Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Пьеэоэлектрическое
взаимодействие
61
где
е
х
4
-
постоянная
пьезоэлектрической
связи,
а
коэффициенты
перед
е
х
4
,
как
будет
показано
в
§ 2
гл.
7,
являются
компонентами
тен
зора
деформации,
которые
вносят
вклад
в
пьезоэлектрическую
поляри
зацию
в
кристаллах
с
решеткой
цинковой
обманки.
Фононы,
как
и
в
случае
фрёлиховского
взаимодействия,
описываемого
деформационным
потенциалом,
играют
существенную
роль
в
возникновении
пьезоэлек
трических
взаимодействий.
Пьезоэлектрические
взаимодействия
будут
обсуждаться
далее,
в
гл.
9.
Глава
6
АНГАРМОНИЧЕСКАЯ
СВЯЗЬ
ФОНОНОВ
с
именем
таким
ты
можешь
выгля
деть
любым.
1)
Льюис
Кэрролл,
Алиса
8
Зазеркалье,
1872
§ 1.
Неквадратичные
члены
кристаллического
потенциала
для
ионно-связанных
атомов
Кристаллический
потенциал
может
быть
разложен
в
ряд
по
смеще
ниям
ионов
от
их
положения
равновесия.
Этот
ряд
содержит
квадра
тичный
член
и
члены
более
высокого
порядка.
Квадратичные
члены,
очевидно,
описывают
гармонические
моды,
подробно
рассмотренные
в
гл.
5.
Кубические
члены
и
члены
высших
порядков,
содержащие
произведение
трех
и
более
смещений,
обычно
называют
ангармони
ческими
членами.
Они
изменяют
гармонические
моды,
рассчитанные
в
квадратичном
приближении
гармонического
осциллятора.
Действи
тельно,
хотя
гармоническое
приближение
подходит
для
получения
дис
персионных
соотношений
фононов,
оно
не
способно
описать
распад
фононных
мод,
так
что
для
описания
распада
фонона
на
несколько
дру
гих
фононов
приходится
учитывать
ангармоническое
взаимодействие.
Главный
член
в
ангармоническом
взаимодействии
(кубический
член)
может
быть
записан
в
следующем
виде:
Н
,
1
Р(
.
,.,
"''')
(6 1)
q,j;q',j';q'U
ff
=
VN
q,J;q,J
;q,J
Uq,jUq',j'Uqff,jff,
.
где
q, q'
и
ч"
-
волновые
векторы
фононов,
j,
j'
И
j"
обо
значают
поляризации
фононных
мод,
участвующих
в
ангармониче
ском
взаимодействии,
N -
число
элементарных
ячеек
в
кристалле,
а
функция
Р(
q,j;
q',
з':
q'~
j")
описывает
ангармоническую
связь.
Здесь
учитываются
нормальные
процессы,
в
которых
q - q' -
ч"
=
О,
а
про
цессы
переброса,
в
которых
q - q' - q" =
ь
i-
О,
игнорируются,
по
скольку
можно
ожидать,
что
при
малых
величинах
волновых
векторов
1)
Перевод
сангл.
Б.
Никифорова
и
В.
Пожара.
(6.3)
§2.
Канал
Клеменса
63
фононов
доминируют
нормальные
процессы.
Из
§
гл.
5
следует,
что
смещение
дается
выражением
и(г)
=
_1_"
"
~
(а
e
iq
.
r
е
.+ a
t
e-
iq
.
r
е*
.)
=
~~~
2~·
q
~
q
~
у
1v
q
j=I,2,3
ч.з
1
=
VN
2:.2:
Uq,j,
(6.2)
q J=I,2,3
и,
соответственно,
амплитуды
Uq,j
нормальных
мод
имеют
вид:
~
.
t·
. _ %q·r
~.
-%q·r
~*
Uq,J -
2т(;.)'
(aqe
eq,J
+
aqe
eq,j)'
ча
где,
как
определено
в
гл.
5,
единичные
векторы
поляризации
обознача
ются
eq,j
для
приходящих
волн
и
e~,j
для
уходящих
волн,
а
операторы
рождения
и
уничтожения
фононов
обозначены
а&
и
a
q
соответственно.
§ 2.
Канал
Клеменса
для
процесса
распада
оптического
фон
она на два
акустических
фонона
Клеменс
в
работе
[36]
рассмотрел
ангармонический
распад
оптиче
ского
фонона
на
два
продольных
акустический
фонона,
LA(I)
и
LA(2).
