Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі

сталими коефіцієнтами. При п = 2 маємо лінійне неоднорідне диферен-

ціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

у"+

РУ+ЧУ = Дх),

де р,ц - задані числа,

/(Х)ФО

- задана функція.

Аналогічно попередньому розглядаються два спеціальні вигляди функ-

ції Дх).

І- Дх) =

ОЛх)е

ал

=(А

х"

+А

іХ

хА

+... +

)е

ах

де

(ЗІ

(х) - многочлен степеня х з заданими коефіцієнтами.

Якщо

1) а не є коренем характеристичного рівняння відповідного однорід-

ного рівняння, то частинний розв'язок у шукаємо у вигляді:

у^Р

(х)е

ах

=(В

х* +В

{

х'-

]

+ ... +

В,)е

де (х) - многочлен степеня .V з невизначеними коефіцієнтами;

2) а - однократний (простий) корінь характеристичного рівняння, то

частинний розв'язок у шукаємо у вигляді:

у =

хР,(х)е

ах

=х(В

х"

+ВУ

+...+

В,)е

ах

де Р,(х) - многочлен степеня 5 з невизначеними коефіцієнтами;

3) а - двократний корінь характеристичного рівняння, то частинний

розв'язок у шукаємо у вигляді:

у =

Р,(х)е

= х

(В

х' +

]Х

]

+...+ В,)е

де Р

(х) - многочлен степеня І' з невизначеними коефіцієнтами.

II.

Дх) =

(х)со

рх

+ Р,

(х)зіпРх],

де

2л,

(х), Л

(

)

—

многочлени степенів

5|,5

відповідно з заданими коефі-

цієнтами,

тах(5,,

)

= * •

Якщо

СС±/р

не є коренем характеристичного рівняння, то частинний

розв'язок у шукаємо у вигляді:

у =е

0и

[и

(

(х)со5рх +

(х)5ІпРх],

де и

(х),^(х) - многочлени степеня .у з невизначеними коефіцієнтами;

2) а±/'Р є коренем характеристичного рівняння, то частинний роз-

в'язок у шукаємо у вигляді:

у =

хе

шг

[м,(х)со5Рх

+У

(х)зіпРх],

де

(х),у

(х)

- многочлени степеня ^ з невизначеними коефіцієнтами.

Глава 1. Диференціальні рівняння

Рівняння Ейлера. Рівняння вигляду

х"у

(п)

+а

х"-у

+ ... + а„^ху'+а„у = Дх), х*0, (1.106)

де а

і = \,п - сталі, називається рівнянням Ейлера.

Це рівняння є частинним випадком лінійного диференціального рів-

няння із змінними коефіцієнтами. Воно зводиться до лінійного неоднорід-

ного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами введенням під-

становки

х = е', якщо х > 0,

(1.107)

х = е , якщо х < 0.

Більш загальний вигляд рівняння Ейлера:

(ах + Ь)"у

(п)

+а

(ах + Ь)"-

]

{

у)

+... + а„^(ах + Ь)у +а„у = Дх), (1.108)

де а,Ь,а

і-\,п - сталі.

Це рівняння зводиться до лінійного диференціального рівняння зі ста-

лими коефіцієнтами підстановкою

ах + Ь = е', якщо ах + Ь > 0,

(1.109)

ах + Ь-е ', якщо ах + Ь < 0.

Однорідне рівняння Ейлера має вигляд

х"у

(п)

+а

]

х"-

{

+...+ а„_

]

ху' + а„у = 0 . (1.110)

Це рівняння зводиться до лінійного однорідного диференціального

рівняння зі сталими коефіцієнтами підстановкою (1.107), або підстановкою

у = х\ х>0. (1.111)

Підставляючи

у,у',...,у

(п)

в однорідне рівняння (1.110), знаходимо

характеристичне рівняння для визначення показника степеня к в підстанов-

ці (1.111). При цьому, якщо к - дійсний корінь характеристичного рівняння

кратності г , то йому відповідає г лінійно незалежних розв'язків

,х

іпх, х*(1пх)

,...,х*(1пх)''~'. (1.Н2)

Якщо а ± /р - пара комплексно-спряжених коренів кратності *, то

їм відповідає 5 пар лінійно незалежних розв'язків

соз(р

1пх),х

1пхсоз(рІпх),...,х

(1пх)со$(рІпх),

5ІП(Р

1пх), х

1пX5ІП(Р 1пх),...,х

(1пх)

%_1

зіп(рІпх).

