Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
181
Как
следует
из
п.
3.1
гл.
8,
частота
sf~,a}
(k,
k')
переходов
на
единицу
длины
гетероструктуры
из
начального
состояния,
обозначаемого
Ik1D,
N
q
+
1/2
±
1/2)
и
соответствующего
состоянию
Ik1D)
электрона
и
состоянию
IN
q
+
1/2
±
1(2)
фонона,
в
конечное
состояние,
обозначаемое
(k;o,N
q
+
1/2
+
/21
и
соответствующее
состоянию
(k;ol
электрона
и
состоянию
(N
q
+
1/2
+
1/21
фонона,
дается
выражением
где
Sf~a}(k,k')
=
2;
L
IM~,a}(q)12
б(Е(k')
- E(k) ±
ncv),
q
(8.93)
в
квантовой
про
волоке
ограниченной
длины
с
поперечным
сечением,
определяемым
неравенствами
-L
y
<
У
< L
y/2,
-Ъ,
< z < L
z/2,
вол
новая
функция
электрона
принимается
в
следующем
виде:
e
ikxx
{2
(.
пу)
f2 (.
пz)
Ik
1D)
=
vr;
vL;
sш
L
y
V
L;
sш
L
z
'
(8.95)
(8.96)
а
за
пределами
этой
области
считается
стремящейся
к
нулю.
В
этом
так
называемом
крайнем
квантовом
пределе энергия
электрона
в
основном
состоянии
дается
формулой
n
2
k
2
n
2
п
2
( 1 1 )
Е
ш
=
2т~
+
2т*
Ч
+
ц
.
Следуя
процедуре,
описанной
в
п.
3.1
гл.
8,
непосредственно
получаем
MI~',c:l,n(q)
=
=f2а'бkх-k~'fqхЛmn
2P
mn
Vn
q
+
1/2
±
1/2,
(8.97)
где
л
m
n
дается
формулой
(8.86)
и
имеют
место
следующие
равен
ства
[130]:
Р
m
n
=
L
y/2
L
x/2
f
dy
f
dz
2
пу
2
п
г
-cos
-cos
-
х
L
y
L
z
L
y
L
z
-L
y/2
-L
x/2
тпу тп»
COS r;;;COS
---у;;
,
тпу
.
тпz
COS r;;;
SШ
---у;;
,
.
тпу тпz
SШ
----у;-
COS
----у;-
,
у
z
.
тпу
.
тпz
SШ
----у;-
SШ
----у;-
.
у
z
(8.98)
182
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
Четыре
выражения
для
Р
m
n
соответствуют
четырем
членам
в
фор
муле
(8.85).
Численные
значения
для
доминирующих
компонент
Р
m
n
таковы:
1
(8
)2
P
I5
=
Р
51
= -
З5
"3
71"
,
1
(8
)2
РЗ5
=
Р5З
= - 175
"3
71"
,
Частота
перехода
дается
формулой
1
(8
)2
Р
з з
= 25
"371"
,
1
(8
)2
Р55
= 1225
"371"
(8.102)
1
la'I
2
V
{e,a}(k ) =
471"2Ji
(n
q
+
1/2
±
1/2)
х
Т
т
х
(Х)
х
fdqx I
1D
(qx,L
y
,
L
z
)
8(E(k
x
± qx) -
E(k
x
)
±
nVJ),
(8.99)
-(Х)
где
(271")2
'"' '"'
2
I
1D
(qx,L
y
,
L
z)
= L L 6 6 161P
mn
l
А
m
n.
(8.100)
х у
m=I,З,5,
...
n=I,З,5,
...
На
рис.
8.7
при
водятся
численные
значения
величины
Iш(qх,
L
y,
L
z
)
для
проволок
С
определенными
размерами
поперечного
сечения.
Переписывая
аргумент
дельта-функции
8(E(k
x
± qx) -
E(k
x
)
±
nVJ)
с
использованием
соотношения
n
2
E(k
x
± qx) -
E(k
x
)
±
Ти»
=
-2
- (qx - q+{e,a})(qx - q_
{е,а}),
m*
(8.101)
где
q±
{е,а}
=
Ek
x
±
k~
_
Е
(2~*VJ)
,
а
Е
= 1
при
эмиссии
и
Е
=
-1
-
при
поглощении,
получаем
частоту
рассеяния:
(8.
