Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Ионная
связь
в
полярных
полупроводниках
21
Рис.
2.1.
Кристалл
с
решеткой
цинковой
обманки.
Белые
и
черные
сферы
лежат
в
узлах
разных
гранецентрированных
кубических
решеток
§ 2.
Ионная
связь
в
полярных
полупроводниках
Хорошо
известно,
что
кристаллы
кремния
имеют
структуру
цинко
вой
обманки
(рис.
2.1).
Ковалентная
связь
в
кремнии
препятствует
пе
реносу
зарядов
между
атомами.
Иначе
говоря,
атомы
двух
смещенных
гранецентрированных
кубических
решеток,
изображенных
на
рис.
2.1,
не
имеют
ни
избытка,
ни
недостатка
заряда
по
сравнению
с
электро
нейтральным
состоянием.
Совершенно
иная
ситуация
наблюдается
в
полярных
полупроводниках,
таких
как
арсен
ид
галлия,
поскольку
в
них
ионная
связь
приводит
к
переносу
заряда
от
атомов
мышьяка,
принадлежащих
группе
У,
к
атомам
галлия,
относящихся
к
группе
111.
Поскольку
атомы
пятой
группы
имеют
пять
электронов
на
внешней
оболочке,
а
атомы
третьей
группы
-
только
три,
то
узлы,
занятые
атомами
галлия,
приобретают
отрицательный
заряд,
а
узлы,
занятые
атомами
мышьяка,
-
положительный.
В
бинарных
полярных
полупро
водниках
два
атома,
образующие
ионную
связь,
несут
противополож
ные
по
знаку
заряды,
е*
и
-е*,
как
результат
перераспределения
заряда
из-за
полярной
межатомной
связи.
В
полярных
материалах
значение
заряда
е*
составляет
от
долей
до
одного
заряда
электрона.
В
осталь
ных
разделах
данной
главы
будет
показано,
что
величина
е*
связана
с
такими
легко
измеряемыми
или
известными
величинами,
как
ионные
массы,
частоты
оптических
фононов
и
диэлектрическая
проницаемость
полярного
полупроводника
на
высоких
частотах.
22
Гл.
2.
Фононы
в
кубических
кристаллах
§ 3.
Модель
линейной
цепочки
и
макроскопические
модели
Модель
линейной
цепочки
одномерного
двухатомного
кристалла
предполагает
наличие
в
системе
атомов
двух
BeLЦecTB
с
массами
~
и
М,
размещенных
в
виде
одномерной
цепи,
как
показано
на
рис.
2.2.
В
такой
двухатомной
решетке
массы
т.
и
М
расположены
попеременно
вдоль
цепи
на
расстоянии
а
друг
от
друга.
В
такой
цепи
отклонение
одного
атома
от
положения
равновесия
вызовет
«воэмущениее
положе
ний
соседних
с
ним
атомов.
Рис.
2.2.
Одномерная
линейная
цепь,
представляющая
двухатомную
решетку
в
простой
модели
линейной
цепочки,
рассматриваемой
в
этом
па
раграфе,
предполагается,
что
связь
существует
только
между
ближай
шими
соседями
и
что
взаимодействие
между
этими
атомами
описы
вается
законом
Гука
с
коэффициентом
упругости
о:
таким
же,
как
у
гармонического
осциллятора.
Этой
моделью
описываются
многие
основные
свойства
двухатомной
решетки.
Однако,
как
станет
ясно
из
гл.
6,
для
того
чтобы
описать
важный
процесс распада
фононов,
необходимо
дополнить
так
называемые
гармонические
взаимодействия
ангармоническими
взаимодействиями.
3.1.
Дисперсионные
соотношения
для
высокочастотных
и
низ
кочастотных
мод.