Канал
Клеменса
LO ----7 LA( 1) +LA(2)
в
настоящее
время
признан
до
минирующим
каналом
распада
LО-фононов
во
многих
кубических
кри
сталлах,
включая
арсен
ид
галлия
[48].
Для
канала
Клеменса
выполня
ется
соотношение
qLO =
q~A(l)
+
q~A(2)'
(6.4)
И
б
""
"
спользуя
о
означения
q =
qLO,
q = qLA(1)
и
q = qLA(2), можно
запи-
сать
ангармоническое
взаимодействие
в
следующем
виде:
~(
)
1/ 2
, _ 1 3
1i
1
,,,
t t
i(q-q'
-ч")
Hq,j;q',j';q'~j//
-
VN
2т
(;.) (;.)
,(;.)
//
P(q, q ,q )
aqaq,aq//e
.
q q q ( )
6.5
Процесс
Клеменса
схематически
изображен
на
рис.
6.1
для
случая
арсен
ида
галлия.
Для
определения
функции
P(q, q', q")
необходимо
определить
характеристики
ангармонической
связи.
Поскольку
прямо
измерить
ангармонический
потенциал
трудно,
был
предпринят
ряд
попыток
вычислений
функции
P(q, q', q")
из
основополагающих
принципов
(аЬ
initio) [80, 81].
в
работе
[82]
для
ее
определения
применена
теория
упругости
и
использовано
соотношение
между
коэффициентами
упру
гости
третьего
порядка
и
ангармоническими
членами
кристаллического
потенциала.
64
Гл.
6.
Ангармоническая
связь
фононов
Е
---------'~-----
..
q
Рис.
6.1.
Распад
LО-фонона,
находящегося
вблизи
центра
зоны,
на
два
акусти
ческих
фонона
(жирные
линии
-
идеализированные
дисперсионные
кривые).
Стрелки
выходят
из
точки,
соответствующей
значениям
энергии
и
волнового
вектора
исходного
LО-фонона,
и
оканчиваются
в
точках,
соответствующих
значениям
энергии
и
волновых
векторов
образовавшихся
LА-фононов.
В
этом
процессе
сохраняются
и
импульс,
и
энергия
Теория
упругости
будет
в
дальнейшем
рассматриваться
в
гл.
7
как
основа
модели
континуума
акустических
Фононов.
В
работе
[6]
использован
подход
работы
[82],
основанный
на
вычислении
функции
P(q, q',
ч")
как плотности
энергии
деформации
U
а
,
связанной
с
ангар
моническим
потенциалом
третьего
порядка.
Энергия
U
а
была
выражена
через
упругие
постоянные
третьего
порядка
и
линейные
компоненты
деформации.
Величина
U
а
,
связанная
с
пара
метром
Грюнайзена,
часто
рассматривается как
параметр.
Здесь
P(q, q', q/l)
будет
обозначаться
как
и;
§ 3.
Время
жизни
продольных
оптических
фононов
в
кубических
кристаллах
Для
канала
Клеменса,
LO
----*
LA(1)+LA(2),
золотое
правило
Ферми
предсказывает
следующее выражение
для
частоты
переходов:
27Г
'"'
2
Г
= h 6
IMI
8(nVJ
q-
nVJql
-
nVJqll)
,
q' ,q"
где
матричный
элемент
дается
формулой
(6.6)
(6.7)
и,
как
показано
в
§ 1
гл.
5,
числа
заполнения
состояний,
подчиняю
щиеся
распределению
Бозе-Эйнштейна,
даются
формулой
1
n =
--;----;-:---=--
q
e-hwqn/kвТ
- 1 .
(6.8)
§4.
Влияние
времени
жизни
фононов
65
Чтобы
рассчитать
результирующую
скорость
уменьшения
числа
фо
нонов
по
каналу
Клеменса,
необходимо
учесть
не
только
частоту
процесса
распада
г,
но
также
и
частоту
обратного
процесса
С.
Об
щая
скорость
изменения
количества
LО-фононов
тогда
дается
суммой:
-г
+
С.
Если
записать
Г
в
виде
r'nq(nqt +
1)(nqll
+ 1),
то
G
будет
описываться
выражением
r'(n
q
+
l)n
q
tn
q
ll,
и
для величины,
обратной
времени
жизни,
имеет
место
следующая
формула
[6, 36, 13]:
! = "
4nN2U~з
( 1 ) nq(n
q
t
+ 1)(n
q
ll
+ 1)
х
т
LJ
т
WqWqt
Wq"
q',q"
Х
<Sq,qt+qlliS(nW
q
-
nWqt
-
nWqll).
