Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Фрёлиховекий
потенциал
в
квантовых
ям-ах
171
Состояния
электрона
в
направлениях,
параллельных
поверхностям
раздела,
принимаются
в
виде
плоских
волн,
а в
направлении
z -
как
основное
состояние
электрона
в
бесконечно
глубокой
квантовой
яме
[148]:
и
(8.50)
где
А
-
площадь
поверхности
раздела,
на
которую
нормирована
вол
новая
функция
электрона.
Следуя
процедуре
п.
1.1
гл.
8,
получаем,
что
матричный
элемент
M2~,a}
(q)
дается
выражением
где
функция
F(qzL
z)
определяется
следующим
образом:
Проводя
вычисления
в
п.
1.1
гл.
8,
получаем
где
2
21Г
2 [1 1]
IGI
= v
е
Ти»
Е(ОО)
-
Е(О)
,
а
скорость
рассеяния
дается
выражением
(8.54)
172
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
=
~
ь,
{;2
[1 - G (8)] + [
1/2
+
(2
-
82:
7Г
2
) G
(8)]
82
~
7Г
2
} ,
(8.55)
причем
С(8)
+
[1
-
е-
2
В
]
/
2
8
и
(8.56)
Как
и
в
п.
1.1
гл.
8,
здесь
было
допущено,
что
частота
фононной
моды
I.J)q
не
зависит
от
q
и
равна
частоте
фонона
в
центре
зоны.
Полная
частота
рассеяния
для
всей
гетероструктуры
1/
т
~,a}
(kll)
получается
интегрированием
величины
8i~,a}
(kll'k
ll)
по
ч:
с
после
дующим
умножением
на
площадь
гетероструктуры
V2D:
1 =
IСl
2
L
z
V
i
ш
(n +
1/
±
1/
)
Х
т
2
);
,
а
}
(kll)
47Гn
2
q 2 2
Х
J
dф
JdqIII
2D
(q
ll
' L
z
)8(E(k
ll
т
qll) -
E(kll)
±
nl.J)).
(8.57)
Для
вычисления
этого
интеграла
необходимо
проанализировать
ар
гумент
дельта-функции.
Допуская
параболичность
зон
носителей
и
рассматривая
случай,
когда
носитель,
имеющий
волновой
вектор
k
ll
и
массу
т,
излучает
фонон
с
волновым
вектором
qll'
так что волно
вой
вектор
носителя
в
конечном
состоянии
имеет
вид
k
ll
= k
ll
- qll'
получаем
E(k
ll
т
qll) -
E(k
ll)
±
nl.J)
=
n
2
(k
ll
- qll)2
n
27Г
2
n
2
(k
ll
)2
n
27Г
2
=
2т
+
2mL;
-
2т
-
2тЦ
±
nl.J)
=
n
2
I 2 2 n
2
2
=
2m[(k
ll)
-(k
ll)
]±nl.J) = 2m[(qll)
-2qllkIIСОSФ]±nl.J),
(8.58)
где
Ф
-
угол
между
векторами
k
ll
и
qll'
энергия
основного
состояния
носителя
равна
h
2
n
2/(2mL;),
а
qll
и
kll
представляют
собой
модули
век
торов
Ч]
и
k
ll
соответственно.
Аргумент
дельта-функции
обращается
в
нуль
при
выполнении
условия
2
2ml.J)
qll
-
2qll
kll
cos
Ф
±
-n-
=
о,
(8.59)
§2.
Фрёлиховекий
потенциал
в
квантовых
ям-ах
173
где
верхний
знак
соответствует
испусканию,
а
нижний
-
потлощению.
Корнями
этого
уравнения
являются
{е}
k
Ф
qll± =
11
cos ±
2 2
(2mш)
k
ll
cos
Ф
-
-п-
(8.60)
и
{а}
- k
Ф
±
qll± - -
11
cos
2 2
(2mш)
k
ll
cos
Ф
+
-п-
.
(8.61)
Оба
корня
q~~
при
надлежат
диапазону
О
<
Ф
<
фmах,
где
фmах
=
=
arccos Jhw/E,
а
Е
=
h2kП/2m.
Корень
q~~}
запрещен.
Для
случая
эмиссии
E(k
ll
=fqll) -
E(kll)
±
ь:
=
::
(qll
-
q~~)(qll
-
q~~)
=
=
2
п
:
(qп
-
2qllkll
соsф
+
2~Ш).
