Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

Подождите немного. Документ загружается.

З.

Оптические

моды

ху

Область

АВ

Область

2 z

(7.48)

Рис.

7.1.

Структура,

образованная

бинарным

соединением

тройной

геторо

структурой

[91].

Печатается

разрешения

Американского

института

физики

как

показано

на

рис.

7.1.

Тогда

для

правой

области

(среда

2),

используя

условные

обозначения

приложения

Б,

имеют

место

следующие

соотношения:

-М\UJ

2u\

(q, z) =

-М\UJб\u\

(q, z) +

еrЕлок(q,

z),

М\

(UJб\

UJ2)

Р\

(q, z) =

п\еnu\

(q, z) +

П\й\

ц,

(q, z) =

е\

П\

й\М\

(UJб;

2)]

и\

(q, z) =

х\

(iq

e-QZq - q e-QZz),

е\

(7.47)

откуда

следует

(

)

x\c(iqe-QZq

qe-Qzz)

q,z

п\е,[1

+й\М\(UJб\

-UJ2)/е,J'

Для

среды

имеют

место

два

колебательных

уравнения:

одно,

обозна

чаемое

индексом

а,

для

соединения

АС,

другое,

обозначаемое

индексом

Ь,

для

соединения

ВС:

-М2,а(Ь)UJ2U2,а(ь)(q,

z) =

-М2,а(Ь)UJб2,а(Ь)U2,а(ь)(q,

z) +

е2,а(ь)Е

к(q,

z),

(7.49)

электрическая

поляризация

приближении

«виртуального»

кристалла

дается

выражением

Отсюда

Гл.

Континуальные

модели

фононое

Елок(q,

z) = [

у(е

а)2

(1 -

у)

(е2ь)2

П2

2 2 + 2 2

/-l2,a

(UJ

,a -

UJ)

иаь

(UJ

,b -

)

аЬ

U\,a(b)(q,

z) = (

/-l2,a(b)

,a -

(7.51)

Используя

эти

выражения

для

величин

(q, z)

U2,a(b) (q, z)

полагая

= 1,

= 2,

получаем

вид

условия

нормировки

(7.52)

где

интеграл

первом

члене

выражения

(7.44)

вычисляется

исполь

зованием

формулы

= =

(iq e-QZq - qe-QZZ)*· (iq e-QZq - qe-QZz) = J

2Qz

= q,

о о

(7.53)

§3.

Оптические

моды

второй

третий

интегралы

(7.44)

находятся

использованием

фор

мулы

00 00

fdz (iq

eqZq

+ q

eQZi)*·

(iq eQZq + q

eQzi)

= fdz 2

2Qz

= q.

о о

(7.54)

Таким

образом

определяется

постоянная

нормировки

С.

Удобно

пере

писать

это

выражение,

используя

выведенные

Вендлером

[89]

условия,

которые

будут

рассмотрены

приложении

Б.

ДЛЯ

нашего

анализа

полезно

предварительно

выписать

следующие

соотношения:

2 2

2 1

UJLo,n =

UJo,n

зUJплазма,n

1 +

1Г

nО:n

2 2

2/2

1 +

UJLo,n -

UJTo,n

зUJплазма,n

1Г

nО:n

(7.55)

1/ 2 1

зUJплазма,n

1Г

nО:n

UJплазма,n

Здесь

индекс

относится

либо

среде

либо

среде

этих

соот

ношениях

квадрат

плазменной

частоты

UJ~лазма

дается

выражением

(7.56)

Как

можно

проверить

простым

алгебраическим

расчетом,

все

эти

ча

стоты

удовлетворяют

соотношению

Лиддейна-Сакса-

Теллера,

приве

денному

п.

3.3

гл.

2 [89].

учетом

результатов,

полученных

Вендлером,

непосредственные,

хотя

достаточно

длинные,

выкладки

дают

С=

[~(8nUJ)]1/2

[aEI(UJ)

2(UJ)]-1/2

2UJ

L2q

aUJ aUJ

Таким

образом,

Гл.

Континуальные

модели

фононое

Ф(г)

= 2:

Ф(q,

= 2:

q1zl

q q

= _

""'

(47Гn)

1/2

[aE1(UJ)

aE2(UJ)]-1/2

qlzl

-iq.p

6 L2

е е

k q

UJ UJ

где,

как

уже

упоминалось

выше,

(

UJlo1)

E1(UJ)

Е1(0О)

O,1

(7.58)

(7.59)

(

UJ2

)

(UJ

UJ2

)

E2(UJ)

Е2(0О)

LO,2,a

- LO,2,b .

