Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

211

Знаходимо похідні /

(<[)

(х) та їх значення при х = 0 .

/(х) = зіп х,

/'(х) = 2

ЗІПХ СОЗХ

зіп2х,

12х +

—

/"(х) = 2соз2х = 25Іп

/(0) = 0;

/'(0) = 0;

/*(0) = 2;

/ (х) = -2

5Іп2х = 2^зіп^2х + 2--^| / (0) = 0;

(4)

(х) = -2

соз2х = 2

зіп^2х + З

•

|^ /

(4)

(0) = -2

;

(5)

(х)=2

зіп2х = 2

зіп 2х + 4"|^ /

(5)

(0) = 0;

(6)

(х) =2

соз2х = 2

зіп^2х + 5

•

^, /

(6)

(0) = 2

;

/'"Ч^г"

-1

зіп^2х

(я-1)-\

Отже,

~,.> ~3 оо / 1\Л+1 ^2«-І

4 , 2

б "V

ЗІП

X- X X +—х -...= У,

4! 6! „Т, (2л)!

X , — °° <

< +°° .

Область збіжності отриманого ряду -°° < х

<+°°,

бо за формулою

для обчислення радіуса збіжності, маємо

„ ,. \а„\ ,. 2

2и

-'(2л + 2)! ,. (2л + 1)(2и + 2)

К = Ііт -г—~ = Ііт , . = Ііт Ч - = +°° •

"^°°|°я+і|

(2й)!2

Спосіб 2.

/(х) =

5ІП

Х.

Представимо /(х) у вигляді:

2л+1

1 1

ЗІП

х - —(1 - соз2х) = соз2х

і скористаємось формулою

СОЗХ

= У

(-])"-

п% (2«)!

2 2

— оо <

< + °° .

212

Глава 2. Ряди

Тоді

5ІП

= 1Л V(_,)«

(

_і)« ^

2«

2 2„Є

(2л)! 2 2 2 ^ (2л)!

оо

2/7—І

„=і (2и)!

Приклад

Розкласти задані функції

в ряд

Маклорена.

а)/(*)

= -

^т—гт;

б)/(*)

(1-х)(1

+ 2х)'

-Зх

+ 2

• а) /(*) = .

(1-х)(1 + 2х)

Розкладемо цю функцію на суму найпростіших дробів:

З _ 1 2

(1-х)(1 + 2х) ~~ 1-х \ + 2х'

Оскільки

1-х

Л=0

Х*"> |*|<і, (і)

= £(-!)"(2х)

, |2х|<1 або |х|<-, (2)

то

+ 2х ~

= |>

+2 хну 2

х(і+(-іУ2

п+1

)х"

X <-

(1-х)(1 + 2х)

л=0 й=0

„

Область збіжності останнього ряду | х | < ^, бо область збіжності ряду (1)

де

| < 1, а ряду (2)-

|х|<Д.

х-Зх

+ 2

Розкладемо знаменник на множники та представимо задану раціональ-

ну функцію у вигляді суми найпростіших дробів:

1 1 -1 1

-Зх + 2 ~ (х-1)(х-2) ~ х-1 х-2'

Після простих перетворень отримуємо

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

213

1 1 1 1

-Зх +

1-х 2

Враховуємо, що

1 х

я=0

]_*

яТоІ2

або

| х |

< 2.

(3)

(4)

Далі, враховуючи, що ряд (3) збігається для | х | < 1, а ряд (4) - для

| х | < 2, маємо, що обидва ряди збігаються для | х | < 1, тобто в інтервалі

(-1,1)

їх можна почленно віднімати.

Отже,

х -Зх + 2 „=о 2 „

2" „

,2"

-1

п=0

Приклад 7. Розкласти задані функції в ряд Тейлора за сте-

пенями (х-2).

а) /(*) = -!-; б) /(*) = -•

4-х х

а) Дх)

4-х

Перетворимо задану функцію таким чином, щоб можна було застосу-

вати формулу

їх",

|х|<1.

і-х „=0

(1)

1 1 1 1

4-х 4-((х-2) + 2) 2-(х-2) 2

х-2

Тоді, замінюючи х на —-— у формулі (1), маємо

1 1

= =

\_ у^х-2У _ у (х-2)"

4-х 2 ,_І^"2Д 2 ^ 2"

+] :

х-2

<1.

214

Глава 2. Ряди

Отриманий ряд збігається при

-2 < х - 2 < 2 або 0 < х < 4 .

б) /<*) = -.

х-2

або | х -

< 2 . Звідси

Перетворимо задану функцію

1 1 1 1

х (х-2) + 2 2

] |

х-2

Далі скористаємось формулою

1+х

2(-1)

х",

|х|<1.

я=0

х-2

Тоді,

замінюючи х на —-— у формулі (2), маємо

(2)

* 2

1 +

х-2 2

-Єо

Ч 2 і „І 2"

х-2

<1.