(8.62)
Интеграл
по
qll
берется
с
использованием
соотношения
J
dy g(y) 8[j(y) -
а]
=
;(/~
I '
v
у
У=Уо
где
Уа
определяется
из
уравнения
ЛУа)
=
а.
Полагая
j(qll) =
::
(qп
-
2
q
l l
k
I I
С
О
S
Ф
)
,
получаем
(8.63)
(8.64)
(8.65)
с
использованием
этих
соотношений
получаем
выражение
для
полной
скорости
рассеяния:
(8.66)
174
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
которое
аналогичным
образом
[148]
можно
привести
к
виду
1
=aw
n
f7rdфI2D(q~1(Е,ф))q~1(Е,Ф)
T2~}(E)
7г
q
О
J(Еjhw)соs
2
ф
+
1 '
(8.67)
где
(8.68)
2.2.
Частоты
рассеяния
в
структурах
с
квантовыми
ямами,
имеющих
решетку
вюрцита.
В
работе
[99]
вычислены
зависящие
от
энергии
частоты
рассеяния
электронов
на
LО-фононах
в
структу
рах
с
квантовыми
ямами,
имеющих
решетку
вюрцита.
Фрёлиховский
потенциал,
использованный
при
вычислениях
этих
частот
рассеяния
[101, 24],
основан
на
гамильтонианах,
приведенных
в
приложении
Г,
и
на
модели
Лаудона
для
одноосных
кристаллов.
В
этих
вычис
лениях
частоты
рассеяния
в
изолированных
квантовых
ямах
GaN
и
в
квантовых
ямах
GaN,
сделанных
в
нитриде
алюминия
(AIN),
используется
золотое
правило
Ферми.
Во
всех
этих
расчетах
ось
С
была
нормальна
к
поверхностям
раздела,
а
квантовые
ямы
GaN
имели
ширину
50
А.
Взаимодействующие
электроны
ограничены
энергиями,
близкими
к
точке
Г,
и
рассматривается только
самая
нижняя
под
зона.
На
рис.
8.5,8.6
представлены
частоты
рассеяния,
вычисленные
для
объемного
образца
GaN,
для
изолированной
квантовой
ямы
GaN
и
для
квантовой
ямы
AIN/GaN/AIN.
На
рис.
8.5
полные
частоты
рассеяния
электронов
на
оптических
фононах
в
объемных
структурах
GaN
и
в
изолированной
квантовой
яме
GaN
представлены
как
функции
энергии
электрона
Ek
в
диапазоне
от
О
до
500
мэВ;
этот
рисунок
также
представляет
угловую
зависимость
частоты
рассеяния
для
объемных
кристаллов
GaN.
На
рис.
8.6
изображена
полная
частота
рассеяния
как
функция
энергии
электрона
Ek
в
диапазоне
от
О
до
400
мэВ
для
изо
лированной
квантовой
ямы
и
квантовой
ямы
GaN,
помещенной
в
AIN;
этот
рисунок
также
иллюстрирует вклады
размерно-ограниченных
и
интерфейсных
мод.
Данные
результаты
наглядно
демонстрируют
важность
учета
эффектов
размерного
ограничения
при
вычислении
частот
рассеяния
электронов
на
оптических
фононах
в
размерно-ограниченных
полупроводниках
с
решеткой
вюрцита.
§ 3.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
в
квантовых
проволоках
В
настоящем
пара
графе частоты
рассеяния
носителей
заряда
на
LО-фононах
в
квантовых
проволоках
вычисляются
в
приближении
золотого
правила
Ферми.
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
175
Испускание,
LО-типа
Поглощение,
LО-типа
04
0.4
Испускание,
ТО-типа
,#"~"'''''---'''''':!I8!;II8~'!Ii'''''''~'''''''-';'';'''':_'''''",_"",
Поглощение,
ТО-типа
1010
'--
__
-'--
__
--'-
__
--'-
__
---'-
_
о о
02
1012
'--
-'--
--L.-
---'-
----'- ----'-
__
0.0 0.2
Рис.
8.5.
