Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2. Диференціальні рівняння вищих порядків 91

Виконуємо підстановку

у-у\(х)

•

г(х), тобто покладемо

—

х-2,

у = Х2 + 2, у = Х2 +12 .

Підставивши ці вирази в задане диференціальне рівняння, отримаємо

+ 1)(х/ + 22) -

ІХ (Х2

+ і) +

2X2

= 0

або,

після перетворень

х(х

+})г' + 22'=0.

Тепер,

поклавши

2-й,

—

и ,

приходимо до рівняння першого порядку відносно функції и = и(х)

х(х

І)и' +

2и = 0.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Його загальний розв'я-

зок має вигляд

(перевірте!).

Звідси, враховуючи, що и = г , отримуємо рівняння першого поряд-

ку відносно 2

)

СІХ

Інтегруючи останнє рівняння, знаходимо

{

~І')

+Сг

Оскільки у = хг , тобто 2 = —, отримуємо загальний розв'язок вихід-

ного рівняння

у = С^(х

-\) +

х.<

Приклад

11. Розв'язати задане диференціальне рівняння

' 2

ху

+у = х ,

використовуючи

метод варіації довільних сталих.

•

Задане рівняння є лінійним неоднорідним диференціальним рівнян-

ням другого порядку із змінними коефіцієнтами.

Розв'язуємо відповідне заданому рівнянню однорідне рівняння

ху" + у - 0.

Глава І. Диференціальні рівняння

Використовуючи методи зниження порядку, отримаємо його загаль-

ний розв'язок

у = С, 1пх + С

(перевірте!).

Загальний розв'язок вихідного рівняння, згідно з методом варіації

довільних сталих, шукаємо у вигляді

у = С, (х)

1п

х + С

(х) .

Задане рівняння представляємо у вигляді

• У

у +—-Х.

Далі складаємо систему для визначення С[(х), С

(х) :

С,'(х)1пх + С

(х)1 = 0,

С[(х)-

(х)0

= х.

Звідси

\с[(х)

= х

|С

(х) = -X

Іпх.

Далі, ініегруючи, знаходимо

]

(х) = — + С

, С

(х).

X і х

2 •

З 9

Отже, загальний розв'язок вихідного рівняння мас вигляд

<х

+ С,

х - —

Іп

х + — + С,

З 9

або,

після перетворень

+ С,\пх + С-

)

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

п-го

порядку зі сталими коефіцієнтами

Приклад 12. Знайти загальні розв'язки рівнянь другого

порядку:

а) у"-5у'+6у = 0; б) у"

4у'

Пу = 0.

• Задані рівняння є лінійними однорідними диференціальними рів-

няннями другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

а) для диференціального рівняння

у"-5у'+6у

= 0

складаємо характеристичне рівняння

-5*

+ 6 = 0,

корені якого к\ = 2, к

= 3 - дійсні і різні.

Отже,

фундаментальною системою розв'язків є у\ = е

2х

, у

= е

3х

, а

загальний розв'язок записується так:

у =

2х

+ С

;

б) для диференціального рівняння

у'

+ 4у'+13у = 0

складаємо характеристичне рівняння

+4А +13 = 0,

корені якого к

І2

=-2±Зі

-комплексні(паракомплексно-спряженихкоренів).

Отже,

фундаментальна система розв'язків: у\ = е~

2х

со$Зх , у

= е~

2х

&'тЗх

, а загальний розв'язок представляється у вигляді:

у =

е~

2х

(С\

созЗх + С

зіпЗх).

Приклад

13.

Розв'язати рівняння

у"-3у'+3у'-у = 0.

• Задане рівняння є лінійним однорідним диференціальним рівнян-

ням третього порядку зі сталими коефіцієнтами.

Характеристичне рівняння для заданого диференціального рівняння

-Зк

+Зк-\ = 0

або

(к -1)

має трикратний корінь к

]23

= \ .

