Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§
З.
Оптические
моды
91
3.3.
Моды
пластины
в
размерно-ограниченных
структурах
с
решеткой
вюрцита.
Так
называемые
моды
пластины
для
размерно
ограниченных
полупроводниковых
структур
с
решеткой
вюрцита
были
выведены
с
использованием
распространенной
на
одноосные
полупро
водники
модели
Лаудона,
которая
была
рассмотрена
в
гл.
3.
Условие
нормировки,
приведенное
в
гл.
5,
должно
быть
скорректировано
с
учетом
того,
что
для
одноосных
полупроводниковых
кристаллов
составляющие
U-l,n
И
UII,n
определяются
различными
уравнениями.
(Здесь,
как
и
в
п.
3.2
гл.
7,
индексы
обозначают
составляющие,
перпендикулярные
и
параллельные
оси
С
одноосного
полупроводника,
n -
номер
среды).
Для
рассматриваемых
сред
условие
нормировки
для
отдельной
мо
ды
q
получается
из
условия нормировки,
полученного
в
§ 1
гл.
5,
заменой
UJ
на
UJ
q
и
имеет
вид
(7.75)
где
J-ln
обозначает
приведенную
массу,
а
п
n
=
Nn/V,
как
и
в
§ 1
гл.
5.
Тогда,
определяя
U-l,II(Г)
=
LU-l,II(Q)е
i
q
.
г,
q
получаем,
что
соотношение
(7.76)
(7.77)
оказывается
искомым
обобщением
для
случая
одноосного
кристалла.
Из
результатов
§ 1
следует,
что
уравнения,
определяющие
компоненты
U-l,n
И
UII,n'
могут
быть
переписаны
в
виде
vе(О)ЦII),n
-
е(ОО)ЦII),n
Е
2 2
UJТО,ЦII),n
ЦII),
UJ
-UJ
то.ци,»
(7.78)
где
временная
зависимость
каждой
компоненты
смещения
представ
лена
как
exp(iUJt).
Отсюда
следует
соотношение
IVJ-lnПn
U-l,n(r)12 +
IVJ-lnПn
UII,n(r)1
2
=
1
[e(O)-l,n
- e(oo)-l,n]
UJ?O.-l.n
2
=
-4
( 2 2)2 IE-l,nl +
7г
UJTO,-l,n
-
UJ
(7.79)
92
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононое
Однако
из
обобщенного
соотношения
Лиддейна-Сакса-
Теллера
(п.
3.3
гл.
2)
известно,
что
C:
(
UJ
)..l(II),n =
C:(OO)..l(II),n
(UJ~O'..l(II)'n
-
"<)
, (7.80)
UJTO,..l(II),n
-
UJ
откуда
следует,
что
_1
дc:(UJ)..l(II),n
=
c:(O)..l(II),n
-
c:(oo)..l(II),n
UJ2
(7.81)
2UJ
дUJ
(UJ
2
_
UJ2)2
тщl,n'
ТЩI,n
так
что
1.jf.LnПn
U..l,n(r)12
+
1-)f.LnПn
UII,n(r)1
2
=
=
_1 _1
дс:(UJ)..l,n
IE..lnl
2
+ _1
_1
дc:(UJ)II,n
IE
n1
2.
47Т'
2UJ
дUJ
'
47Т'
2UJ
дUJ
11,
(7.82)
(7.85)
С
использованием
этого
равенства
условие
нормировки
при
водится
к
виду
J
(
_1
_1
дc:(UJ)..l,n
IE..lnl
2
+_1
_1
дc:(UJ)II,n
IE
n1
2)
dr =
~.
47Т'
2UJ
Всо
'
47Т'
2UJ
Всо
11,
2UJ
(7.83)
Как
рассматривалось
в
§ 3,
для
случая,
когда
размерное
ограничение
имеет
место
только
в
направлении
z,
условие
нормировки
записывается
в
виде
J
L2
(_1
_1
дc:(UJ)..l,n
IE..lnl
2
+ _1
_1
дc:(UJ)II,n
IE
n1
2)
dz
=
~,
47Т'
2UJ
дUJ
'
47Т'
2UJ
дUJ
11,
2UJ
(7.84)
где
UJ
=
UJ
q
И
L
2
=
LxL
y
.
