Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
Глава
5
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В
ЧИСЛАХ
ЗАПОЛНЕНИЯ
О,
громогласный
создатель
гармо
ний!
1)
Альфред,
Лорд
Теннисон,
1863
§ 1.
Амплитуды
фононных
мод
И
числа
заполнения
в
исследованиях
взаимодействий
носителей
с
фононами
в
нано
структурах
удобно
использовать
так
называемый
метод
чисел
заполнения
2)
фононных
состояний.
В
этом
методе
фононная
система
описывается
посредством
гамильтониана
простого
гармонического
ос
циллятора.
В
частности,
хорошо
известные
сопряженные
переменные,
положение
и
импульс
частицы,
заменяются
операторами
рождения
и
уничтожения.
Эти
операторы
рождения
и
уничтожения
действуют
на
состояния,
характеризующиеся
определенным
числом
фононов.
В
частности,
оператор
рождения,
действуя
на
состояние,
содержащее
n
q
фононов
с
волновым
вектором
q,
увеличивает
число таких
фононов
до
n
q
+ 1,
а
оператор
уничтожения
фононов,
действуя
на
состояние,
содержащее
n
q
фононов
с
волновым
вектором
q,
уменьшает
их
число
до
"« - 1.
В
некоторых
задачах,
например
связанных
с
основным
состоянием
при
конденсации
Бозе-Эйнштейна,
операторы
рождения
и
уничтоже
ния
очень
важны
для
описания
физических
свойств
системы.
Однако
в
задачах,
рассматриваемых
в
настоящей
книге,
эти
операторы
исполь
зуются
лишь
как
удобное
средство,
позволяющее
отслеживать
число
фононов
до
И
после
акта
рассеяния
носителей
на
фононах;
они
не
дают
нового
физического
понимания
процессов.
Тем
не
менее
важно
понять
сущность
этих
операторов,
так
как
ими
часто
пользуются
исследова
тели
в
физике
полупроводников
при
моделировании
электронных
и
оп
тических
свойств
как
макроскопических
полупроводниковых
образцов,
так
и
полупроводниковых
наноструктур.
1)
Перевод
с
англ.
Б.
Никифорова
и
В.
Пожара.
2)
Известный
также
как
метод
вторичного
квантования.
(Примеч.
пер.)
52
Гл.
5.
Представление
в
ч.ислах
заполнения
Гамильтониан,
описывающий
гармонический
осциллятор,
который
связан
с
фононной
модой,
характеризующейся
волновым
вектором
q,
записывается
в
виде
(5.1
)
где
m -
масса
осциллятора,
VJ
q
-
частота
фонона,
U
q
-
смещение,
связанное
с
фононом,
Pq
-
импульс
фонона.
Вводя
операторы
a
q
и
a~,
описываемые
выражениями
и
t-
~
_.
г1
a
q
- V
----zh
U
q
~y
~
Pq,
непосредственно
приходим
к
соотношению
(5.2)
(5.3)
1
mVJ~
1 1 2 i
=
"2
nVJ
q
+
2т
nVJ
q
P
q
+ 2n
[uq,Pq]·
(5.4)
Здесь
коммутатор
[Uq,Pq]
==
UqPq
-
pqU
q
=
in
вычислен
с
использовани
ем
квантово-механических
свойств
операторов
U
q
и
Pq.
Таким
образом,
получаем
равенство
(5.5)
Поскольку
энергия
квантово-механического
гармонического
осциллятора
дается
выражением
hVJq(n
q
+ '/2),
где
n
q
-
число
фононов,
имеющих
волновой
вектор
q,
то
понятно,
что
оператор
N
q
=
=
a~aq,
действуя
на
собственное
состояние
IN
q),
дает
собственное
значение
этого
состояния,
а
именно
NqlNq) = nqIN
q).
Теперь,
найдя
выражения
для
оператора
aqa~
(таким
же
образом,
как
и
для
оператора
a~aq),
приходим
к
следующим
соотношениям:
aqa~
-
a~aq
=
[a
q,
a~]
=
=
1,
[a
q,N
q]
=
aqa~aq
-
a~aqaq
=
[a
q,
a~]aq
= aq
и
[a~,
N
q]
=
a~a~aq
-
-
a~aqa~
=
a~[a~,
a
q]
=
-a
q.
