Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2,

Диференціальні рівняння вищих порядків

111

Таким чином, для визначення функції х(і) маємо рівняння:

сії

Інтегруючи, знаходимо

_ т

Оскільки 5(0) = 0,зо С

= 0, тоді шуканий закон руху має вигляд

Приклад 28. Два однакових вантажі підвішені до кінця

пружини. Знайти рівняння руху, яке здійснюватиме один з цих

вантажів, якщо інший відірветься.

• Нехай збільшення довжини пружини під дією одного вантажу у

стані спокою дорівнює а і маса вантажу т . Позначимо через х координа-

ту вантажу, яка відраховується по веріикалі від положення рівноваги при

наявності одного вантажу. Тоді

сі

—

тц -

(х

а),

отже,

сії

Загальний розв'язок цього рівняння:

= Сі

соз

І.

Початкові умови дають

—

а, — = 0 при

—

сії

звідки С, = а, С

= 0, отже

112

Глава

1, Диференціальні рівняння

IV. Задачі для практичних занять

Основні поняття

1.200. Знайти область існування та єдиності розв'язку ди-

ференціального рівняння:

а) у =х + л]х -у , б) у =у\пу.

1.201. Показати, що задана функція при будь-яких значен-

нях С|,С

,С

є К є розв'язком даного диференціального рів-

няння:

а) у

—

Іпх + С

]

+С

х + С

ху""

= 2;

б) е

$т

(С

х + С

) = 2С

, у" = е

;

в)

С,

у =

8Іп(С,

х + С

), уу"

+ 1

= у'

1.202. Показати, що задана функція є розв'язком вказано-

го диференціального рівняння:

а) У =

^(х

+\\

+ /

=2у/;

б) у = е

, у

+у'

=2уу".

1.203. Скласти диференціальні рівняння заданих сімей

кривих шляхом виключення параметрів:

а) прямих на площині, не паралельних осі Оу;

б) синусоїд у = А зіп(х + а), де А та а - параметри;

в) парабол з віссю, паралельною осі Оу .

Диференціальні рівняння вищих порядків, які

допускають зниження порядку

У задачах 1.204 - 1.235 розв'язати вказані диференціальні

рівняння, використовуючи методи зниження порядку.

1.204. у" = х + зіпх. 1.205. у" = агсі£х .

1.206. / = Іпх. 1.207. у" = -.

1.208. у" = соз2х. 1.209. ху* = 2х + 3.

§2,

Диференціальні рівняння вищих порядків

113

1.210./ = -£=. 1.

1.211.

/ =

1 + х

1.212. ху" - у'. 1.213. у"

у'

х.

1.214. у'

х.

1.215.

+ х

)/ +

(/)

= 0.

1.217. (у")

=у.

1.218.

2хуУ

= (у')

+\.

1.219./-2сі8х-/=8іп

х.

1.220. 1 + (у')

= 2У. 1.221. (у')

+ 2ду* = 0 .

1.226.

у(\-\\\у)у"+(\

+ \пу)(у')

1.227. і/соз^ +

У)

8Іп.у=У.

1.228. уу"-{у')

=у

у . 1.229.

х/-4(/)

1.230. ху"-у' =

1.231.

хУ

*У-1

1.232. >Л =

2(/-1)сї§х

. 1.233.

хУ

= (у")

1.234.

= *

(У)

1.235.

х/(У-/

)-.У=*У.

У задачах

1.236

- 1.245 знайти частинні розв'язки вказа-

них диференціальних рівнянь при заданих початкових умовах.

1.236. /(х

+1) =

2ху; у(0) =

/(0)

= 3 .

1.237. ху'+ х(/)

- у =

; у{2)

/(2)

1.222. у" +

—

У)

=0.

1.223. У +

У)

=1.

1.224. У =

(/)

У)

1.225.

2У-3(/)

=4/.

114

Глава

1. Диференціальні рівняння

1.238. / = іі

і1; Х2) =

0,/(2)

= 4.

1.239.

= З/ ;

Х~2)

/("2)

-1

•

1.240. уу = (/)

(г/)

;

у(\) = 1, /(1) = -1.

