Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Системи диференціальних рівнянь
141
Отже,
загальний розв'язок заданої системи має вигляд
(\
V
2
,
є
51
+С
1 ї
Х(/)=
£с
і
Х
а
*
)
(/)
= С,У
(Х|)
е
5
' +С
2
\
а2)
е~' = с
к=\
або
х{1) =
С
х
е
і
'
+
С
2
е~',
у(І) = 2С
]
е
5
'-С
2
е~'. М
Приклад
13.
Знайти загальний розв'язок системи
дифе-
ренціальних рівнянь
СІХ.
сії
сіх
X, + х
7
,
2 _
сії
-2х, + Зх
2
двома
способами:
1)
методом
виключення;
2)
методом
Ейлера.
• Задана система є лінійною однорідною системою зі сталими кое-
фіцієнтами, де невідомими є функції х, = х,(0, х
2
= х
2
(0 . Система відпо-
відає випадку, коли корені характеристичного рівняння комплексно-спря-
жені (див. розв'язання). Розв'язання системи виконаємо двома способами.
Спосіб 1. Метод виключення (зведення до однорідного диференціаль-
ного рівняння другого порядку).
Запишемо задану систему у вигляді
І X] -- Х|
~\~
х
2
,
[х'
2
= -2х| +3х
2
.
З першого рівняння системи знаходимо х
2
:
Х
2
—Х| Х| .
Звідси
Х
2
— X] Х| .
Підставимо х
2
та х
2
у друге рівняння системи:
х"
—
х\
= -2х| +3(х[ -Х|).
Після перетворень отримуємо
х"-4х\
+5Х| =0 .
Целінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі ста-
лими коефіцієнтами, розв'язання якого виконується відомим методом.
142
Глава 1. Диференціальні рівняння
Записуємо характеристичне рівняння
к
2
-4А +5 = 0 .
Корені його к
}
2 = 2 +і - комплексно-спряжені.
Отже,
загальний розв'язок отриманого рівняння є
Х](0~
е
2
'(С,
соз/ + С
2
зіп/).
Далі знаходимо х\:
х\
= 2е
2
'{С
1
соз/ + С
2
5Іп/)
+ е
2
'(-С, зіп/ + С
2
соз/) =
= є
2
' [С, (2 соз/ - зіп /) + С
2
(2 зіп / +
соз/)].
Підставимо X] та х\ у вираз для визначення функції х
2
:
х
2
= х[-х
]
=е
2
'[С|(2соз/-зіп/) + С
2
(2зіп/ +
со5/)]-
-е
2
'(С,
соз/ + С
2
зіп/) = е
2
'[С,
(соз/-5Іп/)
+ С
2
(зіп/ +
соз/)].
Отже,
загальний розв'язок заданої системи такий:
х, (/) = е
2
' (С, соз/ + С
2
зіп/),
Х
2
(1) = Є
2
'[С
|
(С05/-8ІП/) +
С
2
(5ІП/
+
С08/)]
.
Спосіб 2. Метод Ейлера (за допомогою характеристичного рівняння).
Для заданої системи
ах
{
сії
сіх
1
'•
Х\
"Ь
Х-)
Ж
• —
—2х, + Зх-,
матриця якої А =
( 1 1
2 З
йеІ(А-Х.Е) =
, складаємо характеристичне рівняння:
(1-А0(3-А,) + 2 = 0
-X 1
•2 3-Х
або
X
2
-4Х
+ 5 = 0,
яке має корені Х
]2
= 2 ± / - комплексно-спряжені.
Для знаходження власного вектора, який відповідає кореню X
—
2 + і,
отримуємо систему, у якій два рівняння еквівалентні (перевірте!)
[(-1-/)*,+ х
2
=0,
\х\=С,
{ => х
7
=(1 + ()х, => \
[ -2х, +(1-/)х
2
=0
2 1
[х
2
=(1 + /)С.
§3.
