Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

Подождите немного. Документ загружается.

§3.

Рассеяние

носителей

квантовых

про

волоках

211

Из

классической

теории

акустики

известно,

что

азимутально-симмет

ричная

крутильная

мода

низшего

порядка

цилиндрической

структуры

радиуса

имеет

вид

[93]

(9.42)

где

Vt =

(С44/

р)

'/2,

"! -

коэффициент

нормировки,

который

дол

жен

быть

определен.

Решения

для

изолированной

цилиндрической

структуры

удовлетворяют

граничным

условиям

со

стремящимися

нулю

составляющими

упругой

деформации

на

поверхности

цилиндра.

То

есть

колебательные

моды

таковы,

что

цилиндр

претерпевает

иска

жения

до

тех

пор,

пока

на

его

поверхности

не

исчезнут

остаточные

силы,

которые

могли

бы

вызвать

дополнительные

искажения.

этом

случае

величина

смещений

на

поверхности

цилиндра

не

ограничена.

Для

случая

изолированной

структуры

поле

смещений

азимутально

симметричной

крутильной

моды

низшего

порядка

характеризуется

стремящимися

нулю

компонентами

равенством q = qz =

UJ/Vt.

Для

проволоки

радиуса

длины

классическое

решение,

описывающее

эту

моду,

определяется

из

требования

равенства

нулю

со

ставляющей

Z'P

упругой

деформации

на

концах

цилиндра

(z =

z =

L).

Таким

образом,

эта

классическая

мода

описывается

выражением

V7Г

uконечн.

прав.

"/Т

COB-Z

'Р

(9.43)

где

v7Г/L

UJ/Vt,

а"!'

постоянная

нормировки.

Условие

нормировки,

имеющее

вид

21Г

7Га12

L fdz f

d'P

drru(q,

Т,

'Р,

э)

. U*(q,

Т,

'Р,

Z) = 2:;UJ

о о о

приводит

выражению

V7Г

uконечн.

прав.

= r

сов

- z.

'Р

2MUJ

(9.44)

(9.45)

Строго

говоря,

случай

квантовой

проволоки

конечной

длины

соот

ветствует

случаю

квантовой

точки,

поскольку

размерное

ограничение

учитывается

во

всех

трех

измерениях.

Для

квантовой

проволоки

бес

конечной

длины

нормировка,

введенная

начале

настоящего

пункта,

требует

выполнения

условия

(9.46)

212

Гл.

Рассеяние

носителей

на

акустических

фононах

так

что

u"ш'''''."Р'".~J

~rе-iшЦ",.

ер

2MW

(9.47)

Эти

нормированные

поля

смещения

определяют

компоненты

следовательно,

Р.

Таким

образом,

потенциал

пьезоэлектрического

взаимодействия

ь е

(q)

определен

для

азимутально-симметричных

крутильных

мод

низшего

порядка,

имеющих

место

квантовых

проволоках

цилиндрических

квантовых

проволоках

конечной

длины.

Как

показано

для

случая

деформационного

потенциала,

частоты

рассеяния

носителей

на

акустических

фононах

можно

вычислить

при

помощи

теории

возмущения.

частности,

удобный

формализм

для

таких

вычислений

обеспечивает

золотое

правило

Ферми,

описанное

приложении

д.

3.2.

Прямоугольные

проволоки.

Вычисление

частот

рассеяния

носителей

на

акустических

фононах

квантовой проволоке

прямо

угольного

сечения

производится

аналогично

вычислениям,

приведен

ным

п.

3.1

гл.

для

цилиндрической

квантовой

проволоки.

Опи

сываемое

деформационным

потенциалом

взаимодействие

акустических

фононов

носителями

прямоугольной

квантовой

проволоке

было

про

анализировано

п.

6.3

гл.

(см.

7.196),

где

было

получено

выражение

- Ef

"А

w'Y h [

()

()]

i'Y

деф

'У-2-

cosq\xcos

аn,т

, +

аn,т

n,т,'У

q\ (9.48)

(9.49)

n =

0,1,2,

...

котором

2П,

А'У=М

В'

w'Y

'У

крайнем

квантовом

пределе

предполагается,

что

носители

заперты

пределах

квантовой

проволоки

прямоугольного

сечения

бесконечно

высоким

потенциалом

на

границах,

волновая

функция

носителя

имеет

вид:

"/,

( ) Ik) 1

7ГХ

7Гу

ikz

'f/k

x,y,z

= = va;l cos

2а

cos 2d

собственная

энергия

основного

состояния

носителя

(9.50)

(9.51)

2п~

[С;:)2

(;:)2)

k2J

Для

вычисления

частоты

рассеяния

носителей

на

акустических

фо

нонах

необходимо

определить

соответствующий

матричный

элемент

взаимодействия,

описываемого

деформационным

потенциалом.