Основной
рисунок:
полная
частота
рассеяния
электронов
на
оптиче
ских
фононах
в
кристаллах
GaN
(тонкие
сплошные
линии)
и
в
изолированных
квантовых
ямах
GaN
(жирные
сплошные
линии)
как
функции
энергии
элек
трона
Ek
в
диапазоне
от
О
до
500
мэБ.
Частоты
рассеяния
в
кристаллах
GaN
при
трех
определенных
углах
показаны
следующим
образом:
тонкие
сплошные
линии
- ()k = 7[/2;
тонкие
точечные
линии
- ()k = 7[/4;
тонкие
пунктирные
линии
- ()k =
о.
Точечные
и
пунктирные
линии
показывают
частоту
рассеяния,
вычисленную
для
размерно-ограниченных
электронов
и
объемных
фононов.
На
вставке:
частоты
испускания
и
поглощения
фононов
LO-
и
ТО-типа
в
кристаллах
GaN
при
трех
различных
углах:
непрерывные
линии
- ()k = 7[/2;
точечные
линии
- ()k = 7[/4;
пунктирные
линии
- ()k =
о.
Из
работы
[99],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
3.1.
Частота
рассеяния
на
объемных
модах
продольных
оптических
фононов
в
квантовых
проволоках.
Особенно
простая
интерпретация
взаимодействий
носителей
с
LО-фононами
в
структурах
с
квантовыми
проволоками
возможна,
если
фононы
рассматриваются
как
объемные,
а
размерное
ограничение
носителей
рассматривается
в
пределе
бесконечно
большого
ограничивающего
потенциала
для
электронов,
в
так
называемом
крайнем
квантовом
пределе.
В
этом
случае
в
процедуре
вычислений,
описанной
в
п.
1.1
гл.
8,
должно
быть
учтено
пространственное
ограничение
носителей
заряда.
Как
показано
в
пп.
1.1,2.1
гл.
8,
частота
рассеяния носителей
на
LО-фононах
может
быть
оценена
путем
вычисления
на
основе
золотого
правила
cDерми
частоты
переходов
для
гамильтониана
возмущения
H
Fr
,
приведенного
176
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
0.4
е;
(эВ)
04
02
0.2
1011
'-----_---'-
__
----'--
__
---'---
__
--'-----_
00
1012
'---
---'---
L.-
----'--
_
0.0
Рис.
8.6.
Полные
частоты
рассеяния
электронов
на
оптических
фононах
в
изо
лированной
квантовой
яме
GaN
(пунктирная
линия)
и
в
квантовой
яме
A1N/GaN/
A1N
(непрерывная
линия)
как
функции
энергии
электрона
E
k
в
диа
пазоне
от
О
до
400
мэВ.
На
вставке:
частоты
рассеяния
для размерно-ограниченных
мод
(линия
с
кружками)
и
для
интерфейсных
мод
в
структуре
A1N/GaN/
A1N
(непрерывная
линия),
а
также
в
изолированной
квантовой
яме
GaN
(пунктирная
линия).
Из
работы
[99],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
в
§ 2
гл.
5.
Однако
в
данном
случае
состояния
носителя
являются
состояниями
бесконечно
глубокой
квантовой
ямы.
В
соответствии
с
золотым
правило
м
Ферми
частота
B~~a}
(k, k')
переходов
на
единицу
длины
гетероструктуры
из
начального
состояния,
обозначаемого
Ik
ш
,
N
q
+
1/2
±
1/2)
и
соответствующего
состоянию
Ik
ш
)
электрона
и
состоянию
IN
+
1/2
±
1/2)
фонона,
в
конечное
состояние,
обозначае
мое
(k~D'
N
q
+ f/
2
+
1/21
и
соответствующее
состоянию
(k~DI
электрона
и
состоянию
(N
q
+
1/2
+
1/21
фонона,
дается
выражением
S~~a}(k,k')
=
2;
L
IM(~,a}(q)12
б(Е(k')
- E(k) ± nw),
q
(8.69)
где
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
177
(8.71
)
Здесь знаки
плюс
и
минус
выбираются
в
соответствии
с
заданными
начальным
и
конечным
состояниями
фононов.
В
случае
испускания
фонона
конечное
фононное
состояние
содержит
на
один
фонон
боль
ше,
чем
начальное
состояние;
соответственно,
начальное
и
конечное
состояния
выбраны
в
виде
Ik
ID
,
N
q
+ 1/2 ±
1/2)
и
(k;D' N
q
+ 1/2 ±
±
1/21
соответственно.