Для
того
чтобы
построить
нормальные
моды
рас
сматриваемой
системы
масс,
запишем
для
обоих
типов
атомов
смеще
ния
атомов
в
направлении
цепи
(так
называемые
продольные
смеще
ния)
в
следующем
виде
и
U
-
А
e
i(2rqa-wt)
2т
- 1
U
-
А
e
i[(2r+l)qa-wt]
2т+l
- 2 ,
(2.1 )
(2.2)
где
q -
волновой
вектор
фонона,
а
(;J -
его
частота.
В
приближении,
учитывающем
взаимодействие
только
соседних
атомов,
эти
продольные
смещения
удовлетворяют
следующим
дифференциальным
уравнениям:
d2U2r ( ) ( )
~~
=
-о:
и2т
-
и2т-l
-
о:
и2т
-
и2т+l
=
=
-0:(и2Т+l
+
и2т-l
-
2и2т),
(2.3)
M
d2u 2r+l ( ) ( )
dt
2
=
-о:
и2т+l
-
и2т
-
о:
и2т+l
-
и2т+2
=
=
-о:(и2т+2
+
и2т
-
2и2Т+l).
(2.4)
§3.
Модель
линейной
цепочки
23
Знаки
четырех
членов
в
правой
части
этих
уравнений
определя
ются
относительными
смещениями
соседних
атомов.
Например,
если
положительное
смещение
и2т
больше,
чем
смещение
U2r-l,
существует
возвращающая
сила
-а(и2т+1
-
и2т).
Из
приведенных
уравнений
сле
дует
система
(2.5)
и
(2.6)
Исключая
А
1
и
А
2
,
получим
Это
соотношение
между
частотой
и
волновым
вектором
обычно
называ
ют
дисперсионным
соотношением
(уравнением).
Решение,
соответству
ющее
более
высоким
частотам,
называется
оптической
модой,
посколь
ку
для
многих
полупроводников
эти
частоты
находятся
в
терагерцевом
диапазоне,
который
совпадает
с
инфракрасной
частью
электромагнит
ного
спектра.
Решение,
соответствующее
более
низким
частотам,
назы
вается
акустической
модой.
Точнее,
поскольку
рассматривались
только
продольные
смещения,
то
эти
два
решения
соответствуют
продольной
оптической
(LO)
и
продольной
акустической
(LA)
модам
решетки,
имеющей
вид
линейной
цепочки.
Очевидно,
что
смещения
вдоль
этой
цепи
могут
быть
описаны
с
помощью
волновых
векторов
q,
лежащих
в
диапазоне
от
-7Г
/2а
до
7г
/2а.
Из
решения,
полученного
для
частоты
w,
ясно,
что
в
пределах
этой
зоны
Бриллюэна
максимум
частоты
LО-моды,
равный
[2а(1/m
+
1/м)р/2,
достигается
в
центре
зоны
Бриллюэна,
а
минимум,
равный
(2a/m)I/2, -
на
краю
зоны.
Анало
гичным
образом,
для
акустических
(LA)
мод максимальная
частота
(2а/
М)
1/2
приходится
на
край
зоны Бриллюэна,
а
минимальная
часто
та,
равная
нулю,
приходится
на
центр
зоны
Бриллюэна.
В
полярных
полупроводниках
атомы
с
массами
т
и
М
несут
проти
воположные
заряды
е*
и
-е*
соответственно,
что
является
результатом
перераспределения
заряда,
обусловленного
полярной
связью.
В
поляр
ных
материалах
такая
ионная
связь
характеризуется
значениями
е*,
равными
с
точностью
до
порядка
заряду
электрона.
В
присутствии
электрического
поля
Е
в
полупроводнике
необходимо
дополнить
вы
шеприведенные
уравнения
членами,
описывающими
взаимодействие
зарядов
с
полем.
В
предположении,
что
длины
волн
электрического
поля
достаточно
велики, эти
уравнения
принимают
следующий
вид:
24
Гл.
2.