Этот

матричный

элемент

дается

выражением

§3.

Рассеяние

носителей

квантовых

про

волоках

Ба

А+

(k'l

cosq1xcoshxeikz

Ik)

n,m,'У

Бf

'"'

U)'Y

rт

А-

bk-k'+'У

n,m,'У

Jdx cos

cos

Jdy COS

cos hy

-а

-d

213

При

этом

мы

воспользовались

формулами

1 J 2

sinQ1

- dxcos

-2

COSQ1

Q1a

n -

-а

(9.53)

1 J 2

sin

hd 1

d dycos 2d

coshy

= hd(n

)

n(n

1/2)

- (n + 1/

2)2]

-d

(9.54)

Как

обычно,

членах,

описывающих

заполнение

фононных

состояний,

членах,

описывающих

сохранение

импульса,

положительные

знаки

соответствуют

процессам

поглощения

фононов,

отрицательные

процессам

испускания

фононов.

Тогда

частота

рассеяния,

предсказыва

емая

золотым

правилом

Ферми,

дается

выражением

214

Гл.

Рассеяние

носителей

на

акустических

фононах

::т

&'12;

IMJe,a}12

8(E(k') - E(k) ±

nUJ-у)

-00

{~(n+

]/,) [)1_ (n+

]/,),]}'

Jn+

]/2± ]/,

(

(~2

2k~)

nш,).

(955)

где

сумма

по

была

преобразована

интеграл,

n -

число

заполнения

состояний

для

акустических

фононов,

даваемое

статистикой

Бозе

Эйнштейна,

L -

длина

нормировки.

работе

[129]

эта

частота

была

определена

численно

для

случая

рассеяния

на

деформационном

потенциале

квантовых

проволоках

GaAs

при

трех

значениях

попе

речного

сечения:

28,3

56,6А,

100

200А

200А.

Результаты

этих

численных

расчетов

проиллюстрированы

на

рис.

9.1, 9.2

9.3

соответственно

для

квантовых

проволок

для объемного

образца

арсе

нида

галлия.

Для

каждой

из

квантовых

проволок

спектрах

испуска

ния

фононов

легко

различимы

отдельные

пики

одномерной

плотности

состояний.

Значения

энергии

этих

пиков

лежат

на

пороге

испуска

ния

фононов

какой-либо

ширин

ной

или

толщинной

моды.

Величины

пиков

на

кривой

частоты

рассеяния

свидетельствуют,

что

элементах

наноразмерных

приборов,

содержащих

квантовые

проволоки,

рассеяние

носителей

на

акустических

фононах

через

механизм

деформационного

потенциала

довольно

значительно.

Вычисления, проведенные

рабо

те

[129],

основаны

на

допущении,

что

квантовые

проволоки

имеют

строго

постоянные

сечения.

Маловероятно,

что

на

практике

можно

обеспечить

контроль

размеров

на

субатомном

уровне

гарантировать

достаточно

малые

вариации

размеров

поперечного

сечения.

Таким

об

разом,

вряд

ли

экспериментальных

кривых

пики

одномерной

плотно

сти

состояний

проявятся настолько

же

отчетливо,

как

на

рис.

9.1, 9.2

9.3.

§3.

Рассеяние

носителей

квантовых

про

волоках

Частота

рассеяния

(с

)

-----8---

---0----

----

---0-------

-0

215

10 15 20 25

30 35

Энергия

электрона

(мэБ)

Рис.

9.1.

Частоты

рассеяния

на

деформационном

потенциале,

связанные

испусканием

поглощением

объемных

фононов

GaAs

размерно-ограничен

ных

акустических

фононов

квантовой

проволоке

GaAs

сечения

28,3

56,6

'А

при

температуре

К.

Обозначение

размерно-ограниченных

мод:

•••

испускание;

- - • -

-.-

поглощение.

Обозначение

объемных

мод:

--0--0--0--

испускание;

0--

поглощение.

Пороги

энергии

для

ширинных

мод

наблюдаются

при значениях

0,03; 2,36; 2,55; 4,90; 7,30

7,40

мэБ.