1.241. А* =

-1;

у(1) = 1,/(1) = 0.

1.242. /-// =

у(0) = л/2, у'(0) = ~.

1.243. / =

Х0) =

0,/(0)

= 1.

1.244.

2(у')

/(.у

-1);

XI) =

/(1)

-1

•

1.245. у" = ху' + у +1; у(0) =

/(0)

1.246.

Знайти інтегральну криву диференціального рівнян-

ня уу'у" = у'

+ у'

, для якої дотичною на початку координат є

пряма х + у =

1.247.

Знайти інтегральну криву диференціального рівнян-

ня уу"+у' -1 = 0, яка проходить через точку

(0,1)

і дотич-

ною до якої в цій точці є пряма х + у =

Лінійні диференціальні рівняння із змінними

коефіцієнтами

1.248. Знайти загальний розв'язок заданого лінійного од-

норідного диференціального рівняння, якщо відомий його час-

тинний розв'язок у

(х):

а)

(\-х

)у"-ху'

+ 9у = 0,

У]

(х) = 4х

-Зх;

б) у'-Щх-у'+2у = 0, у

]

(х) = $'тх;

в) ху +2у+ху = 0, у

]

(х) = ;

г)

(1-х

)у"-2ху'

+ 2у =

(х) = х .

1.249. Лінійне однорідне диференціальне рівняння

(2х

- х

)/ + (х

- 2)у + 2(1 -х)у = 0

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

115

має частинний розв'язок у

(х) = е

. Знайти розв'язок рівнян-

ня,

який задовольняє початкові умови у(\) = 0, у\і) = 1.

1.250. Використовуючи метод варіації довільних сталих,

знайти загальні розв'язки вказаних лінійних неоднорідних ди-

ференціальних рівнянь:

а)

у"

- ху' - Зх

;

б) х у -ху +у = Ах ;

№ X / 1

в) у -у + -у = х-\\

х -

х - 1

г) (Зх + 2х

)у"-6(1 + х)у' + 6у = 6.

1.252. Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

+ х

)/ + 2ху -2у = 4х

має частинний розв'язок .^(х) = х . Знайти розв'язок рівнян-

ня,

який задовольняє початкові умови у{-\) = 0, у\~1) = 0 .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

п -го порядку зі сталими коефіцієнтами

У задачах 1.252 - 1.265 знайти загальні розв'язки вказа-

них диференціальних рівнянь.

1.252. у" + у'-2у = 0. 1.253. у"-9у = 0 .

1.254. / - Ау = 0 . 1.255.

у"-2у'-у

= 0.

1.256. Зу*-2у-&у = 0. 1.257. у' + у = 0.

1.258. у" + 6у' +1 Зу = 0 . 1.259. 4/ - 8/ + 5у = 0.

гі

х /ТУ

1.260.

у"-2у'

+ у = 0. 1.261.4^-20—+25х=0.

сії

1.262. у

ІУ

+4/+ 3^ = 0. 1.263. у' + 8/Чіб/ = 0.

1.264. у

-6у

ІУ

+9у" = 0. 1.265. /' +2у

+ у'

=0.

У задачах 1.266 - 1.270 знайти розв'язки даних диферен-

ціальних рівнянь, які задовольняють вказані початкові умови.

1.266. / - 4у + Зу = 0; у(0) = 6, /(0) = 10.

116

Глава 1. Диференціальні рівняння

1.267. у'

4у'+29у = 0; у(0)

/(0)

= 15.

1.268. 4у"

4у'+ у

= 0

; у(0) = 2,

/(0) = 0

1.269. у'-2у+у = 0; у(2)

/(2)

= -2 .

1.270. ^"-/ = 0; Я0) =

3,У(0)

= -1,/(0) = 1.

1.271. Знайти інтегральну криву рівняння у"

9у - О, яка

проходить через точку

М(тс,

- 1) і дотичною до якої в цій точці

є пряма у +1 = х - п.

1.272. Знайти інтегральну криву рівняння у" - у

до-

тична до якої в точці

(9(0,0)

є прямою з рівнянням у = х .

