Суляндзига Е.П., Ушакова Г.А. Тесты по математике: Предел, производная, элементы алгебры и геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
93
9. Укажите координаты точки экстремума функции
2
.
2
x
y x
= −
( 1; -0,5 );
( 1; 0,5 );
( 1; 0 );
( 0; 0 ).
10. Определите интервал возрастания функции.
№ Функция
Интервал
1
2
1 xy −=
)
;
(
+∞
0
)
;
(
0
−∞
)
;
(
1
1
−
2
xxy 3
3
−=
)
;
(
+∞
0
)
;
(
)
;
(
+∞
∪
−
−∞
1
1
)
;
(
+∞
3
3
24
2
+−= xxy
)
;
(
+∞
−∞
)
;
(
+∞
0
)
;
(
+∞
2
4
16
2
+−= xxy
)
;
(
+∞
−∞
)
;
(
+∞
3
)
;
[
+∞
3
5
563
2
++−= xxy
)
;
(
+∞
0
)
;
(
1
−∞
]
;
(
1
−∞
6
11
84
2
+−= xxy
)
;
(
1
−∞
)
;
(
+∞
2
)
;
(
+∞
1
7
2
2
+= xy
)
;
(
+∞
−∞
)
;
(
+∞
0
)
;
(
+∞
1
8
1210
2
+−= xxy
)
;
(
+∞
5
)
;
(
+∞
12
)
;
(
+∞
0
94
9
xxy 4
3
+=
)
;
(
+∞
2
)
;
(
+∞
−∞
)
;
(
+∞
−
4
)
;
(
+∞
0
10
4
3
+= xy
)
;
(
+∞
−∞
)
;
(
+∞
0
)
;
(
)
;
(
+∞
∪
−
−∞
1
1
11. Поставьте в соответствие формулы.
( )
f g
′
⋅
1
'
'
g
f
⋅
3
′
g
f
2
(
)
( )
'
'
lim
x a
f x
g x
→
4
( )
( )
f g
′
3
'
'
g
f
g
f
⋅
+
⋅
1
(
)
( )
0
0
lim
x a
f x
g x
→
=
4
2
g
gfgf ''
⋅
−
⋅
2
12. Укажите верно
найденную
производную функции
2
x
y x e
−
= ⋅
.
x
xe
−
−
2
;
xx
e
x
xe
−
−
+
2
2
;
xx
e
x
xe
−
−
⋅
−
2
2
.
13. Укажите верный ответ дифференциала функции
cos 5
4
x
π
−
.
dxx
−
4
55
π
sin ; dxx
−−
4
55
π
sin ;
5sin 5
4
x
π
− −
.
95
14. Укажите верный угловой коэффициент касательной к кривой
xxy
23
2
−=
в точке
(
)
0
1; 1
M
.
2;
−
4;
4;
1.
15. Укажите верно найденный дифференциал функции
x
x
x
f
3
sin
)
(
=
.
( ) sin3 3 cos3
df x x x x
= +
;
(
)
dxxxxxdf 333
cossin)(
+
=
;
(
)
dxxxxxdf
cossin)(
33
+
=
;
xdx
x
df
3
3
cos
)
(
=
.
16. Укажите эквивалентное преобразование дифференциала функции
( )
...cos
ddx
x
=
2
.
2
2
x
d sin
;
2
x
d sin
;
−
2
2
x
d sin
.
17. Укажите верное преобразование дифференциала функции
(
)
...
ddxe
x
=
−
.
−
2
x
ed
;
(
)
x
ed
−
−
;
(
)
x
ed
−
.
18. Верно ли найдена производная функции
x
x
xf
2
sin
1
)(
2
+
=
x
xxxx
xf
2
2222
2
sin
cossin
)('
+
=
?
Нет;
x
xxxx
xf
2
21222
2
2
sin
cos)(sin
)('
++
=
;
2
'( )
2cos 2
x
f x
x
=
.