Отже,

фундаментальна система розв'язків: у, =е

, у

= хе

дг

,_у

=х

а загальний розв'язок мас вигляд:

= {С\ +С

)е

Приклад

14.

Знайти загальні розв'язки заданих

рівнянь:

а) /

-2/ = 0; б) у

,у

+2у'+у = 0.

Глава І. Диференціальні рівняння

• Задані рівняння є лінійними однорідними диференціальними рів-

няннями четвертого порядку зі сталими коефіцієнтами.

а) для диференціального рівняння

'-2у' = 0

складаємо характеристичне рівняння

к* ~2к

= 0,

(к

-2)

= 0,

корені якого А:,

=0, к^

= ±л/ї .

Отже, фундаментальна система розв'язків: у

=е

0х

= 1, у

=х,

Уз = е , у

= е ' , а загальний розв язок представляється так:

у =

[

+С

х4ї

+ С

е-^;

б) для диференціального рівняння

+ у = 0

складаємо характеристичне рівняння

+2к

=0,

(Л

+1)

-0,

Це рівняння мас двократні комплексно-спряжені корені к

= ±/.

Врахуємо, що показник кратності г-2 і те, що, виходячи з загально-

го вигляду комплексно-спряжених коренів к

х2

= а + /р (у нашому випадку

а = 0, Р = 1), отримаємо фундаментальну систему розв'язків: у

]

= созх,

- хсозх, уз = 5Іп х, у

= хзіп х , а загальний розв'язок набуде вигляду:

у = (С, + С

х)созх + (С

+С

х)зіпх . А

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

/7-го

порядку зі сталими коефіцієнтами

Приклад 15. Знайти загальні розв'язки заданих рівнянь:

а) 2у"-у'-у = 4хе

2х

; б)

у'-2у'

+ 2у = х

• Маємо лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими кое-

фіцієнтами з правими частинами спеціаіьного вигляду.

а) для диференціального рівняння

2у -у - у = 4

хе"

відповідне йому однорідне рівняння

2у'-у'-у = 0.

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

Складаємо характеристичне рівняння

2к

- А-1=0,

корені якого А, =1, к

=-^-.

Загальний розв'язок однорідного рівняння:

=С

]Є

+С

е~~>

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукатимемо методом

підбору за виглядом правої частини /(х), тобто у вигляді

у = е

2х

{Ах

В),

бо права частина заданого рівняння /(х) =

4хе

2х

співпадає з загальним

виглядом правої частини /(х) - (х) є

" при 5 = 1, а = 2 , причому а = 2

не є коренем характеристичного рівняння.

Знаходимо у\ у" та, підставляючи у, у', у" у задане диференціаль-

не рівняння, отримаємо тотожність. Тут і далі для зручності обчислень ви-

писуватимемо вирази для у, у',

у",...

в окремі рядки і зліва за вертикаль-

ною рискою розміщувати коефіцієнти, що стоять перед ними в рівнянні.

Множимо ці вирази на коефіцієнти, додаємо, зводимо подібні члени і маємо

тотожність, яка записується нижче горизонтальної риски. Отже, маємо

-1

у = е

2х

(Ах+В)

у"

2е

2х

(Ах

В)

2х

•

А = е

2х

(2Ах

2В

А)

у"

2е

2х

(2Ах

2В

А)+е

2х

-2А = е

2х

(4Ах

4В

4А)

2у"-у'-у= е

2х

(5 Ах

5В +1А)

4хе

2х

Скоротивши на е*

та прирівнявши коефіцієнти при однакових сте-

пенях х, маємо

Х°

5А

5Я + 7Л = 0

Звідки А = —, В = .

5 25

Таким чином, частинний розв'язок неоднорідного диференціального

рівняння має вигляд

Глава 1. Диференціальні рівняння

Загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:

~ * ~ "І ->х(4 28

У-

+У=С,Є

+ С

е 2+е

І7

ДГ

~^|-

б) для диференціального рівняння

у'-2_у'

+ 2

V-

= х

відповідне йому однорідне рівняння

у'-2у'

+ 2у = 0.