Системи диференціальних рівнянь
143
Нехай
С = 1,
тоді
=
1,
х
2
=
1
+ /,
тобто
У
(Х,)
=
Х
{Х
\і)
=
У
іХ)
е
{2+
'
)
'
'
1
4
(
1
"і
Г
і ")
'
1
4
е
(2
+
,),
=
Є
Є =
+
\
+
і
Є
'
(СОЗ
/
+ І
ЗІП /)
=
'
е
2
' соз/ + /е
2
'
ЗІП/
е
2
'СОЗ/
Є
2
'(С05/-5ІП/)
+
/Є
2
'(С05/
+
ЗІП/)
] ^
Є
2
'(СОЗ/-ЗІП/)
/
_2/
+
/
е
зіп/
Є~'(СОЗ/
+
5ІП/)
Звідси пара дійсних частинних розв'язків
має
вигляд:
Х
а,)
(0=
Ке
Х
(Х2)
(/)
= Іт
:
+
/
,(2+0/
е
2
' соз/
е
2
'
(соз/
-
зіп/)
е
2
' зіп/
Є
2
'(С08/
+
5ІП/)
СОЗ/
соз/-зіп/
ЗІП/
С08/
+
81П/^
є
21
.
Остаточно отримуємо загальний розв'язок
Х(/)
=
С,Х
а,,
(/)
+
С
2
Х
(Я
-
2)
(/)=
с,
^
С| соз/ + С
2
зіп/
С|(с08/-8ІП/)
+ С
2
(СОЗ/ +5ІП/)
соз/
соз/
— зіп /
2/
. ^
е
+
Сп
зіп/
соз/
+зіп/
є
21
=
або
х,
(/)
=
е
(С,
соз / +
С
2
зіп
/),
Х
2
(/)
=
Є
2
'[Сі(С05/-8ІП/)
+
С
2
(5ІП/
+
С03/)]
.
Приклад
14.
Знайти загальний розв'язок системи дифе-
ренціальних
рівнянь
сіх
х
сії
сіх
-
=
4х,
+
6х,
двома
способами:
1) методом
виключення;
2)
методом Ейлера.
•
Задана система
є
лінійною однорідною системою
зі
сталими кое-
фіцієнтами,
де
невідомими
є
функції
ЛГ|
= х
х
(І), х
2
=
х
2
(І).
Система відпо-
відає випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні, кратні (див.
розв'язання). Розв'язання системи виконаємо двома способами.
144
Глава
1.
Диференціальні рівняння
Спосіб
І.
Метод виключення (зведення
до
однорідного диференціаль-
ного рівняння другого порядку).
Запишемо задану систему
у
вигляді
[
х
] ~
2х
1
~~
х
2
>
[х
2
—
4*1
+6х
2
.
З першого рівняння системи знаходимо
х
2
:
Звідси
х
2
—
х |
-ь
2
х |.
Х
2
—~ X] -г/Х] .
Підставимо
х
2
та х
2
у
друге рівняння системи:
-х*
+ 2х[
=4Х|
+ 6(-х[
+2х|).
Після перетворень отримуємо
х*-8х,'
+ 16х, =0.
Це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку
зі
ста-
лими коефіцієнтами, розв'язання якого виконується відомим методом.
Записуємо характеристичне рівняння
к
2
-%к
+
\6
=
0,
(к-4)
2
= 0.
Корені його
к
х
=к
2
=4
-дійсні, кратні,
з
показником кратності
г=2 .
Отже,
загальний розв'язок отриманого рівняння
є
х
і
(і)
= С
]
е
4
'
+іС
2
е
4
'.
Далі знаходимо
х[:
х;=4С
|Є
4
'+С
2
е
4
'+4ґС
2
е
4
'.
Підставимо
х, та х\ у
вираз
для
визначення функції
х
2
:
х
2
= -х\ + 2х, =
е
4
'
(- 4С, - С
2
-
41
С
2
) + 2е
4
'
(С,
+ (С
2
) =
=
Є
4
'[С,(-2)+С
2
(-1-2/)].
Отже,
загальний розв'язок заданої системи такий:
х
1
(і)
=
(С
1
+іС
2
)е
4
',
х
2
(0 =
[-2С,-(1+2/)С
2
]
Є
4
'.
§3.
Системи диференціальних рівнянь
145
Спосіб
2.
Метод Ейлера
(за
допомогою характеристичного рівняння).
Для заданої системи
ах
{
їй
сіх
2
-
4х, + 6х
2
матриця якої
А =
2
-1
4
6
<іеІ(А-Х,Е)
, складаємо характеристичне рівняння:
2-Х
-1
4
6-Х
••(2-Х)(6-Х)
+ 4 = 0
або
х
(Х)
(0
=
X
2
-8^+16
= 0,
(Х-4)
2
= 0,
яке
має
корені
Х
х
= Х
2
= X = 4 ,
тобто корінь
X = 4 -
дійсний, кратний
з по-
казником кратності
г = 2 .
