Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
191
Рис.
8.11.
Интерфейсные
моды
в
почти
прямоугольной
квантовой
проволаке.
Фрёлиховский
потенциал
Ф
для
моды высшей
азимутальной
симметрии
(т
=
=
О)
в
плоскости
поперечного
сечения
квантовой
проволоки,
имеющей
отноше
ние
R/r
= 2,
при
кривизне
углов
а
=
т/10;
qr = 2.
Из
работы
[141],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
CDрёлиховский
потенциал
в
плоскости
поперечного
сечения
эллип
тической
квантовой
проволоки,
имеющей
отношение
R/r
= 2,
показан
на
рис.
8.12.
Он
также
относится
к
моде
высшей
азимутальной
сим
метрии
(т
=
О)
дЛЯ
случая
qr = 2.
Потенциал
возрастает
в
областях
вблизи
вершин
прямоугольника,
в
который
вписывается
эллипс.
3.4.
Коллективные
эффекты
инеравновесные
фононы
в
по
лярных
квантовых
проволоках.
В
работах
[132, 7]
рассмотрено
влияние
коллективных
эффектов
экранирования
носителей
на
процес
сы
рассеяния
носителей
на
оптических
фононах
в
квантовых
прово
локах.
Поскольку
фрёлиховский
гамильтониан
описывает
взаимодей
ствие
между
носителем
и
полем,
создаваемым
полярными
оптическими
фононами,
то,
очевидно,
следует
учитывать
возможное
экранирование
такого
кулоноподобного
взаимодействия
носителями.
Для
оценки
величины
коллективного
эффекта
экранирования
фрёлиховского
взаимодействия
в
этих
работах
вычислены
потери
энергии,
приходящиеся
на
носитель,
вызванные
взаимодействием
носителей
с
оптическими
фононами,
в
квантовой
проволоке
арсе
нида
галлия
с
учетом
динамического
экранирования,
размерного
квантования
фононов
и
так
называемого
эффекта
горячих фоно
нов.
Скорость
потери
энергии
носителем
в
квантовой про
волоке
192
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
r;-
,:.
Ф.
~
.....
<l>
~
~
р..
5
Ф,
~O
О.
о
cr
o
Рис.
8.12.
Фрёлиховский
потенциал
в
плоскости
поперечного
сечения
эллип
тической
квантовой
проволоки,
имеющей
отношение
R/r
= 2.
Этот
потенциал
был
получен
аналитически
для
моды высшей
азимутальной
симметрии
(т
=
О)
дЛЯ
случая
qr = 2.
Из
работы
[141],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
на
основе
полярного
полупроводника
определяется
как
скоростью
потери
энергии
носителями
за
счет
испускания
фононов,
так
и
скоростью приобретения
энергии
носителями
за
счет
поглощения
фононов,
Эта
последняя
составляющая
может
быть
значительной
в
квантовых
проволоках
и
квантовых
ямах,
поскольку
фононы,
испускаемые
энергичными
носителями,
могут
накапливаться
в
этих
структурах.
Действительно,
плотность
Фононов
во
многих
размерно
ограниченных
полупроводниковых
устройствах
обычно
значительно
выше,
чем
плотность
популяции
равновесных
фононов,
и
существует
большая
вероятность
того,
что
эти
неравновесные
(егорячие»]
фононы
будут
вновь
поглощены.
Полная
потеря
энергии
носителем
в
такой
ситуации
зависит
как
от
частоты
испускания
фононов,
так
и
от
частоты
их
поглощения.
Величина
времени
жизни
оптических
фононов
также
важна
для
определения
полной
скорости
потери
энергии
такими
носителями.
Как
пока
за
но
в
гл.
6,
продольные
оптические
фононы
в
арсениде
галлия
и
во
многих
других
полярных
материалах
распадаются
на
акустические
фононы
по
каналу
Клеменса.
В
широком
диапазоне
температур
и
вол
новых
векторов
Фононов
времена
жизни
этих
продольных
оптических
Фононов
в
арсен
иде
галлия
варьируются
от
нескольких
пикосекунд
до
почти
10
пс
[6].
