Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
точ.ках
201
т
а
б
л и
ц
а
8.1.
Вероятности
перехода
W
для
процессов
эмиссии
и
пог
лощения
LО-фононов
в
квантовом
кубе
GaAs
размера
L
при
комнатной
температуре
в
модели
фрёлиховского
взаимодействия.
Состояние
11,
1, 1)
является
конечным
в
процессе
эмиссии
и
начальным
-
в
процессе
поглощения
L
(нм)
W
э
м
и
с
Начальные
W
п
о
г
л
Конечные
(х
1013
с
")
состояния
(х
1012
с
")
состояния
352 2.51
{13,
1,
1)}
5.77
{13,
1,
1)}
498 1.71
{13,
3,
1)}
3.93 {13,3,
1)}
610
1.02
{13,
3, 3)}
2.33
{13,
3, 3)}
610
1.69
{15,
1,
1)}
3.88
{15,
1,
1)}
704 1.20
{Il,
3, 5)}
2.76
{Il,
3, 5)}
787 0.81
{15,
3, 3)}
1.86
{15,
3, 3)}
863
0.91
{15,
5,
1)}
2.09
{15,5,
1)}
1056 0.86
{15,
5, 5)}
1.56
{15,
5, 5)}
Глава
9
РАССЕЯНИЕ
НОСИТЕЛЕЙ
НА
АКУСТИЧЕСКИХ
ФОНОНАХ
Хвала
тебе,
ГОСПОДЬ,
за
все,
что
звучит,
за
ликующие
созвучия,
раз
носящиеся
эхом
вокруг;
органы
тор}Кественно
славят
тебя,
а
слад
коголосая
арфа
повествует
нам
о
твоих
деяниях.
1)
Генри
Вильяме
Бейкер,
1875
§ 1.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
в
объемных
структурах
с
решеткой
цинковой
обманки
В
наСТОЯLЦем
пара
графе
будет
определена
СВЯЗь
тензора
упругой
деформации,
введенного
в
§ 2
гл.
7,
со
взаимодействием
через
дефор
мационный
потенциал
и
с
пьезоэлектрическим
взаимодействием.
1.1.
Рассеяние
на
деформационном
потенциале
в
объемных
структурах
с
решеткой
цинковой
обманки.
Взаимодействие
через
деформационный
потенциал,
описанное
в
§ 3
гл.
5,
ОТНОСИТСЯ
к
случаю
изотропной
среды.
В
наиболее
общем
случае
зависимость
энергии
но
сителя
в
зоне
проводимости
имеет
вид
EaJk),
так что
деформационный
потенциал
зависит
от
тензора
упругой
деформации,
а
соответствующая
константа
деформационного
потенциала
E~v1 представляется
в
виде
тензора
второго
ранга:
На,деф
=
Е~жаТ(k)
-
E~eB03M(k)
=
E~vI8Jlv,
(9.1)
где
8Jlv
-
тензор
упругой
деформации
(7.27),
а
деформационный
по
тенциал
является
разницей
энергии
носителя
в
зоне
а
в
присутствии
упругой
деформации
Е~жаТ(k)
и
в
отсутствие
упругой
деформации
E~eB03M(k).
Поскольку
фононное
поле
присутствует
всегда,
случай
отсутствия
упругой
деформации
является
нефизическим:
он
соответ
ствует
ситуации,
когда
деформационный
потенциал
отсутствует.
Для
кубических
кристаллов
и
носителей,
имеющих
сферически
симмет
ричную
энергетическую
поверхность,
соображения
симметрии,
очевид
но,
требуют,
чтобы
кристаллический
потенциал
был
пропорционален
1)
Перевод
сангл.
Б.
Никифорова
и
В.
Пожара.
§ 1.
Рассеяние
носителей
на
акистических
фононах
203
величине
VVjV
(см.
§ 3
гл.
5).
Это
заключение
распространяется
на
носители
в
невырожденной
точке
Г,
но не
относится
к
точкам
с
другой
симметрией,
таким
как
точки
Х
или
L.
Следовательно,
в
кубическом
кристалле
для
носителей
в
точке
Г
имеет
место
выражение
На,деф
=
EfVVjV
=
EfV'
и,
(9.2)
что
в
обозначениях
§ 2
гл.
7
(д
= V .
и)
можно
переписать
в
виде
На,деф
=
Еfд.
(9.3)
Рассмотрим
акустическую
волну
с
волновым
вектором
q
и
поле
смеще
ний,
которое
изменяется
по
закону
ехр(
-iq
.
r).