ЮЗ)
где
(8.104)
§ 3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
183
0.5 2 4
Qx = y/n/2m*wqx
0.2
(1,1)
(2,2)
(3,3)
((4)
2
1
0.1
5
10
20
Рис.
8.7.
Численные
значения
величины
I,D(Qx,L
y
,
L
z)
для
проволок
С
разме
рами
поперечного
сечения,
определяемыми
соотношениями:
(L
y
/ L
o
,L
z
/ L
o
) =
=
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
где
L
o
=
y/n/2m*w.
Сплошная
и
пунктирная
линии
отображают
результаты,
полученные
для
объемных
фононов
и
для
размер
но-ограниченных
мод
низшего
порядка
соответственно
3.3.
Частота
рассеяния
на
интерфейсных
продольных
оптиче
ских
модах
фононов.
Фрёлиховский
гамильтониан
взаимодействия
H~~,
связанный
с
интерфейсными
фононами
в
прямоугольных
кван
товых
проволоках
на
основе
полярных
полупроводников,
был
выведен
аналитически
с
использованием
приближенного
метода
[134, 136],
включающего
разделение
переменных
[139],
и
был
исследован
точно
с
использованием
численных
методов
[141].
в
результате
выяснилось,
что
приближенный
подход
на
основе
разделения
переменных
не
позво
ляет
предсказать
так
называемые
угловые
моды,
рассмотренные
в
рабо
те
[141]
(хорошо
известная
проблема
«углов»).
В
отличие
от
размерно
ограниченных
оптических
фононных
мод,
рассмотренных
в
п.
3.2,
интерфейсные
моды
не
обращаются
в
нуль
на
границах
квантовой
проволоки.
Таким
образом,
очевидно,
что
в
окрестностях
углов
будут
возникать
трудности
при
попытке
получить
согласованные
граничные
условия
на
смежных
сторонах
квантовой
проволоки.
Тем
не
менее
будет
представлено
приближенное
решение,
основанное
на
разделении
переменных,
поскольку
оно
дает
физическое
понимание
природы
ин
терфейсных
мод.
Вслед
за
выводом
формул
для
интерфейсных
мод
в
этом
приближении
будет
приведен
точный
анализ
в
соответствии
с
работой
[141]
и
будут
описаны
угловые
моды,
открытые
в
работе
[141].
184
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
Считая,
что
квантовая
проволока
имеет
бесконечные
размеры
в
направлении
х,
электростатический
потенциал
Ф(г)
можно
записать
в
виде
одномерного
преобразования
Фурье:
Тогда
Ф(г)
= L
Ф(qх,
у,
z)
e-
iqzz.
qx
Е(г)
=
-V'Ф(г)
=
LE(qx,y,z,)e-iqхХ,
qx
Р(г)
=
x(w)E(r)
=
LP(qx,y,z,)e-iQхХ.
Qx
(8.105)
(8.106)
(8.108)
(8.107)
Условие
нормировки
записывается
через
величины
Ui(qx,
у,
z)
следую
щим
образом:
L
y/2
L
z/2
f dy f dz 1J
Пi/.Li
L
Ui(qx,
у,
z)
12
=
2:'
-L
y/2
-L
z/2
где
нижний
индекс
i
нумерует
разные
области
среды.
Из
результатов
п.
3.4
гл.
7,
относящихся
К
квантовым
ямам,
ясно,
что
равенство
2 2
1
wLO,i
-
wTO,i
1 1
де,
(w)
47Г
(w
2
-
w
2
.)2
47Г
2w
~
то..
остается
справедливым
и
для
квантовой
проволоки,
а
следовательно,
справедлива
формула
'"
_1
_1
8E
i
(w) fd {
2IФ'(
)12
I
дФi(qх,
у,
z) 1
2
}
=
~
6
47Г
2w aw z qx
~
qx,
у,
Z +
az
2wL '
~
н,
(8.109)
где
сумма
по
i
подразумевает
суммирование
по
двум
областям,
рас
сматриваемым
в
задаче:
i = 1 -
внутри
и
i = 2 -
вне
квантовой
проволоки.