Отсюда
получаем
соотношения
N
q
(a~INq))
=
(a~Nq
+
a~)
IN
q)
= (n
q
+
1)
a~INq),
(5.6)
и
§ 1.
Амплитиды
фононных
мод
53
Таким
образом,
оператор
a~,
действуя
на
состояние
IN
q
) ,
дает
новое
собственное
состояние
с
собственным
значением,
увеличенным
на
1,
а
оператор
a
q
,
действуя
на
состояние
IN
q
) ,
дает
новое
собственное
состояние
с
собственным
значением,
уменьшенным
на
1.
А
именно:
(5.8)
(5.9)
где
собственные
значения
согласуются
с
соотношением
NqlN
q)
=
=
nqIN
q),
в
котором
N
q
=
a~aq.
Собственные
состояния
IN
q)
-
орто
нормированны,
так
что
(5.1
О)
где
8
N
, N -
дельта-символ
Кронекера.
ч:
q
Таким
образом,
единственными
иенулевыми
матричными
элемен-
(Nq
'l
тами
оператора
a
q
являются
те,
которые
связывают
состояния
и
IN
q),
для
которых
выполнено
равенство
N~
= N
q
+ 1:
(5.11
)
Подобным
же
образом
получаем
(5.12)
При
любой
температуре
Т
число
заполнения
фононных
состояний
n
q
может
быть
определено
из
соотношения
(1::)
=
h(;Jq(n
q
+ '/2),
где
среднее
значение
энергии
(1::)
рассчитывается
в
предположении,
что
собственные
значения
энергии
соответствуют
значениям
энергии
гар
монического
осциллятора
Е
n
=
h(;Jq(n
q
+ '/2).
Затем,
вводя
в
качестве
весового
коэффициента
f(E
n)
=
exp[-Еn/kвТ]
функцию
распределе
ния
Больцмана,
находим,
что
LEnJ(E
n)
(1::)
= L
f(E
n)
,
(5.13)
где
суммирование
ведется
по
всем
значениям
n
от
О
до
00.
Отсюда
следует,
что
(5.14)
54
Гл.
5.
Представление
в
ч.ислах
заполнения
где
Х
=
exp[-nUJq/kвТ].
Тогда
nUJ
q
x
-1;
L
xn
nUJ
q
_
х/(1
-
х)2
nUJ
q_
Lxn
+ 2 -
nUJ
q
1/(1 -
х)
+ 2 -
Ти»
q
х
Ти»
q
nUJ
q
Ти»
q (5.15)
= 1-
х
+ 2 =
e-hwqnjkвТ
- 1 + 2 '
откуда
следует
формула
(5.16)
известная
как
распределение
Боэе-Эйнштейна.
Уравнения
(5.10)-
(5.12)
и
(5.16)
часто
используются
для
расчета
частоты
рассеяния
носителей
на
фононах
в
наноструктурах.
Такие
расчеты
станут
пред
метом
рассмотрения
в
следующих
главах.
В
этих
расчетах
выражение
для
общей
волновой
функции
системы
носителей
и
фононов
записыва
ется
в
виде
про
изведен
ия
волновых
функций
носителей
и
собственных
состояний
фононов,
При
расчете
матричных
элементов,
связывающих
конечное
и
начальное
состояния
системы,
собственные
состояния
фо
нона
и
фононные
операторы
могут
быть
сгруппированы
вместе,
так
как
они
коммутируют
с
волновыми
функциями
и
операторами
носителей.
Таким
образом,
матричные
элементы
носителя
и
фонона
всегда
встре
чаются
в
виде
произведения
и
вычисляются
отдельно.
Эта
процедура
будет
проиллюстрирована
в
гл.
8-10.
В
§§
2-4
гл.
5
мы
определим
связь
упругих
смещений,
вызываемых
фононами,
с
гамильтонианами,
описывающими
доминирующие
процессы
взаимодействия
носителей
с
фононами.
Для
этих
и
других
расчетов
(см.
гл.
8-10)
удобно
выразить
амплитуды
U
q
нормальных
мод
фононов
через
операторы
рождения
и
уничтожения
фононов
a~
и
a
q
соответственно.