Фононы
в
кубических
кристаллах
2
d2U2r
( ) *
-
ии»
и2т
=
m~
=
а
и2т+l
+
и2т-l
-
2и2т
+
е
Е
=
= a(e
i2qa
+
1)и2Т-l
-
2аи2т
+
е*
Е,
(2.8)
2
d2U2r+l
- Mw
и2т+l
=
М
dt
2
=
а(и2т+2
+
иа-
-
2U2r+l)
-
е*
Е
=
=
а(l
+
e-
i
2
q
а)U2r+2
-
2аи2Т+l
-
е*
Е.
(2.9)
Что
касается
распределения
смещений
среды,
вызванных
фонона
ми,
то
в
длинноволновом
пределе
нет
необходимости
делать
различие
между
узлами,
содержащими
одинаковые
атомы,
поскольку
все
атомы
одной
массы
смещаются
на
одинаковую
величину.
В
этом
пределе
волновой
вектор
фонона
q ----7
о.
Обозначая
смещения
в
узлах
с
четными
номерами
через
Ul,
а в
нечетных
узлах -
через
и2,
можно
свести эти
уравнения
(в
длинноволновом
пределе)
к
виду
(2.10)
(2.11)
Сложение
этих
уравнений
приводит
к
равенству
-mw2Ul -
М
w2U2
=
о,
откуда
следует,
что
mщ
=
-Ми2.
Таким
образом,
получаем
(2.12)
(2.13)
и,
соответственно,
(2.14)
(2.15)
где
wб
=
2а(1/m
+
l/М)
-
квадрат
резонансной
частоты
в
отсутствие
кулоновских
сил,
т.
е.
при
е*
=
о.
Подробнее
роль
заряда
е* в
сдвиге
частоты
фонона
будет
обсуждаться
в
п.
3.3.
Очевидно,
что
электрическая
поляризация
Р
такой
полярной
двух
атомной
решетки
дается
выражением
р
=
Ne*u
= Ne*(UJ -
и2)
=
_1_
N(e*)2
(~+~)
Е
(2.16)
е(оо)
е(оо) е(оо)
(wб
-
w)
т
М
'
§3.
Модель
линейной
цепочки
25
где
u =
и1
-
и2,
N -
количество
пар
атомов
на
единицу
объема,
е*
определено
выше.
Чтобы
подчеркнуть
то,
что
это
уравнение
описы
вает
возбуждаемый
осциллятор,
его
можно
переписать
в
другом
виде:
2 2
*(1
1)
(u;o
-
со
)и
=
е
т
+
М
Е.
(2.17)
3.2.
Распределение
смещений
атомов.
Как
уже
говорилось
в
п.
3.1
гл.
2,
у
оптических
мод
в
длинноволновом
пределе
(q
----+
О)
смещения
атомов
ui
и и2
удовлетворяют
соотношению
mи1
=
Ми2
и
амплитуды
колебаний
атомов
двух
разных
веществ
имеют
противо
положные
знаки.
То
есть
у
фононов
оптических
мод
атомы
колеблются
в
противофазе,
так что
их
общий
центр
масс
остается
неподвиж
ным.
Для
акустических
мод
максимальная
частота
фононов
составляет
(2а/
М)
1/2.
Эта
частота
достигается
на
краю
зоны
Бриллюэна,
а
вблизи
центра
зоны
частота
u;
много
меньше
этого
значения.
Из
п.
3.1
гл.
2
следует,
что
отношение
амплитуд
А
2
/
А
1
может
быть
выражено
в
виде
2acosqa
2а
-
Mu;2
2а
- mu;2
2acosqa
'
(2.18)
откуда
следует,
что
для
акустических
фононов
вблизи
центра
зоны
Бриллюэна
отношение
амплитуд
смещений
приблизительно
равно
еди
нице.
Таким
образом,
в
отличие
от
оптических
мод
акустические
моды
характеризуются
синфазным
движением
атомов
двух
типов.
Типичные
распределения
смещений
для
акустических
и
оптических
мод
в
цен
тре
зоны
приведены
на
рис.
2.3,
а,
б.
Здесь
изображены
попереч
ные
моды,
поскольку
продольные
моды
сложнее
представить
графи
чески.
