Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
Глава
3
ФОНОНЫ
В
КРИСТАЛЛАХ
С
РЕШЕТКОЙ
ВЮРЦИТА
и
стоит
лишь
бросить
взор
на
эту
восхитительную
рябь,
как
меня
захватывает
ее
сверкание.
1)
Роберт
Херрик,
1648
§ 1.
Основные
свойства
фононов
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
Полупроводниковые
структуры
GaAIN
представляют
большой
ин
терес
для
специалистов
в
области
электроники
и
оптоэлектроники,
по
скольку
обладают
широкими
запрещенными
зонами,
подходящими
для
изготовления
полупроводниковых
лазеров
голубой
и
ультрафиолетовой
области
спектра,
а
также
для
изготовления
электронных
приборов,
предназначенных
для работы
в
условиях
повышенной
температуры.
Эти
нитриды
типа
АшВ
v
встречаются
в
виде
кристаллов как
с
решет
кой
цинковой
обманки,
так
и
с
решеткой
вюрцита.
В
данной
главе
большее
внимание
будет
уделено
структуре
вюрцита,
которая
более
сложна
в
исследовании,
чем
кристаллы
структуры
цинковой
обманки.
В
последующей
части
книги
фононные
эффекты
в
наноструктурах
будут рассматриваться
как
для
решетки
цинковой
обманки,
так
и
для
решетки
вюрцита.
Гл.
3
посвящена
исследованию
основных
свойств
фо
нонов
В
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
как
основы для
последующего
рассмотрения
фононов
в
наноструктурах
этого
типа.
Кристаллическая
структура
материала
с
решеткой
вюрцита
изоб
ражена
на
рис.
3.1.
Как
и
в
решетке
цинковой
обманки,
гибридиза
ция
связей
является
тетраэдрической,
Структура
вюрцита
может
быть
получена
из
структуры
цинковой
обманки
путем
поворота
смежных
тетраэдров вокруг
общей
соединительной
оси
тетраэдра
на
угол
600
по
отношению
друг
к другу.
Как
показано
на
рис.
3.1,
кристаллы
с
решеткой
вюрцита
имеют
в
элементарной
ячейке
четыре
атома.
Общее
число
нормальных
мод
колебаний
для
элементарной
ячейки,
имеющей
8
атомов,
составляет
38.
Что
касается
кубических
кристал
лов,
то
в
длинноволновом
пределе
имеется
три
акустические
моды,
одна
продольная
и
две
поперечные.
Таким
образом,
общее
число
1)
Перевод
сангл.
Б.
Никифорова
и
В.
Пожара.
32
Гл.
3.
Фононы
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
Рис.
3.1.
Элементарная
ячейка
гексагонального
кристалла
вюрцита
оптических
мод
в
этом
пределе
составляет
38 - 3.
Естественно,
как
и
для
акустических
мод,
на
одну
продольную
оптическую моду
приходит
ся
две
поперечные.
Число
различных
длинноволновых
мод
приведено
в
табл.
3.1.
т
а
б л и
ц
а
3.1.
Фононные
моды
в
кристалле
с
элементарной
ячейкой,
содер
жащей
s
атомов
Мода
Продольная
акустическая
(LA)
Поперечная
акустическая
(ТА)
Все
акустические
моды
Продольная
оптическая
(LO)
Поперечная
оптическая
(ТО)
Все
оптические
моды
Общее
число
мод
Число
мод
1
2
3
8 - 1
28 - 2
38 - 3
38
Для
структуры
цинковой
обманки
8 = 2
и
существуют
шесть
мод:
одна
продольная
акустическая
LA,
две
поперечные
акустические
ТА,
одна
продольная
оптическая
LO
и
две
поперечные
оптические
ТО.
ДЛЯ
структуры
вюрцита
8 = 4
и
имеется
12
мод:
одна
продольная
акустиче
ская
LA,
две
поперечные
акустические
ТА,
три
продольные
оптические
LO
и
шесть
поперечных
оптических
ТО.
В
длинноволновом
пределе
акустические
моды
являются
простыми
трансляционными
модами.
Оп
тические
моды
для
структуры
вюрцита
изображены
на
рис.
3.2.
§2.
Модель
Паидона
для
одноосных
кристаллов
33
z
А!
Z
в!
Z
в
2
! !