Складывая
уравне
ния
(5.2)
и
(5.3),
сразу
получаем
искомую формулу
(5.17)
Поскольку
упругие
смещения
u(r),
соответствующие
нормальным
модам
фононов,
входят
в
гамильтонианы
в
различных
линейных
ком
бинациях,
то
при
расчете
матричных
элементов,
определяющих
веро
ятность
рассеяния
носителей
на
фононах,
помимо
вычислений
чисел
заполнения
фононных
состояний
n
q
необходимо
также
выбирать
та
кие
комбинации
величин,
которые
соответствуют
выполнению
законов
сохранения
импульса
и
энергии
для
каждого
процесса
рассеяния.
Вы
числяемые матричные
элементы
соответствуют
либо
рождению,
либо
поглощению
фонона,
но
не
обоим
процессам
одновременно,
а
потому,
§ 1.
Амплитиды
фононных
мод
55
как
видно
из
уравнений
(5.11)
и
(5.12),
только
один
из
двух
членов,
входящих
в
уравнение
(5.17),
будет
вносить
вклад
в
рассматриваемый
процесс.
Очевидно,
что
величина
и(г)
может
быть
разложена
в
ряд
Фурье
по
модам
u
q
.
В
процессах
поглощения
фононов
фонон
имеет
вид
приходя
щей
волны
и
амплитуды
фононных
полей
умножаются
на
коэффициент
exp[i(q·
г
-
(.()t)].
Аналогично,
в
процессах
испускания
фононов
фонон
имеет
вид
уходящей
волны
и
амплитуды
фононных
полей
умножаются
на
коэффициент
exp[i(-q·
г
-
(.()t)].
Эти
множители
играют
ключе
вую
роль
в
обеспечении
выполнения
законов
сохранения
импульса
и
энергии,
а
потому
удобно
включить
их
в
соответствующие
операторы
рождения
и
уничтожения.
Действительно,
они
естественным
образом
появляются
и
в
разложении
в
ряд
Фурье
величины
и(г).
Кроме
этого,
следует
принять
во
внимание,
что
каждому
прихо
дящему
и
уходящему
фонону
соответствует
определенный
вектор
по
ляризации;
единичные
векторы
поляризации
будут
обозначаться
как
eq.j
для
приходящих
волн
и
как
e~,j
-
для
уходящих.
Коэффициент
ехр]
-i(.()t]
является
общим
для
приходящих
и
уходящих
фононов,
И
он,
обычно,
включается
в
интеграл
по
времени,
который
присутствует
в
выражении
для
золотого
правила
Ферми.
Для
надлежащего
учета
фа
зовых
множителей,
обеспечивающих
сохранение
энергии
и
импульса,
и
поляризации
волн,
выражение
(5.17)
записывается
в
виде
суммы
по
всем
волновым
векторам
q;
соответствующие
фазовые
коэффициенты,
не
содержащие
времени,
входят
в
виде
множителей
перед
соответству
ющими
фононными
операторами:
и(г)
=
_1_"
" Vn
(а
e
iq.
r
е
.+
а
t
e-
iq.
r
е*
.)
=
. fJ\i L.J L.J
2m(.()
q
q,]
q
q,]
v
1v
q
j=1,2,З
q
=
_1_"
" Vn
е(а
+a~
)e
iq.
r
=
~u(q)eiq.r.
(5.18)
VN
г:
г:
2m(.()
q,]
q q
г:
q
j=1.2.З
q q
Здесь
суммирование
ведется
по
всем
волновым
векторам
q
в
зоне
Бриллюэна,
а
N -
число
элементарных
ячеек
в
образце.
В
гл.
7
будет
рассмотрено
влияние
размерного
ограничения
(конфайнмента)
на
оптические
и
акустические
фононные моды
в
наноструктурах.
Два
главных
проявления
этого
влияния
заключаются
в
том,
что
фазовое
пространство
становится
ограниченным
и
что
представление
фонона
в
виде
плоских
волн
становится
неприменимым.
Оба
этих
эффекта
будут
учтены
путем
соответствующей
модификации
уравнения
(5.18):
изменение
фазового
пространства
вследствие
размерного
ограничения
проявится
при
суммировании
по
q,
а
пространственное
ограничение
плоской
волны
будет
описано
посредством
введения
подходящих
про
филей
распределения.
Уравнения
(5.8)-(5.18)
будут
часто
использо
ваться
здесь
и
в
гл.