UJ2

ТО,2,а

ТО,2,Ь

заключение,

умножая

Ф(г)

на

-е,

вводя

операторы

действуя

соответствии

процедурой,

изложенной

§ 1

гл.

запи

шем

гамильтониан

взаимодействия

для

интерфейсной

(IF)

оптической

фононной

моды

виде

[91]

""'

(47Ге

2n)

1/2

[дЕ1

(UJ)

2(UJ)]

-1/2 -qlzl

(

IF - 6 L2

е е

+ a_

k q

UJ UJ

(7.60)

где

векторы

eq,j

e~,j

уравнения

(6.2)

были

приняты

качестве

единичных

векторов

продольном

направлении,

поскольку

рассмат

риваемые

здесь

интерфейсные

фононные

моды

являются

продольными

оптическими

фононами.

Дисперсионное

уравнение для

этой

оптической

Фононной

моды

выводится

из

требования

непрерывности

нормальных

составляющих

индукции

электрического

поля

при

z =

О,

именно:

E2(UJ)E

,zlz=O=

E1(UJ)E

,zlz=o'

Из

этого

условия

незамедлительно

сле

дует,

что

частоты

интерфейсных

оптических

фононов

должны

удовле

творять

соотношению

Е1

(UJ)

E2(UJ)

О.

Этот

результат

подобен

результату

для объемного

полупроводни

ка,

где

оптические

фононные

частоты

должны

удовлетворять

условию

E(UJ)

О.

Поскольку

это

условие

является

необходимым

для

распро

странения

любого

продольного

электромагнитного

возмущения,

можно

было

заранее

ожидать,

что

частоты

продольных

оптических

фононов

будут

удовлетворять

ему.

случае

гетероструктуры,

содержащей

две

среды

только

одну

по

верхность

раздела,

частоты

интерфейсных

продольных

оптических

фо

нонов

зависят

как

от

Е1

(UJ),

так

от

E2(UJ).

Поэтому

интерфейсная

опти

ческая

фононная

мода

является

общей

модой

двух

сред.

Действитель

но,

электростатический

потенциал

фонона

этой

моды

экспоненциально

спадает

обеих

средах

при

удалении

от

поверхности

раздела

при

З.

Оптические

моды

этом,

естественно,

должен

принимать

единое

значение

на

поверхности

раздела.

потому

такая

интерфейсная

оптическая

фононная

мода

мо

жет

быть

описана

единым

электростатическим

фононным

потенциалом

по

всей

гетероструктуре,

состоящей

из

двух

сред.

Очевидно,

что

частота

такой

интерфейсной

LО-моды

фононов

зависит

от

диэлектри

ческих

постоянных

обеих

сред.

Следовательно,

интерфейсная

опти

ческая

фононная

мода,

описываемая

гамильтонианом

HIF,

является

общей

модой

обеих

сред.

общем

случае,

интерфейсные

оптические

фононные

моды

являются

общими

модами

всех

сред,

присутствующих

данной

гетероструктуре.

Это

свойство

встречается

не

раз

на

протя

жении

всей

книги.

Понятно,

что

интерфейсные

оптические

фононные моды

не

образу

ют

полного

набора

мод

для

случая

двух

граничащих

полубесконечных

сред.

Действительно,

эти

интерфейсные

моды

экспоненциально

зату

хают

при

Izl

----*

00,

и,

естественно,

областях,

значительно

удаленных

от

поверхности

раздела,

должны

существовать

оптические

фононы

объемного

типа.

Эти

дополнительные

моды

известны

как

моды

полу

пространства.

Для

структуры

одной

поверхностью

раздела

эти

моды

полупространств

были

выведены

работе

[90]

варианте,

когда

две

контактирующие

полубесконечные

среды

сформированы

из

бинарных

полупроводников.

этой

работе

также

определен

полный

набор

опти

ческих

фононных

мод

для

структур

двумя

поверхностями

раздела,

где

слой

бинарного

полупроводника

одного

типа

окружен

двумя

полубеско

нечными

средами,

состоящими

из

другого

бинарного полупроводника.

Обзор

фононных

мод

структуры

двумя

поверхностями

раздела

дается

приложении

для

трех

моделей:

мод пластины

диэлектрической

континуальной

модели

электростатическими

граничными

условиями,

как

работе

[90],

двух

других

моделей,

подробно

описываемых

литературе.