(6.9)
В
общем
случае
сумма
по
конечным
состояниям
должна
также
включать
суммирование
по
j'
и
j"
.
в
работе
[6]
полученный
результат
применен
для
расчета
времени
жизни
объемного
LО-фонона
в
арсен
иде
галлия
как
функции
температуры
и
при
выбранных
значениях
темпера
туры
как
функции
волнового
вектора
фонона
вдоль
направлений
(100)
и
(111).
Результаты этих
расчетов
показаны
на
рис.
6.2,6.3.
Время
жизни
(пс)
12
10
8
6
4
2
o'--~L..-~.L.-~..L.-~-'--~-'----'----'
О
50 100 150 200 250 300
Температура
(К)
Рис.
6.2.
Время
жизни
LО-фонона
в
арсениде
галлия
как
функция
температу
ры.
Из
работы
[6],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
§ 4.
Влияние
времени
жизни
фононов
на
процессы
релаксации
носителей
Скорость
потери
энергии
носителем
в
полярном
полупроводнике
определяется
как
скоростью,
с
которой
энергия
теряется
носителем
из
за
эмиссии
фононов,
так
и
скоростью,
с
которой
носитель при
обретает
энергию
посредством
поглощения
фононов.
Эта
вторая
составляющая
3
М.
А.
Сторшио,
М.
Дутта
Рис.
6.3.
Зависимость
времени
жизни
объемных
LО-фононов
в
арсениде
галлия
от
величины
волнового
вектора
вдоль
направлений
(100)
(квадратики)
и
(111)
(кружки)
при
температурах
77
К
(верхний
ряд
точек)
и
300
К
(нижний
ряд).
Из
работы
[6],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
скорости
может
быть
значительной
в
размерно-ограниченных
структу
рах,
таких
как
лазеры
на
квантовых
ямах,
поскольку
фононы,
испущен
ные
энергичными
носителями,
могут
накапливаться
в
этих
структурах.
Действительно,
плотность
фононов
в
полупроводниковых
при борах
с
размерным
ограничением
может
быть
значительно
выше
плотности
популяции
равновесных
фононов,
а
потому
существует
большая
веро
ятность
того,
что
эти
неравновесные
фононы
будут
повторно поглоще
ны.
Результирующие
потери
энергии
носителем,
известные
также
как
скорость
релаксации
носителей,
зависит
как
от
частоты
поглощения
фононов,
так
и
частоты
эмиссии
фононов,
Понятно,
что
времена
жизни
оптических
фононов
играют
важную
роль
в
определении
полной
ско
рости
потери
энергии
такими
носителями.
Как
было
показано
в
§ 3,
LО-фононы
В
арсен
иде
галлия
и во
многих
других
полярных
мате
риалах
распадаются
на
акустические
фононы
по
каналу
Клеменса.
В
широком
диапазоне
температур
и
волновых
векторов
фононов
време
на
жизни
LО-фононов
в
арсениде
галлия
составляют
от
нескольких
пи
косекунд
до
десятка
пикосекунд
[6],
что
иллюстрируется
рис.
6.2,6.3.
Времена
жизни
LО-фононов
в
других
полярных
полупроводниках
име
ют
тот
же
порядок
величин.
Благодаря
каналу
Клеменса
«горячие»
LО-фононы
распадаются
на
акустические
фононы
за
времена порядка
десятка
пикосекунд.
Эти
LО-фононы,
распадающиеся
на
акустиче
ские
фононы,
не
участвуют
в
процессах
поглощения
фононов
носи
телями,
и
потому
скорость
релаксации
энергии
носителя
испытывает
сильную
зависимость
от
времени
жизни
LО-фонона.
Отсюда
следует,
что
время,
необходимое
для
модуляции
полупроводникового
лазера
§
5.
Ангармонические
эффекты
67
на
квантовых
ямах
посредством
переключения
электронного
тока,
ис
пользуемого
для
накачки
лазера,
ограничено
временем,
за
которое
носитель
термализуется
в
квантовой
яме
активной
области
лазера.
Обратим
внимание
на
то,
что
время
термализации
носителей
в
квантовой
яме
полярного
полупроводника,
такого
как
арсенид
гал
лия,
определяется
частотой
эмиссии
LО-фононов
за
вычетом
частоты
поглощения
LО-фононов.