8-10.
56
Гл.
5.
Представление
в
ч.ислах
заполнения
Коэффициент
Vn/2mVJq
в
последнем
выражении
для
смещения
u(r)
гарантирует
согласованность
величины
искомого
гамильтониана
с
амплитудой
Фононной
моды.
При
практических
расчетах
величины
u(r)
удобно
придать
ограничениям,
налагаемым
на
амплитуды
соотно
шением
[Uq,Pq]
= in,
форму
интеграла:
Ju*(r)
u(r)
d
3
r =
-
""
_n_ 1
»<.
~
J
-i(q'-q).r
d
3
-
- L.J L.J e
q
e
q
l
е г
-
q q'
2N
т
y'VJqVJql
1 n
-
-,,-
(5.19)
-
nm
L.J
2VJ
q
,
q
где
n = N
/V
и
интегрирование
выполнено
с
использованием
тождества
J
ехр
[-i(
q' -
q)
. r] d
3
r = V
дq,ql.
Для
одиночной
моды
q
так
называемое
условие
нормировки
фонона
в
этом
случае
принимает
вид
(5.20)
Выраженное
в
величинах
u(q),
условие
нормировки
имеет
вид
n 1
[у'nm
u*(r)] .
[у'nm
u(r)] =
2VJ
q
V .
(5.21)
В
литературе
квантованные
поля,
такие
как
поле
смещений
u(r),
описываются
в
терминах
a
q
и
a~
различными
способами.
Действитель
но,
можно
выполнить
такое
каноническое
преобразование,
что
U
q
и
РЧ'
по
сути,
поменяются
ролями.
В
частности,
из
определений
a
q
и
a~,
выраженных
через
величины
U
q
и
Pq,
следует,
что
и'
~
J h
(а'
+a'l)
q
2mVJ
q
q q
и
~
-iV
h
(а'
- a'l)
2mVJ
q
2mVJ
q
q
ч
»
(5.22)
(5.23)
и
и'----;~
q
2mVJ
q
где
штрихи
были
заранее
добавлены
для
проведения
следующих
замен:
a~
----;
-ia
q
и
a~t
----;
+ia~.
После
проведения
замен
получаем
P~
------;-и
2mVJ
q'
q
Таким
образом,
в
результате
канонического
преобразования
a~
----;
-ia
q
величины
U
q
и
pq/mVJ
q
взаимно
меняются
ролями.
Понятно,
что
это
каноническое
преобразование
не
изменяет
гамильтониана
гармонического
осциллятора.
Это
утверждение,
конечно,
верно
независимо
от
того,
выражен
ли
такой
гамильтониан
в
величинах
U
q
и
Pq
или
в
величинах
a
q
и
a~.
С
помощью
такого
канонического
преобразования
квантованные
поля,
такие
как
поле
упругих
смешений
§2.
Полярные
оптические
фононы
57
и(г),
могут
быть
представлены
в
величинах
a
q
и
a~
многими
разными
способами.
Действительно,
в
литературе
широко
встречаются
самые
разные
представления.
Очевидно,
множители
±i
перед
a
q
и
a~
не
меняют
величину
произведения
матричного
элемента
любого
такого
поля
на
комплексно-сопряженный
матричный
элемент,
так
как
(±i)
(±i)*
= 1;
таким
образом,
частота
квантово-механических
переходов
не
зависит
от
этого
преобразования,
что
и
следовало
ожидать.
Есть
еще
одно
инвариантное
преобразование,
которое
часто
используется
для
представления
полей,
выраженных
в
величинах
a
q
и
a~,
в
форме,
наиболее
удобной
для
конкретных
приложений.
А
именно:
в
выражениях,
в
которых
суммирование
или
интегрирование
ведется
по
положительным
и
отрицательным
значениям
q,
замены
вида
a
q
exp[iq .
г]
------
a_
q
exp[-iq·
г]
оставляют
выражение
неизменным,
если
все
другие
множители
содержат
четные
степени
величины
q.
И
в
этом
случае
частота
квантово-механических
переходов
не
меняется
при
такой
замене
переменных.
§ 2.
Полярные
оптические
фононы:
фрёлиховское
взаимодействие
Один
из
наиболее
важных
механизмов
рассеяния носителей
на
фононах
основан
на
взаимодействии
носителей
заряда
с
электриче
ской
поляризацией
Р(г),
созданной
относительным
смещением
поло
жительных
и
отрицательных
ионов.