Тому шукаємо розв'язок системи
у
вигляді
х
2
(і)]
[а
2
+$
2
і
де
а|,р
1
,а
2
,Р
2
-
невизначені коефіцієнти.
Тобто
х,(0
=
(а, +Р,0е
4
',
х
2
(0 = (а
2
+р
2
0е
4
'•
Звідси
х;(0 = Р,е
4
' +(а, +Р,0-4е
4
' =(4а, +р,
+
4р,0е
4
',
х
2
(0
=
р
2
«
4
'
+(«2
+Р
2
0'4е
4
'
=(4а
2
+р
2
+4р
2
;)е
4
'.
Підставивши х,(г), х
2
(/),
х((0, х
2
(0 в
задану систему
та
скорочую-
чи
на е
4
',
отримуємо
|4а,
+Р,
+4р,/
= 2а, +
2Р,/-а
2
-Р
2
/,
|4а
2
+Р
2
+4Р
2
/
=
4а,
+
4р,/
+
6а
2
+6Р
2
Л
Прирівнюючи коефіцієнти
при
однакових степенях
і,
отримуємо сис-
тему
для
визначення коефіцієнтів
а
1
,р,,а
2
,р
2
146
Глава 1, Диференціальні рівняння
або
4а, + р, = 2а, -а
2
,
4а
2
+Р
2
=4а, +6а
2
,
4Р
2
=4р,+6р
2
,
+ 2а, + а
2
= 0,
Р
2
-4а, -2а
2
=0,
2р,
+ р
2
=0,
1-4р,-2р
2
=0.
Треба знайти нетривіальні розв'язки цієї системи. Враховуючи, що
ранг матриці цієї системи дорівнює двом (перевірте!), маємо дві вільні змін-
ні,
наприклад, а,, р
(
.
Позначимо а, = С,, Р] =С
2
. Маємо Р
2
=-2С
2
, а
2
= —2С, -С
2
.
Отже, дістали загальний розв'язок системи у вигляді
Х(0
:
X
м
(і) =
с,+су
-2С,
-С
2
-2С
2
/
{-2С,+С
2
(-\-2())
або
х
]
(()
= (С
І
+С
2
і)е" ,
х
2
(/) = [-2С, -(\+2і)С
2
]е
41
.
Приклад 15. Знайти частинний розв'язок лінійної одно-
рідної системи диференціальних рівнянь
~н
х^
5
2х, + Зх
2
+ 4х
3
,
який задовольняє початкові умови
х,(0) = 6, х
2
(0) = -6, х
3
(0) = 24.
• Задана система є лінійною однорідною системою зі сталими коефі-
цієнтами, що складається з трьох рівнянь, де невідомими є функції х, = х, (і),
х
2
= х
2
(/), х
3
= х
3
(7). Скористаємось методом Ейлера для знаходження за-
гального розв'язку системи.
СІХ\
сії
сіх
2
сії
сіх
3
сії
§3.
Системи диференціальних рівнянь
147
Матриця системи
А =
4 1 О
3 2 0
2 3 4
або
Характеристичне рівняння
4-Х 1 0
сіеі(А->.Е)= З 2-Х 0 =0.
2 З 4-Х
Розкриваючи визначник, маємо
(4-Х)[(4-Х)(2-Х)-3] = 0
(4-Х)(Х
2
-6Х + 5) = 0.
Звідси корені характеристичного рівняння Х
х
=\,Х
2
=4, Х^ = 5 .
Запишемо систему для визначення власних векторів
(4-Х)х
1
+ х
2
=0,
Зх, +(2-Х)х
2
=0,
2х, + Зх
2
+(4-^)х
3
= 0.
Покладаємо послідовно Х
х
=\,Х
2
=4,Х
3
=5 в цій системі і отриму-
ємо власні вектори
V
а
'',у<
х
2>,уО-з).