Пороги

энергии

для

толщинных

мод

наблюдаются

при

значениях

2,06; 4,44; 5,90; 9,87; 14,5

15,1

мэБ.

Пики

величины

одномерной

плотности

состояний

ясно

проявляются

спектре

частоты

испускания

для случа

кван

товой

проволоки.

Из

работы

[129],

напечатано

разрешения

Американского

физического

общества

216

Гл.

Рассеяние

носителей

на

акустических

фононах

Частота

рассеяния

(с

)

10\3

---

--о--

[]

5 10 15 20 25 30 35

Энергия

электрона

(мэБ)

Рис.

9.2.

Частоты

рассеяния

на

деформационном

потенциале,

связанные

испусканием

поглощением

объемных

фононов

GaAs

размерно-ограничен

ных

акустических

фононов

квантовой

проволоке

GaAs

сечения

100

200

'А

при температуре

К.

Обозначение

размерно-ограниченных

мод:

•••

испускание;

- - • -

-.-

поглощение.

Обозначение

объемных

мод:

--0--0--0-

испускание;

0--

поглощение.

Пороги

энергии

для

размерно-ограниченных

мод

наблюдаются

при значениях

0,03; 0,65; 0,75;

1,39; 2,06

2,12

мэБ.

Пороги

энергии

для

объемных

мод

наблюдаются

при

значениях

0,59; 1,26; 1,68; 2,80; 4,11

4,28

мэБ.

Пики

величины

одномер

ной плотности состояний

ясно

проявляются

спектре

частоты

испускания

для

случая

квантовой

проволоки.

Из

работы

[129],

напечатано

разрешения

Американского

физического

общества

§3.

Рассеяние

носителей

квантовых

про

волоках

Частота

рассеяния

(с

-\)

1013

217

---

~-----------.-

--а-

---

----0-------

--0

5 10 15 20 25 30 35

Энергия

электрона

(мэБ)

Рис.

9.3.

Частоты

рассеяния

на

деформационном

потенциале,

связанные

испусканием

поглощением

объемных

фононов

GaAs

размерно-ограничен

ных

акустических

фононов

квантовой

проволоке

GaAs

сечения

200

'А

при

температуре

К.

Обозначение

размерно-ограниченных

мод:

•••

испускание;

- - • -

-.-

поглощение.

Обозначение

объемных

мод:

--0--0--0--

испускание;

0--

поглощение.

Пороги

энергии

для

размер

но-ограниченных

мод

наблюдаются

при значениях

0,03; 0,65; 0,75;

1,39; 2,06

2,12

мэБ.

Порог

энергии

для

объемных

мод

наблюдаются

при

значениях

0,61; 2,58; 3,05; 5,56; 8,24

8,43

мэБ.

Пики

одномерной

плотности

состояний

ясно

проявляются

спектре

частоты

эмиссии

для

случа

кванто

вой

проволоки.

Из

работы

[129],

напечатано

разрешения

Американского

физического

общества

Глава

ПОСЛЕДНИЕ

РАЗРАБОТКИ

Не

существует

ничего,

согласую

щегося

законами

природы,

что

могло

бы

считаться

неправдопо

добно

чудесным,

этом

отно

шении

эксперимент

наилучшая

проверка

этого

согласия.

А1айкл Фарадей,

1849

§ 1.

Фононные

эффекты

лазерах

на

межподзонных

переходах

Влияние

размерного

ограничения

на

оптические

фононы,

на

часто

ты

межподзонных

электронных

переходов

участием

фононов

[154]

на

коэффициент

усиления

лазеров

[155]

было

определено

серии

исследований

на

полупроводниковых

лазерах.

Многие

из

новейших

по

лупроводниковых

лазеров,

такие

как

туннельно-инжекционный

лазер

лазер на

квантовых

каскадах,

содержат

квантовые

ямы

размером

не

более

А.

При

мер

такой

полупроводниковой

лазерной

структуры

приведен

на

рис.

10.1.

этом

лазере

зона

проводимости

содержит

верхний

нижний

энергетические

уровни,

соответственно,

туннелирование

участием

фононов

происходит

уровня

на

третий

уровень,

•

таких

полупроводниковых

лазерах

узкими

ямами

особенно

важную

роль

играют

интерфейсные

оптические

фононы,

что

обусловлено

двумя

их

свойствами

[156]:

а)

узких

ямах

интерфейсные

фононы

имеют

существенный

потенциал

пределах

всей

квантовой

ямы,

поскольку,

как

показано

гл.