В
полярных
полупроводниках
с
малой
концентрацией
дефектов,
таких
как
GaAs,
IпР
и
GaN,
рассеяние
носителей
при
комнатной
температуре
происходит
в
соответствии
с
этим
механизмом
рассеяния
на
полярных
оптических
фононах.
Вза
имодействие
этих
фононов
с
носителями
называется
фрёлиховским
взаимодействием,
по
имени
Х.
Фрёлиха,
который
впервые
сформулиро
вал
количественно
верное
формальное
описание
этого
взаимодействия.
В
настоящей
книге
потенциальная
энергия,
связанная
с
фрёлиховским
взаимодействием,
будет
обозначаться
ФFг(Г).
Понятно,
что
поляриза
цИЯ
Р,
вызванная
полярными
оптическими
фононами,
и
потенциальная
энергия
фрёлиховского
взаимодействия
связаны
уравнением
(5.24)
с
помощью
операторов
рождения
и
уничтожения
фононов,
описан
ных
в
§ 1
гл.
5,
величина
Р(г)
может
быть
выражена
следующим
образом:
Р(г)
= (
'"
Jd
3
q
(а
eiq.re
. + a
t
e-iq.re*
.),
(5.25)
.
L...J
(27Г)3
q
q,)
q
q,)
)=1,2,3
где
eq,j
представляет
собой
единичный
вектор
поляризации,
связанный
с
поляризацией
Р(г),
а
q -
волновой
вектор
фонона.
Отсюда
можно
получить
58
Гл.
5.
Представление
в
ч.ислах
заполнения
4пV'·
P(r)
=
4пi(
L J
d
З
q
з
(aqeiq,rq.
eq,j
-
ate-iq,rq.
e~,j)'
j=I,2,З
(2п)
(5.26)
Рассмотрим
полярный
кристалл,
содержащий
два
атома
в
эле
ментарной
ячейке,
такой
как
арсен
ид
галлия.
Понятно,
что
главный
вклад
в
величину
P(r)
вносят
те
фононные
моды,
в
которых
расстоя
ние
между
плоскостями,
содержащими
положительные
и
отрицатель
ные
заряды,
изменяется.
Такие
моды,
очевидно,
являются
LО-модами,
так
как
в
этом
случае
вектор
поляризации
eq,j
параллелен
q.
В
про
тивоположность
этому,
ТО-фононы
создают
такие
смещения
зарядов,
что
расстояние
между
указанными
плоскостями
остается
постоянным,
поскольку
они
скользят
параллельно
друг
другу.
Значит,
ТО-моды
вносят
несушественный
вклад
в
поляризацию
P(r).
Для
ТО-фононов
выполняется
соотношение
eq,j
. q =
О.
Соответственно,
(5.27)
и
потенциальная
энергия
фрёлиховского
взаимодействия
ФFг(Г)
выра
жается
формулой
(5.28)
Ne* Ne*
1
P(r)
=
Е(ОО)
uq(r) =
Е(ОО)
JN L .L
q
J=I,2,З
где
первое
равенство
следует
из
того,
что
энергия
ФFг(Г)
является
единственным
членом,
входящим
в
гамильтониан
фрёлиховского
взаи
модействия
H
Fr
.
Зависимость
энергии
ФFг(Г)
вида
«:'
соответствует
кулоновскому
взаимодействию,
а
константу
взаимодействия
(
предстоит
определить.
Согласно
п.
3.3
гл.
2,
электрическая
поляризация
P(r)
может
быть
записана
в
следующем
виде:
n
х
2
(mm+м
м)
wLQ
х
(а
eiq,re
. + a
t
e-iq,re*.)
(5.29)
q
q,J
q
q,J
'
где
член
Е(
(0)
В
знаменателе
учитывает
экранирование,
а
для
смещения
u(r)
было
использовано
выражение
в
виде
нормальной
моды
(5.18).
Учитывая,
что
1
JVL
q
(5.30)
Ne* 1
(=
е(оо)
VN
§
З.