Тогда
д(г)
= V . u =
=
-iq
.
и,
откуда
следует,
что
только
продольная
акустическая
(LA)
мода,
приводит
к
ненулевым
значениям
гамильтониана
На,деф'
а
попе
речные
акустические
(ТА)
моды
не
вносят
вклада.
Однако
для
энерге
тических
минимумов
носителей,
соответствующих
другим
точкам
сим
метрии
кубических
кристаллов,
таким
как
точки
Х
или
L,
константа
деформационного
потенциала
E~Yl
не
сводится
к
скалярной
величине,
а
имеет
вид
(9.4)
где
минимум
находится
в
направлении
единичного
вектора
i.
Для
этого
более
общего
случая
член
E~
вносит
вклад
в
деформационный
потен
циал
и,
вообще
говоря,
поперечные
акустические
фононы
и
оптиче
ские
фононы
создают
деформационные
потенциалы,
обусловливающие,
в
частности,
внутридолинные
процессы.
1.2.
Пьезоэлектрическое
рассеяние
в
объемных
полупроводни
ковых
структурах.
Как
было
пока
за
но
в
§ 4
гл.
5,
пьезоэлектрическое
рассеяние
вызвано
взаимодействием
носителей
с
макроскопической
пьезоэлектрической
поляризацией,
порождаемой
полем
упругой
дефор
мации
в
полярных
кристаллах,
не
имеющих
инверсионной
симметрии.
Это
поле
упругой
деформации
может
быть
обусловлено
либо
внешними
факторами,
например
различием
постоянных
решетки
в
псевдоморф
ных
системах,
либо
внутренними
-
например,
акустическим
фононом.
В
обозначениях
§ 2
гл.
7
пьезоэлектрическая
поляризация
кубического
кристалла,
описанная
в
§ 4
гл.
5,
в
общем
виде
дается
формулой
Р
п
ь е
з
S
.>..
=
e.>..,f.J,V
ии»
(9.5)
где
Sf.J,V
-
тензор
упругой
деформации,
а
e.>..,f.J,V
-
обобщенный
тензор,
связывающий
пьезоэлектрическую
поляризацию
Рfьез
с
полем
упругой
деформации
Sf.J,v.
На
практике,
зная
упругую
деформацию
и элек
тромагнитные
поля,
а
также
статическую
диэлектрическую
постоян
ную
E~f.J,'
составляющие
e.>..,f.J,V
можно
определить
с
помощью
формулы
1
о
e.>..,f.J,vSf.J,V
=
Р.>..
-
47Г
(E.>..f.J,
-
b'>"f.J,)Ef.J,'
(9.6)
(9.7)
204
Гл.
9.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
Как
отмечалось
ранее
[150],
эти
составляющие
относятся
к
объ
емному
образцу.
В
общем
случае
величины
Р
Л
и
Ел
зависят
от
кри
сталлической
структуры,
тогда
как
составляющие
е
Л
,
Il
"
представляют
собой
величины
объемного
типа
и
определяются
локальной
электрон
ной
структурой
кристалла.
Пьезоэлектрическое
взаимодействие
можно
смоделировать
на
ос
нове
взаимодействия
носителей
с
макроскопическим
электрическим
потенциалом,
созданным
пьезоэлектрическим
полем.
Для
вычисления
этого
потенциала
в
объемном
полупроводнике
принимается,
что
смеще
ние
фонона
описывается
зависимостью
ехр(
-iq·
г),
откуда
получается
формула
\7 . u =
iq
. u.
В
области, не
содержащей
свободных
зарядов,
выполняется
условие
\7.
D =
О.
Следовательно,
умножая
на
Ч>
обе
части
формулы
получаем
равенство
(9.8)
Для
поля
смещений
рассматриваемого
фонона
8
1l
"
= '/2i(qllu" +
+u"qll),
так
что,
вводя потенциал,
связанный
с
пьезоэлектрическим
взаимодействием
посредством
соотношения
-iq
v
п
ь е
з
(q) =
Е,
получа
-
ем
формулу
v
п
ь е
з
(q) =
47Г
qл
е
Лоll
"
qll
и".
qлЕ:лllqll
(9.9)
Для
изотропных,
кубических,
тригональных,
тетрагональных
и
гекса
гональных
структур
комбинация
q
лЕ:1
1l
qll
сводится
к
довольно
простым
выражениям,
так
как
в
этих
случаях
величина
Е:1
1l
может
быть
пред
ставлена
как
матрица
3
х
3,
у
которой
все
недиагональные
элементы,
равны
нулю.