Фрёлиховский
гамильтониан
взаимодействия
lll?
в
этом
случае
дается
выражением
llr'? =
-е
L
Ф(qх,
у,
z)
e-iQхХ[АrF(qх)
+ A1
F(
-qx)],
Qx
(8.110)
где
ArF(qx)
и
A1
F(
-qx)
являются
операторами
уничтожения
и
рож
дения
для
соответствующих
интерфейсных
фононных
мод
квантовой
проволоки
и
где
в
приближении,
основанном
на
разделении
перемен
ных,
Ф(qх,
у,
z)
имеет
вид
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
185
с
chay
ch,8z
chaL
y/2
ch,8L
z/2
'
С
chay
jЗL
z
/
2
-jЗlzl
chaL
y
/2
е е
,
С
aLy/2
-alyl ch,8z
е е
ch,8L
z
/2'
lyl
~
L
y/2,
Izl
~
L
z/2,
(8.111)
для
симметричных
интерфейсных
мод
и
вид
с
shay
sh,8z
+
shaL
y
/2sh,8L
z
/2'
С
sh
ау
jЗL
z
/
2
-jЗlzl
=f
shaL
y
/2
е е
,
С
aLy/2
-аlУI
sh ,8z
=f
е е
sh ,8L
z
/2'
lyl
~
L
y/2,
Izl
~
L
z/2,
(8.112)
для
антисимметричных
интерфейсных
мод;
в
этих
выражениях
вели
чины
а
и
,8
удовлетворяют
соотношению
(8.113)
и
в
формуле
(8.112)
знак
плюс
берется
при
yz
>
О,
а
знак
минус
-
при
yz
<
о.
Как
обычно,
дисперсионные
соотношения
получаются
путем
наложения
граничных
условий.
Для
симметричной
моды
это
дисперси
онное
соотношение
имеет
следующий
вид:
(8.114)
а
для
антисимметричной
моды
-
(8.115)
где
для
обеих
мод
должно
быть
выполнено
условие
(8.116)
186
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
Эти
дисперсионные
соотношения
имеют
такой
же
вид,
как
и
диспер
сионные
соотношения
для
квантовой
ямы,
что и
следовало
ожидать,
поскольку
в
данном
исследовании
оптических
Фононов
в
квантовых
проволоках
до
сих
пор
использовалось
приближение
с
разделением
переменных.
Численные
решения
этих
дисперсионных
уравнений
изоб
ражены
на
рис.
8.8
при
L
y
= L
z
= d.
На
этом
рисунке
приведены
дисперсионные
соотношения
для
двух
случаев:
для
изолированной
квантовой
проволоки
GaAs,
частоты
которой
обозначены
VJS,j
и
со
А,!
для
симметричных
и
антисимметричных
интерфейсных
мод
соответ
ственно,
и
для
квантовой
проволоки
арсен
ида
галлия,
помеlЦенной
в
арсен
ид
алюминия,
имеющей
частоты
VJS,±
и
VJA,±
для
симметрич
ных
и
антисимметричных
интерфейсных
мод
соответственно.
Нижние
индексы
«плюс»
и
«минус»
обозначают
высокочастотные
(+)
и
низко
частотные
(-)
моды
как
для
симметричного,
так
и
для
антисимметрич
ного
случаев.
Условие
нормировки
при
водит
к
следующему
уравнению
для
посто
янной
нормировки
С
в
случае
симметричной
моды:
4
~L-1C-1
= (
)VJ[O,1
-
VJfО,1
(h
aLy
h(3Lz)-2
х
7г
2
101
00 2 2
С
2
с
2
VJ VJ
-
VJ
T
O,1
х
[а
2
(L
z
h L sh
aL
y
sh (3L
z)
2
а
s
а
у
+
а(3
+
(32
(L
y
h(3L
ShaL
ySh(3L
z)]
+ 2
(3
s z +
а(3
+
+E2(00)VJ[~,~-~fo,2
(Cha~y)-2
х
VJ VJ
T
O,2
Х
[а
2
(sh
:t
y
)
+
(32
(sh
:t
y
+ 1)]+
(
(3L
z)-2
ch--
х
2
(8.117)
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
Частота
(мэБ)
187
50.0
45.0
40.0
'\
'\
' ....