19. Укажите производную функции
x
exxf
3
=)(
.
x
exxf
2
3
=)('
;
xx
exexxf
32
3
+=)('
;
2
'( ) 3
x
f x x e
= +
.
20. Верно ли найдена производная
x
x
xf 2
5
)(' +=
функции
2
ln5)( xxxf +=
?
Нет;
Верно.
96
21. Верно ли выполнены преобразования дифференциала функции
(
)
dxxxxxxxd sincos)cos(
22
2
−=+
π
?
Верно;
Нет.
22. Функция
xxxxf
34
2
cos)()( −=
имеет производную
xxxxxf
343342
2
sin)(cos)(' −−−=
. Верно ли это утверждение?
Нет;
Верно.
23. Производная функции
x
x
x
f
3
2
2
cos
)
(
)
(
+
=
находится как
( )
'
2cos3 3(2 2)sin3
f x x x x
= + +
.
Верно ли это утверждение?
Верно;
Нет, правильный ответ
' 2cos3 3(2 2)sin3
f x x x
= − +
).
24. Поставьте в соответствие пары высказываний.
Функция
)
(
x
f
возрастает в интер-
вале
1
0
≤
)
(
'
x
f
4
Функция
)
(
x
f
убывает в интерва-
ле
2
0
≥
)
(
'
x
f
3
Функция
)
(
x
f
не убывает в ин-
тервале
3
0
<
)
(
'
x
f
2
Функция
)
(
x
f
не возрастает в ин-
тервале
4
0
>
)
(
'
x
f
1
97
25. Поставьте в соответствие пары высказываний.
Производная «частного»
f
g
1
)
(
)
(
lim
a
f
x
f
ax
=
→
2
Непрерывность функции
( )
f x
в
точке
x a
=
2
dx
x
f
x
df
)
(
'
)
(
=
4
Правило Лопиталя раскрытия не-
определенностей
0
0
или
∞
∞
3
2
g
gfgf ''
⋅
−
⋅
3
Дифференциал функции
( )
f x
4
'
'
limlim
g
f
g
f
axax
→→
=
1
26. Выполните перестановку пунктов предложенного списка в та-
ком порядке, который соответствовал бы правильному алгоритму отыска-
ния производной функции
t
ettf
−
++= )4(sin)(
2
π
.
1
Производная суммы есть сумма производных;
2
Производная синуса;
3
Представим
( )
(
)
1
2
2
( ) sin(4 )
t
f t t e
π
−
= + +
;
4
Производная аргумента экспоненты;
5
Производная степенной функции
(
)
2
...
;
6
Производная степенной функции
( )
1
2
...
;
7
Производная экспоненты;
Производная аргумента синуса.
Ответ:
3
,
6
,
1
,
5
,
2
,
,
7
,
4
.
(
)
t
t
ett
et
tf
−
−
−⋅++⋅
++
= 4)4cos()4sin(2
)4(sin2
1
)('
2
ππ
π
.
98
Линейная алгебра
1. Укажите верное значение определителя
32
21
−
.
7;
-1;
-7;
2. Укажите верное значение определителя
311
131
020
−
.
-2;
7;
4.
3. Укажите верное значение определителя
110
551
032
−
.
10;
3;
13;
-3.
4. Укажите верное значение определителя
k
kk
−1
2
.
2
2
k
−
;
2
2
k
;
2
k k
−
.
5.
Решите уравнение
0
1
4
=
− k
k
. Укажите все верные ответы.
2i;
-2i;
2;
-2.
6. Выполните действие над матрицами
E+
0 1-
5 3
. Укажите правиль-
ный ответ.
1 1-
5 4
;
1 0
6 4
;
0 1-
5 3
.
99
7. Решите уравнение
0
11
611
001
=
−
−
kk
k
.
71
2
1
=
=
kk ,
;
71
2
1
=
−
=
kk ,
;
нет решений.