Для
кубических
структур
комбинация
q
лЕ:1
1lqll
сводится
к
выражению
E:Oq.
q,
поскольку
все
три
диагональных
элемента
Е:1
1l
равны
100.
Для
некубических
кристаллов при
вычислении
Рr
ь
е з
посредством
формулы
Рr
ь
е
з
=
е
Л
,
Il
"
8
1l
,,
удобно
использовать
тензорные
обозначения,
введенные
в
§ 2
гл.
7.
Как
было
показано
в
этом
пара
графе
8
1l
"
можно
представить
как
шестиэлементный
вектор,
Рr
ь
е
з
-
как
трехэлемент
ный
вектор,
а е
Л
,
Il
"
-
как
матрицу
3
х
6;
при этом
для
структур
с
решеткой
цинковой
обманки
матрица
3
х
6
имеет
следующий
вид
[93]:
(
~
~
~
о
о
о
О
О
о
О
(9.1
О)
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
а
для
кристаллов
структуры
вюрцита
-
205
и,
о
о
о
о
о
о
е
х
5
О)
О О
.
О О
(9.11 )
§ 2.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
в
двумерных
структурах
Для
невырожденной
точки
Г
одиночной
зоны
результаты
п.
1.1
гл.
8
сводятся
к
выражению
Н
д
е
ф
=
E,Y'V/V
=
Е,У'·
u =
Е,,!),.,
(9.12)
а
с
учетом
формулы
для квантованной
величины
смещения
(7.145)
[124]
получается
выражение
1i
-,------;ос-------,-------:-
(an,q
+
a~,_q)Y'.
[wn(qll'
z) eiqll,rlI] =
2L2
PiJJ
m
(qll)
= L eiqll,rll
r(qll,
п,
z)(an,q +
a~,_q),
(9.13)
qll'n
где
[
. aWnz(qll'Z)]
ЩII
.
w(qll'
z) + az .
(9.14)
§ 3.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
в
квантовых
проволоках
В
настоящем
параграфе
будут
рассмотрены
частоты
рассеяния
элек
тронов
на
акустических
фононах
для
двух
различных
форм
квантовой
проволоки
-
цилиндрической
и
прямоугольной.
В
обоих
случаях
ча
стоты
рассеяния
будут
вычислены
с
использованием
золотого
правила
Ферми
и
в
представлении
акустических
фононных
мод
как
мод
упру
гого
континуума
с
условием
нормировки,
приведенным
в
гл.
7.
3.1.
Цилиндрические
проволоки.
Для
случая
цилиндрической
квантовой
проволоки
квантование
акустических
Фононов
может
быть
описано
формулой
1
u(r) =
Гi\Т
L[u(q,
r)a
q
+
сопр.]
«к
q
(9.15)
206
Гл.
9.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
со
следующей
нормировкой
фурье-компоненты
амплитуды
акустическо
го
фонона
u(q,r,<p,z):
27Г
а
7Г~2
J
d<p
J
drru(q,
т,
.р,
z)·
U*(q,
Т,
.р,
z) =
2::LV
Q
•
(9.16)
о о
Здесь
а
-
радиус
квантовой
проволоки,
N -
число
элементарных
яче
ек
в
нормировочном
объеме
V, a
Q
-
оператор
уничтожения
фононов,
q -
волновой
вектор
фонона,
LV
q
-
угловая
частота
фононной
моды,
М
-
суммарная
масса
ионов
в
элементарной
ячейке,
а
т,
.р,
z -
обыч
ные
цилиндрические
координаты.
Как
пока
за
но
в
гл.
7,
модель
упру
гого
континуума
обеспечивает
адекватное
описание
цилиндрической
квантовой
проволоки
до
тех
пор,
пока
диаметр
последней
в
несколько
раз
превышает
линейные
размеры
элементарной
ячейки.
В
рамках
модели
упругого
континуума
уравнение,
описывающее
акустические
фононные
моды,
имеет
вид
[151]
д
2
и
р
at
2
=
С44 \72
и
+
(С12
+
С44)\7(\7
.
и)
+
*
(~д2и1
~
д2и2
~
д
2
u
з)
(9.17)
+с
l1-д
2 +
1
2-
д
2 +
1
3-
д
2 '
Х
1
Х
2
Х
3
где
с*
=
С"
-
С12
-
2С44.
ДЛЯ
изотропного
случая,
рассмотренного
в
§ 6
гл.