Высокочастотные,
оптические
моды
вызывают
противофазные
колебания
соседних
ионов,
тогда
как
низкочастотные,
акустические
моды
характеризуются
синфазным движением
соседних
ионов,
при
котором
они
находятся
на
одной
и
той
же
кривой
-
синусоиде.
3.3.
Поляритоны.
При
наличии
поперечного
электрического
поля
поперечные
оптические
фононы
(ТО-фононы)
полярной
среды
имеют
непосредственную
связь
с
электрическим
полем.
Когда
волновые
век
торы
и
частоты
электрического
поля
находятся
в
резонансе
с
волно
выми
векторами
и
частотами
ТО-фононов,
для
описания
этой
системы
необходимо
использовать
фонон-фотонное
поле.
Квант
этого
связан
ного
поля
называется
поляритоном.
Анализ,
проведенный
в
п.3.1,
может
быть
обобщен
на
случай
поперечных
смещений
атомов
цепочки.
В
частности,
в
случае
поперечного
поля
Е
уравнение для
частот
осциллятора
принимает
вид
(
2 _
2)р
= N(e*)2
(~
~)
Е
U;o
u;
Е(ОО)
т
+
М
'
(2.19)
26
Гл.
2.
Фононы
в
кубических
кристаллах
а
б
u
q
u
q
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Рис.
2.3.
Поперечное
смещение
ионов:
тяжелых
(большие
кружки)
и
легких
(маленькие
кружки),
для
поперечных
акустических
мод
(а)
и
поперечных
оптических
мод
(б),
распространяющихся
в
направлении
q
где
частота
UJg,
введенная
в
п.З.l,
обозначена
как
UJ?o
=
2а(1/m
+
+
11М),
поскольку
в
отсутствие
кулоновских
сил
(е"
=
О)
резонанс
ная
частота
соответствует
частоте
поперечных
оптических
фононов.
Как
будет
показано
далее
в
этом
пункте,
квадрат
частоты
LО-фонона
отличается
от
квадрата
частоты
ТО-фонона
на
величину
пропорцио
нальную
(е*)2.
Согласно
уравнению
электромагнитной
волны,
имеющему
вид
82DI
8t
2
= c
2
\J
2
Е,
где
D =
Е
+
47Г
Р,
дисперсионное
соотношение,
описывающее
связь
поля
Е
электромагнитной
волны
с
электрической
поляризацией
Р
ТО-фонона
записывается
в
виде
или,
иначе,
(2.20)
(2.21)
где
предполагается,
что
волны
имеют
вид
exp[i(qr -
UJt)].
Колебатель
ное
уравнение
и
уравнение
электромагнитной
волны
имеют
совместное
решение
тогда,
когда
детерминант,
составленный
из
коэффициентов
при
полях
Е
и
Р,
равен
нулю:
=0.
(2.22)
§3.
Модель
линейной
цепочки
27
При
q =
О
существуют
два
корня:
(.<J
=
О
и
2 2
N(e*?
( 1 1 ) 2
(.<J
=
(.<JTO
+
47Г
е(оо)
т
+
М
=
(.<JLO·
(2.23)
Диэлектрическая
проницаемость
e(.<J)
в
этом
случае
дается
выра
жением
D(.<J)
Pe(.<J)
P(.<J)
e(.<J)
=
E(.<J)
= 1+
47Г
E(.<J)
+
47Г
E(.<J)
=
Pe(.<J)
47Г
N(e*)2 ( 1 1 )
= 1+
47Г
E(.<J)
+
(.<J?o
_
(.<J2
е(оо)
т
+
М
' (2.24)
где
наряду
с
P(.<J)
-
вкладом
в
поляризацию,
обусловленным
ионами,
учтен
электронный
вклад
в
поляризацию
Pe(.<J).
Обычно
принято
диэлектрическую
проницаемость,
связанную
с
электронным
откликом,
обозначать
следующим
образом:
Pe(.<J)
е(оо)
= 1+
47Г
E(.<J)
,
откуда
следует,
что
47Г
N(e*)2 ( 1 1 )
e(.<J)
=
е(оо)
+ 2 2 ( ) - +
м
.