Для
процессов
потлощения
фононов
начальное
и
конечное
состояния
выбираются
аналогичным
способом.
В
аргументе
дельта-функции,
входящей
в
выражение
для
s{e,a}(k,
k')
и
описываю
щей
закон
сохранения
энергии,
верхний
знак
соответствует
испуска
нию
фонона,
а
нижний
-
потлощению.
Как
указано
в
п.
1.1
гл.
8,
состояния
электрона
и
фонона
относятся
к
различным
пространствам,
так
что
можно
записать
IkiD) IN
q
)
==
IkiD, N
q
) .
Состояния
фононов
описываются
так
же,
как
в
§ 1
гл.
5,
а
фрёлиховский
гамильтониан
описывается
уравнением
(5.34):
2:
С
.
t·
Н
= -
(а
e,q·r -
а
e-,q·r)
Fr q q ,
q q
где
с=
-i
((8.72)
Состояния
электрона
в
направлении
оси
квантовой
проволоки,
обозна
ченной
здесь
как
ось
х,
взяты
в
виде
плоских
волн,
а в
направлениях
у и
Z -
в
виде
основных
состояний
электрона
в
квантовой проволоке
с
бесконечно
высоким
барьером
[127,128]:
Ik
iD)
= e
ik x x
г2
(sin
7Г
У
)
f2
(sin
JrZ)
(8.73)
у7;;
V
з;
L
y
V
л;
ь,
и
-2
A_(qz)±
= J2 [a±(qx,qy) - a±(qx, -qy)], (8.74)
где
L
x
-
длина
в
направлении
х,
на
которую
нормирована
волновая
функция
свободного
электрона,
а
L
y
и
L
z
-
высота
и
ширина
кванто
вой
проволоки,
причем
предполагается,
что
ь;
» L
y
,
з.;
Следуя
процедуре,
изложенной
в
п.
1.1
гл.
8,
получаем,
что
матрич
ный
элемент
Mf~,a}
(q)
дается
выражением
f
e-ik~x+ikxx
2 (
7Г
У
)
2 (
JrZ)
M~,a}(q)
= d
3
r 2
Т.
sin
2
Т.
Т:
sin
2
Т:
Х
(у7;;)
у у
z z
С
.
t·
Х
q
(N
q
+
11
(аqе
Щ
'
Г
-
аqе-
Щ
'
Г
)
1N
q
)
=
=
~
C~)Jnq
+ 1/2 ± 1/2
Jk~-kх±qхF(qуLу)F(qzLz),
(8.75)
178
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
где
функции
F(qyL
y)
и
F(qzL
z)
определены
следующими
выраже
ниями:
(8.76)
Проводя
вычисления,
как
в
п.
1.1
гл.
8,
получаем
S~~a}(kx,k~)
= L
z
1
0J2
(n
q
+
'/2
±
'/2)
11D(qx,L
y,L
z)
Х
47!'
n
х
Jk~-kх±qхJ(Е(kх
=f qx) -
E(k
x)
±
nVJ),
(8.77)
где
2
27!'
2
[1
1 ]
101
=
11
е
Ти»
10(00)
-
10(0)
,
а
скорость
рассеяния
дается
выражением
(8.78)
(8.79)
значение
которого
было
оценено
численно
в
работе
[148].
Как
и
в
п.
1.1
гл.
8,
было
положено,
что
частота
фононной
моды
VJ
q
не
зависит
от
q
и
равна
частоте
фонона
в
центре
зоны.
3.2.
Частота
рассеяния
на
размерно-ограниченных
продоль
ных
оптических
фононах
в
квантовых
проволоках.
Объемный
гамильтониан
фрёлиховского
взаимодействия
H~?,
приведенный
в
§ 2
гл.
5,
может
быть
использован
для
прямого
вычисления
га
мильтониана
фрёлиховского
взаимодействия
для
одномерной
кван
товой
проволоки
H~?
тем
же
способом,
что
был
использован
в
п.
3.2
гл.
7
при
получении
гамильтониана
фрёлиховского
взаимодей
ствия
для
квантовой
ямы
H~?
из
гамильтониана
H~?
путем
наложе-
ния
граничного
условия
H~?(x,
у,
z)
IZ=L
z
/2 =
О.