WS+
--
~~~~~~-------------
//~+
/
/
30.0
0.0
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
Q
x
d
V2
Рис.
8.8.
Частота
как
функция
волнового
вектора
интерфейсных
оптических
фононов
для
изолированной
квантовой
проволоки
арсенида
галлия,
имеющей
частоты
WS,f
и
WA,f
дЛЯ
симметричных
и
антисимметричных
интерфейсных
мод
соответственно,
и
для
квантовой
проволоки
арсенида
галлия,
помещенной
в
арсенид
алюминия
и
имеющей
частоты
симметричных
и
антисимметричных
интерфейсных
мод
WS,±
и
WA,±
соответственно.
Нижние
индексы
«плюс»
и
«минус»
обозначают
высокочастотные
(ч-)
и
низкочастотные
(-)
моды
как
для
симметричного,
так и
для
антисимметричного
случаев.
Из
работы
[136],
печа-
тается
с
разрешения
Американского
института
физики
Подобное
же
выражение
может
быть
получено
и
для
антисиммет
ричной
моды.
Как
и
в
п.
3.2,
частота
si~~~(k,
k')
переходов
на
единицу
длины
гетероструктуры
из
начального
состояния,
обозначаемого
Ik!D,
н,
+
+
1/2
±
1/2)
и
соответствующего
состоянию
Ik!D)
электрона
и
состо
янию
IN
q
+
1/2
±
1/2)
фонона,
в
конечное
состояние,
обозначаемое
(k~D'
н,
+
1/2
+
1/21
и
соответствующее
состоянию
(k~DI
электрона
и
состоянию
(N
q
+
1/2
+
1/21
фонона,
дается
выражением
si~Й(k,k')
=
2:
L
Iм(~'Й(q)12
д(Е(k')
- E(k) ±
hw),
q (8.118)
188
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
где
M(b'~~(q)
=
(k~D'
н,
+
1/2
+
1/21
НЫ?
1k
1D
,
н,
+
1/2
±
1/2).
(8.119)
Волновая
функция
и
энергия
основного
состояния
электрона
такие
же,
как
и
в
п.
3.2.
Тогда
выкладки,
использованные
там,
прямо
приводят
к
уравнению
1 _
0/''''''
( 1+
Е)
11D,IF(q~e,a})
+
11D,IF(q~e,a})
{е,а}
-
27Г
n
q
+ 2 V '
T
1D
,IF(k
x
) E/n
",,",
-
Е
(8.120)
где
Е
= 1 -
для
случая
эмиссии
и
Е
=
-1
-
для
случая
поглощения,
а
Кроме
того,
где
q±
{е,а}
=
Ek
x
±
k~
-
Е
(2т;,*""')
,
" 1
е
2
а
=
-2n-"",
-y~n=;'/2;::=m="",=
(8.121)
(8.122)
(8.123)
L
y/2
L
z/2
г,
=
ch(aL
y/2/ch({3L
z/2)
f
L:~2
f
L~~2
х
-L
y/2
-L
z/2
2
7Гу
2
7ГZ
1
х
cos L
y
cos L
z
chaych{3z
=
ch(aL
y/2)ch({3L
z/2)
х
4
sh(aL
y/2)
sh({3L
z/2)
(8.124)
Для
электронной
волновой
функции
основного
состояния
в
крайнем
квантовом
пределе
вклад
в
частоту
рассеяния
вносит
только
симмет
ричная
мода.
Частота
рассеяния
1/
т
(b'~~
(k
x
)
имеет
тот
же
вид,
что
и
частота
l/т(Ь,а}
(k
x),
описываемая
ф~рмулой
(8.103).
Действительно,
а
и
а"
отличаются
только
коэффициентом
[1/с:(оо)
-
1/с:(0)]
и
величина
1
1D
заменяется
на
1
1D,IF.
ВО
всем
остальном
эти
выражения
идентичны.