•
Т
Т
~
~
6
х
х
х
z
Е!
Z
Е!
Z
Е
2
2
2
--
...
...
х
х
х
Рис.
3.2.
Оптические
фононы
в
кристалле
с
решеткой
вюрцита
[19].
Печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
Из
рис.
3.2
понятно,
что
в
случае
соединений
с
ионной
связью
фононные
моды
А!
и
Е!
будут
создавать
сильные
поля
электрической
поляризации.
Эти
поля
приводят
К
сильному
рассеянию
носителей
на
оптических
фононах,
и об
этих
фононных
модах
говорят,
что
они
активны
в
инфракрасной
области
спектра.
В
гл.
5
будет
показано,
что
поля,
связанные
с
этими
инфракрасными
модами,
могут
быть
вычислены
из
потенциала,
описывающего
взаимодействие
носителей
с
фононами
в
таких
модах.
Там
же
будет
показано,
что
потенциал
такого
взаимодействия
соответствует
фрёлиховскому
взаимодействию.
Дисперсионные
кривые
для
12
фононных
мод
структуры
вюрцита
изоб
ражены
на
рис.
3.3.
Три
из
этих
12
мод
вблизи
Г
точки
на
низких
частотах
обращаются
в
нуль
и,
соответственно,
являются
акустическими.
Это,
естественно,
согласуется
с
числом
акустических
мод,
указанных
в
табл.
3.1.
§ 2.
Модель
Лаудона
для
одноосных
кристаллов
Как
уже
говорилось
в
п.
3.4
гл.
2,
Лаудон предложил
для
одноосных
кристаллов
модель
[18],
которая
дает
удобное
описание
продольных
оптических
фононов
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита.
В
предложен
ной
Лаудоном
модели
для
одноосных
кристаллов,
таких
как
GaN
или
A1N,
угол
между
осью
С
и
вектором
q
обозначается
е,
а
диэлектри
ческая
проницаемость,
изотропная
для
случая
кубической
структуры,
2
М.
А.
Сторшио,
М.
Дутта
34
Гл.
3.
Фононы
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
г
[001]
А
[100]
м
к
0"""-------'------'--------'-"'------'
20
40
r---.....:±-~;j;....-_----:r--
60
Энергия
(мэБ)
Г
[110]
100
Приведенный
волновой
вектор
Рис.
3.3.
Дисперсионные
кривые
фононов
для
кристалла
GaN,
имеющего
структуру
вюрцита
[23].
Печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
заменяется парой
компонент
диэлектрической
проницаемости
для
на
правлений,
параллельных
и
перпендикулярных
оси
С:
EII
(UJ)
и
E-1(UJ)
соответственно.
А
именно:
(3.1)
(3.2)
где
2 2
UJ
-
UJ
LO
-1
E-1(UJ)
=
Е-1(ОО)
2
2',
UJ
-
UJ
TO
,-1
2 2
UJ
-
UJ
LO
11
EII(UJ)
=
EII(OO)
2
2'
UJ
-
UJTO,II
в
соответствии
с
соотношением
Лидлейна-Сакса-
Теллера.
Ось
С
часто
выбирают
в
качестве
оси
z,
и
соответственно,
диэлектрическая
прони
цаемость
иногда
помечается
индексом
z;
т.
е.
E-1(UJ)
=
Ez(UJ).
На
рис.
3.4
приведены
частотные
зависимости
диэлектрической
проницаемости
для
двух
кристаллов:
GaN
и
AIN.
В
подобных
одноосных
кристаллах
существуют
два
типа
фононных
волн:
а)
обыкновенные
волны,
где
для
любого
угла
е
как
электри
ческое
поле
Е, так
и
поляризация
Р
перпендикулярны
одновременно
оси
С
и
вектору
q;
б)
необыкновенные
волны,
для
которых
ориентация
векторов
Е
и
Р
по
отношению
к
вектору
q
и
оси
С
является
более
сложной.
Как
обсуждалось
в
п.
3.4
гл.
2,
обыкновенная
волна
имеет
§2.
Модель
Паидона
для
одноосных
кристаллов
35
Диэлектрическая
проницаемость
30
20
Е11..
(GaN)
E\z
(GaN)
Еа
(A1N)
E2z
(A1N)
200 400 600 800 1000 1200
Частота
фонона
(CM-
J
)
о
-20
'-_--'--_---'-_~_.<L--'--_--'-
__
О
-10
Рис.