Отриманий ряд збігається при

х-2

< 1, або, після перетворень, для

Ух, що задовольняють нерівність 0 < х < 4 . А

Приклад

Розкласти задані функції

в ряд за

степенями

х.

а)/00 =

б) Дх) =

• Для розкладання заданих функцій в ряд Маклорена скористаємось

біноміальним рядом:

чЯ

. т т(т-\)

т(т-\)...(т-п + \) „

(1 + х) =1+—х + — '-х

+ ... + — —і -х +...=

2! п\

ї+

|.«(т-1Хт-2)...(«-»+1)

]<х<

(])

Я = |

Я!

а) Дх):

\-х

Перетворимо задану функцію до такого вигляду, щоб можна було ско-

ристатись біноміальним рядом:

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

215

/(*) =

= (1-х

)

= (1+(-х

))"

Покладемо у формулі (1) т = -

—

і замість х запишемо - х . Матимемо

1 , 1

1-3

1-3-5

1-3-5-...(2и-1)

2»

= 1+ —X + X + х +... + і -х + ...=

4\Гхї

2 2 4 2

4 6

2-4-6-...2и

^^(^Д!!^, _

1<х<1

~, (2л)!!

б) /(х) =

Перетворимо задану функцію до такого вигляду, щоб можна було ско-

ристатись біноміальним рядом:

Д*)=з

8-х'

Покладемо у формулі (1) т=-— і замість х запишемо -І —

.Ма-

\(х\ 1-4 1

^8^7

2 2

3(2 ; З

'хЛ

1-4-7 1 ГхЛ

,2-]

—зти

І-4-7-...(3(и-1) +

\{х

де

З"

<1 .<«

и!І 2

-І І у

1-4-7-...(3(и-1)

+ 1) 1 (х

2 ^

л = 1

„

л!І 2

3л

Приклад 9. Обчислити границі, використовуючи розкла-

ди функцій в ряд Маклорена.

а) Ііт

2е

-2-2х-х

*->0

Х-81ПХ

2е

-2-2х-х

$тх-агсІех

б) Ііт ——

. *->о X

• а) Ііт

^-»0 Х-51ПХ

216

Глава 2. Ряди

Використаємо формули розкладу функцій е

та зіп х в рад Маклорена:

оо Я оо 2Я+1

Маємо

н = 0

(2и + 1)!

,. 2е

-2-Іх-х

Ііт = Ііт -

*->о х-зіпх *-*о

\ + х + — + — +... -2-2х-х

З!

< х

5 л

х + .,

З!

Ііт -

х->0

2 + Іх + х

+ — + ...-2-2х-х

х-хн

З!

= Ііт

х->0

2х

_1 і_

т Р . . .

X X

Ііт

2 2х

— + — + ...

З!

_2_

х->0

1_11

—

З!

5! "' З!

•

б) Ііт

дг->0

зіпх-агс{§х

Використаємо формули розкладу функцій зіпх та агсІ§х в ряд Мак-

лорена:

-2л+1

зіпх = £(-1)" 7Г-ТТ7

•

агс1

§*

= ХН)"

„2л+1

~ (2и + 1)!

,. зіпх-агсівх ,. З! 5!

Ііт г—— = Ііт

„=о 2и +

•*-*<> х

З З!

*->0

їх

+11-1

їх

+...

= Ііт

Л-1Л.«

З 3! 6

5 5!

= Ііт

1 1 1 1 і

+ х

+...

3 3! 5 5!

Приклад

10.

Обчислити з точністю до 0,001.

а) значення зіп 18°; .6) число е.

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

217

• а) знаходимо значення зіп 18°.

Скористаємось формулою

2п+1

8ІПХ=

У(-1)"

— ,

(2,1 + 1)!

хе (-<», +

°°).

Покладемо х = 18° або х =

тс

/10, тоді

іп18°=

іп^=Х(-1)

2п+1

п=0

(2л+1)!

10 Ю

-3! 10

-5! 10

-7!

Маємо ряд лейбніцевого типу. Оскільки

з 5

— >

0,001,

—^ >

0,001,

—і <

0,001,

-З!

-5!

то з точністю до 0,001 маємо

5іп18° = — ? = 0,309.

Ю Ю

З!

б) знаходимо значення числа е.

Скористаємось формулою

Х^Т'

ХЄ (-°о, +оо) .

п = 0

Підставивши в цей ряд х = 1, отримуємо знакододатний ряд

Оцінимо я -й залишок цього ряду

'«=

2 77 =

1 1

і*'

(я+1)! (я + 2)! (я + 3)! (я + 4)!

-+...=

(я + 1)!

1+-

1 1 1

(

п + 2 (п + 2)(п + 3) (,7 + 2)(и + 3)(и + 4)

(я+1)!

1+-

1 1

я + 2 (п + 2)

(п + 2)

• +

...

+ ... |<

(я + 1)!

п\п

п + \

Залишається підібрати найменше натуральне число п, щоб викону-

валась нерівність —^— <

0,001.

