1,

м„(х) | = —, \7и ; ряд X розбіжний, бо Ііт и„ = — Ф 0;

„=і

|х|>1,

|и„(х)| =

+ х

т—!—г;

ряд У і-і-г збігається, бо при за-

даному значенні х є геометричним рядом, для якого \ д\- -.—- < 1, і за озна-

|х|

кою порівняння заданий ряд збігається.

Таким чином, ряд збігається, коли | х | Ф 1.

200

Глава 2. Ряди

Отже, область збіжності заданого ряду: (- °°, 1) [] (1, + °°).

„=оІ 2

х" і

Розглянемо два ряди:

» та У—!—,

п=0 п=0^ ^

де и„, (х) = х", м

й2

(х) = .

За радикальною ознакою Коші:

Ііт ^|«„і(х)| =|х|, Нт VI и

и2

(х)| = -тЦ.

Для збіжності суми рядів необхідне одночасне виконання умов:

|.|<1;

^Ь

Тобто

-1<х<1;

-2< —<2 або х<—, х>—.

х 2 2

Звідки

-1 < X < —, —< X <

2 2

При х = -1, х = 1, "

с =

"2~'

х =

\ не виконується необхідна умова

збіжності числових рядів, тобто Ііт и

Отже, область збіжності заданого ряду: | -1,

~^^'2

д) Х2

со5

х.

/7 = 0

Звернемося до радикальної ознаки Коші:

або

Ііт

?У|и„(х)|

= Ііт ^"ІсозхІ" = 2|соз;

/7—>°° 77—»°°

Ряд збігається, якщо

, 2|созх|<1

І І

созх < — ,

і 2