Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Сравнение
моделей
фононое
111
Для
симметричных
мод
коэффициенты
даются
выражениями
Е,
qd,
а
=
chqd
2
+ -
th
-2
shqd
2,
Е2
Ь
=!
(1-
~th
qd')
(7.128)
2
Е2
2 '
с
= ! e
qd2
(1
+
~
th
qd')
,
2
Е2
2
а
дисперсионное
соотношение
имеет
вид
[
2
th
qd
2
] 2 ) 1 +
th
qd, /2
1 - 1 +
th
d,/2
thqd,/2
Е,
2th
d2
+
Е2·
q q (7.129)
Значения
коэффициентов
а,
Ь,
с
и
дисперсионное
соотношение
для
антисимметричных
мод
могут
быть
получены
путем
замены
в
этих
выражениях
cth
qd/2
на
th
qd/2.
Дисперсионные
соотношения,
полученные
в
работе
[105],
приведе
ны
на
рис.
7.11, 7.12
для
случая квантовой
ямы
GaAs
ширины
60
'А
и
барьера
AIAs
ширины
60
'А.
Для
этой
гетероструктуры
существуют
четыре
симметричные
(8)
и
четыре
антисимметричные
(А)
интерфейс
ные
оптические
фононные
моды.
Моды
фононов
типа
AIAs
обозначены
нижним
индексом
2,
а
моды
фононов
типа
GaAs
-
индексом
1.
Нижние
индексы
«+»
и
«-»
обозначают
две
различные
ветви
дисперсионного
уравнения,
существующие
для
каждой
моды.
Как
станет
ясно
из
гл.
10,
интерфейсные
моды
LО-фононов
вно
сят
существенный
вклад
в
долинный
ток
в
рассмотренной
структуре,
состоящей
из
квантовой
ямы
с
двумя
барьерами.
Там
будет
подробно
объясняться,
каким
образом
в
таких
структурах
мода,
обозначенная
на
рис.
7.11
как
UJS2-,
вносит
основной
вклад
в
долинный
ток
за
счет
туннелирования
носителей
в
квантовую
яму
под
действием
фононов.
§
4.
Сравнение
континуальной
и
микроскопической
моделей
фононов
Многие
авторы
[106-110]
сопоставляли
диэлектрическую
конти
нуальную
модель
оптических
фононов
с
микроскопическим
описанием.
Учитывая
большое
разнообразие
континуальных
моделей
размерно
ограниченных
фононов,
рассматриваемых
в
приложении
В,
очевидна
необходимость
микроскопических
расчетов
для
понимания
свойств
фо
нонов
В
наноструктурах.
В
число
микроскопических
моделей
включены
как
неэмпирические
(аЬ
initio)
модели
[107],
так и
упрощенные
микро
скопические
модели,
основанные
на
эмпирических
значениях
силовых
постоянных
решетки
[111].
в
работе
[108]
микроскопическая
модель
использована
для
расчета
амплитуд
смещений
атомов
и
фрёлиховского
112
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
Частота
(мэБ)
55
50
WS2-
45
----
WS2+
40
WS1+
35
----------
WS1-
30
О
Рис.
7.11.
Дисперсионные
соотношения
для
четырех
симметричных
(8)
интер
фейсных
мод продольных
оптических
фононов
гетероструктуры,
показанной
на
рис.
7.10,
включающей
квантовую
яму
GaAs
ширины
60
А
с
барьерами
A1As
ширины
60А.
ИЗ
работы
[105],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
Частота
(мэБ)
55
--------
----------
WA2+
45
50
WA2-
40
-------------
30
WA1-
о
Рис.
7.12.
Дисперсионные
соотношения
для
четырех
антисимметричных
(А)
мод продольных
оптических
фононов
гетероструктуры,
показаиной
на
рис.
7.10,
включающей
квантовую
яму
GaAs
ширины
60
А
с
барьерами
A1As
ширины
60
А.
ИЗ
работы
[105],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
§4.
Сравнение
моделей
фононое
113
потенциала
для
квантовых
ям
и
квантовых
проволок.
Эти
расчеты
показывают,
что
ни
одна
из
макроскопических
моделей,
включая
так
называемую
модель
мод
пластины,
не
дает
абсолютно
точного
пред
ставления
о
ситуации
на
микроскопическом
уровне.
Тем
не
менее,
как
описано
в
приложении
Б,
частоты
межподзонного
и
внутрипод
зонного
рассеяния,
вычисленные
на
основе
данных
о
фононных
модах
во
всех
этих
моделях,
хорошо
согласуются
друг
с
другом,
поскольку
выбранные
макроскопические
модели
основываются
на
полном
наборе
ортогональных
мод.
