Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

Подождите немного. Документ загружается.

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

131

(

sin q,a

-(,2

+ h

q§)

cosq,a

2(h

+ ,2) sinq,a

=0.

(7.180)

Дисперсионное

соотношение

для

получается

из

условия

обра

щения

нуль

детерминанта

матрицы

коэффициентов

имеет

вид

4q,q2(h

"у2)

(h2

q§)2

(7.181)

который

аналогичен

дисперсионному

соотношению

для

изолированного

слоя,

рассмотренному

п.

6.1.

Для

расчета

частоты

акустического

фонона

как

функции

волнового

вектора

удобно

переписать

это

дис

персионное

соотношение

виде

tg(nVX2

- V'2)

tg(nVEX2

'(р)

4V'2

V'2

Ех

V'2

(2V'2

)

(7.182)

где

V'2

связаны

следующими

выражениями:

соответствии

соотношениями

CV;

= cz(,2 + h

+ qr)

CV;

= Ct(,2 +

+ q§),

где

(Ct/cz)2

= (1 -

2а)/(2

2а).

Вводя величину

S =

а,

/7Г

принимая

во

внимание,

что

cv'"Y

С"

получаем

(7.183)

где

a/d.

132

Гл.

Континуальные

модели

фононов

Выражая

из

уравнений

(7.180)

величины

через

А,

получаем

v, =

(;

cos q,

/з

cos

q2X)

sin

ei"((z-ct)

ш,

[_l

cos

q,x

+! (q2a +

h/З)

cos q2X] cos

ei"((z-ct),

q, "(

где

(7.184)

(7.185)

аА

= _

sinq,a

2(h

"(2)

sinq2

"(2 +h2 -

= _ ( q2

)

= sin q,

2q2

/ЗА

+ "(2 sin q2

"(2 + h2 -

Оставшийся

коэффициент

определяется

из

условия

квантования

амплитуды

фононов:

4~d

dy(u*u

v*v

ш*ш)

2:;(;)"(

-а

-d

(7.186)

где

(;)"(

угловая

частота

моды

волновым

вектором

Выполняя

интегрирование,

получаем

q,а+h/З2

]

2/Зh

+ 2

!,(q2,a)

+2d

'j!,(q"a)

-g2(q"q2,a)

"( q, q,

+fJ

f ,(Q2.

)] }

2;;"','

(7.187)

где

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

133

(

Sin2hd)

(h, d) = d 1 + 2hd '

12(h,d)

= 2d -

(h, d),

( )

_ sin(q1 -

q2)a _ sin(q1 + q2)a

91 q1,q2,a -

+ '

- q2

(7.188)

(7.189)

( )

_ Sin(q1 -

q2)a Sin(q1 + q2)a

92 Q1,q2,a -

+ .

чг

Удобно

ввести

новый

нормировочный

коэффициент

В,

посредством

соотношения

= 2n -

- "

mUJ,B,

Как

было

указано

Морзе,

величину

необходимо

выбрать

таким

образом,

чтобы

удовлетворить

граничным

условиям,

накладываемым

на

составляющие

упругого

напряжения

при

±d,

именно:

у у

= T

О.

Это

можно

выполнить

для

d :?

2а,

так

как

этом

случае

становятся

пренебрежимо

малыми;

учетом

того

что

у у

О,

отсюда

следует

соотношение

n =

0,1,2,

...

(7.190)

Основная

распространяющаяся

мода

не

имеет

узловых

поверхно

стей,

параллельных

оси

квантовой

проволоки,

соответствует

случаю

n =

О.

Морзе

обнаружил

близкое

согласие

между

теорией

экспери

ментом

для

соотношения

сторон

a/d

= 1/8

и,

как

ожидалось,

меньшее

согласие

для

соотношения

a/d

1/2.

дополнение

«толщинным

модам»

Морзе

экспериментально

наблюдал

[126, 127, 128]

другой

ряд

мод.

Эти

моды

известны

как

«ширинные

моды»

определяются

при

помощи

процедуры,

которая

использовалась

для

анализа

«толщинных

мод».

частности,

Морзе

положил

= Q

получил

систему

уравнений,

подобных

вышеприведенным

уравнениям

для

и1,

W1,

но

со

взаимной

перестановкой

переменных

у.