приложении

также

рассматриваются

данные

КРС,

полезные

для

понимания

поведения

указанных

мод

[98].

Эти

моды,

воз

никающие

из

второй

третьей

модели,

известны

как

волноводные

моды

комбинированные

моды

(или

моды

Хуан

Куня-Жу).

Как

изложено

приложении

В,

все

эти

наборы

фононных

мод

предсказывают

одина

ковые

значения

частот

внутриподзонного

межподзонного

рассеяния

при

условии, что

каждый

набор

является

полным

ортогональным.

3.2.

Электрон-фононное

взаимодействие

пластинах.

Полезно

рассмотреть

более

раннюю

интуитивно

очень

привлекательную

тео

рию

электрон-фононного

взаимодействия

диэлектрической

пластине,

развитую

работе

[88].

этой

теории

предполагается,

что

уединенная

диэлектрическая

пластина

бесконечной

протяженности

направлени

ях

и у

граничит

на

поверхностях

z =

-а

z = +а

вакуумом,

заполняющим

области

Izl

а.

Внутри

этой

диэлектрической

пластины

выполняется

условие

. D =

О,

где,

как

обычно,

индукция

электри

ческого

поля

D(r) =

e(.<J)E(r)

= E(r) + 4JrP(r),

e(.<J)

диэлектри

ческая

постоянная

пластины,

P(r)

электрическая

поляризация,

Гл.

Континуальные

модели

фононое

(7.61)

связанная

оптическими

фононами

пластине.

Определяя

скалярный

потенциал

ф(г)

формулой

Е(г)

"\lф(г)

считая,

поскольку

систе

ма

трансляционно

инвариантна

плоскости

ху,

что

он

имеет

вид

ф(г)

ф(z)

exp[iQII·

р],

где

(х,

У),

Ч]

= (qx,qy),

получаем

уравнение

(

e(L<J)

- qll

ф(z)

о,

где

qп

= q; +

q~.

Это

равенство

выполняется

при

с:(

L<J)

или

при

условии

2/8

qп)ф(z)

о.

Как

показано

выше

(см.,

например,

приложение

А),

из

соотношения

Лиддейна-Сакса-

Теллера

следует,

что

системе,

состоящей

только

из

одного

вещества,

равенство

с:(

L<J)

удовлетворяется

для

любого

вида

функции

е(

L<J)

при

L<J

L<JLO.

При

этом

условии

решением

волнового

уравнения

является

произволь

ная

функция

ф(z);

работах

[8, 85]

это

решение

внутри

пластины,

т.е.

интервале

(-а,

+а),

записывалось

виде

ф(z)

2)ф,siпqzZ+Ф2соsqzz).

(7.62)

Вне

пластины,

= 1,

решения

имеют

вид

ф(z)

Ф±

ех

(

)

q; +

z),

где

положительный

знак

берется

при

::::;

-а

отрицательный

при

z:?

+а.

Постоянные

Ф"

Ф2,

;

определяются

из

обычных

гранич

ных

условий,

заключающихся

том,

что

тангенциальная

составляющая

нормальная

составляющая

непрерывны

при

z =

±а.

Из

этих

условий

видно,

что

Ф±

о, и,

таким

образом,

для

этой

моды

функции

ф(z),

Е(г)

D(r)

равны

нулю

областях,

окружающих

пластину;

частности,

Ф(z)

обращается

нуль

на

границах

слоя,

где

z =

±а.

интервале

-а

::::;

+а

граничные

условия могут

быть

удовлетворе

ны

либо

при

Ф,

о,

либо

при

Ф2

о,

так

что

имеется

два

решения,

соответствующие

двум

направлениям

вектора

поляризации:

( )

Ф2

iqll

тп

~mп.

тз:

)

r =

--е

. z

ZЧllасоs-z-z-sш-z

4па

2а

()

ф,

Р.(.

та:

.лпа:

mп)

r =

11'

ZЧllасоs

-z

cos

-z

4па

2а

m=1,3,5,

... ,

2,4,6,

... ,

(7.63)

где

z -

единичный

вектор

направлении

Очевидно,

из

условия

"\l.

D(r)

следует

"\l2ф(г)

-"\l.

Е(г)

+47r"\l·

Р(г).

Эти

стоячие

моды

сейчас

хорошо

известны

как размер

но-ограниченные

оптические

фононные моды

пластины.