Акустич.еские
фонсны
и
сравнивая
выражения
(5.25)
и
(5.29),
получаем
2 ( m
т+М
М
)
-т.о
Однако
из
формулы
(2.26)
при
G<J
=
G<JO
следует
59
(5.31)
так
что
и
Ne* 1
(=
е(оо)
VN
_n_
G<J[o
[_1
1_]
2G<JLQ
47Г
е(оо)
е(О)
(5.33)
Н
Ф
()
4
· ;-
f
dЗ
q
1 (
iq·r
t
-iq.r)
Fr = Fr r = -
7Г2е.,
(27Г)З
q aqe - aqe =
2ne
2nG<JLO
[_1
1_]
,,!
(
iq·r
_ t
-iq.r)
(5.34)
V
е(оо)
е(О)
LJ
q aqe aqe .
q
§ 3.
Акустические
фононы
и
взаимодействие,
описываемое
деформационным
потенциалом
Взаимодействие,
описываемое
деформационным
потенциалом,
воз
никает
как
следствие
локальных
изменений
энергетических
зон
кри
сталла,
про
исходящих
при
деформации
решетки,
вызванной
фоно
ном.
Введенное
Бардиным
и
Шокли
взаимодействие,
описываемое
деформационным
потенциалом,
является
одним
из
наиболее
важных
видов
взаимодействий
в
современных
полупроводниковых
приборах.
Оно
возникает
из-за
смещений,
вызванных
фононами.
Действительно,
такие
смещения
образуют
в
кристалле
поле
деформаций.
В
простей
шем
случае
одномерной
решетки
энергия
зоны
проводимости
~c
или
валентной
зоны
Е;
изменяется
на
величину
~c,v
=
~c,v(a)
-
~c,v(a
+
и),
(5.35)
60
Гл.
5.
Представление
в
ч.ислах
заполнения
где
а
-
постоянная
решетки,
а
и
-
смещение,
созданное
фононом.
Поскольку
а
»
и,
то
ЛЕ
()
_ dEc,v(a)
u cv
а
- d u.
,
а
(5.36)
Таким
образом,
поле
смещений
и,
вызванных
фононами,
создает
локальное изменение
энергии
зоны;
энергия,
связанная
с
этим
из
менением,
называется
деформационным
потенциалом,
и
с
ней
связан
один
из
главных
механизмов
рассеяния
в
неполярных
полупроводни
ках.
Действительно,
взаимодействие,
описываемое
деформационным
потенциалом,
является
главным
источником
потерь
энергии
электро
ном
в
электронных
приборах
на
основе
кремния.
Обобщение
формул
для
величин
LlEc,v
на
трехмерный
случай
имеет
вид
дЕ
()
= dEc,v(a) LlV
c,V
а
dV
'
(5.37)
(5.38)
где
V -
элемент
объема,
а
дV -
изменение
элемента
объема, вызван
ное
фононом.
Для
изотропной
среды
Д
V
/V
= \7 . u,
так что
последнее
выражение
принимает
вид
LlEc,v(a) =
vdE~~(a)
\7 . u
и
обычно
записывается
в
виде
(5.39)
в
величинах
Н~~Ф
и
Ef'V
приходится
дополнительно
использовать
верхние
индексы,
поскольку
деформационный
потенциал
для
электро
нов
отличается
от
деформационного
потенциала
для
дырок.
Случай
анизотропной
среды
рассматривается
в
гл.
9.
§
4.
Пьезоэлектрическое
взаимодействие
Пьезоэлектрическое
взаимодействие
имеет
место
во
всех
полярных
кристаллах,
в
которых
отсутствует
инверсионная
симметрия.
В
общем
случае
приложение
внешнего
упругого
напряжения
к
пьезоэлектриче
скому
кристаллу
создает
в
результате
смещений
ионов
макроскопи
ческую
поляризацию.
Таким
образом,
и
акустическая
фононная
мода
создает
в
пьезоэлектрическом
кристалле
макроскопическую
поляриза
цию.
Поляризация,
вызванная
пьезоэлектрическим
взаимодействием,
в
кубических
кристаллах,
включая
кристаллы
с
решеткой
цинковой
обманки,
в
прямоугольных
координатах
может
быть
записана
в
следую
щем
виде:
р
= { '/2ex4(aw/ay + av/az), '/2ex4(aU/aZ + aw/ax),
'/2ех4(дu/ду
+
av/ax)}
,
(5.40)