(.<JTO
-
(.<J
е
00
т
Так
называемая
статическая
диэлектрическая
проницаемость
дается
тогда
выражением
(2.25)
(2.26)
е(О)
(2.27)
(2.28)
47Г
N(e*)2 ( 1 1 )
е(О)
=
е(
00) +
-2-
( ) - +
м
.
(.<JTO
е
00
т
Из
этих
двух
последних
соотношений
непосредственно
следует,
что
( )
_ ( )
[е(О)
-
e(oo)](.<J?o
_ ( )
е(О)
-
е(оо)
е
(.<J
-
е
00 + 2 2 -
е
00 + 2/ 2 .
(.<Jro-(.<J
1-(.<J
(.<Jro
Из
электромагнитной
теории
известно,
что
диэлектрическая
прони
цаемость
e(.<J)
должна
обращаться
в
нуль
для
любого
распространяю
щегося
продольного
электромагнитного
возмущения.
Соответственно,
частота
LО-фононов
-т.о
должна
удовлетворять
равенству
e(.<JLO)
=
о.
С
учетом
этого
из
последнего
уравнения
следует
соотношение
е(О)
-
е(оо)
e(.<JLQ)=O=e(oo)+
2 / 2 '
1-
(.<JLO
(.<JTO
которое
можно
записать
в
виде
[
е(О)
] 1/2
-'ю
=
е(оо)
(.<Jro·
(2.29)
(2.30)
28
Гл.
2.
Фононы
в
кубических
кристаллах
Отсюда
следует
выражение
( )
10(0)
- 10(00) _ ( ) (UJLO/UJTO)2
e(00)
- 10(00)
е
00 + 1
2/
2 -
е
00 + 1
2/
2
-
UJ
UJ
TO
-
UJ UJ
TO
UJ2
-
UJ2
= 10(00)
~O
2'
(2.31)
UJ
TO
-
UJ
которое
можно
переписать
в
виде
10(0)
10(00)
в
особом
случае,
когда
UJ
=
О,
это
соотношение
знаменитого
соотношения
Лиддейна-Сакса-
Теллера:
2
UJ
LO
-2-
UJ
TO
(2.32)
принимает
вид
(2.33)
При
UJ
=
UJLO
диэлектрическая
проницаемость
обращается
в
нуль:
e(UJLO) =
О.
Как
указывалось
выше,
из
теории
электромагнетизма
известно,
что
это
есть
условие
существования
распространяющейся
продольной
электромагнитной
волны.
То
есть
продольная
электромаг
нитная
волна
распространяется
только
на тех
частотах,
где
диэлектри
ческая
проницаемость
обращается
в
нуль.
Соответственно
-т.о
пред
ставляет
собой
частоту
LО-фонона.
Из
соотношения
2 N(e*)2 ( 1 1 ) 2
UJTO
+
41Т
10(00)
т
+
М
=
UJLO
следует,
что
в
материалах,
у
которых
е*
=
О,
дЛЯ
фононов
В
центре
зо
ны
имеет
место
равенство
UJTO
=
UJLO;
это
и
наблюдается
внеполярных
материалах,
таких
как
кремний.
В
полярных
материалах,
таких
как
GaAs,
существует
щель
между
-то
и
UJLO,
зависящая
от
плотности
кулоновской
(электромагнитной)
энергии,
обусловленной
зарядом
е*.
При
UJ
=
UJTO
имеем:
l/e(UJTO)
=
О,
и
наличие
у
функции
e(UJ)
по
люса
отражает
тот
факт,
что
электромагнитные
волны
на
частотах
ТО-фононов
поглощаются.
Во
всем
интервале
от
-то
до
UJLO
функция
e(UJ)
отрицательна
и
электромагнитные
волны
не
распространяются.
3.4.
Макроскопическая
теория
полярных
мод
в
кубических
кристаллах.