Следует
отметить,
что
этот
интеграл
имеет
тот
же
вид,
что
и
интеграл
в
выражении
(7.44).
Как
и
для
случая
цинко
вой
обманки,
гамильтониан
взаимодействия
электронов
с
оптическими
фононами
записывается
в
виде
HIF
=
-е
L
Ф(q,
z) eiq,p(a
q
+
a~q),
q
где
потенциал
Ф(q,
z)
связан
с
полями
E..l,n
И
EII,n'
Особенно
удоб
на
нормировка
в
виде
(7.84)
для
оптических
мод
в
диэлектриче
ской
континуальной
модели,
поскольку
в
этой
модели
фононы
могут
быть
выражены
через
связанные
с
ними
электрические
поля
и
потен
циалы
[91,24,99].
Ниже
полученное
условие
квантования
будет
использовано
для
определения
гамильтониана
взаимодействия
электронов
с
интерфейс
ными
модами
оптических
фононов
в
структуре
с
одной
поверхностью
раздела.
В
приложении
Г
рассмотрены
гамильтонианы
взаимодействия
§3.
Оптические
моды
93
(7.86)
электронов
с
оптическими
фононами
всех
типов
фононных
мод
В
одно
осных
кристаллах
с
одной
и
двумя
поверхностями
раздела
для
случая,
когда
ось
С
перпендикулярна
поверхностям
раздела.
В
качестве
иллюстрации
рассмотрим
интерфейсную
оптическую
моду
в
структуре
вюрцита,
состоящей
из
двух
полубесконечных
областей,
разделенных
одной
поверхностью
раздела,
при
z =
О.
Ось
С
ориентирована
нормально
к
поверхности
раздела.
В
области
z <
О
диэлектрическая
проницаемость
обозначается
E(W)..l(IIP'
а в
области
z >
О
-
Е(w)ЦII),2.
Каждая
из
четырех
функций
E(W)..l(II),1(2)
подчиняется
обобщенному
соотношению
Лиддейна
Сакса-
Теллера;
в
частности,
каждая
принимает
отрицательные
значения
в
интервалах,
определяемых
четырьмя
неравенства
ми:
WTO,..l(II),1(2) < W < WLO,..l(II),1(2)'
Также
ясно,
что
в
случаях
W < wTO,..l(II),1(2)
И
wLO,..l(II),1(2) < W
соответствующая
диэлектрическая
функция
положительна:
Е(W)ЦII),1(2)
>
О.
в
каждом
из
этих
четырех
интервалов
знак
функции
тот
же, что
и
для
кристаллов
с
решеткой
цинковой
обманки.
Однако
в
случае
одноосных
кристаллов
произведения
E(W)..l,IE(W)II,1
и
E(W)..l,2E(W)II,2
могут
иметь
любой
знак,
поскольку
в
разных
средах
функции
E(W)..l,n
И
E(W)II,n
принимают
различные
знаки
в
зависимости
от
вида
перекрытия
двух
частотных
интервалов:
-то.г.;
< W < WLO,..l,n
И
WТЩI,n
< W <
WLЩI,n'
Для
бинарных
гетероструктур
с
решеткой
цинковой
обман-
ки,
таких
как
GaAs/
AIAs,
интерфейсные
моды
существуют
для
частот
в
двух
следующих
диапазонах:
-то
A1As
< W < wLO A1As
и
WTO,GaAs < W < WLO,GaAs'
Поскольку
эти
два'
диапазона
не
перекры
ваются,
то
условие
существования
интерфейсных
мод
может
быть
записано
в
виде:
EGaAs(W)EA1As(W) <
О.
ДЛЯ
одноосных
кристаллов
не
существует
такого
простого
условия.
Как
станет
очевидно
ниже,
это
обстоятельство
ведет
к
существен
ным
различиям
в
оптических
фононных
модах
структур
с
решеткой
вюрцита
и
цинковой
обманки.
Для
случая
цинковой
обманки
{
AeI<2Z,
z <
О,
ф(г)
= e
iq
.
p
х
Be-l<jZ, z >
О,
и
в
отсутствие
свободных
зарядов
(\7 . D =
О)
отсюда
следует
E(W)II,1
к,у
- E(W)..l,1
q2
=
О,
E(W)II,2
к,~
- E(W)..l,2
q2
=
О,
E(W)II,IE(W)..l,1 >
О,
E(W)II,2E(W)..l,2 >
О.
