Суляндзига Е.П., Ушакова Г.А. Тесты по математике: Предел, производная, элементы алгебры и геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
103
Нет,
11 12 13
1
21 22 23
31 32 33
1
det
A A A
A A A A
A
A A A
−
=
;
Да.
20. Даны матрицы
−
=
70
21
A
,
−
=
11
42
31
B
. Из предложенного
списка арифметических операций над матрицами укажите, какие действия
над этими матрицами возможны?
A
B
⋅
;
1
−
⋅
A
B
;
B
A
+
;
B
A
⋅
;
1
−
+
A
B
.
21. Даны матрицы
=
71
29
A
,
−
=
20
21
B
,
=
20
51
C
,
−
−
=
103
22
11
D
. Из предложенного списка арифметических операций
над матрицами укажите, какие действия над этими матрицами возможны?
(
)
CBA
+
;
B
D
+
;
B
AC
+
;
(
)
BBA +
−
1
;
D
A
+
−
1
.
22. Даны две матрицы
−
=
70
21
A
,
−
=
20
21
B
. Укажите арифме-
тические операции, которые можно выполнить над этими матрицами.
B
A
+
;
BA
AB
=
;
B
A
2
−
;
AB BA
≠
;
AB
невозможно;
BA
не существует.
23. Даны матрицы
=
71
29
A
,
1 1
2 2
3 10
B
−
=
−
,
1 1 4
2 2 5
C
−
=
−
. Укажи-
те, какие действия над этими матрицами из предложенного списка можно
выполнить.
C
A
⋅
;
A B
+
;
B C
⋅
;
C B
⋅
;
C A
⋅
;
B A
⋅
;
B C
+
;
C B A
⋅ ⋅
.
104
Кривые второго порядка
1. По заданному уравнению укажите вид кривой второго порядка
№ Уравнение линии 2-го порядка
Вид линии
1
1
2
2
−−=
x
xy
парабола
эллипс
гипербола
окружность
2
81
22
=++
yx
)(
парабола
гипербола
эллипс
окружность
3
1
2
−=
xy
парабола
окружность
эллипс
гипербола
4
13
3
)1(
2
2
=−
+
x
y
парабола
эллипс
окружность
гипербола
5
1
1
1
2
3
22
=
+
+
+ )()( yx
эллипс
окружность
гипербола
6
1
2
2
22
=−
xy
гипербола
окружность
парабола
эллипс
105
2. Установите взаимно однозначное соответствие между уравнением
эллипса и его центром симметрии.
Уравнение линии
− эллипс
Центр симметрии
(
)
(
)
1
2
2
3
3
2
2
3
2
=
−
+
+ yx
1
(−3; 0)
2
(
)
1
2
3
3
2
2
2
2
=+
+ yx
2
(3;
−2)
3
(
)
(
)
1
2
2
9
3
2
22
=
+
−
− yx
3
(−3; 2)
1
3. Определите вид кривой второго порядка
Уравнение линии Вид линии
24
2
+−=
xxy
1
Гипербола
2
1
3
1
2
22
=
+
−
)( yx
2
Парабола, ось симметрии
−
прямая, параллельная оси
Oy
1
1
11
22
=−++ )()(
yx
3
Эллипс, центр симметрии
−
− точка с координатами
(
)
0;0
6
1
9
2
1
7
2
2
=
−
+
y
x
4
Парабола,
Ox
− ось сим-
метрии
5
2
1
2
x
y
= − −
5
Эллипс, центр симметрии
−
− точка с координатами
1
0;
2
4
106
1
16
2
22
=+
yx
6
Окружность
3
Прямая на плоскости
1. Укажите формулу, которую надо использовать для того, чтобы на-
писать уравнение прямой, проходящей через две точки.
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
;
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
;
1
=+
b
y
a
x
.
2. Укажите уравнение прямой
,
которая имеет заданный угловой ко-
эффициент
k
.
№
Угловой коэф-
фициент
k
Уравнение прямой
1
8
7
=k
0
12
8
7
=
+
−
y
x
0
4
8
=
−
+
y
x
0
2
7
=
+
+
y
x
2
3
2
=k
0
1
3
2
=
−
+
y
x
0
3
3
2
=
−
−
y
x
0
4
3
=
+
−
y
x
3
5
−
=
k
0
10
2
5
=
+
+
y
x
0
1
5
2
=
−
+
y
x
0
4
5
=
−
+
y
x
Векторы
1. Даны векторы
(
)
1; 2; 10
a = −
r
,
(
)
4; 2; 0
b =
r
. Найдите угол между век-
торами (укажите верный ответ).