Неважко обчислити, що ця нерівність вико-

и!я

нується при я > 6, тому з точністю до 0,001 маємо

е =

+ 1+ —+ — + — + —= 2,717.-«

З! 4! 5!

218

Глава 2, Ряди

Приклад 11. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл

і/з

|е

сіх.

• Формула Ньютона-Лейбніца тут не застосована, тому, що первісна

від е в елементарних функціях не виражається.

Скориставшись рядом

°° X

я = 0''

запишемо ряд для е

е = У -— -, хє(-°°,

+оо).

п = 0 "

Цей ряд рівномірно збіжний на всій числовій осі, тому його можна

інтегрувати на будь-якому скінченному відрізку, а отже на відрізку

І «То «!

Тои!(2п+1)

11 1 1

г+ г

З 1! З

•

215-3

3!7-3

Маємо ряд лейбніцевого типу. Оскільки

0,001,

1—= і->

0,001,

!__ = _1_<

0,001,

З 1!З З

215-3

2430

то з точністю до 0,001 маємо

[е'

йбс = - =

0,321.

З 81

Зауважимо, що первісна Р(х) для функції /(х) = е

, яка не є еле-

ментарною функцією, знаходиться у вигляді степеневого ряду, якщо проін-

тегрувати ряд для функції е у межах від 0 до х:

«То „То«.Ч2я + 0

Приклад 12. Знайти три перших (відмінних від нуля) чле-

ни розкладу в ряд розв'язку рівняння, що задовольняє задані

початкові умови.

§2.

Функціональні ряди. Степеневі ряди

219

г)у'

ху'+у,

у(0) = 0, /(0) = 1;

6)У=х

+у\

у(\) = -1.

Використати метод послідовного диференціювання зада-

ного рівняння для визначення коефіцієнтів ряду.

•

а)/ = */ + * Я0) = 0,

/(0)=1.

Шукаємо розв'язок

у(х) у

вигляді ряду Маклорена:

х)=

і^м

+Ж

+Ш

г+ ...

^х"

...

кі V. 21 пі

Врахуємо,

що за

умовою

у(0) = 0, /(0) = 1.

Знаходимо

у'(0)

(х/+у)\

х=0

=0-1

+ 0 = 0;

(3)

(х)

= у'

ху"+ у' = 2у'

ху", у

(0) = 2 ;

(х)

= 2у'+

у"+

ху" =

З/

ху', у

(4)

(0)

= 0;

/>(х)

= З/ + у' + ху

(4)

= 4у"

+ ху

і4)

, >>

<5)

(0)

= 8 .

Підставляємо знайдені значення похідних

ряд Маклорена:

2-і8<

хх

у(х) »— х +—х

+—х

+...

= х

+ — + — + ....

З! 5! З 15

6)у'

+у\

у(\) = -\.

Шукаємо розв'язок

у(х) у

вигляді ряду Тейлора:

^)=£^(-0^Я0

^(х-і)

+...+

2^0)

(х

-о"

....

пі

За умовою

у(\) =

-1.

Знаходимо

/(1)

(х

+/)|

+(-1)

=0;

/(х)

2х

3//,

/(0 = 2;

/(х)

= 2 +

6Я/)

+3//,

/(1) = 8.

Отже,

Ях)«-1

|^(х-1)

+|^(х-1)

+...

-1

(х-1)

+і(х-1)

+....^

220

Глава 2. Ряди

Приклад 13. Знайти розв'язок (у вигляді степеневого ряду)

рівняння

у"

-ху'+у = \,

що задовольняє початкові умови у(0) = 0, у'(0) = 0.

• Будемо шукати розв'язок у вигляді ряду

У(х) ~

2°***

о + сцх + а

+ ... + а

х" +... (1)

* = 0

Тоді

у'(х)-

Х^

*~'

2я

х + + +•••

Враховуючи початкові умови >>(0) =

У(0)=0,

маємо, що а

=а

=0.

Отже,

маємо

у(х)=^а

, у'(х)=^ка

~\ у"(х) = ^к(к-1)а

к=2 к = 2 4=2

Підставимо ці вирази в диференціальне рівняння. Отримуємо

%к(к-\)а

-х^ка

+ %а

= 1

к=2 к-2 к=2

або

х°

2т

2т+1

^к(к-\)а

-У

ка

+ ^а

=1.

к=2 к=2 к=2

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х :

1-Х-а-)

=1 => а-,

=—5—

2 2

2-1

3-2'в

=0 =>а

4-Зал-2а-, + а

=0 => а

=——

22 4

4-3

2а-.

5'4'ЙС-За,

+а-, =0 =>я, =—-=0

533

5-4

(2/я+2)(2/и + 1)а

2т+2

-(2т)а

1т

+а

2т

=0 =»

2т+2

(2т-Х)а

2т

(2т + \)(2т + 2)

(2т + 3)(2т + 2)а

2т+3

-(2т + 1)а

2т+]

2т+1

=0 => а

«+з =

(2т-\)а

1т+х

"(2/я + 2)(2/я + 3)