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

//.

Контрольні питання та завдання

Дайте означення диференціального рівняння

-го порядку.

Що називається загальним

частинним розв'язками ди-

ференціального рівняння

-го порядку?

Наведіть типи диференціальних рівнянь вищих поряд-

ків,

які

допускають зниження порядку.

Яке диференціальне рівняння

-го порядку називаєть-

ся лінійним однорідним; неоднорідним? Запишіть

їх у

загаль-

ному вигляді.

Яка система розв'язків лінійного однорідного диферен-

ціального рівняння називається фундаментальною?

Як

записується загальний розв'язок лінійного однорід-

ного диференціального рівняння

-го порядку?

Який вигляд має загальний розв'язок лінійного неодно-

рідного диференціального рівняння

-го порядку?

чому полягає метод варіації довільних сталих?

чому полягає принцип суперпозиції розв'язків

для лі-

нійного неоднорідного диференціального рівняння

-го порядку?

10.

чому полягає метод Ейлера знаходження фундаменталь-

ної системи розв'язків лінійного однорідного диференціально-

го рівняння

-го порядку

зі

сталими коефіцієнтами?

11.

Яке

рівняння називається характеристичним?

Як

його

знаходять?

12.

Який вигляд має загальний розв'язок лінійного однорід-

ного диференціального рівняння 2-го порядку

зі

сталими коефі-

цієнтами, якщо корені характеристичного рівняння:

а) дійсні

різні;

б)

рівні;

в)

комплексні?

13.У чому полягає метод підбору частинного розв'язку

лі-

нійного неоднорідного диференціального рівняння

зі

сталими

коефіцієнтами

правою частиною спеціального вигляду?

14.

Які

спеціальні вигляди правої частини лінійного неод-

норідного диференціального рівняння

-го порядку

зі

сталими

84 Глава 1. Диференціальні рівняння

коефіцієнтами розглядаються при застосуванні методу підбору

вигляду частинного розв'язку?

15.

Запишіть частинний розв'язок лінійного неоднорідного

диференціального рівняння п -го порядку для випадків, коли

права частина /(х) має вигляд:

) /(х) = Ае

ах

; б) /(х)

А$т$х

Всофх;

п)Дх) = Р

(х)е

ох

16.

Запишіть рівняння Ейлера (неоднорідне та однорідне).

Якою заміною рівняння Ейлера перетворюється у рівняння зі

сталими коефіцієнтами?

///. Приклади розв 'язання задач

У цьому пункті розглянуто 28 прикладів розв'язання за-

дач,

які за своєю тематикою розподілились так:

Основні поняття: приклади 1, 2.

Диференціальні рівняння вищих порядків, які допуска-

ють зниження порядку: приклади 3-9.

Лінійні диференціальні рівняння із змінними коефіцієн-

тами: приклади 10, 11.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння п -го поряд-

ку зі сталими коефіцієнтами: приклади 12 - 14.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння «-го по-

рядку зі сталими коефіцієнтами: приклади 15 - 23.

6. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа):

приклади 22 ,23.

Диференціальні рівняння Ейлера: приклади 24 - 26.

8. Задачі фізики: приклади 27, 28.

Основні поняття

Приклад 1. Показати, що функція у =

{

СіХ

С,,С

є К

є розв'язком диференціального рівняння уу"=у'

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

• Враховуючи, що у =

*, знаходимо

у'

СгХ

;

у"' =

С\е

1гХ

Підставивши

у,у,у"

в задане рівняння, отримаємо тотожність

С/'

2Х

-С

С\е

(

2Х

=(С

]

(

2Х

)

Отже,

функція у

—

]

с іХ

є розв'язком заданого рівняння. ^

Приклад 2. Знайти область існування та єдиності розв'яз-

ку диференціального рівняння у =

• Задане рівняння мас вигляд

у"

/(х,у,у'),

г,

'ч Ул[/

де

Ях,у,у)

= ^-.