(7.87)
Из
непрерывности
тангенциальной
составляющей
напряженности
электрического
поля
при
z =
О
следует,
что
А
=
В.
Из
непрерывности
нормальной
составляющей
индукции
электрического
поля
при
z =
О
следует
соотношение
ЕII,2к,2А
=
-ЕII,Iк,IВ;
таким
образом,
94
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононое
в
допустимом
диапазоне
частот
интерфейсных
мод,
описываемом
условием
1011,1
(W)EII,2(W)
<
О,
должно
выполняться
соотношение
1011,1/'\;1
+
+
EII,2/'\;2
=
О.
А
поскольку
2
E(W)..l,1
2
/'\;1
=
E(W)II,1
q ,
2
E(W)..l,2
2
/'\;2
=
E(W)II,2
q ,
то
имеет
место
равенство
(7.88)
E(W)..l,2
q =
о
E(W)II,2
.
(7.89)
Соответственно,
выполняются
следующие
соотношения:
E(W)11,i
>
о и
E(W)II,2
<
О,
(7.90)
и
отсюда
следует,
что
Таким
образом,
z <
О,
z >
О,
z <
О,
(7.91)
z >
О.
Теперь
компоненты
E..l
и
EII
поля
описываются
посредством
со
ответствующих
градиентов
потенциала
ф,
и
интегралы
от
входящих
в
условия
нормировки
членов
IE..l,nI2
И
IEII,nI2
вычисляются
следующим
образом:
§
З.
Оптические
моды
о о
J
IE-1,21
2dz
=
Ф6
q2
Je
2
1i
2Zdz
=
2~2
Ф6
= 4
-00 -00
00 00
J
IE-1,11
2dz
=
Ф6
q2
J
e-
2
1i
[Zdz =
2~I
Ф6
= 4
о о
о
о
J
IE
1
2d
ф2
2 J
21i2Zd
/'1,2
ф2
1
11,2
Z =
о
/'1,2
е
z = 2
о
=
"2
-00 -00
е(
UJ)
-1,2
ф2
()
q
о'
е
UJ
11,2
e(UJ)-1,1
ф2
()
q
о'
е
UJ
11,1
е(
UJ)
-1,2
ф2
()
q
о'
е
UJ
11,2
95
(7.92)
00 00
J
IE
1
2d
ф2
2 J
-21i[
zd
/'1,1
ф2
1
11,1
Z =
о
/'1,1
е
z = 2 0="2
о
о
Отсюда
приходим
к
равенству
e(UJ)-1,1
ф2
()
q
о·
е
UJ
11,1
о
00
=
_1
_1
J
де(UJ)-1,2
IE
12
d
_1
_1
J
де(UJ)-1,1
IE
12
d
471"
2UJ
дь:
-1,2
z +
471"
2UJ
aUJ
-1,1
z +
-00
о
=
_1
_1
Я
[(де-1,I
.!L
+
дell,1
~)
+
(де-1,2
.!L
+
дell,2
/'1,2)]
ф2,
471"
2UJ
2
aUJ
/'1,1
aUJ
q
Всо
/'1,2
aUJ
q
о
(7.93)
откуда
следуют
выражения
(7.94)
H
1F
= L
-(еФ(q,
z))
eiq,p(a
q
+
a~q)
=
q
96
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононое
(
&
J..
,2 q &11,2/{,2)]-1/2
+
---+---
х
aUJ
/{,2
aUJ
q
z <
О,
z >
О,
(7.95)
которые
можно
записать
в
другом
виде,
используя
соотношение
Дисперсионное
уравнение
для
мод,
описываемых
этим
гамильтониа
ном,
имеет
вид:
V
E(UJ)J..,I
E(UJ)II,1
=
VE(UJ)J..,2
E(UJ)
11,2
,
который
вытекает
из
требования
непрерывности
на
поверхности
разде
ла
тангенциальной
составляющей
напряженности
электрического
поля
и
нормальной
составляющей
индукции
электрического
поля.