Складаємо характеристичне рівняння

-2к + 2 = 0,

корені якого А1

=1± /

•

Загальний розв'язок однорідного рівняння:

(С,

СОЗ х

+ С

кіп

х).

Частинний розв'язок неоднорідної о рівняння шукаємо у вигляді

у = Ах

+Вх + С ,

бо права частина заданого рівняння /(х) = х

співпадає з загальним вигля-

дом правої частини /(х) = 0^(х)е

ах

при л = 2, а = 0, причому а = 0 не є

коренем характеристичного рівняння.

Знаходимо у', у" та підставимо у, у', у" у задане диференціальне

рівняння

2 у

—

Ах

+ Вх + С

-2 у' = 2Ах + В

1 у' = 2А

у"-2у'

+ 2у = 2Ах

+х(2В-4А) + (2С-2В + 2А) = х

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х :

2/1 = 1

Х°

25-4Л=0

2С-2£

+ 2Л=0

Звідки А=-, В = \, С = -.

2 2

Таким чином, частинний розв'язок неоднорідної о диференціального

рівняння має вигляд

§2 Диференціальні рівняння вищих порядків

Загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:

У ~ Уо + У

= е

* (С\

С05Х

+ С

$іпх)

+ —(х + 1) . •<

Приклад 16. Знайти загальний розв'язок рівняння

у - 2у + у = хе .

•

Маємо

лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими

коефіцієнтами з правою частиною спеціального вигляду.

Відповідне йому однорідне рівняння

у"-2у'+у = 0.

Складаємо характеристичне рівняння

-2к

\=0,

корені якого А, - к

= 1.

Загальний розв'язок однорідного рівняння:

=(С

х)е

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

у = х

(Ах+В),

бо права частина заданого рівняння /(х) = хе

співпадає з загальним вигля-

дом правої частини /(х) = (х)е

аг

при я = 1, ос = 1, причому число а = 1

співпадає з коренем характеристичного рівняння кратності г - 2 . Останнє

обумовлює присутність множника х

Знаходимо у', у" та підставимо у, у', у" у задане диференціальне

рівняння

у =

(Ах

+Вх

)

-2 у'

(ЗАх

+2Вх)

(Ах

+Вх

)

у"

(Ах

(ЗА

В)

2Вх)

(ЗАх

+2х(ЗА

В)

у"-2у'

у = е

[х

(А-2А + А)

(ЗА + В

ЗА-6А-2В

В) +

+ х(2В

6А

2В-4В)

2В] = хе

Скоротивши на е

, після перетворень маємо

Х-6А

2В

х .

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х, маємо

6А

2В

Звідки А = —, В = 0.

Глава

Диференціальні рівняння

Таким чином, частинний розв'язок неоднорідного диференціального

рівняння

має

вигляд

1 З .V

—

е .

Загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:

У =

Уо + У

(<н

+С

х)е

+~х

Приклад 17. Знайти загальний розв'язок рівняння

у"

4 о/ + 4у = соз 2х.

•

Маємо

лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

зі

сталими

коефіцієнтами

правою частиною спеціального

вигляду.

Відповідне йому однорідне рівняння

у"+4у' +

4у = 0.

Складаємо характеристичне рівняння

або

+4А

+ 4 = 0

(к+2)

= 0.

Корені характеристичного рівняння

А, = к-, = -2 ,

тобто

к = -2 - ко-

рінь кратності

г = 2 .

Загальний розв'язок однорідного рівняння:

=(С

х)е-

2х

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо

вигляді

у =

Лсоз2х

5зіп2х,

бо права частина заданого рівняння

/(х) =

со$2х співпадає

загальним вигля-

дом правої частини

/(х) =

(х)соз|Зх

<2,

(х)5Іпр\х],

тах(«|,Л'

) = *

при 5=0,

а = 0,

= 2,

причому число

/(} = ±2і не є

коренем характерис-

тичного рівняння.