в
частности,
анализ,
проведенный
в
п.
3.2
гл.
7,
может
быть
расширен
путем
наложения
дополнительно
к
этому
граничному
условию
также
граничного
условия
H~?(x,
у,
z)
Iz=L
y
/2 =
О.
Взяв
для
начала
канонический
вид
гамильто
ниана
объемного
фрёлиховского
взаимодействия,
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
179
(8.80)
Н
З
D
-
Fr
--
2ne
2
1i
UJ
LO
[_1
1_]
,,!
(
t)
-iq.r
V
е(оо)
е(О)
LJ
q a
q
+a_
q
е
,
q
запишем
сумму
по
q
как
сумму
по
положительным
значениям
qz:
(8.81)
где
(8.82)
Тогда,
вводя
операторы
1
a+(qll) = J2
(aqll,qz
+ aqll,-qJ,
и
функции
(8.84)
1
A+(qz)± = J2 [a±(qx, qy) + a±(qx, -qy)],
-~
A_(qz)± = J2 [a±(qx, qy) - a±(qx, -qy)],
раскладывая
в
ряд
члены
exp(±iqyy)
и
exp(±iqzz)
и
полагая
qy =
±m7Г
/ L
y
и
qz =
±m7Г
/ L
z
для
выполнения
электромагнитных
граничных
условий,
требующих
обращения
в
нуль
размерно
ограниченных
фононных
мод
на
границах
у
= ±L
y/2
и
z = ±L
z/2,
получаем
следующий
результат
[130]:
H~~
=
2а'
L
e-
i
Q
х
х
х
Qx
Х
C-ft5'-
n-
ft".-
л=n
СО,
rr;,:v
С08
"~:
Z
[А+
(qx)+ +
A~
(
-qx)
+] +
+ L L
А
т
n
сов
~7Гy
sin
~:z
[A+(qx)- +
A~(
-qx)-]
+
т=
1,3,5,...
n=2,4,б,...
у
+ L L
АтnSiп~ПУсоs~:Z[А_(qх)++А~(-qх)+]+
т=2,4,б,
...
n=
1,3,5,...
У
+
J16.-
J16,-
л=n
вш
rr;,:y
вш
rr;,:
Z
[А-
(qx)- +
А!
(-
Ч»
Ц
} ,
(8.85)
180
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
где
(8.86)
а'=
27Ге
2
[1 1]
V nVJLO
<":(00)
-
<":(0)
.
(8.87)
Уравнение
(8.85)
может
быть
записано
более
компактно
в
следую
щем
виде
[132]:
00 00
где
H~P
=
2а'
Le-iq"x L L
~m(У)~n(У)
х
mn(Зmn,
q"
m=!
n=!
(8.88)
(8.89)
(8.91)
(
.
nnt
7г
)
~n(t)
=
sш
L
t
+"2
д
n
,
причем
д
n
= 1
для
нечетных
п
и
д
n
=
О
для
четных
п.
Гамильтониан
(8.88)
включает
в
себя
вклады
только
размерно
ограниченных
мод
диэлектрической
континуальной
модели
с
элек
тростатическими
граничными
условиями,
которые
также
известны
как
моды
пластины.
Интерфейсные
моды
и
моды
полупространства
не
учтены
и
должны
рассматриваться
отдельно.
Для
вычислений,
основывающихся
на
волноводных
модах,
во
внутренней
части
кван
товой
проволоки
вклад
в
гамильтониан
может
быть
выражен
че
рез
гамильтониан
для
мод пластины
с
использованием
следующего
соотношения:
~n(t)
=
(cos
rzt
+
~
д
n
)
. (8.92)
Конечно,
необходимо
дополнить
это
выражение
членами,
содержащими
исчезающе
малые
вклады
волноводных
мод
в
областях,
окружающих
квантовую
проволоку.
В
данных
расчетах
частоты
рассеяния
будут
вычислены
в
диэлектрической
континуальной
модели
с
электростати
ческими
граничными
условиями.
Как
показано
в
приложении
В,
до
тех
пор
пока
в
вычислении
используются
полные
наборы
ортогональных
фононных
мод,
вычисляемые
частоты
межподзонных
и
внутриподзон
ных
переходов
одинаковы
как
в
модели
мод
пластины,
так
и
в
модели
волноводных
мод.