(
2
)
'0
Ч
(\\
-9
у(Х
2
)
=
0
у(*з)
=
1
,
7
, Л
Тому фундаментальну систему запишемо у вигляді:
Х
(А,)
І г\
-9
, 7 ,
(0
е
1
, X
(*2)
V
і
/
е , X
(*з)
ҐР
,5 ,
Звідси маємо загальний розв'язок системи:
' з
4
'0
Ч
'р
Х(/) = С,
-9 е' +С
2
0
е + С^ 1
,
7
,
Л
Для відшукання частинного розв'язку визначимо сталі
С
х
,С
2
,С
г
,
вра-
ховуючи початкові умови:
148
Глава 1. Диференціальні рівняння
'*і(ОГ ( зл
п
^
' зс, +с
3
>
Г
6>
Х(0) =
х
2
(0) -9 + С
г
0
+ с
3
1
=
-9С,
+С
3
=
-6
^з(0).
,
7
,
Л А
7С,
+ С
2
+ 5С
3
,
24
,
Маємо систему:
ЗС,
+С
3
= 6,
«-9С,
+С
3
=-6,
7С,+С
2
+5С
3
=24.
Розв'язавши систему, отримаємо С, = 1, С
2
= 2, С
3
= 3.
Остаточно шуканий частинний розв'язок такий:
' 3
4
ГП
х(0 =
х
2
(0
=
-9 е' +2 0 е
4
'+3 1
,
7
.
,1.
,5.
або
х,(Г) = Зе' +3е
5
',
х
2
(/) = -9е' + Зе
5
',
х
і
(1)
= 7е' +2е*' + \5е
ІІ
.<
Лінійні неоднорідні системи диференціальних
рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Приклад 16. Знайти загальний розв'язок лінійної неод-
норідної системи диференціальних рівнянь
СІХ,
—- = ох, + х
7
+ /,
сії
1 2
сіх
7
—- = 5х, + 2х
7
+1
. СІЇ
12
трьома способами:
1) методом виключення;
2) методом варіації довільних сталих;
3) методом підбору вигляду частинного розв'язку за ви-
глядом правої частини.
§3.
Системи диференціальних рівнянь
149
• Маємо лінійну неоднорідну систему диференціальних рівнянь зі
сталими коефіцієнтами, де невідомими є функції х
х
= Х\{1), х
2
=
х
2
(().
Розв'язання системи виконуємо трьома способами.
Спосіб 1. Метод виключення.
Запишемо систему у вигляді
\х\ = 6х
{
+х
2
+1,
[х'
2
= 5дГ] + 2х
2
+1.
З першого рівняння системи знаходимо х
2
:
Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами. Відповідне йому однорідне рівняння
Частинний розв'язок неоднорідного рівняння (2) шукаємо у вигляді:
ї, = Аі+В.
Звідси х[ = А, х"=0.
Підставляємо це в диференціальне рівняння (2):
-8А + 7(Аі + В) = -2і + 2 .
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях /:
1
]
7/1 = -2
I
а
-ІА + 1В=2
(1)
(2)
х"
—
%х\ + 1х
х
= 0 .
Характеристичне рівняння
к
1
-8к + 7 = 0,
корені якого А] = 7, к
2
=
1
- дійсні, різні.
Загальний розв'язок однорідного рівняння
(3)
х,
о
=С,е
1
'+С
2
е
І
.
150
Глава 1. Диференціальні рівняння
2 2
Звідси А-—, В =
7 49
Отже,
2 2
х, = —-/ .
1
7 49
Загальний розв'язок диференціального рівняння (2) представляється
у вигляді:
2 2
*, = х, +х, =СіЄ
71
+С
7
е'—і
1
7 49
Звідси
7
Підставимо Х| та х[ у формулу (1):
х
2
= х'
і
-6х
І
-І =7С
]
е
11
+С
2
е'
б|с,е
7
'
+С
2
е' ~^(~~^-( =
= С,е
71
-5С
2
е' + -/-—.
'
2
7 49
Отже, загальний розв'язок заданої неоднорідної системи такий:
х,(/) = С,е" +СтЄ ——і
—
—
1
7 49
х
2
(і) = С,е
1
' -5С
2
е' +-(- — .
21 2
7 49
Спосіб 2. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа).
Для заданої неоднорідної системи
сіх,
,
—
!
- = 6х
і
+х
2
сії
сіх
Ні
- = 5х, + 2х
2
+1
записуємо відповідну однорідну систему
ах,
Ті
сіх
••
бХі +
х->
сії
- = 5х, +2х,
і знаходимо п загальний розв язок.