1.273. Знайти інтегральну криву диференціального рівнян-

ня у" - 4у'

Зу =

яка проходить через точку М(0,2) і дотич-

ною до якої в цій точці є пряма 2х - 2у + 4 =

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

п -го порядку зі сталими коефіцієнтами

У задачах 1.274 - 1.282 для кожного з заданих лінійних

неоднорідних диференціальних рівнянь вказати вигляд частин-

ного розв'язку з невизначеними коефіцієнтами (числових зна-

чень коефіцієнтів не знаходити).

1.274. / - 8/ + 16у = (1 - х) е

4х

1.275. у'-4у=хе

Лх

1.276. у" - 1у = (х -1)

1.277. у' + 2у +5у = е

((х +

соз 2х +

зіп 2х).

1.278. у' -4у'

\3у = е

2х

(х

соз Зх - х зіп Зх).

1.279. /+9у = соз2х.

1.280. у"

2у'

2у = е

8Іпх.

1.281. у" - 2у'

5у = хе

соз 2х -

зіп 2х.

1.282. у

,у

+ 4у"

4у = х зіп 2х .

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

117

У задачах 1.283 - 1.296 знайти загальні розв'язки заданих

лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1.283. 2у"+у'-у = 2е

1.284. у' + а

у = е

1.285. у" - 7у' + 6у = зіп х .

1.286.

у" + 2у'+ 5у = - — соз2х .

1.287.

у'-6у'

+ 9у = 2х

-х + 3.

1.288.

у'-2у+2у = 2х.

1.289. / + 4/-5.У = 1.

1.290.

у" - 3у' + 2у = /(х), якщо:

1)/(х) = 10е-

; 2) Дх) = 3е

2х

;

3)Дх) = 2зіпх; 4)/(х) = 2х

-30;

5)/(х) = 2

*со

|; 6) Дх) = е*(3-4х).

1.291. / + >>'-2г; = 8зіп2х.

1.292. у" + у = созх .

1.293. у' + у'-6у = хе

2х

1.294.

у"-2у'

+ 5у = е

со&2х.

1.295. а) у"-3у'+3у'-у = е

;

б) у" -Зу' + 2у =

е'

{Ах

+4х-10).

1.296.

а) у

,у

+у' = х

+ х;

б) і/

+ 8т/+16>> = созх.

У задачах 1.297 - 1.302 визначити вигляд частинного роз-

в'язку заданих лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь,

використовуючи принцип суперпозиції розв'язків (числових зна-

чень коефіцієнтів не знаходити).

118

Глава

І. Диференціальні рівняння

1.297.

у'-у-2у

= е

+ е~

2х

1.298. у'

4у' = х

е~*

1.299. у"

—

у = х + зіп х .

1.300. у" - 2у + 2у = (1 + зіп х) е

1.301. /"-/=И-е\

1.302. у"

4у = е

2х

+ зіп2х.

1.303. /-4/ =

2со8

4х.

У задачах 1.304 - 1.309 розв'язати задані лінійні неоднорід-

ні диференціальні рівняння, використовуючи принцип суперпо-

зиції розв'язків.

1.304.

у"-у'-2у

= 4х-2е

1.305. у" - 3у' = 18х -10 соз х.

1.306.

у'-2у'+у = 2 +

5іпх.

1.307.

2/ - Зу -2у = 5е

сЬ х.

1.308. у"

у' - соз

х + е

+х

1.309. у" - 4 у + 4у = Дх), якщо

1) /(х) = зіп х соз 2х; 2) /(х) =

(х

+ е

2х

+ зіп 2х);

3) Дх) = зп 2х; 4) Дх) = е

- зп (х -1).

1.310.

+у'

вх + е~

У задачах

1.311-1.316

розв'язати

задані лінійні неоднорід-

ні диференціальні рівняння, застосувавши метод варіації довіль-

них сталих.

1.311. у"

у = 1§х. 1.312.

у"-2у'

у = — .

1.313. у"

у-—-—.

1.314. у"-у = \Ьх.