около

поверхностей

раздела

потенциал

описывается

формулой:

сехр(

-qlzl)

ехр(

-iq'

р),

причем,

на

пример

для

типичного

внутриподзонного

перехода

арсен

иде

галлия,

величина

составляет

порядка

0.02

-1;

б)

этих

гетероструктурах

энергии,

связанные

фононными

процессами,

могут

значительно

степени

отличаться

от

соответствующих

энергий

полупроводнико

вых

лазерах

без

значительного

размерного

ограничения,

поскольку

интерфейсные

фононы

могут

иметь

частоты

которые

значительно

отличаются

от

частот

других

фононов

квантовой

яме.

Перевод

сангл.

Б.

Никифорова

В.

Пожара.

§ 1.

Фононные

эффекты

лазерах

219

Gao.

r--

1,124

.,в

......

Зб

мэБ

Контакт

GaAs

100л

500л

I I

ЗОл ЗОл

40л БОл

Контакт

GaAs

Рис.

10.1.

Лазер

на

узких

ступенчатых

квантовых

ямах

качестве

при мера

можно

привести

новейшие

лазеры

на

межпод

зонных

переходах,

работающие

инфракрасном

диапазоне,

кото

рых

переходы

участием

оптических

Фононов

(LO)

играют

особенно

важную

роль,

поскольку

частоты

межподзонных

переходов

критиче

ски

важны

для

установления

поддержания

инверсии

населенности.

Во

многих

частных

случаях

эти

лазеры

[157, 83]

можно

спроектиро

вать,

только

если

квантовые

ямы

имеют

толщины

не

более

25-50

А.

подобных

полярных

полупроводниковых

структурах

доминирующие

процессы релаксации

энергии

электрона

происходят

благодаря

взаимо

действию

электронов

LО-фононами.

Такие

процессы

будут

рассмот

рены

ниже

также

будет

исследована

их

роль

работе

новейших

полупроводниковых

лазеров.

работе

[154]

оптические

фононные

(LO)

моды

частоты

межподзонных

переходов,

вызываемых

взаимодействием

электронов

LО-фононами,

определены

гетероструктурах

двух

типов,

являющихся

основными

для

многих

размерно-ограниченных

полупро

водниковых

лазеров

области,

где

происходят

вынужденные

переходы

фононов.

Эти

структуры,

изображенные

на

рис.

10.2,

содержат

слои

GaAs,

Alo.25Gao.75As

АI0.4GаО.БАs.

Гетероструктура

на

рис.

10.2,

имеет

три

поверхности

раздела

создает

асимметричный

профиль

распределения

потенциала.

На

рис.

10.2,

изображена

структура

четырьмя

границами

раздела

симметричным

профилем

потенциала.

Диэлектрические

постоянные

220

Гл.

10.

Последние

разработки

i=O

Вещество

i = 1

Вещество

i=2

Вещество

i=3

Вещество

-Ц2

-Ь/2

-а/2

а/2

L/2

i =

i = 1

i=2

i=3

i=4

Вещество

1 I

Вещество

-Ц2

-Ь/2

-а/2

а/2

Ь/2

Ц2

Рис.

10.2.

Две

типичных

гетероструктуры,

встречающихся

размерно-огра

ниченных

полупроводниковых

лазерах.

Области

1, 2

состоят

из

GaAs,

Alo.25Gao.75As

Alo.4Gao.6As,

соответственно.

Структура

(а)

создает

асиммет

ричный

профиль

распределения

потенциала,

структура

(б)

симметричный.

Из

работы

[154],

печатается

разрешения

Американского

института

физики

областей

1, 2

обозначим

El(W)'

E2(W)

и ЕЗ(W)

соответственно.

Модель

диэлектрического

континуума

оптических

фононов

(§ 1,3

гл.

приложение

В)

сразу

позволяет

определить

потенциалы

LО-фононов.

полярном

полупроводнике

1 (i = 2)

размерно-ограниченные

LО-моды

описываются

формулой

{

m1Г

(z)

сх:

COS ----;;: z,

m1Г

Slll-Z,

= 1,3,5,... ,

2,4,6,

... ,

Izl

2·

(10.1)

Размерно-ограниченные

LО-моды

полярном

сплаве

2 (i = 1)

описы

ваются

формулой

{

2m1Г

(

а)

COS

z +

-4-

ф(z)

сх:

.2m1Г(

ь+а)

Slll

z +

-4-

= 1,3,5, ... ,

2,4,6,

... ,

- 2 < z <

-2·

(10.2)