Дальнейшее
сопоставление
этих
макроскопиче
ских
моделей
дано
в
приложении
Б.
Б
настоящем
параграфе
частоты
межподзонного
и
внутриподзонного
рассеяния,
вычисленные
на
основе
мод
пластины,
будут
сопоставлены
с
результатами
расчета
в
рамках
микроскопических
моделей
[109].
На
рис.
7.13
приведены
для
сравне
ния
частоты
межподзонного
и
внутриподзонного
рассеяния
электронов
на
фононах
в
квантовой
яме
GaAs,
помещенной
между
барьерами
AIAs.
Для
ям
ширины
от
2
до
10
нанометров
частоты
рассеяния
при
температуре
300
К,
рассчитанные
по
микроскопической
модели
[109]
и
вычисленные
на
основе
мод
пластины,
прекрасно
согласуются
для
энергии
электрона
50
мэБ.
Частота
рассеяния
(пс
")
50
20
1----t1
10
--..
5
•
••
•
2----t1
..-
....
i-'.г----;r-
-_-
....
0.5
о
20 40 60 80 100
Ширина
ямы
(А)
Рис.
7.13.
Частота
внутриподзонного
(1
----t
1)
и
межподзонного
(2
----t
1)
рас
сеяния
как
функция
ширины
квантовой
ямы
при
температуре
300
К
и
для
энергии
электрона
50
мэБ:
сплошная
линия
-
микроскопическая
теория;
точки
-
макроскопическая
теория.
Из
работы
[109],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
114
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
Для
специфического
случая,
когда
квантовая
яма
ширины
20
моно
слоев
GaAs
встроена
в
арсен
ид
алюминия,
на
рис.
7.14
приведены
для
сравнения
частоты
рассеяния
при
температуре
300
К,
соответствующие
внутриподзонным
(1 ----t 1)
и
межподзонным
(2 ----t 1)
переходам
элек
тронов
в
результате
взаимодействия
с
оптическими
фононами,
рассчи
танные
с
использованием
трех
фононных
моделей:
макроскопической
модели
мод
пластины
(сплошные
линии),
неэмпирической
(аЬ
initio)
модели
(штрихпунктирные
линии)
[107]
и
микроскопической
модели
[109]
с
эмпирическими
силовыми
постоянными
(пунктирные
линии).
Из
этих
графиков
видно,
что
модель
мод
пластины
и
упрощенная
микроскопическая
модель
обеспечивают
хорошее
совпадение
частот
рассеяния
с
частотами,
предсказанными
полностью
микроскопической
моделью.
§ 5.
Сравнение
предсказаний диэлектрической
континуальной
модели
с
результатами
исследований
методами
спектроскопии
КРС
в
гл.
8,10
будет
дан
обзор
многочисленных
примеров
использова
ния
мод
размерно-ограниченных
фононов,
описываемых
диэлектриче
ской
континуальной
моделью.
В
настоящем
параграфе
анализируются
некоторые
результаты
проведенных
методами
спектроскопии
КРС
измерений
оптических
фононных
мод
в
размерно-ограниченных
полярных
полупроводниках,
которые
непосредственно
демонстрируют
свойства
таких
мод.
На
рис.
7.15
приведены
спектры
комбинационного
рассеяния
света
[4],
полученные
при
температуре
15
К
на
гетероструктурах
GaAs
N/A1AS
N
с
квантовой
ямами
толщины
N =
10±
1
атомных
слоев
при
трех
различных
значениях
энергии квантов
лазерного
излучения:
E
L
=
1,933
эВ
(а),
E
L
=
1,973
эВ
(6), E
L
=
2,410
эВ
(в).
В
случа
ях
(а)
и
(6)
измерения
были
сделаны
в
геометрии
z(xx)z,
а в
случае
(в)
-
в
геометрии
z(xy)z.
Линии
в
различных
спектрах
обозначены
следующим
образом:
ION, 8N, 6N,
6N-l,
5
N
,
5
N
-
1
,
4
N,
4
N
-
1
,
3N,
2N
И
lN.
В
этих
обозначениях
пик
4N
соответствует
моде
L04,
являющейся
размерно-ограниченной
модой
с
п
= 4,
в
квантовой
яме,
имеющей
N
слоев
атомов.