3.4.
Частотные
зависимости
диэлектрической
проницаемости
для
нитрида
галлия
и
для
нитрида
алюминия:
E:11..(GaN),
E:lz(GaN),
E:2l..(A1N),
E:2z(A1N)
[24].
Печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
симметрию
Е\,
является
поперечной
и
поляризована
в
плоскости,
пер
пендикулярной
оси
С.
Необыкновенных
волн
-
две:
одна
связана
с
колебаниями
в
направлении
оси
С
и
имеет
симметрию
А\,
а
другая,
связанная
с
колебаниями
в
направлении,
перпендикулярном
оси
С,
и
имеет
симметрию
Е\.
При
е
=
о
одна
из
этих
мод
является
модой
А\
(LO),
а
другая
-
модой
Е\
(ТО).
При
изменении
е
от
о
до
7!"
/2
эти
моды
трансформируются
в
моды
А\
(ТО)
и
Е\
(LO)
соответственно.
Для
значений
е
между
О
и
7!"
/2
моды
смешиваются
и не
имеют
характера
чисто
продольной
(LO)
или
чисто
поперечной
(ТО)
моды,
т.е.
не
имеют
ни
симметрии
А\,
ни
симметрии
Е\
[18].
В
гл.
7
будет
показано,
что
для
кристаллов,
имеющих
структуру
вюрцита,
в
точке
Г
только
три
из
девяти
оптических
фононных
мод,
а
именно
моды
A\(Z)
и
Е\(Х,
У)'
вызывают
значительное
рассеяние
носителей
оптическими
фононами.
Это
моды,
активные
в
инфракрасной
области
спектра.
Модель
Лаудона
для
одноосных
кристаллов
в
частном
случае
структуры
вюрцита
ос
новывается
на
обобщении
уравнений
Хуан
Куня-Борна
(А.8)
и
(А.9)
(см.
приложение
А)
и
уравнения
(2.37)
п.
3.4
гл.
2.
А
именно:
каждому
из
этих
уравнений
соответствует
пара
уравнений,
одно,
выраженное
в
величинах,
направленных
вдоль
оси
С,
а
другое
-
в
величинах,
направленных
перпендикулярно
оси
С:
(3.3)
(3.4)
2*
36
Гл.
3.
Фононы
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Исключая
величины
U1..
и
UII
из
первых
четырех
уравнений,
получаем
1
{[Е1..(О)
-
Е1..(ОО)](.'-'?о
1..
} 1
Р
1..
= 4 2 2
'+
[Е1..(ОО)
- 1]
Е1..
= 4
А
1..
Е
1..
,
7г
U.J
TO
,
1..
-
U.J
7г
(3.9)
1 {[EII
(О)
-
EII
(00)
]U.Jfo
11
} 1
PII =
-4
2 2
'+
[EII(oo)
-
1]
EII =
-4
A11EII'
7г
U.J
TO
,
11
-
U.J
7г
(3.10)
где
А1..
и
A
11
могут
быть
представлены
в
виде
2 2
U.J
Lo
1..
-
U.J
А1..
=
2'
2
Е1..(ОО)
- 1,
U.J
TO
,
1..
-
U.J
2 2
U.JLQ,II
-
U.J
AII = 2 2
EII(OO)
- 1,
U.JТO,II
-
U.J
(3.11)
(3.12)
(3.13)
и
после
использования
соотношений
Лиддейна-Сакса-
Теллера
полу
чаем
Для
обыкновенной
волны
имеют
место
равенства
EII =
О,
Р
1..
=
О
И
q.
Р
=
О,
так что
рассуждения,
приведенные
в
п.
3.4
гл.
2,
теперь
при
водят
к
соотношению
(3.14)
Для
обыкновенной
волны также
следует,
что
UII
=
U1..
=
О.
§2.
Модель
Паидона
для
одноосных
кристаллов
37
Для
необыкновенной
волны
выполняются
соотношения
q1..
= q
sin
е
и Ч]
= qcose,
где е
-
угол
между
q
и
осью
С.
Отсюда
следует
равенство
q.
Р
=
(qsine,
qcos
е)
.
(Р1..,
PII) =
qP1..
sine
+
qP11
cose.