Типичные
значения
времени
жизни
в
других
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
193
полярных
полупроводниках
имеют
такую
же
величину.
LО-фононы
после
распада
на
акустические
фононы,
не
доступны
поглощению
носителями,
и
в
результате
действия
канала
Клеменса
потеря
энергии
носителя
происходит
быстрее,
чем
было
бы
при
других
обстоятель
ствах;
это
явление
называется
эффектом
«узкого
горла»
для
горячих
фононов.
Действительно,
числовые
расчеты,
проведенные
в
работах
[132, 7]
для
квантовой
проволоки
арсенида
галлия
сечением
от
50
'А
х
х
50
'А
до
500
'А
х
500'А
для
диапазона
температур
от
50
К
до
300
К
и
при
линейной
плотности
от
104
до
106
см:",
показывают,
что
эффект
узкого
горла
для
горячих
фононов
изменяет
полную
скорость
потери
энергии
на
порядок
и
больше,
в
то
время
как
эффект
экранирования
носителей
приводит
к
изменению
скорости
лишь
в
два
раза.
Рис.
8.13
иллюстрирует
эти
результаты
для
случая
линейной
плот
ности
заряда
106
см"!
[132].
Потеря
энергии
Р
на
носитель
при
веде
на
как
функция
обратной
температуры
электрона
для
мод
пластины
и
волноводных
мод.
Кривая
наивысшей
потери
энергии
(длинный
пунктир)
рассчитана
для
мод пластины
без
учета
эффектов
экраниро
вания.
Верхняя
сплошная
линия
отображает
потери
энергии
с
учетом
эффектов
экранирования
для
случая,
когда
времени
распада
фонона
Тфон
=
О
пс;
нижняя
сплошная
линия
отображает
потери
энергии
с
учетом
эффектов
экранирования
при
времени
распада
фонона
Тфон
= 7
пс.
Для
волноводных
мод
функция
потери
энергии
без
учета
эффектов
экранирования
представлена
штрихпунктирной
и
пунктирной
линиями,
а
функции
потери
энергии
с
учетом
экранирования
при
Тфон
=
О
пс
и
при
Тфон
= 7
пс
представлены
тонким
и
толстым
коротким
пунктиром
соответственно.
Таким
образом,
в
то
время
как
эффекты
динамического
экрани
рования
могут
быть
всего
лишь
«заметными»,
эффекты
узкого горла
для
«горячих»
фононов
могут
приводить
К
изменению
на
порядок
и
более
скорости
потери
энергии
носителями,
связанной
с
рассеянием
на
LО-фононах
в
квантовых
проволоках.
Вычисления
с
учетом
эффектов
экранирования,
проведенные
в
работах
[132, 7],
требуют
нетривиальных
численных
расчетов.
Дополнительную
информацию
о
динамическом
экранировании
и
эффектах
«узкого
горла»
для
горячих
фононов
читатель
может
найти
в
указанных
работах.
3.5.
Снижение
частоты
рассеяния
на
интерфейсных
фононах
в
структурах
металл-полупроводник.
Первые
расчеты
частоты
рассеяния
носителей
на
LО-фононах
в
квантовых
проволоках
из
полярных
полупроводников
[134, 136]
показали,
что
рассеяние
носителей
на
интерфейсных
оптических
фононных
модах
доминирует
над
рассеянием,
связанным
с
размерно-ограниченными
фононами
и
фононами
полупространств.
В
качестве
средства
снижения
нежелательного
эффекта
неупругого
рассеяния
на
интерфейсных
LО-фононах
в
полупроводниковых
квантовых
проволоках
было
предложено
[143]
заключить квантовую
проволоку
в
металл.
7
М.
А.
Сторшио,
М.
Дутта
194
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
р
(Вт/носитель)
10-7
----
----
10-13
0.002
0.008
0.014
Рис.
8.13.
Результаты
работы
[132]
для
квантовой
проволоки
арсенида
галлия
размером
50А
х
50
А
при
линейной
плотности
заряда
106
см
".
Потеря
энергии
на
носитель
приведена как
функция
обратной
температуры
электрона.