Аналогично,
пик,
связанный
с
модой
L04,
В
квантовой
яме
с
N - 1
атомными
слоями
обозначается
посред
ством
4N-l.
Примечательной
особенностью
рис.
7.15
является
то,
что
волновые
векторы
размерно-ограниченных
фононов
qz =
n7Г
/ L
z
для
значений
n = 4, 5, 6
чувствительны
к
изменению
толщины
квантовой
ямы
GaAs
на
величину
даже
одного
атомного
слоя.
Кроме
того,
в
работе
[4]
показано,
что
наблюдаемое
изменение
qz
соответствует
изменению
толщины
L
z
с
10
атомных
слоев
до
9.
Эти
наблюдения
показывают,
что
фононы
в
гетероструктурах
A1As/GaAs/
A1As
с
квантовыми
ямами
испытывают
очень
сильное
§
5.
Сравнение
предсказаний
с
результатами
Частота
рассеяния
(пс
-\)
а
20
15
115
10
о
о
50 100 150 200
Е
(мэБ)
Частота
рассеяния
(пс
-\)
6 1.5
0.5
0.0
о
50 100 150 200
Е
(мэБ)
Рис.
7.14.
Сравнение
частот
рассеяния
при
температуре
300
К
для
внутри
подзонных
(1
---+
1)
(а)
и
межподзонных
(2
---+
1) (6)
переходов
электронов
в
результате
взаимодействия
с
оптическими
фононами
в
квантовой
яме
ширины
20
слоев
GaAs,
встроенной
в
арсен
ид
алюминия.
Результаты
приведены
для
трех
различных
фононных
моделей:
сплошные
линии
-
макроскопическая
модель
на
основе
мод
пластины;
штрихпунктирные
линии
-
неэмпириче
ская
(аЬ
initio)
модель
[107];
пунктирные
линии
-
микроскопическая
модель
с
эмпирическими
силовыми
постоянными
[109].
Из
работы
[109],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
116
Гл.
7.
Континуальные
модели
фОНОНО8
Интенсивность
комбинационного
рассеяния
(произв.
един.)
240 260 280 300
Сдвиг
частоты
(см
")
Рис.
7.15.
Спектры
комбинационного
рассеяния
света,
полученные
при
темпе
ратуре
15
К
для
гетероструктур
GaAsN/ AIAsN
с
квантовой
ямами
толщины
N = 10± 1
атомных
слоев
при
трех
различных
значениях
энергии
квантов
ла
зерного
излучения:
EL = 1,933
эВ
(а),
EL = 1,973
эВ
(6), EL = 2,410
эВ
(8).
Линии
В
спектрах,
обозначенные
nN
и
nN
-1,
представляют
n-ю
размерно
ограниченную моду
квантовой ямы.
В
данном
случае
представлены
только два
значения
толщины
квантовой ямы:
N = 10
атомных
слоев
и
N - 1 = 9
слоев.
Из
работы
[4],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
размерное
ограничение
вблизи
поверхностей
раздела.
Этот
результат
ожидаем
с
точки
зрения
диэлектрической
континуальной
модели,
поскольку
энергии
LО-фононов
существенно
различаются
для
этих
двух
веществ;
LO
фононные моды
арсен
ида
алюминия
в
центре
зоны
имеют
энергии
порядка
50
мэБ,
в
то
время
как
фононные моды
арсен
ида
галлия
-
порядка
36
мэБ.
Одно
из
основных
предсказаний
диэлектрической
континуальной
модели
оптических
фононных
мод
заключается
в
существовании
ин
терфейсных
оптических
фононов,
которые
представляют
собой
сов
местные
моды
двух,
или
более
сред,
образующих
гетероструктуру,
и
которые
имеют
частоты,
характерные
для
оптических
фононных
мод
этих
сред.
Свежий
при
мер
анализа
такой
интерфейсной
моды
методом
КРС,
являющийся
первым
из
известных
примеров
для
гетероструктур
§
5.
Сравнение
предсказаний
с
результатами
117
с
решеткой
вюрцита,
приведен
в
работе
[112].
В
этих
измерениях
наблюдались
интерфейсные
моды
сверхрешеток
GaN!
AIN,
что
про
иллюстрировано
на
рис.
7.16
для
сверхрешетки,
содержащей
20
пе
риодов
GaN
(9
нм)!
AIN(8,5
нм)
(нижняя
кривая)
и
для
сверхрешет
ки,
содержащей
40
периодов
GaN(3
нм)!
AIN(3
нм)
(верхняя
кривая).
В
обоих
случаях
длина
волны
возбуждающего
лазерного
излучения
составляла
244
нм.