Таким
образом,
(3.15)
(3.16)
q1..
(q
.
Р)
=
q2(P1..
sin
2
е
+
PII
sin
е
cos
е),
qll(q·
Р)
=
q2(P1..
sinecose
+
PII
cos
2
е).
в
пренебрежении
эффектами
запаздывания
(скорость
света
с
~
(0)
получаем
следующие
выражения
Е1..=
-4n[q1..(q.Р)-uРР1../
с
2]
q2
_ w2/c2
------*
-47Г(Р1..
sin
2
е
+
PII
sinecose)
=
-4n[qll(q·Р)
-w
2
Р
I I
/
с2
]
EII =
q2
_ w2/c2
------*
-47Г(
Р
1..
sin
е
cos
е
+
PII
cos
2
е)
=
Эти
соотношения
могут
быть записаны
в
виде
матричного
уравнения
(
1
+sin
2eA1..
SinecoseA
11
)
(Е1..
) (3.19)
sin
е
cos
е
А1..
1 + cos
2
е
A
11
EII =
О,
из
которого
следует,
что
условие
существования
нетривиальных
реше
ний
имеет
следующий
вид:
1 + sin
2
е
А1..
+ cos
2
е
A
11
=
2 2 2 2
W
LO
,
1..
- W . 2
W
L
Щ
1
- w 2
2 2
Е1..(ОО)
sш
е
+ 2 2
EII(OO)
cos
е
=
W
TO
,
1..
- W WTO,II - W
=
Е1..
(W)
sin
2
е
+
EII
(W)
cos
2
е
=
О,
(3.20)
или
эквивалентный
вид
(3.21 )
38
Гл.
3.
Фононы
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
Поскольку
на
высоких
частотах
электронный
отклик
среды
не
дол
жен
существенно
зависеть
от
кристаллической
структуры,
то
обычно
принимается
[18],
что
1::..1
(00)
~
1::11
(00).
Таким
образом,
получаем
ра
венство
G<J2
_
G<J2 G<J2
-
G<J2
LO,..l . 2 () +
LЩI
2 () -
о
2 2
SШ
2 2 cos
-,
G<JTO,..l
-
G<J
G<J
Т
Щ
1
-
G<J
которое
может
быть
переписано
в
виде
уравнения
(3.22)
(3.23)
где
2 2 . 2() 2 2()
G<J,
=
G<JTO,II
sш
+
G<JTO,..l
COS ,
(3.24)
2 2 2() 2
.2()
G<J
2
=
G<J
L
Щ
1
COS +
G<JLO,..l
SШ
.
Когда
величина
IG<JTO,II
-
-то.л.]
во
много
раз
меньше
величин
G<JLЩI
-
G<JTO,II
и
G<JLO,..l
-
-тол.
это
уравнение
имеет
следующие
корни:
G<J2
=
~
{(G<J;
+
G<J~)
±
[(G<J;
-
G<J~)
+
2дG<J
2(())]},
((3.25)
где
(G<J
2
G<J2)
(G<J
2
G<J2)
л
2(()) _ 2
LЩI
- LO,..l
TO,II
- TO,..l . 2 () 2()
uG<J
- 2 2
SШ
COS .
G<J
2
-
G<J,
в
итоге
получаем
~
2
.2()
2 2()
~
G<JTO,II
SШ
+
G<JTO,..l
COS
и
~
2 2() 2
.2()
~
G<JLO,II
COS +
G<JLO,..l
SШ
.
(3.26)
(3.27)
(3.28)
§3.
Применение
модели
Лаудона
к
нитридам
группы
АШВV
39
§ 3.
Применение
модели
Лаудона
к
нитридам
группы
АпIВ
v
Условия
IUJТO,II
-
-тол]
«
UJLQ,II
-
-то.]
и
IUJTO,II
-
-тол]
«
«
-т.о.;
-
-то.л
достаточно
хорошо
выполняются
для
многих
материалов,
имеющих
структуру
вюрцита,
включая
нитриды
вида
АшВv.
Действительно,
для
кристаллов
GaN
имеем
следующие
значения:
Е(ОО)
=
5,26,
UJLO,l..
= 743
см-',
UJLЩI
= 735
см:",
«то.г
=
=
561
см
"
и
-то.]
=
533
см
" [20].