Кривая
наивысшей
потери
энергии
(длинный
пункт
ир)
рассчитана
для
мод
пластины
без
учета
эффектов
экранирования.
Для
волноводных
мод
функция
потери
энергии
без
учета
эффектов
экранирования
отображается
штрихпунктирной
линией,
а
функции
потери
энергии
с
учетом
эффектов
экранирования
при
времени
распада
Тфон
=
О
пс и
Тфон
= 7
пс
представлены
тонким
и
толстым
ко
ротким
пунктиром,
соответственно.
Из
работы
[132],
печатается
с
разрешения
Американского
физического
общества
Для
большинства
систем
металл-полупроводник
это
предложение
не
дает
ощутимой
пользы.
Однако
возникновение
контакта
на
границе
металла
с
полупроводником
могло
бы
привести
к
заметному
обеднению
полупроводника
носителями
в
случае,
когда
размеры
поперечного
сечения
L
y
и
L
z
квантовой
проволоки
достаточно
малы
для
того,
чтобы
частота
рассеяния,
вызываемого
интерфейсными
фононами,
была
заметна
(т.е.
размеры
не
должны
превышать
величины
порядка
q-l
=
50А).
Однако
в
некоторых
системах
металл-полупроводник,
таких
как
IпАs-Аl,
уровень
Ферми
«связан»,
так что
вместо
обеднения
полупро
водника
носителями
возникает
накопление
носителей
у
поверхности
раздела
металл-полупроводник.
В
таком
случае,
когда
полупровод
ник
не
обедняется,
в
квантовых
проволоках
с
размерами
L
y
,
L
z
~
~
«:' = 50
А
будут
иметь
место
большие
частоты
рассеяния носителей
на
интерфейсных
LО-фононах,
приводящие
к
снижению
мобильности
носителей.
Для
устранения
этого
эффекта
интерфейсные
оптические
фононы
могут
быть
модифицированы
или
даже
практически
устранены
путем
использования
металлических
границ
у
поверхностей
полупроводника.
§3.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
про
волоках
195
Носители
в
металле,
обладая
высокой
мобильностью,
обычно
экранируют
электрические
поля,
так что
последние
проникают
в
металл
только
на
очень
небольшую
глубину
д,
известную
как
длина
экранирования
Томаса-Ферми
и
составляющую
обычно
порядка
ангстрема.
Цель
создания
такого
сильного
экранирования
электрических
полей
у
поверхности
раздела
металл-полупроводник
состоит
в
том,
чтобы
занулить
потенциал
фонона
Ф
вблизи
поверхности
раздела.
В
этом
случае,
понятно,
что
как
симметричные,
так
и
антисимметричные
интерфейсные
оптические
фононы
будут
иметь
очень
маленькие
амплитуды
в
структурах
с
квантовыми
проволоками
и
квантовыми
ямами.
Для
оценки
степени
этого
уменьшения
в
работе
[109]
была
рассмотрена
структура
с
двумя
поверхностями
раздела:
металл
полупроводник-полупроводник
(MSS)
с
поверхностью
раздела
металл
полупроводник
при
z =
-d
и
поверхностью
раздела
полупроводник
полупроводник
при
z = d.
Для
этой
гетероструктуры
потенциал
интерфейсного
фон
она
имеет
вид
{
Аеz/б
ф(r)
=
фое
Щ
'
Р
х
Be
qz
~
Ce-
qz,
e-q(z-d)
,
z <
-d,
Izl
< d,
z>
d,
(8.127)
где
постоянные
А,
В
и
С,
а
также
дисперсионное
соотношение
для
моды
определяются
условием
непрерывности
величин
Фi
и
l::iдФi/дz
на
двух
поверхностях
раздела.
Путем
наложения
этих
граничных
условий
можно
легко
показать,
что
[ ( )(
)]
- [
А
- qd 1::[ 1
I::
m
-
е
1::[ -
1::2
+
qJI::[
,
(8.128)
в
=
!e-
qd
(1-
1::2),
2 1::[
а
дисперсионное
соотношение
имеет
вид
1::[ -
1::2
e-2qd
(qJI::[ -
I::
m
) _
1 =
О.