Интенсивность
комбинационного
рассеяния
(произв.
един.)
500 600 700 800 900 1000
Сдвиг
частоты
(см"")
Рис.
7.16.
Спектры
комбинационного
рассеяния
для сверхрешеток
из
кристал
лов,
имеющих
структуру
вюрцита:
сверхрешетка
GaN
(9
нм)!
A1N(8,5
нм),
со
держащая
20
периодов
(нижняя
линия), и
сверхрешетка
GаN(З
нм)!
А1N(З
нм),
содержащая
40
периодов
(верхняя
линия).
Длина
волны
падающего
лазерного
излучения
- 244
нм.
Из
работы
[112],
в
печати
Как
и
ожидалось,
второй
случай,
соответствующий
более
узким
ямам,
характеризуется более
широким
пиком
комбинационного
рассе
яния
[101, 102].
Кроме
того,
значения
энергии
и
вид
асимметрии
ин
терфейсных
мод
соответствуют
предсказанию
диэлектрической
конти
нуальной
модели,
что
ясно
из
сопоставления
с
рис.
Г.2
приложения
г.
Дополнительная
периодичность
многослойных
структур
понижает
симметрию
среды
и
увеличивает
размер
элементарной
ячейки,
так что
она
включает
в
себя
больше
атомов.
В
результате
спектр
комбинаци
онного
рассеяния
света
изменяется, так
как
возникает
большее
число
мод,
а
кроме
того,
в
спектре
проявляются
и
оптически
неактивные
моды.
Например,
для
гетероструктур,
имеющих
решетку
цинковой
обманки,
с
направлением
роста
[001]
симметрия
кристалла
понижается
с
Т
d
до
D
2d
,
а
ранее
неактивная
мода
А\ становится
активной.
Такое
же
изменение
свойств
было
предсказано
на
основе
теоретико-группового
анализа
[113]
и
для
сверхрешеток
(GaN)m(AIN)n
со
структурой
вюр
цита,
которое
проявляется
в
том,
что
характеристики
КРС-активных
118
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
мод
изменяются
немонотонно
с
увеличением
эффективного
размера
элементарной
ячейки.
Однако
качество
таких
сверхрешеток
пока
еще
недостаточно
хорошее,
чтобы
позволить
экспериментально
наблюдать
эти
эффекты.
Исследования,
проведенные
методом
резонансного
комбинацион
ного
рассеяния
света
на
квантовых
ямах
(AIGa)N/GaN,
позволили
наблюдать
А,
(LО)-фононы
в
квантовых
ямах
[56, 97],
однако
для
нит
ридов
с
решеткой
вюрцита
наблюдать
серию
размерно-ограниченных
фононов,
подобную
наблюдавшейся
в
структурах
с
решеткой
цинковой
обманки,
еще
пока
не
удалось.
Первым
действительно
значительным
наблюдением
особенностей
рассеяния
света
в
гетероструктурах
было
наблюдение
дублетов
в
спек
тре
акустических
фононов
сверхрешеток
[114].
С
тех
пор
был
проведен
ряд
исследований
по
различным
материалам.
Эти
исследования
были
подробно
рассмотрены
в
обзоре
[115].
Пока
что
не
было
сообщений
о
подобных
наблюдениях
для
нитридов
с
решеткой
вюрцита,
хотя
недавно
в
работе
[116]
было
сообщено,
что
размерно-ограниченные
оптические
фононы
и
«сложенные»
акустические
фононы
наблюдались
в
сверхрешетках
CdSe/CdS
со
структурой
вюрцита.
В
качестве
последнего
примера
выявления
свойств
размерно-огра
ниченных
оптических
фононных
мод
в
гетероструктурах
полярных
полупроводников
методами
КРС,
служит
рис.
7.17 [4],
демонстрирую
щий
тот
факт,
что
значения
энергии
и
волновых
векторов
размер
НО
ограниченных
фононов
сверхрешеток
и
квантовых
ям
ложатся
на
дис
персионную
кривую
макроскопического
образца
арсенида
галлия
[117]
(сплошная
линия),
измеренную
методом
нейтронного
рассеяния
при
температуре
1
О
К.
Эти
данные
по
нейтронному
рассеянию
согласуются
с
более
ранними
результатами
[25].
Данные
по
комбинационному
рассеянию
света,
представленные
на
рисунке
7.17,
взяты
из
следующих
работ:
кружки
- [118];
косые
крестики
- [119];
квадратики
- [120];
ромбики
- [114];
прямые
крестики
- [98, 121, 122].