7,
с"
=
С"
-
С12
-
2С44
=
О
И
уравнение
сводится
к
виду
д
2
и
р
at
2
=
С44\7
2
и
+
(С44
-
с,,)\7(\7·
и)
=
=
рс;\7
2
и
+
р(ст
-
с;)\7(\7.
и),
(9.18)
или,
в
векторном
виде:
д
2
и
2 2 2
at
2
= Cl \7 u -
с;:\7
х
\7
х
и,
(9.19)
где
Cl = J
С11
/
р
-
скорость
звука
для
продольных
акустических
волн,
а
Ct = J
С44/
р
-
скорость
звука
для
поперечных
акустических
волн.
При
рассмотрении
акустических
фононных
мод
в
цилиндре
удобно
ввести
две
эквивалентные
величины
скорость
модуля
Юнга
со
и
коэффициент
Пуассона
0":
Со
= Cl
и
(9.20)
в
настоящем
пункте
частоты
рассеяния
электронов
на
акустиче
ских
фононах
вычисляются
для
изотропной
цилиндрической
квантовой
проволоки.
Из
результатов
п.
1.1
гл.
8
следует,
что
гамильтониан
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
207
взаимодействия,
описываемого
деформационным
потенциалом,
для
невырожденных
носителей
в
точке
Г
может
быть
записан
в
виде
Н
д
е
ф
=
Е!
\7 .
и.
В
этом
случае только
продольные
акустические
моды
вносят
вклад
в
скорость
рассеяния.
Как
показано
в
работе
[93],
клас
сические
продольные
моды
для
изотропной
цилиндрической
структуры
не
содержат
азимутальных
составляющих
и
имеют
вид
ur(r, z) =
{~
[BJo(qzr)
+ AJo(qt
r)]}
ei(qz-wt)
,
uz(r, z)
= i {qBJo(qzr) -
~
AJo(qt
r)}
ei(qz-wt),
(9.21)
(9.22)
2
ш
2
qZ,t
=
-2-
- q.
VZ,t
где
q
является
я-составляюшей
волнового
вектора,
w -
угловая
часто
та,
J
o
-
функция
Бесселя
первого
рода
низшего
порядка,
а
qz
и
qt
даются
формулой
Введем
безразмерные
величины
скорости,
волновых
векторов
и
частот,
отнормировав
их
на
со,
qo
=
7г
/
а
и
шо
=
qoco
соответственно.
Таким
образом,
Cz,t
=
сц/со,
q=
q/qO
= q(a/n), w=
ш/шо
=
ш(а/7ГСО).
Для
оценки
интеграла
21Г
а
7Г~2
f
d<p
fdr r[ur(r, z)u;(r, z) + uz(r, z)u;(r, z)] = 2:;wq
о о
(9.23)
выразим
и(г)
через
u(q,
г)
и
положим
Ндеф
=
Е!
\7 .
и,
что
приводит
К
выражению
Н
д
е
ф
= iE! L L J
2N~w
yI;sn
(3(q2
+ qr)Jo(qzr)
х
n q
Х
(aqe
iqz
-
а~е-iqZ),
(9.24)
где
-
2Qf(3:::2
7г
:::2
[(jzJ!
((jzn)JOCiitn)
- ihJ!
(ihn)JO((jzn)]
+
qz
- qt
2 2
+
rf(32~
[J~((jzn)
+
Jб((jz7Г)]
+
Qf~
[J~(ihn)
-
JO(ihn)J2(ihn)]
+
208
Гл.
9.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
(9.25)
+
2(ft(ft(3
7;2
7г
7;2
[(ft
Jo
«(ft7Г)J,
@7Г)
-
(ftJО@7Г)J,«(ft7Г)]
+
ql - qt
+
(jf(32~2
[Jt@7Г)
-
J
О@7Г)J
2@7Г)]}
,
причем
(3
=
В/А.
В
классической
акустике
[93]
существуют
два
важных
типа
гранич
ных
условий.
Их
часто
называют
основными
граничными
условиями,
это
граничные
условия
свободной
поверхности
и
граничные
условия
за
крепленной
поверхности.
Если
на
границе
цилиндрической
проволоки
и
вакуума
имеют
место
условия
свободной
поверхности,
то
нормальные
составляющие
тензора
упругого
напряжения
равны
нулю,
а
смещение
не
ограничено.
При
граничных
условиях
жесткой
поверхности
нор
мальные
величины
составляющих
тензора
упругого
напряжения
на
границе
цилиндрической
проволоки
и
вакуума
могут
принимать
любые
значения,
а
смещение
равно нулю.