Поскольку,
в
общем
случае
существует
боль
шая
вероятность
того,
что
такие
неравновесные
LО-фононы
в
кван
товой
яме
будут
повторно
поглощены,
то
результирующая
скорость
потери
энергии
носителем
значительно
уменьшается
по
сравнению
со
скоростью
термализации,
которая
могла
бы
быть
достигнута,
если
бы
носитель
терял
энергию
посредством
последовательной
эмиссии
LО-фононов
без
повторного
их
поглощения.
Этот
эффект
часто
на
зывают
эффектом
узкого
фононного
горла.
В
самом
деле,
времена
термализации
полупроводниковых
лазеров
на
квантовых
ямах
обычно
составляют
десятки
пикосекунд,
что
соответствует
времени
жизни
LО-фонона,
а
не
доли
пикосекунд,
что
является
характерным
временем
испускания
носителями
LО-фононов
во
многих
полярных
полупровод
никах
в
достаточно
широком
диапазоне
энергии
носителей.
Для
сниже
ния
в
лазерах
на
квантовых
ямах
влияния
эффекта
узкого
фононного
горла
в
работе
[83]
был
предложен
туннельно-инжекционный
лазер,
в
котором
носители
туннелируют
в
активную
зону
лазера на
квантовых
ямах,
имея
энергию,
не
превышающую
величины
удвоенной
энергии
LО-фонона.
Благодаря
такой
оригинальной
конструкции
носители
мог
ли
бы
термализироваться
путем
испускания
уже
одного
или
двух
LO-
фононов,
И
вероятность
поглощения
заметного
количества
LО-фононов
намного
бы
снизилась.
Такие
туннельно-инжекционные
лазеры
обес
печивают
частоты
переключения,
близкие
к
100
ГГц,
что
в
несколько
раз
больше,
чем
частоты
переключения
полупроводниковых
лазеров
на
квантовых
ямах,
где
носители
захватываются
и
термализуются
в
квантовых
ямах,
имеющих
глубины
в
несколько
раз
больше
энергии
LО-фонона.
Эффект
узкого
фононного
горла будет
рассмотрен
ниже
в
связи
с
процессами
потери
энергии
носителями
в
квантовых
проволо
ках
(п.
3.4
гл.
8)
и
в
лазерах
на
межподзонных
переходах
(§ 1
гл.
10).
§ 5.
Ангармонические
эффекты
в
структурах
с
решеткой
вюрцита:
канал
Ридли
Распад
продольного
оптического
фонона
в
нитриде
галлия
не
может
осуществляться
по
каналу
Клеменса,
так
как
энергия
LО-фонона
более
чем
в
два
раза
превосходит
энергию
любых
доступных
акустических
фононов.
Ридли
в
1966
г.
[40]
заметил, что
скорость
четырех-фонон
ного
процесс
а
распада
должна
была
бы
быть
значительно
ниже,
чем
скорости,
типичные
для
полярных
полупроводников,
и
предположил,
что
возможен
трех-фононный
канал
распада,
в
котором
LО-фонон
3*
68
Гл.
6.
Ангармоническая
связь
фононов
распадается
на
ТО-фонон
и
LA
фонон.
Канал
Ридли,
LO
----+
ТО
+LA,
конкурирует
с
каналом
LO
----+
ТО
+
ТА,
но
из
соображений
симметрии
ожидается,
что
доминирующим
будет
канал
Ридли
[40].
Пользуясь
рас
суждениями,
подобными
анализу,
проведенному
в
§§
1-3
гл.
6,
Ридли
показал,
что
полная
скорость
аннигиляции
LО-фононов
в
арсениде
галлия
по
предложенному
им
механизму
дается
выражением
TGaN
(6.10)
где
PLO -
приведенная
массовая
плотность,
VLA
-
групповая
ско
рость,
а
UJLO
-
-то
-
частота
продольного
акустического
фонона
(см.
также
[84]).
Положив
Г
~
108
см:",
как
это
имеет
место
для
арсенида
галлия,
Ридли
получил,
что
при
нулевой
температуре
частота
распада
равна
5,
Ох
1011
с-
1
.
Полное
представление
о
распаде
фононов
в
нитридных
материалах
АшВv
с
широкой
энергетической
зоной
еще
предстоит
получить.
Вероятно,
однако,
что
порядок
величины
времени
жизни
оптических
фононов
в
нитридах
АшВ
v
будет
иметь
принци
пиальное
значение
при
разработке
электронных
и
оптоэлектронных
при
боров
на
основе
этих
материалов.
Приведенный
в
гл.
4
анализ
скорости
ангармонического
распада
Фононов
методами
спектроскопии
комбинационного
рассеяния
дает
важную
информацию
для
системати
ческой
разработки
таких
приборов.