Согласие
между
результатами
измерений,
проведенных
методами
комбинационного
и
нейтронного
рассеяния,
очень
показательно.
Эти
результаты
свидетельствуют,
по
крайней
мере
для
гетероструктур
GaAs/
AIAs,
о
том,
что
эффект
размерного
ограничения
фононов
ведет
к
ограничению
фазового
пространства фононов,
но
не
меняет
суще
ственным
образом
основного
соотношения
между
энергией
и
волновым
вектором
фононов.
Этот
вывод
становится
понятным,
если
принять
во
внимание
доминирующую
роль,
которую
в
полярном
полупровод
нике
играет
спаривание
ближайших
ионов.
Действительно,
наличие
границы
раздела
не будет
оказывать
влияния
на
локальное
значение
частоты
LО-фонона
в
промежутке
между
двумя
ионами,
если
те
удале
ны
от
поверхности
раздела
на
расстояние
двух
или
более
атомных
сло
ев.
Таким
образом,
можно
ожидать,
что
основное
соотношение
между
энергией
и
волновым
вектором
(дисперсионное
соотношение)
будет
§6.
Континуальная
модель
акустических
мод
Частоты
LО-фононов
(см
-1
)
119
300
290
280
270
260
250
240
о
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
k(2K/a)
Рис.
7.17.
Сравнение
значений
энергий
и
волновых
векторов
LО-фононов,
опре
деленных
методом
комбинационного
рассеяния,
со
значениями,
определенными
методом
нейтронного
рассеяния
(сплошная
линия).
Ссылки
на
работы,
резуль
таты
которых
представлены
на
данном
рисунке,
даны
в
тексте.
Из
работы
[4],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
примерно таким
же,
как
у
объемных
фононов.
Фазовое
пространство,
однако,
ввиду
эффекта
размерного
ограничения
радикально
изменя
ется:
как
указано
выше,
допустимыми
являются
только
те
значения
волнового
вектора,
которые
пропорциональны
целому
числу
полуволн.
§ 6.
Континуальная
модель
акустических
мод
в
размерно-ограниченных
структурах
В
настоящем
параграфе
модель
упругого
континуума
§ 2
гл.
7
применяется
для
анализа
акустических
фононных
мод
в
разнообраз
ных
наноструктурах.
Амплитуды
акустических
фононных
мод
и
дис
персионные
соотношения
определяются
для
изолированных
слоев,
а
также
для
структур
с
двумя
поверхностями
раздела.
Акустические
фононные
моды
анализируются
также
для
проволок
прямоугольного
И
цилиндрического
сечения.
В
случае
полых
проволок
акустические
фононные моды
применяются
для
анализа
акустических
возмущений
120
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
в
структурах
типа
микротрубок,
обнаруженных
во
многих
биологиче
ских
системах.
В
заключение
модель
упругого
континуума
применяет
ся
для
описания
акустических
фононных
мод
в
квантовых
проволоках.
6.1.
Акустические
ФОНОНЫ
в
изолированном
свободном
слое.
Акустические
фононы
в
изолированном
свободном
слое
иллюстрируют
ключевые
особенности
мод
в
размерно-ограниченных
структурах.
Та
кие
изолированные
слои
в
случае,
когда
они
достаточно
тонки
для
того,
чтобы
квантово-размерные
эффекты
привели
к
изменению
свойств
де
бройлевских
волн
электрона
в
них,
иногда
называют
изолированными
квантовыми
ямами.
Из
§ 2
гл.
7
следует,
что три
волновых
уравне
ния
(7.33),
описывающие
амплитуды
упругих
смещений,
могут
быть
записаны
в
виде
векторного
уравнения
(7.130)
где
L). = \7 . u = div
и,
и
с;
=
Л/р.
(7.131)
Рассмотрим
пространственно
изолированную
пластину
толщины
а
со
свободными
поверхностями,
при
z =
±а/2.
На
этих
границах
на
сме
щения
среды
не
накладывается
ограничений,
а
нормальные
составляю
щие
тензора
упругого
напряжения
должны
обращаться
в
нуль.
С
уче
том
выражений
для
упругого
напряжения,
приведенных
в
§ 2
гл.
7,
получаем,
что
при
z =
±а/2
имеют
место
равенства
[121]
(7.132)
Считая,
что
собственные
моды смещения
имеют
вид
(7.133)
волновые
уравнения
можно
свести
к
задаче
на
собственные
значения:
(7.134)