Подоб
ный
анализ
для
случая
структуры
с
двумя
поверхностями
раздела
дан
в
приложении
Г
[1
О
1],
где
рассматривается
дисперсия
полярных
оптических
фононов
в
квантовых
ямах
для
сред
с
решеткой
вюрцита.
Эти
результаты
[101]
были
распространены
в
работе
[102]
на
случай
сверхрешеток
со
структурой
вюрцита.
Для
частного
случая
сверхре
шетки
GaNj
AIN
(рис.
7.2)
с
периодом
d
и
с
осью
С,
нормальной
к
по
верхностям
раздела,
требование
периодичности
и
граничные
условия,
накладываемые
на
поля
в
квантовой
яме,
приводят
к
дисперсионным
соотношениям
вида
(7.97)
для
антисимметричных
мод
и
(7.98)
для
симметричных
мод.
В
этих
дисперсионных
соотношениях
приняты
следующие
обозначения:
rl(UJ)
=
qJ..VE(UJ)J..,I/
E(UJ)II,1,
аl
(UJ)
=
sign[E(UJ)II,IJVE(UJ)J..,IE(UJ)II,1
,
a2(UJ)
=
sign[E(UJ)II,2JVE(UJ)J..,2E(UJ)II,2'
(7.99)
§
З.
Оптические
моды
97
GaN
A1N
d
GaN
I
I
z=o
A1N
GaN
z
Рис.
7.2.
Сверхрешетка
из
материалов
со
структурой
вюрцита.
Из
работы
[102].
Печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
Дисперсионные
соотношения
(7.97), (7.98)
представлены
графически
на
рис.
7.3,7.4
для
сверхрешетки
AIN (5
нм)
/
GaN
(5
нм).
В
пределе
qJ..d
---->
00
эти
дисперсионные
соотношения
сводятся
к
условию
как
и
должно
быть,
поскольку
в
коротковолновом
пределе
частоты
этих
мод
не
могут
зависеть
от
d
и
фактически
должны
определяться
посредством
дисперсионного
соотношения
для
одиночной
поверхности
раздела
между
GaN
и
AIN.
Рассмотрим
более
подробно
гамильтониан
для
структуры
с
одной
поверхностью
раздела.
Для
случая,
когда
C:(UJ)J..,1
=
C:(UJ)
11,1
И
C:(UJ)J..,2
=
=
C:(UJ)II,2,
выполняются
равенства
q2
=
к,!
=
;q
и
гамильтониан
сводит
ся
к
виду
в
котором
сразу
угадывается
гамильтониан
для
интерфейсных
оптиче
ских
фононных
мод
В
системе,
имеющей
решетку
цинковой
обманки,
с
одной
поверхностью
раздела.
В
данном
пункте
интерфейсные
оптические
фононные
моды
в
системе,
имеющей
решетку
вюрцита,
с
одной
поверхностью
раздела
были
нормированы
для
построения
гамильтониана
H
IF
взаимодействия
фрёлиховского
типа
электронов
с
оптическими
фононами.
В
прило
жении
Г
дается
обзор
всех
оптических
фононных
мод
в
структурах
с
решеткой
вюрцита
с
одной
и
двумя
поверхностями
раздела,
который
основан
на
макроскопической
диэлектрической
континуальной
модели
и
на
модели
Лаудона
для
одноосных
кристаллов.
4
М.
А.
Сторшио,
М.
Дутта
98
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононое
Волновое
число
(CM-
1)
670
620
570
A1N
Е
1
(ТО)
As(2), 1
------------
-1-
--
GaN E1(TO)
AS(I),O
GaN A1(TO)
10
q.ld
86
4
2
s(1)
,0
520
L--.l....--J..-J..-J..-l.-..J'--J'--J'--J'--'-----L-----L-----L-----L-----L--J.--J.--J.--J.--'
О
Рис.
7.3.
Дисперсия
интерфейсных
и
квази-ограниченных
мод
для
бесконечных
иненапряженных
сверхрешеток
A1N
(5
нм)
/ GaN (5
нм)
в
диапазоне
частот
поперечных
оптических
фононов.