Глава
7
КОНТИНУАЛЬНЫЕ
МОДЕЛИ
ФОНОНОВ
Нет
ни
одной
вещи
в
мире,
как
бы
мала
она
ни
была,
которая
не
зави
села
бы
от
чего-то
более
высокого
...
поскольку
все
взаимозависимо.
1)
Зара,
Каббала,
Книга
1, 1566
§ 1.
Диэлектрические
континуальные
модели
фононов
Диэлектрическая
континуальная
модель
оптических
фононов
в
по
лярных
материалах
основана
на
концепции,
что
связанные
колебания
решетки
создают
электрическую
поляризацию
Р(г),
которая
может
быть
описана
уравнениями
электростатики
для
среды
с
известной
диэлектрической
постоянной
C:(UJ)
[8,85-90].
Будем
считать,
что
струк
тура
имеет
объем,
равный
L
З
(-L/2
::;;
х,
у,
z::;;
+L/2),
а
граничные
условия
периодичны.
Потенциал
Ф(г),
связанный
с
поляризацией
Р(г),
определяется
уравнением
[91]
\72ф(г)
=
47Г\7·
Р(г),
(7.1)
а
электрическое
поле
Е(г)
дается
формулой
Е(г)
=
-\7ф(г).
(7.2)
Кроме
того,
векторы
Е(г) и
Р(г)
связаны
через
диэлектрическую
восприимчивость
среды
и
n
(UJ):
Р(г)
=
Иn(UJ)Е(г),
(7.3)
где
п
-
номер
среды
и
(7.4)
Используя
результаты
гл.
5,
для
среды,
представляющей
собой
бинарный
полярный
полупроводник
АВ,
можно
записать
соотношение
Лиддейна-Сакса-
Теллера
в
виде
(7.5)
1)
Перевод
сангл.
Б.
Никифорова
и
В.
Пожара.
70
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононое
а в
случае,
если
среда
представляет
собой
трехкомпонентную
полярную
полупроводниковую
структуру
AyB1-уС,
-
В
виде
w
2
-
w
2
w
2
-
w
2
( )
-
(О)
LO,n,a
LO,n,b
(7.6)
Е
n
W -
Е
n
2 2 2 2 '
W -
WTO,n,a
W - WTO,n,b
где
индекс
а
обозначает
частоты,
связанные
с
дипольными
парами
АС,
а
индекс
Ь
-
частоты,
связанные
с
дипольными
парами
ВС.
Как
и
в
п.
3.1
гл.
2,
поле
упругих
смещений
связано
с
полями
E(r)
и
P(r)
уравнением
колебаний
осциллятора
через
эффективный
заряд
e~:
для
бинарной
среды
-J-Ln
W
2
un(г)
=
-J-LnWбn
un(r) +
е~Елок(г),
(7.7)
(7.8)
47Г
Елок(г)
=
E(r)
+ 3
P(r).
где
п
n
-
число
элементарных
ячеек
в
рассматриваемой
(n-й)
области,
J-Ln
=
тnМn/(т
n
+
М
n)
-
приведенная
масса,
О:n
-
электронная
по
ляризуемость,
приходящаяся
на
элементарную
ячейку,
и
где
согласно
формуле
Лоренца
в
модели
виртуального
кристалла
для
дипольных
пар
АС
и
ВС
в
трех
компонентной
среде
m
получаем
соотношения
-J-Lm,а(Ь)W
2Um,а(Ь)(Г)
=
-J-LmWбm,а(ь)Um,а(Ь)(Г)
+
е:п,а(Ь)
Е
л
о
к
(г),
(7.9)
Другой
удобный
вид этих
уравнений
для
случая бинарного
материала
получается
непосредственно
из
соотношений,
приведенных
в
приложении
А.
Действительно,
из
уравнений
(А.8)
и
(А.9)
приложения
А
для
двухатомного
полярного
материала
следует
пара
уравнений:
(7.10)
(
J-LN
)1/2
[Е(ОО)
-
1]
Р
=
4nV
VE(O)
-
Е(ОО)
wTOu +
47Г
Е.
в
первом
уравнении
было
принято, что
временная
зависимость
величины
ii
имеет
произвольный
вид,
а
не
сводится
к
простой
сину
соидальной
зависимости
с
частотой
W.
Как
станет
очевидно
далее,
эта
пара
уравнений
вполне
подходит
в
качестве
основы
альтернативного
метода
для
расчетов,
проведенных
в
п.
3.1
гл.
7.
Более
того,
она
дает
удобную
отправную
точку
для вывода
макроскопических
уравнений,