Для
граничных
условий
свободной
поверхности
дисперсионное
соотношение
дается
уравнением
(9.26)
а
для
граничных
условий,
соответствующих
закрепленной
поверхно
сти,
-
уравнением
(9.27)
где
(9.28)
Для
граничных
условий
свободной поверхности
величина
(3
дается
выражением
(9.29)
а
для
граничных
условий
закрепленной
поверхности
-
выражением
(9.30)
Частоты
рассеяния
электронов
на
акустических
фононах
можно
непо
средственно
оценить
в
пределе,
где
электроны
считаются
запертыми
в
пределах цилиндра,
а
потенциал
на
его
поверхности -
неограничен
ным.
В
этом
случае
[152]
e
ik z
Ik) =
fТ
ф(r,
е),
yL
z
(9.31 )
где
1
(Ха)
ф(r,
е)
=
V7Г
О
J
o
-'
r ,
7ГУ,а
а
(9.32)
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
209
X~
-
аргумент
точки,
соответствующей
первому
нулю
функции
Jo(x),
а
Y10 = J
1
(X~);
длина
цилиндра
L
z
считается
много
большей
а.
Энер
гия
основного
состояния
электрона
равна
[(1ik)2
+
(X~
/a)2]j2m*,
где
m* -
эффективная
масса
электрона.
Отсюда
получаем,
что
матричный
элемент
деформационного
потенциала
Н
д
е
ф
имеет
вид
где
N
n
-
число
заполнения
фононов,
введенное
в
§ 1
гл.
5,
10
= 1
и
10
=
-1
в
случаях
испускания
и
поглощения
фононов
соответственно,
а
функция
F
дается
формулой
1
Fn(t) = f
dxx
IJo(X~x)12
Jo(tx).
о
Тогда,
используя
золотое
правило
Ферми,
получаем
(9.34)
где
lf3n(q)1
2
1
131Р
(-
)12
(N
1/
1/)
Isn(q)1
(;Jn
n qZJr n + 2 +
210
(q+ k) - (fm*coa/n1i)(d(;j/dq)
(9.36)
Из
законов
сохранения
энергии
и
импульса
следует,
что
величины
qie,a}
являются
решением
уравнения
(h
2
/2m*)((f ±
2Qk)
- f1iUJ =
О,
при
этом
знак
плюс
берется
для
рассеяния
в
прямом
направлении,
а
знак
минус
-
в
обратном.
Как
обычно,
индекс
n
нумерует
квантованные
акустические
фононные
моды.
Для
пьезоэлектрического
механизма
рассеяния
носителей
в
цилин
дрической
квантовой
проволоке
процедура
нормировки
является,
есте
ственно,
той
же
самой,
что и
для
рассеяния
на
деформационном
потен
циале,
но
гамильтониан
взаимодействия
основывается
на
потенциале
210
Гл.
9.
Рассеяние
носителей
на
акустических
фононах
взаимодействия,
приведенном
в
п.
1.2.
Для
кубических
материалов
этот
потенциал
пьезоэлектрического
взаимодействия
имеет
вид
(9.37)
в
цилиндрических
координатах
пьезоэлектрический
тензор,
приведен
ный
в
п.
1.2
гл.
8,
принимает
следующий
вид
[93]:
(
о о о
е
=
О О О
2ех4В(с.р)
-2ех4В(с.р)
О
е
х4
А(
с.р)
-
2е
х4
В
(с.р)
о
2е
х4
В(с.р)
е
х4
А(
с.р)
о
о
)
о
,
е
х4
А(
с.р)
(9.38)
где
А(с.р)
=
СОБ
2
с.р
- sin
2
с.р
и
В(с.р)
=
сов
е
вш
о.
При
этом
вектор
поляри
зации
Р
и
составляющие
упругой
деформации
8
у
даются
выражениями
(9.39)
и
8
- 8 _
и-
1
ди<р
2 -
<р<р
- - + -
--
,
r r
дс.р
au
z
8з
= 8
zz
=
az
'
(9.40)
ди;
au
z
85 =
28
rz
=
28
zr
= - +- ,
az
ar
8
- 28 - 28
_!
ди
т
ди<р
_
и<р
6 -
Т<р
-
<рТ
- + .
r
дс.р
ar
r
Следовательно,
соотношение
Р
=
eS
может
быть
представлено
в
сле
дующем
виде
[153]:
Р\
=
2е
х4
(СОБ
2
с.р
- sin
2
с.р)
8
глр
+
4е
х4
СОБ
с.р
sin
с.р
8
rz
,
(9.41 )