Знаходимо

у', у" та

підставимо

у, у\ у" у

задане диференціальне

рівняння

Асо$2х +

5БІП2Х

у'

-2Лзіп2х

25со5

2х

у"

-4Лсо$2х-455Іп2х

у '

4 у' +

4у =

соз2х

(-4

+ 85 +

4 А)

зіп

2х (-45 -

8Л

В) =

соз

2х

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

Прирівнюючи коефіцієнти при соз2х та зіп2х, маємо

соз2х

5Іп2х

85 = 1

-8/1=0

Звідки А-0, В = — .

Таким чином, частинний розв'язок неоднорідного диференціального

рівняння мас вигляд

1 . _

= —8іп2х .

Загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:

У = У о + У

(С\ +С

х)е ~

—

5Іп2х .

Приклад

18. Знайти загальний розв'язок рівняння

у"

+ у

—

X ЗІП X .

•

Маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими

коефіцієнтами з правою частиною спеціального вигляду.

Відповідне йому однорідне рівняння

+у = 0.

Складаємо характеристичне рівняння

+1 = 0,

корені якого А, 2 = ± / .

Загальний розв'язок однорідного рівняння:

= С,

С05 X

+ С

5ІП

X .

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

у ~ х[(Ах + В)со5х + (Сх+ 0)зіпх],

бо права частина заданого рівняння /(х) = х зіп х співпадає з загальним вигля-

дом правої частини /(х) =

[Р

(х)софх + £\

(х)зіпрх],

та\(5

)

= *

при 5 = 1, а = 0, (5 = 1, причому число а ± /р = ± / є коренем характеристично-

го рівняння (це обумовлює появу у вигляді частинного розв'язку множника х).

Знаходимо у', у" та підставимо у, у" у задане диференціальнерів-

няння

100

Глава І. Диференціальні рівняння

у - (Ах

+ Вх)со5х + (Сх

+ £>х)зіпх

0 у' = (2Ах + #)созх - (Ах

+ Вх)$іп х + (2Сх + £>)зіпх + (Сх

+ £>х)созх

у"

= (2А + 2Сх + й) соз х + (2 Ах + В + Сх

+ Ох)(-зіп х) +

+ (-2 Ах - В + 2С) зіп х + (- Ах

- Вх + 2Сх + О)созх

у"

+ у = (Ах

+ Вх + 2А + 2Сх + О - Ах

-Вх + 2Сх + £)созх +

+ (Сх

+йх-2Ах-В-Сх

-йх-2Ах-В + 2С)$тх = х$тх .

Після перетворень маємо

(4Сх + 2Л + 2£>)созх +

(-4/1х--25

2С)5Іпх

= хзіпх ,

4Схсозх + 2 (А + О)созх - 4Лхзіпх + 2(С - б)зіп х = хзіп х .

Далі прирівнюємо коефіцієнти при хсозх, созх, хзіпх та зіпх

хсозх

созх

хзіп

зіп

4С = 0

2(А + И) = 0

-4А = \

2(С - В) = 0

Звідки А = —, В = 0, С = 0, 0=-.

4 4

Таким чином, частинний розв'язок неоднорідного диференціального

рівняння має вигляд

X .

у = созхн—зіпх .

4 4

Загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:

X .

Уо + У - С

созх + С

зіпх созхн—зіпх . -4

4 4

Приклад

19. Знайти розв'язок рівняння

у"

у'

Оу

= %0е

соз х ,

який

задовольняє початкові умови

гД0)

= 4, /(0) = 10.

•

Маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими

коефіцієнтами з правою частиною спеціального вигляду.

Відповідне йому однорідне рівняння

+ б/+10.у = 0.