Как
было
показано
в
пп.
3.1,3.3
гл.
2,
колебания
полярного
оптического
фонона
создают
электрические
поля
и
поля
электрической
поляризации,
которые
могут
быть
описаны
уравнениями
§3.
Модель
линейной
цепочки
29
Максвелла
и
уравнениями
осциллятора
с
вынуждающей
силой.
Лау
дон
[18]
придерживался
модели
оптических
фононов,
основанной
на
этих
макроскопических
полях,
которая
нашла
широкое
применение
для
описания
свойств
оптических
Фононов
в
так
называемых
одно
осных
кристаллах,
таких
как
кристаллы
вюрцита.
Модель
Лаудона
для
одноосных
кристаллов
будет
более
полно
рассмотрена
в
гл.
3, 7.
А
в
этом
пункте
концепция,
лежащая
в
основе
модели
Лаудона,
будет
обсуждаться
в
применении
к
кубическим
кристаллам.
Из
пары
уравнений
Максвелла:
1
дВ
\7
х
Е+
--
=0
с
at
следует
уравнение
и
laD
\7
х
В
-
--
=J
с
at
'
(2.34)
(2.36)
\7
х
(\7
х
Е)
+ !
д(\7
х
В)
= \7(\7 .
Е)
_
\72Е
+
~
a
2
D =
О,
(2.35)
с
at
с
2
at
2
В
котором
ток
источника
J
положен
равным
нулю.
Тогда,
поскольку
\7 . D = \7 .
Е
+
47Г\7
.
Р
=
47Гр
=
О,
можно
записать
2 1
д
2
Е
1
д
2
р
-47Г\7(\7·
Р)
- \7
Е
+
--
+
47Г--
=
о.
с
2
a
2t
с
2
at
2
(2.37)
Е=
-4п[q(q.Р)_u;
2р/с
2]
q2
_
u;2/
c2
Предполагая,
что
пространственная
и
временная
зависимость
вели
чин
Р
и
Е
имеет
форму
ei(qr-wt),
это
равенство
может
быть
переписано
в
форме
(2.38)
в
случае
поперечной
волны,
для
которой
выполняется
равенство
q .
Р
=
О,
это
соотношение принимает
вид
4nu;2p
/с
2
E=---oc-----,<--~
q2
_
u;2/
c2
.
Из
приложения
А
следует,
что
величины
Е
и
Р
также
связаны
выра
жением
Р
=
-1-
{
[е
(О)
~
е(
00
)lU;?o
+
[е(
00)
- 1]}
Е,
(2.39)
7г
u;TO
-
u;
так
что
[e(O)-е(оо)]u;?о
[()
]
2 2
+еоо
-1,
u;TO
-
u;
(2.40)
или,
в
другом
виде,
(2.41 )
30
Гл.
2.
Фононы
в
кубических
кристаллах
Для
продольных
волн
выполняется
равенство
q .
Р
= qP,
так что
q = (q/
Р)
Р,
и,
следовательно,
Е
=
4nW
2p
/с
2
_
4nqPq
q2 _ w2/c2
q2
- w2/c2
4nW
2p
/с
2
q2 _ w2/c2
47Г
(w
2
2)
= 2
2/2
2
-q
Р
=
-47ГР.
(2.42)
q
-и;
с
с
Тогда
Р
= _1
{[Е(О)
-
E(oo)]wfo
+
[Е(ОО)
_ 1
J
}
Е
=
47Г
w
2
-
w
2
ТО
=_{[E(O)-Е(ОО)]WfО
[(
)_
]}
2 2 +
Е
00
1
Р,
W
TO
-
W
откуда
(2.43)
[
Е(О)
] 1/2
W =
-то
Е(
00)
=
WLQ,
и
мы
вновь
приходим
К
соотношению
Лиддейна-Сакса-
Теллера!
В
гл.
3
мы
вернемся
к
модели
Лаудона
для
описания
одноосных
кристаллов
с
решеткой
вюрцита.