(8.129)
1::[ +
1::2
qJI::[
+
I::
m
В
этих
выражениях
диэлектрическая
функция
металла
описывается
формулой
(8.130)
где
UJ
p
-
плазменная
частота
носителей
в
металле,
а
т
-
время
диэлектрической
релаксации
носителей
в
металле.
7*
(8.131)
196
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оптических
фононах
Так
как
отношение
IA/
BI
является
мерой
амплитуды
интерфейс
ной оптической
Фононной
моды
в
металле
и
поскольку
для
типичных
структур
металл-полупроводник
I
AI=
2
«1
в
1 +
Ет/qБЕl
'
получаем,
что
поля,
связанные
с
интерфейсной
оптической
фононной
модой,
очень
резко
затухают
при
входе
в
металл
в
силу
экрани
рования
электронов.
Таким
образом,
с
очень
хорошей
точностью
можно
считать
ф(r)
=
О
на
поверхности
раздела
металл-полупро
водник.
Действительно,
численные
расчеты
[109]
показывают,
что
отношение
IA/BI
лежит
в
диапазоне
4·10-3
-;-
10-8,
если
б
находится
в
диапазоне
1
-;-
1
О
'А,
а
q =
о,
о
1
'А
-1.
Поскольку
интерфейсные
оптические
фононные моды
в
общем
случае
имеют
ненулевые ампли
туды
на
границах
раздела,
получаем,
что
эти
моды
не
удовлетворяют
граничному
условию
ф(r)
=
о.
Это
означает,
что
интерфейсные
моды
все
же
испытывают
резкое
уменьшение
амплитуды,
если
гетерострук
туру
полупроводник-полупроводник
заменить
на
структуру
металл
полупроводник.
Действительно,
для
структуры металл-полупровод
ник-металл,
приведеиной
на
рис.
8.14,
очевидно, что
потенциалы
оптических
фононов
должны
стремиться
к
нулю
как при
z =
о,
так
и
при
z = d.
Металл
о
GaAs
d
Металл
z
Рис.
8.14.
Гетероструктура
металл-полупроводник-металл:
z =
О
и
z = d -
поверхности
раздела
металл
-
полупроводник.
Интерфейсные
LО-фононные
моды
в
такой
структуре
отсутствуют,
так
как
потенциал
LО-фонона
обращается
в
нуль
на
каждой
поверхности
раздела
металл-полупроводник.
Из
работы
[109],
печатается
с
разрешения
Американского
института
физики
Понятно,
что
ни
симметричные,
ни
антисимметричные
оптические
фононные моды
не
могут
удовлетворять
этим
условиям.
Струк
тура
металл-полупроводник-металл
на
рис.
8.14
имеет,
однако,
размерно-ограниченные
LО-фононы.
Это
заключение
можно
легко
распространить
и
на
случай
полупроводниковой
квантовой
проволоки,
помещенной
в
металл.
В
заключение
отметим,
что
в
работе
[145]
также
рассмотрен
эффект
уменьшения
амплитуд
интерфейсных
§4.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
точ.ках
197
оптических
фононных
мод
в
системах
металл-полупроводник.
Воз
можность
использования
границы
раздела
металл-полупроводник
для
уменьшения
взаимодействий
электрона
с
интерфейсными
фононами
в
квантовых
проволоках
была
рассмотрена
в
работе
[147].
§ 4.
Рассеяние
носителей
на
LО-фононах
в
квантовых
точках
Как
и
в
§ 2
гл.
5
и
§ 1
гл.
7,
фрёлиховский
гамильтониан
для
объемного
полярного
полупроводника
можно
записать
в
виде
где
Н
З
D
_
'"
С
(
t)
iq.r
Fr -
L..;:
ТQТ
a
q
-
a_
q
е
,
(8.132)
с=
-i
2~e2nWLO
[ 1
1_]
V
е(оо)
е(О)'
((8.133)
Рассмотрим
квантовую
точку,
представляющую
собой
изолированный
куб,
каждая
из
сторон
которого
имеет
длину
L [149].