90
o
a b
∧
=
r r
;
45
o
a b
∧
=
r r
;
180
o
a b
∧
=
r r
;
0
o
a b
∧
=
r r
;
107
2. Поставьте в соответствие пары высказываний.
Векторы коллинеарны
1
0
a b
⋅ =
2
Векторы взаимно ортогональны
2
0
a b c
=
3
Векторы компланарны
3
a b b a
⋅ = ⋅
4
Скалярное произведение облада-
ет свойством коммутативности
4
a b b a
× ≠ ×
5
Векторное произведение не обла-
дает свойством коммутативности
5
0
a b
× =
1
3. Через точку А(2;1) перпендикулярно прямой
2 3 0
x y
− + =
прохо-
дит прямая. Укажите ее уравнение.
0
5
2
=
−
+
y
x
;
0
5
2
=
−
+
y
x
;
0
3
2
=
+
+
y
x
;
0
1
2
=
−
−
y
x
.
4. Укажите угловой коэффициент прямой
0
1
3
=
−
−
y
x
.
3
−
;
3;
1
3
;
1
3
−
.
5. Поставьте в соответствие пары утверждений.
Прямые параллельны
1
Угловые коэффициенты удовлетво-
ряют условию
1
2
1
−
=
kk
2
Прямые перпендикулярны
2
Угловые коэффициенты равны
1
Прямая параллельна оси
Ox
3
Уравнение прямой принимает вид
x C
=
, где
.
C const
=
4
Прямая параллельна оси
Oy
4
Угловой коэффициент
0
=
k
3
6. Укажите уравнение плоскости, к которой прямая, заданная канони-
ческими уравнениями
1
7
2
2
1
1
−
+
=
−
=
−
zyx
, перпендикулярна. Выберите
все правильные ответы.
0
1
7
2
=
+
−
+
z
y
x
;
0
2
=
−
+
z
y
x
;
0
1
2
=
+
−
+
z
y
x
.
108
7. Укажите уравнения тех плоскостей, которым принадлежит точка
А(2; 0; 0).
0
12
4
5
6
=
−
−
+
z
y
x
;
0
2
2
=
+
+
−
z
y
x
;
0
2
2
=
−
+
−
z
y
x
.
8. Даны векторы
(
)
(
)
1; 0; 1 , 3; 2; 1
a b−
. Вычислите
b
a
+
2
. Укажите
все верные ответы.
kji 3106
+
−
;
kji 32
+
+
;
(
)
1; 2; 3
.
9.
Поставьте в соответствие пары: задача − способ решения.
Найти углы треугольника, коорди-
наты вершин которого заданы
1
Использовать векторное произве-
дение векторов
2
Найти площадь треугольника, ко-
ординаты вершин которого заданы
2
Использовать уравнение прямой,
проходящей через две точки
4
Вычислить объем пирамиды, по-
строенной на трех векторах, при-
веденных к единому началу
3
Использовать скалярное произве-
дение
1
Составить уравнения сторон тре-
угольника, координаты вершин ко-
торого заданы
4
Использовать смешанное произ-
ведение векторов
3
10. Даны векторы
kjiа 832
+
+
=
,
.166
kjib ++=
λ
При каком зна-
чении параметра
λ
векторы
a
,
b
коллинеарны?
1
4
λ
=
;
4
=
λ
;
1
2
λ
=
.
11. Прямые
1
L
,
2
L
,
3
L
заданы каноническими уравнениями. Укажите,
какие из них параллельны.
1
1 1
: ;
1 2 1
x y z
L
+ −
= =
2
2 2
: ;
1 2 1
x y z
L
+ −
= =
− −
3
4 7 3
:
2 4 2
x y z
L
− + −
= =
.
1
L
||
2
L
;
2
L
||
3
L
;
1
L
||
3
L
.
109
12. Поставьте названию объекта в соответствие уравнение, его опи-
сывающее.
Название Уравнение
Прямая на плоскости
1
11
22
=−− xy )(
3
Плоскость
2
0
=
+
+
C
By
Ax
1
Окружность
3
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
2
П р и м е ч а н и е.
0
=
+
+
C
By
Ax
− общее уравнение прямой на плоско-
сти (R
2
). Но это уравнение описывает и плоскость в пространстве R
3
, нор-
мальный вектор имеет координаты
(
)
, , 0
n A B
r
, а плоскость параллельна
оси
Oz
.