созх

1.315. у" - у'= —-—•

1.316.

у"

у = —\—.

+1 соз х

У задачах 1.317 - 1.321 знайти частинні розв'язки даних ди-

ференціальних рівнянь, які задовольняють вказані початкові умови.

§2,

Диференціальні рівняння вищих порядків

119

1.317.

4/+1б/

15;у

= 4е

*; у(0) =

/(0) =

-5,5.

1.318. у'-2у'+\0у

= \0х

18х

+ 6; Х0)=1,/(0)=3,2.

1.319.

/-/ =

2(1-х);

Х0) = 1,/(0) = 1.

1.320. у"-2у=е

(х

+ х-3);

Х0)

= 2,

/(0) =

1.321.

у" + у =

-8Іп2х

; у(к) =

/(тс) = 1.

Диференціальні рівняння Ейлера

У задачах

1.322 - 1.327

знайти загальні розв'язки вказа-

них диференціальних рівнянь Ейлера.

1.322.

а)

у'-9ху'

+ 2\у = 0; б) х

у" + ху'+ у = 0 ;

в)

у" -

Зху"

+ З/ = 0; г) х

у" - 2/ = 0 ;

д) (2х +1)

у -

2 (2х

+1)/ + 4у = 0 .

1.323.

у"' +

ху''

+ у = х .

1.324.

/-21 + 4 =

ххх

1.325.

у"-

2ху'+2у

= 2х

-х .

1.326. х

/-6^

12Іпх.

1.327.

у" + ху' + 4у = ]0х.

1.328. Знайти рівняння руху точки

а =

,*(/),

якщо приско-

рення

залежності

від

часу задається формулою

а - \,2і і

якщо

відстань

5 = 0 при / = 0,

відстань

= 20 при

= 5.

1.329. Тіло масою

ковзає

по

горизонтальній площині

під дією поштовху, який

дає

початкову швидкість

На

тіло

діє сила тертя,

яка

дорівнює

кт

Знайти відстань,

яку

зможе

пройти тіло.

1.330. Матеріальна точка масою

т =

рухається прямолі-

нійно, наближаючись

до

центра, який відштовхує

її з

силою,

рівною

х (х -

відстань точки

від

центра).

При

= 0 х = а ,

сіх

„

—

= ка

. Знайти закон руху точки.

сії

120

Глава 1. Диференціальні рівняння

§3.

Системи диференціальних рівнянь

І.

Короткі теоретичні відомості

Основні поняття. Система к диференціальних рівнянь, яка зв'язує

незалежну змінну х і к функцій

(х),

(х\у

(х),

розв'язана віднос-

но старших похідних цих функцій

у\*\х),

у^\х),...,у\

\х),

називається канонічною системою диференціальних рівнянь порядку п .

п =

Р\

Рі

• •

•

Рк • Така система має вигляд

„(Р2)

(Рк )(

УУ"(х) = /

]

{х,у

]

,..., у]'

Ук,

•

>Укт

(1.114)

у[

п)

(х) = /

(х,у

,...,у\

(РІ-І)

,я"

Нехай к-п і р^ = р

• • •

= р„ = 1, тобто система рівнянь склада-

ється з п диференціальних рівнянь першого порядку.

Система вигляду

у'\(х)

А(х,ух,...,

у„),

У2(Х)

,У\,-,У„\

(] П5)

Уп(х) = /

(х,у

]

,..., у„)

називається нормальною системою. Число п називається її порядком.

Розв 'язком системи (1.115) на інтервалі а< х < Ь називається сукуп-

ність функцій

У\(х) = Фі(х\ у

(х) = <р

(х),..., у„(х) = <р„(х),

неперервно диференційовних на (а, Ь) і таких, що перетворюють рівняння

системи (1.115) в тотожності відносно х є

(а,Ь).

Задача Коші для нормальної системи (1.115) ставиться так:

знайти розв'язок системи (1.115), який задовольняє початкові умови

У^^-УІ

(х

)

= УІ-,

Уп(хо)

У°„,

(1-П6)

У\ .

У2>

• • •

УІ ~ задані числа.