Наложение

граничных

условий

при

±d

показывает,

что

«ширинные

моды»

имеют

диспер

сионное

соотношение,

идентичное

дисперсионному

соотношению

для

«толщинных

МОД>).

Дисперсионные

кривые

для

некоторых

акустических

мод

показаны

на

рис.

7.19

для

квантовой

проволоки

GaAs

сечения

28,3

56,6

на

рис.

7.20

для

квантовой

проволоки

GaAs

сечения

АХ

200

А.

Гамильтониан

взаимодействия

через

деформационный

потенциал

Hd"ef

для

носителей

Ea(k)

невырожденной

точке

зоны

выража

ется

помощью

оператора

смещения

Щг):

Н~еф

Е,

V·

Щг).

(7.191)

134

Гл.

Континуальные

модели

фононов

Энергия

(мэВ)

----

------------

----------

-------------------

8l-=:==:===========~~

---

-=-=~~~:::::

6 8 10 12

Волновой

вектор

фонона

об

см

-1

)

........

=-.1.----'-----'----'----'--'--L.....J----'-----'-----'----'----'--'--'---'----'-----'-----'----'---'--.I...-

b;;:::::===::~~::'

_-----

Рис.

7.19.

Шесть

ширинных

(сплошные

линии)

толщинных

(пунктирные

линии)

мод

низших

порядков

(т

1,2,

...

,6)

для

квантовой

проволоки

GaAs

сечения

28,311.

56,611..

Из

работы

[129],

печатается

разрешения

Американ-

ского

физического

общества

точке такой

симметрии

только

невихревые,

т.е.

продольные,

состав

ЛЯЮLЦие

вектора

u(r)

вносят

вклад

}[~еф'

Соответственно

вклад

}[~еф

вносит

только

потенциал

ф.

Поскольку

для

заданного

значения

имеются

кратные

моды,

необходим

еще

один

индекс

для

описа

ния

спектра

Фононов

при

каждом

значении

случае

квантовой

проволоки

квантование

акустических

фононов

может

быть

описано

выражением

U(r) =

..Jr

L [U(1,X,

у)

а')'

+сопр.]

ei')'z,

n,т,')'

(7.192)

где

составляющие

U(1,x,y) = (u,v,w)

уже

были

ранее

нормированы

на

площадь

4ad.

этом

случае

деформационный

потенциал

описывается

выражением

н:

_ Ef

[

()

()]

(дU

. )

i')'z

деф

L...J

аn,т

1 +

аn,т

-1

дх

ду

+ 21

n,т,')'

(7.193)

при

применении

золотого

правила

CDерми

это

выражение

приводит

условиям,

обеспечивающим

сохранение

энергии.

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

Энергия

(мэВ)

--------------

----

----------------------

----------

--------

----------

--------

Волновой

вектор

фонона

(106

см

135

Рис.

7.20.

Шесть

ширинных

(сплошные

линии)

толщинных

(пунктирные

ли

нии)

мод

низших

порядков

(т

1,2,

...

,6)

для

квантовой

проволоки

GaAs

се

чения

50А

200А.

ИЗ

работы

[129],

печатается

разрешения

Американского

физического

общества

Найденный

гамильтониан

не

зависит

от

времени.

гл.

8,9

такие

не

зависящие

от

времени

гамильтонианы,

описывающие

взаимодей

ствия

носителей

фононами,

будут

использоваться

сочетании

золотым

правилом

cDерми

для

расчета

частот

рассеяния

носителей

на

фононах.

Взаимодействие

носителей

фононами

также

имеет

вре

менную

зависимость

вида

exp(iUJ-уt),

где

UJ-y

частота

фонона.

Как

ста

нет

очевидным

гл.

8,9,

множители

такой

временной

зависимостью

комбинируются

независящими

от

времени

волновыми

функциями

носителя.

Поскольку

(ql

cos

qlx

ОЩ2

cos q2X) cos hy,

)

ду

cos QlX +

cos

Q2X

cos hy,

-i1'W

COSQlX

(Q2Ct

h(3)

cos

Q2X]

cos hy,

получаем,

что

(7.194)

136

Гл.

Континуальные

модели

фононов

и,

соответственно,

Е!

"А

UJ"( h [

()

()]

i"(z

деф

-2-

cos

аn,m

-"(

VЫ

n,m,"(

(7.196)

гл.

это

выражение,

описывающее

взаимодействие

через

деформа

ционный

потенциал,

будет

использовано

для

расчета

частот

рассеяния

электронов

на

акустических

фононах

квантовых

про

волоках

прямо

угольного

сечения.

6.4.

Акустические

фононы

цилиндрических

структурах.

цилиндрическом

волноводе

цилиндрическом

слое

акустические

фононы

проявляют

свои

ключевые

особенности

размерно-ограничен

ных

структурах.

Цилиндрические

волноводы

имеют

большое

значение

для

практики.

частности,

цилиндрический

слой представляет

интерес,

поскольку

он

напоминает

углеродную

трубку

со

стенкой

толщиной

один

атомный

слой,

также

имитирует

структуру

микротрубок,

обнаруженных

во

многих

частях

тела

человека.

Как

рассматривалось

выше

§ 3

гл.

модель

упругого

континуума

обеспечивает

приближенное

описание

акустических

фононных

мод

таких

размерно-ограниченных

наноструктурах.

Волновые

уравнения

для

упругой

среды

цилиндрической

формы

могут

быть записаны

следующем

виде

[93, 131]:

т.;

Т<р<р

at2

= & +

-;;:

д<р

+& + r

2и<р

еп;

дТ<р<р

aT<pz

r<p

------а;:-

-;;:

------а:р

------а;:

-r-

(7.197)

где

ось

цилиндра

совпадает

направлением

<р

азимутальный

угол,

r -

радиальная

координата

цилиндрической

структуры.

Тензор

упругого

напряжения

связан

тензором

упругой

деформации

законом

Гука:

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

137

(7.198)

(7.199)

этом

соотношении,

связывающем

напряжение

деформацию,

J1,

являются

постоянными

Ламе.

Эти

волновые

уравнения

часто

записы

ваются

другом

виде:

[ aUk(r,

t)]

p(r) Ui(r,t) = aXj

Лijkl(Г)

дх!

где

тензор

упругой

жесткости

для

изотропной

среды

выражается

сле

дующим

образом:

(7.200)

Эти

уравнения

имеют

более

сложный

вид,

чем

их

аналоги

пря

моугольных

координатах,

приведенные

§ 2

гл.

Действительно,

дополнительная

сложность

уравнений

цилиндрических

координатах

является

прямым

следствием

того

факта,

что

криволинейных

коорди

натах

базисные

векторы

зависят

от

координат.

Рассмотрим

акустические

фононные моды

цилиндрическом

вол

новоде

радиуса

а,

окруженном

упругой

средой.

среда,

заполняющая

волновод,

окружающая

среда

считаются

изотропными.

Согласно

про

цедуре

нормировки,

описанной

§ 1

гл.

моды

выражены

величинах

которые,

как

пока

за

но

приложении

А,

удобнее

использовании,

чем

величины

которыми

они

связаны

соотношением

W =

..JP

Оператор

смещения

U(r)

описывается

этом

случае

выражением

U(r) = L

q,mn

ei(mrp+qzja).

(7.201)

Квантовое

число

нумерует

моды

одинаковыми

значениями

индексов

наборе

Wmn,q(r),

где

qza

безразмер

ный

параметр,

пропорциональный

z-компоненте

волнового

вектора

Ч»

Для

определения

нормировочных

констант

нормальных

мод

Wmn,q(r)

удобно

записать

(г)

= W

(г)

ei(mrp+qzja)

= 1

u(r)

ei(mrp+qzja)

mn,q mn,q

N '

(7.202)

где

г)

классическое

смещение,

даваемое

моделью

упругого

континуума.

Тогда

нормировочная

константа

определяется

условием

нормировки

r p(r)

W~,m,q(r).

Wnl,ml,ql(r)

= bn,m,q;nl,ml,ql.

(7.203)

138

Гл.

Континуальные

модели

фононов

Пусть

плотность

постоянные

Ламе

цилиндрического

волновода

равны

Р1,

'\1

f..L1,

плотность

постоянные

Ламе

окружающей

среды

Р2,

'\2

f..L2

соответственно.

Общее

решение

классических

уравнений

упругого

континуума

для

такой

цилиндрической

структуры

может

быть

выражено

[133, 135]

через

три

скалярных

потенциала

ф,

'Ф,

х:

(7.204)

где

единичный

вектор

направлении

Второе

третье

сла

гаемые

этом

выражении

соответствуют

обычному

вихревому

вкладу

в и,

выраженному

виде

суммы

двух

взаимно-ортогональных

век

торов.

Потенциалы

ф,

'IjJ

удовлетворяют

скалярным

волновым

уравнениям,

которых

продольная

поперечная

скорости

звука

даются

выражениями

(7.205)

Здесь

нижний

индекс

принимает

значение

для

параметров,

соответствующих

веществу

волновода,

значение

2 -

для

параметров

окружающей

среды.

Решения

классических

уравнений

упругого

конти

нуума

ищутся

частотой

колебаний

u),

волновым

вектором

qz =

q/a

азимутальным

квантовым

числом

акустических

мод,

локали

зованных

вблизи

цилиндрического

волновода,

скалярные

потенциалы

для

области

r <

принимаются

виде

(

) (

iы1

Jm(klr

/а)

)

'IjJ

BtlJm(ktr/a)

ei(m<p+qz!a-wt).

m(k

)

(7.206)

Вне

цилиндрического

волновода

(Т

а)

решения

принимаются

виде

(

) (

iыlкm(к,lr/а))

)

'IjJ

Вt2Кm(к,tr/а)

ei(m<p+qz!a-wt)

( к, t

)

где

kl,t

"'l,t

определяются

выражениями

(7.207)

2 2 2

2 2 (7 208)

l,t

= q -

C(l,t)

"'l,t =

C(l,t)2

- q , .

ы1

другие

коэффициенты

представляют

собой

нормировочные

константы,

подлежащие

определению.

выражениях

для

ф,

'IjJ

подразумевается,

что

k?,t

"'r,t

О,

поскольку

рассматриваются

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

139

размерно-ограниченные

акустические

моды.

Подставляя

эти

потенци

алы

общую

формулу

для

смещений

получаем

выражения

для

области

r <

а:

(7.209)

для

области

r >

а:

(7.210)

Налагая

граничные

условия,

заключающиеся

непрерывности

сме

щения

непрерывности

нормальных

составляющих

тензора

упругого

напряжения

при r =

а,

получаем

уравнение

(7.211)

где

[bl~,

Bt~,

bt~]T,

матрица

U~,

связанная

условием

на

компо

ненты

«смещения»

вычисляется

при

r = а

имеет

вид

qY~

)

-mqy~

kt~y~

(7.212)

140

Гл.

Континуальные

модели

фононов

Матрица

имеет

вид

(

-2qG~

-mqy~

(k;~

q2)y~

)

2т(9~

c~)

(k;~

2т2)y~

2Y~

2mq(y~

Y~)

(2т2

+ q2 -

kt~)9~

2C~

2mq(y~

Y~)

2q[(m

k;~)y~

Y~]

(7.213)

где

k~l,t)~=l

k~l,t)'

k~l,t)~=2

-к,~ц),

9l =

Jт(kl)'

Сl

= kIJ!m(kl),

Уl

Jт(k

ktJ!m(к,t),

92 =

Кт(к,l),

к,IК!m(к,I),

У2

Кт

(к,t)

к,tК!m(к,t).

Из

составляющих

ur(r),

u<p(r)

uz(r)

вектора

u(r)

можно

непосредственно

построить

Wтn,q(r)

ii(r).

Случай

m =

представляет

практический

интерес

при

водит

сравнительно

про

стым

результатам.

частности,

для

m =

подматрицы

матриц

разлагаются

на

матрицы,

представляющие

чистые

осесимметричные

крутильные

радиально-аксиальные

моды.

Для

осесимметричных

кру

тильных

мод

дисперсионное

соотношение

имеет

вид

(7.214)

составляющие

нормальных

мод даются

выражениями

=0,

1 {

(к,t)J

(ktr/a),

W<p

Jna2N<p

Jl(к,t)К1(ktr/а),

О,

где

условие

нормировки

имеет

вид

r <

а,

r >

а,

(7.215)

х,

Р1Кr(к,t)

[Jr(k

-J

О(k

t)J

2(k

t)]

Р2

J[(kt)[K

(к,t)К

(к,t)

кr(к,t)].

(7.216)

Для

осесимметричных

радиально-аксиальных

мод

дисперсионное

соотношение

определяется

из

уравнения

(7.217)