13. Поставьте в соответствие уравнению прямой угловой коэффициент
Уравнение прямой
на плоскости
Угловой коэффициент
0
10
2
5
=
+
−
y
x
1
2
3
−=k
4
0
4
5
=
−
+
y
x
2
7
−
=
k
3
0
2
7
=
+
+
y
x
3
5
−
=
k
2
0
4
2
3
=
+
+
y
x
4
2
5
=k
1
14. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
(
)
0 0 0
;
M x y
перпендикулярно прямой
0
=
+
+
C
By
Ax
. Из предложенного перечня
действий постройте алгоритм решения этой задачи.
110
Вариант 1
1
Используем условие перпендикулярности прямых
1
2
1
−
=
kk
для на-
хождения
2
k
:
2
1
1
B
k
k A
= − =
;
2
Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку
(
)
0 0 0
;
M x y
с заданным угловым коэффициентом
2
k
:
)(
020
xxkyy
−
=
−
0 2 0 0 0
( ) ( );
B
y y k x x y y x x
A
⇒ − = − ⇒ − = −
3
Определим угловой коэффициент заданной прямой
1
A
k
B
= −
.
Ответ
:
3
,
1
,
2
.
Вариант 2
1
Выпишем координаты нормального вектора заданной прямой
0
=
+
+
C
By
Ax
:
(
)
;
n A B
r
;
2
На искомой прямой возьмем произвольную точку
(
)
;
M x y
;
3
Искомая прямая перпендикулярна заданной
0
=
+
+
C
By
Ax
, следо-
вательно, вектор
0
M M
uuuuuur
и нормальный вектор
(
)
;
n A B
r
коллинеарны. Усло-
вие коллинеарности векторов
− это пропорциональность соответствую-
щих координат векторов, отсюда вытекает искомое уравнение прямой
( )
0 0
0 0
= .
x x y y
B
y y x x
A B A
− −
= ⇔ − −
4
Построим вектор
(
)
0 0 0
;
M M x x y y
− −
uuuuuur
;
Ответ
:
2
,
4
,
1
,
3
.
15. Укажите прямые, перпендикулярные прямой
2 11 0
x y
− + =
.
2
1
+
−=
x
y
;
1
2
+−=
x
y
;
1
2
+
=
x
y
;
1
2
−=
x
y
.
111
16. Поставьте названию линии в соответствие уравнение
Название линии Уравнение
Эллипс
1
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
2
Гипербола
2
2
2
y px
=
3
Парабола
3
1
=+
b
y
a
x
4
Прямая в «отрезках»
4
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
1
17. Найдите длину вектора
jia
43
−=
.
-1;
5;
7;
1 .
18. Будут ли векторы
(
)
3; 7; 2
a
= −
и
kjib
5
++=
взаимно ортого-
нальны? Выберите правильный ответ.
-1;
5;
7;
1.
19. Укажите уравнение прямой, параллельной вектору
kjia 35 −+=
.
3
1
5
2
1
−
+
=
−
=
zyx
;
0
3
5
=
−
+
z
y
x
;
0
3
5
=
−
+
y
x
;
3
3
2
5
1
1
−
=
+
=
+
zyx
.
20. Если два вектора взаимно перпендикулярны, то верно высказыва-
ние:
Векторное произведение таких векторов равно нулю;
Скалярное произведение таких векторов равно нулю;
Смешанное произведение таких векторов равно нулю.
112
21.
Если два вектора коллинеарны, то верно высказывание:
Векторное произведение таких векторов равно нулю;
Скалярное произведение таких векторов равно нулю;
Смешанное произведение таких векторов равно нулю.
Комплексные числа
1. Укажите решения уравнения
0
21
51
002
=
−
−
kk
k
.
ik
21
21
±
=
,
;
нет решений;
61
21
±=
,
k
.
2. Решить систему уравнений
2 3 2 ,
2 .
x y i
x y i
+ = +
− =
1 2 , 1
x i y
= + =
;
1 2 , 1 2
x i y i
= + = −
;
1 2 , 1 2
x i y i
= − = +
.
3.
Укажите верное решение
уравнения.
5
2
1
=
−
)
(
i
z
i
z
2
1
+
=
i
z
2
1
−
=
iz
3
10
3
5
−−=
i
i
z
5
2
1
−
=
−
)
(
i
z
−
=
2
3
3
2
i
z +=
i
z
+
=
2
0
9
2
=
−
i
k
4
5
2
4
1
3 3
π
π
ii
ekek == ,
ik
3
21
±
=
,
4
21
3
π
i
ek
±
=
,
0
8
3
=
−
k
2
=
k
ikk
31 2
321
±−==
,
,
ikk
2 2
321
±
=
=
,
,