^ г, 'ч УУУ' • •-• 3/ лІУ

Функція у (х,у,у ) = і п частинна похідна -

-= непе-

х ду х

дГ у

рервні при х Ф 0, у > 0 ; частинна похідна —- = ==- неперервна при

ду 2x7/

х*0,/>0.

Отже,

задане рівняння має єдиний розв'язок при х Ф 0, у' > 0 .

Диференціальні рівняння вищих порядків, які

допускають зниження порядку

Приклад 3. Знайти загальний розв'язок рівняння

<4)

= соз2х.

• Це рівняння вигляду г>

(п>

= /(х), де п - 4, /(х) = соз2х .

Послідовно інтегруючи задане рівняння, отримуємо

у"

= |со52хах = ^•5Іп2х + С

зіп2х

С,

\с1х

= -

—

со$2х +С^х

С^,

у'^Г

—зіп2х

С,

2 /

у = |^--ісоз2х+ С,х + С

^аx = --і-зіпгх + ^-х

+ С

х + С

Глава 1. Диференціальні рівняння

у = Г[ -—зіп2х+—х

+ С\х + С, \іх- — соз2х

4 8 2

2 3

Г 16

Приклад 4. Знайти загальний розв'язок рівняння

У =

СОЗ

та його частинний розв язок, який задовольняє початкові умови

(кЛ 1п2 /тгЛ ,

• Маємо задачу Коші для диференціального рівняння другого поряд-

ку у" = —у

вигляду у

(п)

= /(х) , де п = 2, Дх) = —і-— .

СОЗ X СОЗ X

Розв'язуємо задане рівняння послідовним інтегруванням його лівої

та правої частин.

Інтегруючи перший раз, маємо

/=1§х + С, .

Повторне інтегрування дає загальний розв'язок

у = -

1п І

соз х

+ С| х + С

•

Знайдемо С|, С

, скориставшись початковими умовами. Покладемо

у виразах, що визначають у та у , х = — . Отримаємо систему для визна-

чення сталих С, ,С

1п2

= -1п

СОЗ —

І =ї§—+ С,,

1п2 , л/2 _ я „

= -1п + С,

—

+ С

2 2 4

+ С,

1п2_

2 ~~ \2

С, =0,

Іп 2 -

1п

+ С

Іп2 _ 1п2

2 ~ 2

С, =0,

, Гс

=о,

С, =0.

Отже, частинний розв'язок заданого рівняння, що задовольняє задані

початкові умови, мас вигляд:

у = -1п| созх

. Ч

Приклад 5. Розв'язати рівняння

(/У

З/-* = О.

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

•

Це

рівняння вигляду

ПхУ

п)

)

= о.

Представимо рівняння

вигляді:

х = (у")

+ Зу".

Поклавши

і = у",

маємо

= 1

+31, сіх = (Зі

+ 3)сіі.

Інтегруємо рівняння

у"

—

І, для

якого

у = у(х):

/ =

\іах = \і(3і

+3)Л

= -/

+-1

+С,,

сіу

(з

-I

" +-1

+С,

\сіх

Інтегруючи, маємо

сії.

= —1

+—і

+(с,

+ЗС,г

+ С

20 { 2) '

Отже, загальний розв'язок заданого рівняння

параметричній формі

має вигляд:

= І

+ Зі , у = —I

+ —

[

С, +

У +

ЗС,1

20 { 2 )

1 2

Приклад

Знайти загальний розв'язок рівняння

/«-І/<>

• Маємо рівняння,

яке

допускає зниження порядку, вигляду

що

не

містить функції

у та її

похідних

до 3-го

порядку включно.

Отже, поклавши

<Ґу

маємо

—

р = 0 .

сіх

Відокремивши змінні

проінтегрувавши, дістанемо:

1п|р|

1пІх|+1п|СІ,

р = Сх.