Тогда,
записывая
сумму
по
q как
сумму
по
положительным
значениям
qx, qy
и
Ч«
представляя
экспоненты
аналогично
тому,
как
это
было
сделано
для
изолированной
квантовой
проволоки
[130],
и
налагая
условия
qx =
±m~
/ L, qy =
±n~
/ L
и
qz =
±p~
/ L,
обеспечивающие
обращение
фрёлиховского
потенциала
на
гранях
куба
в
нуль,
получаем,
что
фрёлиховский
гамильтониан
для
квантовой
точки
должен
иметь
следующий
вид:
H~~
=
2
З
/
2С{
~
f=
J=
(3(m,
n,р)
х
m-l,З,
...
n-l,З,
...
p-l,З,
...
'" '"
'"
.
таса:
n~y
рп
г
+
г: г:
г:
(3(m,
n,р)
вш
----у;-
сов
L
сов
L
Х
m=2,4,
...
n=I,З,
...
р=I,З,
...
'" '"
'"
тт
з:
.
n~y
рп
г
+
г: г:
г:
(3(m,
n,р)
сов
----у;-
вш
L
сов
L
Х
m=I,З,
...
n=2,4,
...
р=I,З,
...
198
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
'"'
'"' '"'
.
тт:з:
.
nпу
ркг:
+
г:
г: г:
(3(m,
n,р)
sш
--т
sш
т
COS L
Х
m=2,4,
...
n=2,4,
...
р=1,3,
...
'"'
'"' '"'
тзсх
nпу.
рп
г
+
г:
г: г:
(3(
m,
n,
р)
COS
--т
COS
т
SШ
L
Х
m=1,3,
...
n=1,3,
...
р=2,4,
...
'"'
'"' '"'
.
тп
х
nпу.
ркг:
+
г:
г: г:
(3(m,
n,р)
SШ
--т
COS
т
SШ
L
Х
m=2,4,
...
n=1,3,
...
р=2,4,
...
'"'
'"' '"'
тп
х
.
nпу
.
ркг:
+
г:
г: г:
(3(m,
n,р)
COS
--т
SШ
т
SШ
L
Х
m=1,3,
...
n=2,4,
...
р=2,4,
...
Х
[A_+(q)_
+A~+(-q)_]
+
'"' '"' '"'
R(
) .
тт
з:
.
nпу
.
ри
г
+
г: г: г:
{J
т,n,р
SШ--ТSШТSШL
Х
m=2,4,
...
n=2,4,
...
р=2,4,
...
где
V(ffi7r)2
(nп)2
(рп)2
(3(m,n,р)
= L + L + L '
(8.134)
(8.135)
а
операторы
уничтожения
фонона
для
нуль-мерных
размерно-ограни
ченных
мод
имеют
следующий
вид:
1
A++(q)±= J2
[A+(qx)±
+
А+(
-qx)±],
-i
A+_(q)± = J2
[A+(qx)±
-
А+(
-qx)±],
1
A_+(q)± = J2 [A_(qx)±+
А_(
-qx)±],
-i
A__ (q)±= J2 [A_(qx)±-
А_(
-qx)±].
(8.136)
§4.
Рассеяние
носителей
в
квантовых
точ.ках
199
Операторы
A±(qx)±
могут
быть
выражены
через
операторы
уничтоже
ния
фононов
в
объемном
полупроводнике
способом,
аналогичным
тому,
что
применялся
для
квантовой
проволоки
[130],
с
использованием
соотношений
(8.137)
где
операторы
a±(qx,qy)
определяются
формулами
(8.138)
в
квантовой
точке
GaAs,
находящейся
в
вакууме,
если
размеры
точки
L
превышают
несколько
сот
ангстрем,
характерная
энергия
продольного
оптического
фонона
(U,J)LO
значительно
меньше
расстояния
между
уровнями
энергии
электрона.
Эффекты
размерного
ограниче
ния
Фононов
при
таких
«больших»
размерах
обычно
незначительны.