Они

существуют

для

значений

индекса

от

до

некоего

максимального

номера

;

значения

должны

Оптические

моды

заканчиваться

на

номере

N2a,

который

равен

числу

элементарных

яче

ек

пластине

ТОЛLЦины

2а,

поскольку

принятая

здесь

континуальная

модель

должна

перестать

работать,

когда

число

полуволн

на

длине

2а

становится

равным

или

большим,

чем

число

элементарных

ячеек,

укладывающихся

на

этой

длине.

Другое

решение

соответствует

случаю,

когда

внутри

пластины

E(G<.!)

О,

записывается

виде

ф(

х)

фl

ехр(

q'fx

z) +

Ф2

ехр

(- J

q'fx

z).

Как

первом

случае,

при

Izl

решение

имеет

вид:

ф(z)

Ф±ехР(±Jq'fx

+q~z).

Тогда

граничные

условия

приводят

модам следующего

вида:

P~(r)

-ФI

q'fx

qй

eiQII"P i

<111

ch J

q'fx

qй

z +z

q'fx

qй

z) ,

P~(r)

-фl

q'fx

qй

eiQII"P i

<111

sh J

q'fx

qй

z +zch J

q'fx

qй

z) ,

(7.64)

где

<111

единичный двумерный

вектор.

Эти

две

последние

моды

описывают

так

называемые

интерфейсные

оптические

фононные моды

полярной

полупроводниковой

пластине

толщины

2а.

Из

граничных

условий

следует,

что

частоты

этих

мод являются

решениями

уравнения

E(G<.!)

= ±

e-2Vq~+q~

(7.65)

l-E(G<.!) ,

Е(О)

Е(ОО)

использованием

соотношения

Е(

G<.!)

Е(

(0) +

они

могут

1 -

G<.!

G<.!LO

быть записаны

следующим

образом:

2 2

[Е(О)

e-Vq~+q~

G<.!±

G<.!TO

(7.66)

[Е(ОО)

е-

q",+qya

где

знак

плюс

соответствует

четной

моде,

минус

нечетной.

Как

было

отмечено

работе

[88],

континуальная

модель

способна

предсказать

как

размерно-ограниченные

LО-фононы,

так и

интерфейс

ные

оптические

фононы,

потому

что обе

эти

моды

связаны

плотно

стью

поляризационного

заряда.

частности,

как

плотность

объемного

заряда

р'

= - \7 .

Р,

так

плотность

поверхностного

заряда

а'

= -

. n

вносят

вклад

размерно-ограниченные

LО-моды;

здесь

единичный

Гл.

Континуальные

модели

фононое

вектор,

нормальный

поверхности

направленный

сторону

вакуума.

Для

интерфейсных

мод

только

плотность

поверхностного

заряда

а'

вносит

свой

вклад.

Понятно,

что

этой

модели

поляризационный

заряд

действует

как

источник

полей,

связанных

этими

фононными

модами.

Существование

поперечных

мод

континуальной

моделью

не

предсказывается,

так

как

для

таких

мод

V'.

иР·

О.

работе

[88]

эта

модель

использована

для

изучения

влияния

элек

тронной

поляризуемости

на

фононные

моды

выведены

условия

для

пластины,

которые

эквивалентны условиям

Вендлера

для

двухслойной

системы,

описанной

приложении

Б.

Эта

модель

использована

также

работе

[88]

для

построения

нормированных

собственных

векторов

поляризации

определения

частот

фононных

мод

диэлектрической

пластины.

Кроме

того,

там

же

приведен

гамильтониан

взаимодействия

электрона

полярным

оптическим

фононом

показано,

что

точ

ные

значения

энергии

гармонического

осциллятора

достигаются

тогда,

когда

вычислениях

используются

собственные

векторы

пластины;

частности,

можно

показать,

что

амплитуды

нормальных

мод

согла

суются

величиной

энергии

гармонического

осциллятора,

полученной

§ 1

гл.

И,

наконец,

работе

[88]

дан

весьма

простой

вывод

выражения

для

гамильтониана

взаимодействия

электрона

фононом

пластине,

использующий

наложение

граничных

условий

на

гамиль

тониан

взаимодействия

объемном

полупроводнике,

этот

вывод

начинается

полученного

§ 2

гл.

выражения

(5.34),

описывающего

фрёлиховское

взаимодействие

объемном

случае,

2Jre

[_1

1_]

,,!