Глава 1, Диференціальні рівняння

Враховуючи підстановку, дістанемо рівняння

^ = Сх

ах* '

проінтегрувавши яке, отримуємо загальний розв'язок

у = С^х

+С

х + С

Приклад

Розв'язати рівняння

сіх

[сіх)

• Спосіб 1. Розглядаємо це рівняння як рівняння вигляду

Пу,у',у',...,у

іп)

) = 0,

що не містить незалежної змінної х .

Застосуємо підстановку:

Тоді

У' = РІУ) , тобто О- = р(у)

ах

сі

у _сір сіу _ сір

сіх

сіу сіх сіу'

Підставимо ці вирази для похідних у задане диференціальне рівнян-

ня і отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними:

СІР

і к іІр СІу

,11,11,1^1

УР— -р~=0, — = —, 1п\р = 1п\у\ + Іп С, ,

сіу р у

сіу

р = С

у або — = С

у.

сіх

Знову відокремивши змінні в останньому рівнянні і проінтегрував-

ши,

отримуємо розв'язок заданого рівняння

1п|у| = С,х + 1п|С

або

У =

Сі

Спосіб 2. Розглядаємо задане рівняння

уу'-(у')

=0,

як рівняння, ліву частину якого можна перетворити у похідну від функції

у'

—. Для цього обидві частини рівняння помножимо на множник ц, = —— .

У У

Маємо

§2.

Диференціальні рівняння вищих порядків

Звідки

Проінтегрувавши обидві частини рівняння, отримуємо розв'язок

за-

даного рівняння

• Задане рівняння однорідне відносно функції та

її

похідних,

бо

функція

Нх,у,у',у") = уу'-(у')

-бху

є однорідною функцією

2-го

виміру відносно

у, у', у",

тобто

Г(х, іу,іу\іу") =

іу-1у'-

(іу')

6хІ

(уу"-

(у')

- бху

) =

= і

Г(х,у, у', у").

Тому застосуємо заміну

у = е'

тоді

і;

сіх

я \:ІІХ 2 '\

У = 2 Є , у -Є'

(2+2).

Підставимо

ці

вирази

задане рівняння

отримаємо

1п|>>|

= С,х +

1п|С

або

у = С

Приклад

Розв'язати рівняння

УУ"-(/)

=6ху

+2')-(

=6х(е^

)

або,

після перетворень,

г'

= 6х.

Звідки, інтегруючи, маємо

=3х' +С, .

Отже,

у = е

](3*

+(',)<&

або

Глава І. Диференціальні рівняння

Приклад 9. Знайти загальний розв'язок рівняння

/(1 + 21п/) = 1.

• Для заданого рівняння відшукати розв'язок у явному або неявно-

му вигляді досить важко (перевірте!), але можна отримати розв'язок у па-

раметричній формі.

або

Покладемо

Тоді отримаємо

У = РМ, у = -р .

ах

&-(\+2\пр) = \

ах

сіх = (1 + 2\пр)сір .

Звідки

х = -р + 2 р

1п

р + С

Враховуючи, що Оу = рсіх , маємо

Оу - р(\ + 21п р)сір ,

у = р

\пр + С

•

Отже, отримали загальний розв'язок у параметричному вигляді

х = р(-\ + 2\пр) + С

, у =

\пр

+ С

Лінійні диференціальні рівняння із змінними

коефіцієнтами

Приклад 10. Знайти загальний розв'язок рівняння

(х

+ \)у"-2ху'

2у = 0,

попередньо впевнившись, що функція у

{х)-х є його частин-

ним розв'язком.

• Задане рівняння є лінійним однорідним диференціальним рівнян-

ням другого порядку із змінними коефіцієнтами.

Переконаємось, що у

{

(х) = х

—

частинний розв'язок заданого рівнян-

ня.

Знаходимо у[(х) = 1, у"(х) - 0 . Підставивши у(х\ у[(х), у"(х) у дифе-

ренціальне рівняння, отримаємо тотожність, тобто функція у

(х) - х є час

тинним розв'язком даного рівняння.