Затемненные
участки
отображают
области
всех
значений
qz,
лежащих
в
первой
зоне
Бриллюэна
сверхрешетки:
-Jr/d
<
<
Ч»
<K/d;
штрих-пунктирные
линии
соответствуют
условию
qz =
О,
а
сплош
ные
-
условию
ч»
=
7г
/ d.
s(j)
и
As(j)
обозначают
моды,
симметричные
и
антисимметричные
относительно
средней
плоскости
соответствующего
слоя.
Индекс
j = 1
для
GaN
и
j = 2
для
A1N.
Квази-ограниченные
моды
отмече
ны
своим
порядковым
номером
т, записываемым
после
запятой.
Печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
§
З.
Оптические
моды
99
Волновое
число
(CM-
1)
А5(2)
,О
915
865
815
765
A1N E1(LO)
-----------~-------
----A1NA~O)---r------
А5(2)
,1 5(2),1
5(1)
,О
А5(1),
1
____
~,N~,(LO)
---L
_
GaN A1(LO)
10
ql..d
86
4
2
715 L.-.!....-L-..JL.....J-----l----1.----'-----'-----'-----L----'------'------'----'-----'-----'-----'------'----...L.....J
О
Рис.
7.4.
Дисперсия
интерфейсных
и
квази-ограниченных
мод
для
бесконечных
иненапряженных
сверхрешеток
A1N(5
нм)
/
GaN(
5
нм)
В
диапазоне
частот
продольных
оптических
фононов.
Затемненные
участки
отображают
области
всех
значений
qz,
лежащих
в
первой
зоне
Бриллюэна
сверхрешетки:
-7Г
/ d <
<
qz <
n/d;
штрих-пунктирные
линии
соответствуют
условию
Ч»
=
О,
а
сплош
ные
-
условию
Ч»
=
n/d.
5(Л
и
А5и)
обозначают
моды,
симметричные
и
антисимметричные
относительно
средней
плоскости
соответствующего
слоя.
Индекс
j = 1
для
GaN
и
j = 2
дЛЯ
A1N.
Квази-ограниченные
моды
отмечены
своим
порядковым
номером
т, записываемым
после
запятой.
Из
работы
[102].
Печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
4*
100
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
3.4.
Модель
на
основе
матриц
пере
носа
для
структур
с
множе
ством
поверхностей
раздела.
В
работе
[103]
выведен
ряд
полезных
нормировочных
формул
для
гетероструктур,
содержащих
множество
параллельных
поверхностей,
разделяющих
различные
полупроводнико
вые
слои.
Эти
формулы
необходимы
для
исследования
зонной
структу
ры
оптических
фононов
в
сверхрешетках.
Они
дают
непосредственный
способ
вычисления
нормировочных
коэффициентов
для
гетерострук
тур,
содержащих
небольшое
количество
границ
раздела.
Поскольку
для
плоскостей,
параллельных
поверхностям
раздела,
имеет
место
трансляционная
инвариантность,
то
электростатический
потенциал,
описывающий
взаимодействие
носителей
с
оптическими
фононами
и
обозначаемый
в
каждой
области
R
i
= (Zi,
Zi+l)
посредством
Фi(Г),
может
быть
записан
в
виде
где
Фi(Г)
=
I:
e-
iq
.
p
Фi(q,
z),
vq
(7.101)
(7.102)
и
ось
Z
ориентирована
перпендикулярно
поверхностям
раздела,
а
величины
р
=
(х,
у)
и
q,
как
и
выше, обозначают
радиус-вектор
и
волновой
вектор
в
плоскости,
параллельной
поверхностям
раздела.
Коэффициенты
сс:
и
СН
-
относительные
амплитуды
соответственно
экспоненциально
затухающего
и
экспоненциально
нарастающего
по
тенциалов
в
слое
i;
как
станет
понятно
ниже,
эти
относительные
ам
плитуды
связаны
некогорой
матрицей
переноса.
На
рис
7.5
изображен
потенциал
Фi(Z)
самого
общего
вида
для
областей
~,
Rl,
...
,
Rп.
----f-----------j----+---
Zn-l
Zn
Рис.
7.5.
Одно
из
возможных
распределений
потенциала
в
областях
R
o
,R), ... ,R
n
.
Из
работы
[103],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики