Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§6.
Континуальная
модель
акустических
мод
где
А
=
q2
- k[,
В
=
q2
+
1'1,[,
а
141
(
-2/-l2qк,zК,(к,z)
-2/-l2к,t(к,;
+
q2)К,(к,t)
)
Q22
= .
-2/-l'[BKo(k
z)
+
2к,
zК,
(kz)]
-/-l2qк,t[J,
(k
t)
-
к,tJо(k
t)
(7.218)
Составляющие
нормальных
мод
даются
выражениями
r <
а,
т>
а,
Wcp =
О,
-W
z
= 1 { b
l1qJ
o(k
zr/a)
- b
t1k;J
o(k
tr/a),
r <
а,
vna2:Nrz
Ь
Z
2qК
о(к,zr/а)
+
Ьt1qк,tКо(к,tr/а),
т>
а.
(7.219)
Для
осесимметричных
радиально-аксиальных
мод
условие
норми
ровки
имеет
вид
:N
rz
=
р,
(Ь;,
{q2[Jб(kz)
+Jt(kz)] +k[[Jt(kz) - Jo(kz)J,
(kz)]}
+
+
Ь;,k;{k;[Jб(k
t)
+
Л(k
t)]
+
q2[Л(k
t)
- Jo(k
t)J2(k
t)]}-
- 4bl1bt,qktJo(kz)J,(kt)) +
+
Р2
(Ь[2{q2[Кt(к,z)
-
К§(к,z)]
+
к,[[К
о(к,z)К
2(к,z)
-
Кt(к,z)]}
+
142
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
+
Ь~2к;~{к;~[Кr(К;t)
-
КJ(К;t)]
+
q2[КО(К;t)К2(К;t)
-
Кr(К;t)]}
-
-
4ЬZ2Ьt2qК;tКо(к;z)Кj
(К;t)).
(7.220)
Как
и
в
случае
квантовых
проволок
прямоугольного
сечения,
рас
сматривавшихся
в
п.
6.3
гл.
7,
гамильтониан
взаимодействия
через
деформационный
потенциал
Н;еф
для
носителей
Ea(k)
в
невырожден
ной
точке
Г
зоны
а
выражается
с
помощью
оператора
смещения
и(г):
Н;еф
=
Ef\l·
Щг).
(7.221)
Аналогично
в
точке такой
симметрии
только
невихревые,
т.
е.
продоль
ные,
компоненты
и(г)
вносят
вклад
в
Н;еф'
Соответственно
только
по
тенциал
Ф
(7.204)
вносит
вклад
в
гамильтониан
Н;еф'
Действительно,
из
нормированных
составляющих
Wmn,q(r) (7.202)
легко
получаем
Щг)
и,
используя
соотношение
\l2ф
=
-(UJ/сz)2ф,
приходим
к
выражению
На
=
Е
а
~
[UJmn(q)]
2
деф
j
L...J
ас!
q,mn
[Ф
()
+
Ф
*
( ) t ] i(m<p+qz!a)
Х
mn,q
r
amn,q
mn,-q r amn,-q
е
,
где
потенциал
Фmn,q(r)
дается
формулой
(7.220)
r <
а,
r >
а.
(7.223)
Рассмотрим
случай
тонкого
цилиндрической
оболочки
(слоя).
В
этом
случае
граничные
условия
на
внутренней
(iп)
и
внешней
(out)
поверхностях
имеют
вид
(7.224)
где
Р
представляет
собой
внешнее
давление,
которое
возникло
бы,
например,
в
случае,
если
цилиндрический
слой
был
бы
погружен
в
жидкость,
TJlY
-
тензор
упругого
напряжения,
а
n
У
-
нормаль
к
поверхности
слоя.
В
частности,
Р
= ±Pin!outer
И
n =
=j=e
r
,
где
е
т
-
единичный
вектор
в
направлении
r.
Индексы
«iп»
и
«ош:
соответству
ют
верхнему
и
нижнему
знаку.
Для
цилиндрического
слоя
бесконечной
длины
в
направлении
z,
имеющего
толщину
h
и
радиус
R,
такие
что
h « R,
граничные
условия
имеют
следующий
вид:
(7.225)
§6.
Континуальная
модель
акустических
мод
143
(7.226)
Подразумевая,
что
все
значения,
за
исключением
Т
т
т
,
почти
не
зависят
от
r
в
интервале
от
R -
h/2
до
R +
h/2,
можно
показать,
что
Т'Р'Р
J>in
-
J>
out
-я+
h
=ри
т
,
1
дТ'Р'Р
aT'Pz
..
R
------а:р
+
-----а;-
=
ри'Р'
Эти
результаты
непосредственно
получаются
путем
интегрирования
правой
и
левой
частей
каждого
уравнения
(7.197)
по
интервалу
от
R -
h/2
до
R +
h/2
при
использовании
граничных
условий
в
радиальном
волновом
уравнении
и
пренебрежении
членами
порядка
h.
Из
соотношений,
связывающих
упругие
напряжения
с
упругими
деформациями
(7.198),
следует
Т'Р'Р
=
(л
+
2р,)В'Р'Р
+
Л(Szz
+
Втт),
(7.227)
Отсюда
получаем
соотношения
(7.228)
4р,(л
+
р,)
2лр,
T
zz
=
л
+
2р,
Szz +
л
+
2р,
В'Р'Р.
Модуль
Юнга
Е
и
коэффициент
Пуассона
v
могут
быть
выражены
через
постоянные
Ламе
следующим
образом:
Обращая
эти
равенства,
получаем
л
=
Еу
(1
-
2У)(1
+
У)
и
и
Е
(7.229)
(7.230)
144
откуда
следует
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
Е
Л+J-L=
2(1-2l/)(1+l/)
и
l/ =
2(Л+J-L)'
(7.231)
(7.232)
Заменяя
в
полученных
соотношениях
между
упругими
напряжениями
и
деформациями
постоянные
Ламе
модулем
Юнга
и
коэффициентом
Пуассона,
можно
получить
волновые
уравнения
в
следующем
виде:
Е
э\п
- P
out
..
R(1 -
l/2)
(8'Р'Р
+l/8
zz)
+ h =
ри«,
Е
д
(8
8)
Е
д
8 ..
R(1
-l/2)
д<р
'Р'Р
+ l/ zz + 1+ l/
д<р
'P
Z
=
ри'Р'
Е
д
8
Е
д
(8
8)
..
R(1 + l/)
д<р
'P
Z
+ 1 _
l/2
az
zz + l/
'Р'Р
=
pU
z·
Тогда,
с
использованием
соотношений
[93]
8 _
~
au
z
ди'Р
.р
г
-
д
+
д
'
r
<р
z
(7.233)
уравнения
могут
быть
записаны
в
виде
и
т
+
и'Р,'Р
l/Uz,z
Р и
т
R2 -
-----я-
+ R =
с
2
'
ит,'Р
+
и'Р,'Р'Р
1 -
и
1+ l/
и'Р
R2 +
2R
u'P,zz
+
2R
uZ,'P
z
=
с
2
'
(7.234)
l/Ur,'P
1 +l/ 1- l/ U
z
-----я-
+
2R
u'P,'P
z
- 2R2
Uz,zz
=
с
2
'
где
квадрат
продольной
скорости
звука
тонкого
слоя
с
2
И
безразмерное
давление
Р
определяются
выражениями
2
Е
R
(1
-l/2)
С
=
p(I-l/
2)
И
Р=т;
------в-
(Pin-Pout).
(7.235)
Эти
формулы
были
использованы
в
работе
[131]
для
описания
свободных
колебаний
тонкой
цилиндрической
оболочки
как
изолиро
ванной,
так
и
помещенной
в
жидкость.
В
случае
изолированного
слоя
Р
=
о
и
решения
записываются
в
следующем
виде:
(7.236)
§6.
Континуальная
модель
акустических
мод
145
где
безразмерный
волновой
вектор
q
в
направлении
z
и
безразмерная
частота
П
определяются
формулами
и
П
=
UJR.
с
Волновые
уравнения
в
этом
случае
сводятся
к
соотношениям
или,
в
матричной
форме:
(7.237)
(7.238)
т
vq )
п
2
_
~::~~
vq2 =
О.
(7.239)
Дисперсионное
соотношение
при этом
принимает
вид
т
vq
det 2) =
Отсюда
т
vq
п
2
- m
2
-
v_
q2
-v+mq
=
О.
-v+mq
п
2
-
v_m
2
- vq2
(7.240)
п
б
_
[(V_+1)(m
2+
q
2)+1]П
4+
[(m2+v_q2)(v_m2+q2)
+
+
(1
+
v_)(m
2
+
q2)
_ v
2
q2
_ m
2
_
v+2
m2
q2]
п
2
_
- v_(1 - v
2
) q4
=
О,
(7.241)
что
можно
переписать
в
виде
(7.242)
146
где
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
А
= v_(1 + v
2
) ,
В
=
v_(п
2
-
1)(п
2
-
v_m
2)
+
(п
2
-
1)(п
2
- m
2)
+
(7.243)
Исследуем
решения
этих
уравнений
в
трех
особых
случаях:
для
симметричных
азимутальных
мод
с
индексом
т
=
О,
дЛЯ
малых
q
и
для
больших
q.
Для
мод
с
т
=
О
о
(7.244)
При
С
Т
= C
z
=
О
чистая
крутильная
мода
имеет
частоту
(7.245а)
А
в
случае
С<р
=
О
получаем,
что
две
связанные
радиально-продольные
моды
имеют
частоты
п
2
=
(пI,Ш
)2 = !
[q2
+ 1± J(q2 _
1)2
+
4V2]
рад-прод
-
m=О
2 .
Для
малых
значений
q
переход
к
пределу
q
----+
о
дает
(7.245б)
(7.246)
При
Cz=O
две
крутильно-радиальные
моды
имеют
частоты
Пкрут-рад,а
==
П~
=
vm
2
+1
и
Пкрут-рад,Ь
==
п~I
=
О.
А
при
С
Т
=
Cz=O
получаем,
что
продольная
мода
имеет
частоту
Ппрод
==
П~
=
~
m.
Поскольку
значение
п~I
~
О
было
полу
чено
в
низшем
порядке
по
q,
необходимо
найти
первый
неис
чезающий
член разложения.
Для
т
=
О,
делая
предположение,
что
(П~I=о)2
= aq2,
и
оставляя
в
дисперсионном
уравнении
члены
вплоть
до
q4,
получаем
§6.
Континуальная
модель
акустических
мод
147
(7.247)
Один
из
корней
этого
уравнения,
а
=
V_,
соответствует
моде
п~=о,
а
другой
-
а
= 1 - v
2
-
приводит
К
формуле
П~~О
~
~
q.
Для
m i-
О,
делая
предположение,
что
(п~!n2
= aq4,
и
оставляя
в
диспер
сионном
уравнении
члены
вплоть
до
q4,
получаем
уравнение
а
[v_m
4
+ (1 +
v_)m
2
-
т
2]
q4
-
v_(1-
v
2)
q4
=
О,
(7.248)
откуда
а
= (1 - v
2)j(m
4
+
т
2)
и
п~I
~
J(1
- v
2)j(m
2
+ 1)
(q2
jm).
В
пределе
больших
значений
q,
оставляя
в
дисперсионном
уравнении
лишь
главные
члены,
получаем
(7.249)
а
предполагая,
что
п
2
----7 aq2,
приходим
к
уравнению
(7.250)
(7.251)
корнями
которого
являются:
а\
= 1,
а2
=
и.:
и
аз
=
О.
Результат
аз
=
О не
соответствует
исходному
предположению,
так что
этому
случаю
соответствуют
решения
вида
п
2
----7 const.
Тогда,
оставляя
в
дисперсионном
уравнении
два
последних
члена,
имеющие
наивысший
(четвертый)
порядок
по
q,
получаем:
v_q
4
п
2
-
и
:
(1
- v
2)q4
~
О,
откуда
п
2
----7 1 - v
2
.
Удобные
интерполяционные
формулы
перехода
от
малых
q
к
большим
q
имеют
вид
п~
(q)
~
J
q2
+
т
2
+ 1 ,
п
Ш
(q)
~
~-q-
т=О
V 1 -
и-
1+ q ,
2
П~(q)~~
q
mvm
2
+ 1 +
q2
В
осесимметричном
случае
(т
=
О)
моды
1,
11
и
111
являются
чисто
радиальной,
крутильной
и
продольной
модами
соответственно.
При
m i-
О
между
радиальными
и
крутильными
модами
возникает
связь.
В
пределе
q » m + 1
асимптотические
выражения
не
зависят
от
т;
действительно,
в
этом
пределе
П~(q)
~
q,
П~(q)
~
~q
и
П~I(q)
~
~
~.
Анализ
амплитуд
С
т
,
Сер
И
C
z
[137, 138]
показывает,
что
в
пределе
больших
q
моды
1,
11
и
111
соответствуют
чисто
продоль
ным,
крутильным
и
радиальным
колебаниям
соответственно.
148
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
Случай
цилиндрического
слоя,
погруженного
в
жидкость,
был
рас
смотрен
в
работе
[140],
а
численное
решение
для
него
было
найдено
в
работе
[137].
В
этом
случае
давление
р
i:-
о
и
дисперсионное
соотно
шение
принимает
вид
п
2
- m
2
-
v_
q2
-v+mq
=
О,
-v+mq
п
2
-
v_m
2
- vq2
det'D
=
т
vq
т
vq
(7.252)
где
член,
описывающий
связь
между
слоем
и
жидкостью,
дается
фор
мулой
(7.253)
Здесь
(7.254)
где
Sf -
скорость
звука
в
жидкости
и
(7.255)
в
случае
тонкого
цилиндрического
слоя,
погруженного
в
жидкость,
ин
терфейсные
моды
в
жидкости
локализованы
около
поверхности
цилин
дра,
что
соответствует
области
значений
Q2 >
О.
в
случае
же
со
> Sfqz
от
цилиндрического
слоя
распространяются
акустические
возмущения.
Действительно,
плоскость
UJqz
разделена
на
две
области
неравенством
UJ > sfqz.
Как
было
только
что
показано,
область,
определяемая
нера
венством
Q2 >
О
(или
UJ < sfQz),
является
областью,
где
интерфейсные
моды
локализованы
вблизи
цилиндрического
слоя
на
участке
толщины
ню.
А
при
UJ > sfQz
имеет
место
неравенство
Q2 <
О
И
соотношение
К
т
(
-iIQI)
=
i
т
+
1
~
HgJ (IQI),
содержащее
функцию
Ганкеля
первого
рода,
HgJ,
описывает
отте
кающие
цилиндрические
волны
и
показывает,
что
из
цилиндрического
слоя
в
окружающую
его
область
излучаются
цилиндрические
волны.
Случай
цилиндрического
слоя,
погруженного
в
жидкость,
был
проанализирован
численно
в
работе
[137]
при
моделировании
колебательного
поведения
микротрубок,
погруженных
в
воду.
Такие
микротрубки
представляют
большой
интерес
для
биологии,
так
как
они
присутствуют
во
многих
биологических
структурах,
включая
§6.
Континуальная
модель
акустических
мод
149
цитоскелетальные
и
эукариотические
клетки.
В
этих
численных
расчетах
величины
внутреннего
и
внешнего
радиусов
микротрубок
принимались
равными
11,5
нм
и
14,2
нм
соответственно,
длина
микротрубок
принималась
равной
8
нм,
их
масса
-
1,83
х
10-19
г,
коэффициент
Пуассона
v
принимался
равным
0,3,
а
модуль
Юнга
-
О,
5 ±
О,
1
ГПа.