Таким
образом,
отсюда
следует,
что частота
рассеяния
на
размерно
ограниченных
оптических
фононах
и
на
интерфейсных
оптических
фононах
дается
выражением
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
189
1
11 ( 1 ) 1
({
е,а})
1
({
е,а})
-----c~,------
=
а
w
п
+
~
прав.
q+ +
прав.
q-
T{e,a}(k
)
27Г
q 2 . IE/nw -
е
'
прав.
х
У
(8.125)
где
1
п р
о в
.
=
[E(~)
-
E(~)]
1ш
+
11D,IF'
(8.126)
Частоты
испускания
и
поглощения
электронов
для
некоторых
опти
ческих
мод
фононов
изображены
на
рис.
8.9
для
квантовой
прово
локи
GaAs
размера
40
'А
х
40
'А,
помещенной
в
арсен
ид
алюминия.
Интерфейсные
фононы
помечены
как
50-моды
(интерфейсные
опти
ческие
моды),
а
размерно-ограниченные
фононы
обозначены
просто
как
LО-моды.
Частота
рассеяния
(с
-1
)
1,
\ "
\
----------
.'
.
.
,'
......
.................
_._._.-...-
.-r---"""=:."-----
о
20 40 60 80 100
Энергия
электрона
Е
х
(мэБ)
Рис.
8.9.
Частоты
испускания
и
поглощения
электронов
для
некоторых
оптиче
ских
фононных
мод
для
квантовой
проволоки
GaAs
размера
40
'А
х
40
'А,
поме
щенной
в
арсенид
алюминия.
Интерфейсные
фононы
обозначены
как
SО-моды
(интерфейсные
оптические
моды),
а
размерно-ограниченные
фононы
-
как
LО-моды.
Из
работы
[136],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
190
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
Важными
особенностями
этих
кривых,
представляющих
частоты
испускания
фононов,
являются пики
плотности
одномерных
состояний.
В
направлениях
у
и
z
электроны
находятся
в
основном
состоянии.
Максимальные
частоты
рассеяния
в
случае
эмиссии
SО-фононов
появ
ляются
на
энергиях,
соответствующих
симметричной
высокочастотной
(около
50
мэВ)
и
симметричной
низкочастотной
(около
33
мэВ)
интер
фейсным
модам.
В
работе
[141]
исследована
точность,
которую
дает
приближение,
основанное
на
разделении
переменных
в
диэлектрической
континуаль
ной
модели,
при
вычислении
фрёлиховского
потенциала
интерфейс
ных
оптических
фононов
в
квантовых
проволоках.
Авторы
рассмот
рели
несколько
геометрических
форм
сечений
проволоки,
показанные
на
рис.
8.10.
у
t
-
.............
-...
,
....
,
....
\
....
\
"
-4··t···
~~
: ; ;
r
\~......
"
///
I
'.................
»>
,.
+.........
--
'
.........
""
----R
.:
+
Рис.
8.10.
Сечения
проволоки,
рассмотренные
в
работе
[141].
Линия
длинного
пунктира
соответствует
эллиптическому
сечению.
Линия
короткого
пунктира
обозначает
поперечное
сечение,
которое
в
основном
является
эллиптическим,
но
имеет
сплюснутые
стороны.
Непрерывная
и
точечная
(видимая
в
углах)
ли
нии
представляют
«прямоугольникв.
с
закругленными
углами.
Геометрические
размеры
R
и
r -
показаны
на
этом
же
рисунке.
Из
работы
[141],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
Для
квантовых
проволок
с
круглыми
И
эллиптическими
поперечны
ми
сечениями
были
получены
элегантные
аналитические
результаты.
В
случае
квантовых
проволок
с
почти
прямоугольными
сечениями,
имеющими
закругленные
углы,
для
определения
фрёлиховских
потен
циалов
были
использованы
численные
методы.
Интересным
результатом
вычислений,
проведенных
в
работе
[141],
является
выявление
локализации
интерфейсных
мод
вблизи
закруг
ленных
углов
почти
прямоугольных
квантовых
проволок
(рис.
8.11).
На
рисунке
приведено распределение
фрёлиховского
потенциала
Ф
для
моды
высшей
азимутальной
симметрии
(т
=
о)
по
сечению
квантовой
проволоки,
имеющей
отношение
R/r
= 2,
при
кривизне
углов а
=
r/l0
и
qr = 2.