Для
кристаллов
A1N
эти
величины
составляют:
Е(ОО)
=
5,26,
-т.о.;
= 916
см-',
UJLЩI
= 893
си
",
-тол
= 673
см-
1
и
UJTO,
11
=
660
см-
1
[21].
Для
этих
и
других
кристаллов
с
решеткой
вюрцита
[22]
в
табл.
3.2
приведены
значения
разностей
частот,
входящих
в
вышеуказанные
частотные
соотношения.
т
а
б
л и
ц
а
3.2.
Разности
частот
(CM-
J
)
для
кристаллов
GaN, AIN
и
других
кристаллов,
имеющих
структуру
вюрцита
Вюрцит
GaN
A1N
AgI
ВеО
CdS
ZnO
ZnS
IUJTO,II
-
«тол]
27
59
О
44
9
33
О
211
279
18
403
71
199
76
-т.о.;
-
-то.л
186
243
18
375
64
178
76
Как
ясно
из
табл.
3.2,
неравенства,
приведенные
в
§ 2
гл.
2,
доста
точно
хорошо
выполняются
и
для
кристаллов
GaN,
и
для
кристаллов
A1N,
также
как
и
для
других
перечисленных
в
таблице
материалов.
У
этих
нитридов
группы
АшВ
v
активными
в
инфракрасной
обла
сти
являются
следующие
моды:
А
1
(LO),
А
1
(ТО),
Е
1
(LO)
и
Е
1
(ТО).
Частоты,
которые
соответствуют
этим
модам:
UJAl(LO)' UJAl(TO)' UJEl(LO)
и
UJE
1(TO),
-
обозначены
соответственно
UJLO,II'
UJTO,II'
UJLO,l..
и
-то.л.
Рассмотрим
соотношения
в
кристалле
GaN
более
подробно.
Из
резуль
татов
§ 2
гл.
2
немедленно
следуют
соотношения
sin (j
СОБ
(j A
11
1+ sin
2
(j
Al..
sin (j
СОБ
(j A
11
СОБ
2
(j A
11
sin (j
СОБ
(j ,
(3.29)
40
Гл.
3.
Фононы
в
кристаллах
с
решеткой
вюрцита
,-40,11
-
UJ2
[S-L(O)
-
S-L(OO)]
1/2(UJTO,-L)
sinB (3.30)
=
UJfo,-L
-
UJ2
sll(O) - sll(oo)
UJTO,II
cosB'
С
учетом
того
что
q =
(q-L,
qll)
= (q sin
В,
qcos
В),
первое
из
этих
соотношений
иллюстрирует
тот
факт,
что
Е
11
q,
как
это
и
следовало
ожидать
из
равенства
q
2
E =
-4пq(q·
Р),
которое
следует
из
уравнения
V·
(Е
+
4пР)
=
О.
Отношение
смещений
U-L/UII
в
кристалле
GaN
для
мод
поперечного
типа
с
учетом
соотношения
2 2 .2в 2
2в
UJ
=
UJTO,II
sш
+
-то.;
cos
можно
оценить
следующим
образом:
U-L
= _
[S-L(O)
-
S-L(OO)]
1/2(UJTO,-L)
cosB
~
-о
9Scos
B
ull
sll(O) - sll(oo)
-'го.]
sinB .
sinB'
(3.31)
Для
мод
продольного
типа
с
учетом
соотношения
UJ2
=
UJtO,11
cos
2
В
+
+
UJto
л,
sin
2
В
отношение
U-L/UII
можно
оценить
следующим
образом:
2 2
UJTO,II
-
UJ
LO
2 2
UJTO,-L
-
UJ
LO
[
S
-L
(O)-
S-L(OO)]
1/2(UJTO,-L)
sinB =
107sinB
sll(O)-sll(оо)
-'то.]
cosB .
cosB'
(3.32)
в
этом
выражении
с
учетом
того,
что
UJtO,11
~
UJto,-L'
частоты
UJtO,11
2
б
2
И
UJ
LO
-L
о
означены
как
UJ
LO'
Свойства
одноосных
кристаллов,
определенные
в
настоящем
пара
графе
и
в
§ 2
гл.
3,
будут
использованы
в
гл.
7
для
определения
фрёлиховских
потенциалов
в
наноструктурах
с
решеткой
вюрцита.