В
частности,
для
такого
квантового
куба
GaAs
размерно-ограничен
ные
и
интерфейсные
фононы
имеют
энергии,
отличающиеся
не
более
чем
на
несколько
мэВ
от
энергии
объемного
фонона,
равной
36
мэВ.
В
случае,
когда
квантовая
точка
находится,
скажем,
в
арсен
иде
алю
миния,
интерфейсные
фононы
будут
иметь
энергии,
близкие
к
50
мэВ,
но
даже
эта
величина
остается
малой
по
сравнению
с
типичной
разностью
энергии
уровней
электрона
до
тех
пор,
пока
длина
L
не
уменьшится
до
нескольких
сот
ангстрем.
Для
дырок
длина
волны
де
Бройля
существенно
меньше
и
расстояние
между
уровнями
энергии
меньше,
чем
для
электронов.
Поэтому,
для
переходов,
включающих
дырки,
квантовый
куб
может
оказаться
достаточно
«малым»
для
того,
чтобы
эффекты
размерного
ограничения
фононов
стали
проявляться.
Будет
полезно
обобщить
ключевые
аспекты
вычислений,
проведен
ных
в
работе
[149],
поскольку
они
иллюстрируют
общую
процедуру,
использующую
приближение
эффективной
массы
и
приближение
золо
того
правила
Ферми
(приложение
Д).
Для
находящегося
в
вакууме
куба
(-L/2
~
х,
у,
z
~
L/2)
с
бес
конечно
высокими
потенциальными
барьерами
на
границах
волновые
функции
носителя
представляются
формулами:
200
Гл.
8.
Рассеяние
носителей
на
продольных
оnтич.еских
фононах
1
· . l)
з{2.
inx
.
jny
.
lnz
Z,],
=
Vz
SШLSШLSШ
L
для
нечетных
i,
j,
l,
для
четных
i,
j,
l.
(8.139)
(8.141)
(8.143)
В
этой
системе
собственные
значения
энергии
носителя,
имеющего
эффективную
массу
m*,
в
приближении
эффективной
массы даются
формулой
(8.140)
Вероятность
перехода,
даваемая
золотым
правилом
Ферми,
описывает
ся
следующей
формулой:
W{e,a}
=
271'
IM{e,a}
12
д(Е"
.,
l' -
Е·
'1 ±
n(;JLO)
n % ,J ,
%,J,
,
где
M{e,a}(Q)
=
\i',]',l';N
q
+
'/2
±
'/21
H~~D)
I
i,j,l;N
q
+
'/2
=f
'/2)
(8.142)
и
где,
как
было
показано
выше,
знаки
выбираются
в
соответствии
с
процессом,
в
котором
участвует
рассматриваемый
фонон.
А
закон
сохранения
энергии
может
быть
выражен
в
следующим
виде
(в
соот
ветствии
с
видом
д-функции):
(i,2 _ i
2)
+ (]'2 _
j2)
+ (l,2
_l2)
±
2~:~2
(;JLQ
=
О.
Для
рассматриваемой
системы
ненулевые
матричные
элементы
соответствуют
переходам
между
состояниями
одинаковой
четности.
Поэтому
переходы
для
наименьших
квантовых
кубов
-
это
переходы
между
состоянием
11,
1, 1)
и
состояниями,
где
квантовые
числа
носителя
i',
j',
l'
и
i,
j,
l
выбираются
из
набора
1, 3, 5.
При
этом
все
вырожденные
состояния,
соответствующие
данному
набору
квантовых
чисел
носителя,
обозначаются
как
{Ii, j, l)}.
Вероятности
перехода
в
арсен
иде
галлия
при
комнатной
температуре
были
вычислены
в
работе
[149].
Результаты
сведены
в
табл.
8.1,
где
случай
эмиссии
соответствует
переходу
носителя
из
одного
из
вырожденных
состояний
указанного
набора
{Ii, j,
l)}
в
состояние
11,
1, 1).
Аналогично
в
случае
поглощения
начальным
состоянием
является
состояние
11,
1, 1),
а
конечное
состояние
указывается
определенной
комбинацией
{Ii, j, l)},
соответствующей
этому
переходу.