(

-iq.r_

-i

Е(ОО)

Е(О)

q a

+ a_

=-iL

[

1 1 ] (

-iq.r_

Е(ОО)

Е(О)

+a_

-i

LVq(a

a~q)

. (7.67)

При

q = (qll' qz)

сумму

по

можно

записать

виде

суммы

по

Ч]

по

qz >

О:

+ eiQzZ(aqll,_qz +

a~q

ll,QJ].

(7.68)

Тогда,

используя

формулу

exp(il1) = cos

+ i

sin

11,

чтобы

переписать

члены

exp(±iqzZ)

виде

синусов

косинусов,

можно

получить

З.

Оптические

моды

н-;

= J2 L Vqe-iqll,r{cosqzz[a+(qll)

+a~(-qll)]

qll,qz>O

где

(7.70)

a_(qll) = ..j2

(aqll,qz

aQII,_qJ·

Операторы

(

-qll)

(

-qll)

получены

как

сопряженные

величи

ны.

Эти

операторы

описывают

фононы,

которые

распространяются

как

плоские

волны

направлениях

у,

но

представляют

собой

стоячие

моды

направлении

Действительно,

поскольку

qz =

тз:

/2а,

фрёли

ховский

гамильтониан

для

двумерной пластины принимает

вид

21Ге2[/,UJLО

[1 1]L

-iQ·Г

-----

Е(ОО)

Е(О)

Qll

Этот

гамильтониан

обращается

ноль

при

z =

±а,

как

это

должно

быть,

поскольку

гамильтониан

фрёлиховского

взаимодействия

описывается

членом

-еф

(см.

§ 2

гл.

для

потенциала,

описы

вающего

поля,

связанные

фононными

модами

диэлектрической

пластине,

выполняется

равенство

ф(±а)

О.

Этот

эвристический

вы

вод

делает

очевидным

тот

факт,

что

размерно-ограниченные

фононные

моды

пластине

являются

стоячими

модами

целым

числом

полуволн,

укладывающихся

на

толщине

пластины.

Указанный

гамильтониан

не

содержит

вклада

интерфейсных

оптических

фононов

пластине,

так

как

он

удовлетворяет

только

граничным

условиям,

накладываемым

на

размерно-ограниченные

оптические

фононные

моды

при

z =

±а,

именно

условиям

HFг(a)

-еф(±а)

О.

Как

пока

за

но

работе

[88],

гамильтониан

фрёлиховского

взаимодей

ствия

для

интерфейсных

оптических

фононных

мод

диэлектрической

пластине

имеет

вид

Гл.

Континуальные

модели

фононое

н-,

= -

27Т"e~(.VTO

[е

(О)

е(оо)]

e-iqll·r

qll

где

ch Jq2 +

z'/

ch J

+ q2

(

2 2

у х у

G+ qx +

qy'

z - 2 2

[е(оо)

2v!qx+qy

(7.73)

sh . /

+ q2

z'/

sh . /q2 +

2 2

- V

х у

qx+qy'Z

[е(оо)

-1]е-

qx+qya

{

[

(

оо

)

[е(оо)

_1]e-2v!q~+q~a}1/4

(7.74)

[е(О)

e-2v!q~+q~

Как

видно

из

выражения

(7.72),

операторы

рождения

уничтожения

фононов

не

суммируются

по

Поскольку

имеется ровно

две

интер

фейсные

оптические

фононные

моды,

индекс

операторов

рождения

уничтожения

фононов

размерно-ограниченных

оптических

мод

заменяется

на

О,

знак

плюс

нижнем

индексе

соответствует

четной

моде,

тот

время

как

знак

минус

нечетной.

Моды,

анализируемые

работе

[88],

носят

название

оптических

мод

гетероструктуры

двумя

поверхностями

раздела,

соответствующих

особому

случаю,

когда

= 1

вне

области,

ограниченной

двумя

поверхностями

раздела.

Как

уже

упоминалось,

приложении

дано

сравнение

трех

часто

используемых

полных

наборов

оптических

фононных

мод

для

гетероструктуры

двумя

поверхностями

раздела

случае,

когда

все

ее

слои

являются

полярными

полупроводниками.

Как

видно,

моды,

рассмотренные

работе

[88],

соответствуют

модам

пластины,

полученным

учетом

электростатических

граничных

условий

особом

случае,

когда

квантовая

яма

ограничена

вакуумом

(е

= 1).