Эти
пара
метры
дали
величину
продольной
скорости
звука
с
в
тонкой
пластине,
равную
610
м/с,
и
плотность,
равную
1,47
г/см
з.
Скорость
звука
и
плотность
воды
принимались
при
этом
равными
1,50
км/
с
и
1
г
/
см
' .
Рассчитанные
дисперсионные
соотношения
П~(q)
для
т
= 1, 2
и
3
представлены
на
рис.
7.21, 7.22,
7.23
соответственно.
Частота
3
2
2 3
Волновой
вектор
Рис.
7.21.
Дисперсионные
соотношения
п~
для акустических
мод
описанных
в
тексте
микротрубок
при
т
= 1: 1 -
чисто
продольная
мода;
11
-
крутильная
мода;
III
-
радиальная
мода.
Частота
приведена
в
безразмерных
величинах
n=
wR/c
и
q = Rqz.
При
n = 1
и
параметрах,
приведенных
в
тексте,
частота
w =
7,6
ГГц.
Точечная
линия
разделяет
области
интерфейсных
и
оттекающих
волн
и
соответствует
условию
w =
sfQz
(см.
текст).
Сплошная
и
пунктирная
линии
соответствуют
микротрубкам,
погруженным
в
воду,
и
изолированным
микротрубкам.
Из
работы
[138],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
Из
рис.
7.21-7.23
следует,
что
для
соотношения
qz
»m/R
часто
ты мод
погруженных
в
жидкость
микротрубок
стремятся
к
частотам
мод
изолированных
микротрубок
и
не зависят
от
m.
Видно,
что эти
моды
имеют
максимальные
частоты
порядка
десятков
ГГц,
а
скорости
звука
осесимметричных
акустических
мод
находятся
в
диапазоне
200-
600
м/с.
150
Гл.
7.
Континуальные
модели
фононов
Частота
3
2 3
Волновой
вектор
2
01-'
.-.=:---'-----'-----
О
Рис.
7.22.
Дисперсионные
соотношения
п;'
для
акустических
мод
описанных
в
тексте
микротрубок
при
т
= 2: I -
чисто
продольная
мода;
II -
крутильная
мода;
III
-
радиальная
мода.
Частота приведена
в
безразмерных
величинах
П
=
wR/c
и
q = Rqz.
При
П
= 1
и
параметрах,
приведенных
в
тексте,
частота
w =
7,6
ГГц.
Точечная
линия
разделяет
области
интерфейсных
и
оттекающих
волн
и соответствует
условию
w =
sfqz
(см.
текст).
Сплошная
и
пунктирная
линии
соответствуют
микротрубкам,
погруженным
в
воду,
и
изолированным
микротрубкам.
Из
работы
[138],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
в
работе
[137]
при
рассмотрении
динамического
поведения
ци
тоскелетальных
волокон
была
определена
на
основе
модели
упруго
го
континуума
структура
мод
колебаний
твердого
цилиндра.
Особое
внимание
было
уделено
осесимметричной
крутильной
моде
(а),
осе
симметричной
радиально-продольной
моде
(6)
и
изгибной моде
(6),
изображенным
на
рис.
7.24.
6.5.
Акустические
фононы
в
квантовых
точках.
В
квантовых
точках
фононы
и
носители
испытывают
схожие
эффекты,
что
явля
ется
следствием
резкого
изменения
свойств
вещества
у
поверхности
раздела
квантовой точки
и
окружающей
среды.
Действительно,
вол
новые
функции
носителя
изменяются
в
результате
изменения
энергии
зон
для
электронов
и
дырок
вблизи
границ
квантовой
точки.
В
слу
чае
акустических
Фононов
изменение
упругих
свойств
около
границ
квантовой
точки
при
водит
к
изменению амплитуды
смещения.
Моды
акустических
Фононов
для
сферических
квантовых
точек
и
для
кван
товых
точек
прямоугольного
сечения
были
рассмотрены
ранее
[142].