8. Вычислите определитель, укажите правильный ответ.
№ Определитель
Возможные ответы
1
093
072
191
−
-3
3
0
-14
2
413
122
010
-5
5
11
0
3
110
210
0212
−
- 2
4
6
-6
4
423
212
055
−
10
-10
0
5
40
211
30
k
k
0
k
k
−
k
4
100
9. Даны матрицы
=
90
11
A
,
−
=
15
11
B
. Укажите верный ответ
суммы матриц.
0 2
5 1
A B
+ =
;
=+
105
20
BA
;
0 2
4 10
A B
+ =
.
10. Сколько решений имеет система уравнений
2 1,
3 0
x y
x y
+ =
− + =
?
бесконечное множество решений;
единственное решение;
не имеет решений.
11. Укажите значение параметра
k
, при котором определитель
112
123
01k
равен нулю?
2
k
=
;
1
k
= −
;
1
=
k
.
12. Решите уравнение
0
112
01
04
=
−
k
k
и укажите верное решение.
Нет решений;
i
2
±
;
2
±
.
13. Из предложенного списка операций выберите правильно последо-
вательность действий для решения системы линейных уравнений
AX B
=
матричным методом.
1
Умножить матрицу
B
на обратную
1
A
−
справа:
1
X BA
−
=
2
Построить
обратную матрицу
=
−
332313
322212
312111
1
1
AAA
AAA
AAA
A
A
det
;
3
Вычислить
определитель системы
det
A
;
101
4
Вычислить присоединенную (союзную) матрицу
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A A A
A A A
A A A
;
5
Умножить матрицу
B
на обратную
1
A
−
слева:
B
A
X
1
−
=
;
6
Проверить условие, отличен ли определитель от нуля:
0
det
≠
A
.
Ответ
:
3
;
6
;
4
;
2
;
5
.
14. Можно ли решить систему линейных уравнений
=
⋅
−
3
2
1
112
211
101
z
y
x
матричным способом?
Можно, система имеет вид
AX B
=
;
Нельзя, так как определитель матрицы системы равен нулю:
det 0
A
=
.
15. Укажите, сколько решений имеет система линейных уравнений, за-
писанная в матричном виде
=
⋅
−
3
2
1
112
231
101
z
y
x
?
три решения;
единственное решение;
не имеет решений;
бесконечное множество.
16. Укажите верные соотношения, справедливые для обратных мат-
риц:
1
−
A
− обратная матрица для невырожденной матрицы
A
.
E
A
A
=
+
−
1
;
E
A
A
=
−
1
;
1
AE A
−
=
;
11
−
−
=
AA
A
A
.
102
17. Поставьте в соответствие пары высказываний
Решение системы линейных
уравнений, правило Крамера
1
B
A
X
1
−
=
2
Решение системы линейных
уравнений, матричный метод
2
B
X
A
=
⋅
3
Матричная запись системы ли-
нейных уравнений
3
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
z
y
x
zyx ,,
1
18. Можно ли построить обратную матрицу
1
−
A
для матрицы
−
=
211
112
101
A
?
Можно;
Нет, так как
0
det
=
A
, обратная матрица не существует.
Пояснение
.
1 0 1 1 0 0 1 0 0
2 1 1 2 1 3 3 2 1 1 0
1 1 2 1 1 3 1 1 1
detA
−
= = = =
.
Здесь использовали свойства определителей:
1) К элементам третьего столбца прибавили соответствующие элемен-
ты первого столбца;
2) Элементы третьего столбца кратны 3, вынесем множитель 3 перед
знаком определителя;
3) В определителе два одинаковых столбца: второй и третий, следова-
тельно, определитель равен нулю.
Примечание.
Тот факт, что определитель равен нулю, уже виден после
первого шага: второй и третий столбцы пропорциональны.
19. Верно ли записана формула построения обратной матрицы
=
−
332313
322212
312111
1
1
AAA
AAA
AAA
A
A
det
?