Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

Подождите немного. Документ загружается.

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

151

Частота

III

---

2 3

Волновой

вектор

,-:

--=';00:==--'-

'--

Рис.

7.23.

Дисперсионные

соотношения

П~

дЛЯ акустических

мод

описанных

тексте

микротрубок

при

= 3: 1 -

чисто

продольная

мода;

крутильная

мода;

111

радиальная

мода.

Частота

приведена

безразмерных

величинах

= I.<)R/c

q = Rqz.

При

= 1

параметрах,

приведенных

тексте,

частота

1.<)

7,6

ГГц.

Точечная

линия

разделяет

области

интерфейсных

оттекающих

волн

соответствует

условию

1.<)

sfqz

(см.

текст).

Сплошная

пунктирная

линии

соответствуют

микротрубкам,

погруженным

воду,

изолированным

микротрубкам.

Из

работы

[138],

печатается

разрешения

Американского

физического

общества

Для

случая

изолированных

сферических

квантовых

точек

квантование

акустических

фононов

может

быть

описано

выражением

(7.256)

u(r) =

Гi\Т

2)u(q,

r)a

сопр.]

нормировкой

амплитуды

акустического

фонона

u(q, r,

ер,

соответ

ствии

формулой

4:а

depfdeSinefdrr2u(q,r,e,ep).u*(q,r,e,ep)

= 2:;(;Jq·

о о

(7.257)

Здесь

радиус квантовой

точки,

N -

число

элементарных

ячеек

объеме

нормировки

V, a

оператор

уничтожения

фонона,

q -

вол

новой

вектор

фонона,

(;Jq

угловая

частота

фононной

моды,

сум

марная

масса

ионов

элементарной

ячейке,

е,

ер

общепринятые

152

Гл.

Континуальные

модели

фОНОНО8

Рис.

7.24.

Схематические

иллюстрации

полей

смещения

осесимметричной

кру

тильной

моды

(а),

осесимметричной

радиально-продольной

моды

(6)

изгиб

ной

моды

(8)

для

твердого

упругого

цилиндра.

Из

работы

[137],

печатается

разрешения

Американского

физического

общества

обозначения

сферических

координат.

Для

квантовой

точки

прямо

угольными

гранями

условие

нормировки

амплитуды

акустической

фо

нонной

моды

дается

формулой

а/2

Ь/2

с/2

a~c

f dx f dy f

dzu(q,x,y,z)·

U*(q,x,y,z)

2~(;Jq

-а/2

-Ь/2

-с/2

(7.258)

Классические

акустические

моды

таких

структурах

случае

изотропной

упругой

среды

были

проанализированы

ранее,

наиболее

полезные

из

известных

результатов

были

обобщены

работе

[93].

Чисто

компрессионные

моды

низшего

порядка

часто

называют

пульси

рующими

модами.

Поле

смещений,

связанное

этой

компрессионной

модой

низшего

порядка,

для

сферы

радиуса

дается

формулой

u(q,

г)

= r,j1

((;J~r)

, (7.259)

где,

постоянная

нормировки,

r -

единичный

вектор

радиальном

направлении,

j1 -

сферическая

функция

Бесселя

первого

порядка,

описываемая

формулой

j1(X) =

sinx

cosx/x,

(;Jq

частота

моды,

Сl

продольная

скорость

звука,

равная

Сl

J(л

2р)/р.

Частота

для

изолированной

сферы

определяется

исходя

из

того,

что

нормальная

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

153

составляющая

упругого

напряжения

на

поверхности

сферы

стремится

нулю,

т.

е.

т т

при

r =

а:

[(

((;Jqr)

2>'

d . ((;Jqr)] _

/\+

f.L

ЗО

- + - -

ЗО

С!

r dr

С!

т=а

(7.260)

где

jo(x) =

sinx/x

сферическая

функция

Бесселя

нулевого

порядка.

Это

условие

приводит

соотношению

(7.261)

(7.262)

Условие

нормировки

для

этой

пульсирующей

моды

низшего

порядка

имеет

вид

2 (;)1

31 f 2 ·2 n

-3

drr

Jl(r)=2M

(;Jz

(;Jq

где

(;Jqa/

сь

Этот

интеграл

вычисляется

аналитически,

что

позво

ляет

получить

выражение

(7.263)

(7.264)

где

сферическая

функция

Бесселя

второго

порядка

j2(X)

определяется

формулой

Ь(х)

[(3/х

)

(l/х)]

sinx

(3/х

)

COSX.

Пульсирующие

крутильные

моды

низшего

порядка

для

сферической

квантовой

точки

изображены

на

рис.

7.25.

Крутильная

мода

низшего

порядка

изолированной

изотропной

кван

товой

точки,

являющаяся

чисто

сдвиговой

модой,

может

быть

опреде

лена

из

известного

решения,

даваемого

моделью

упругого

континуума

для

классической

чисто

сдвиговой

моды

низшего

порядка

изотропной

упругой

среды

[93]:

u(q,r,

())

<pTCOS()jl

(~:г)

iwqt

где

<р

единичный

вектор

направлении

.р,

нормировочная

константа,

определяемая

из

условия

нормировки

фонона,

поперечная

скорость

звука

дается

формулой

ct = J

f.L/

р.

Эта

мода

изображена

на

рис.

7.25,

б.

Условие

нормировки

для

этой

моды

имеет

вид

2 (;)t

f 2

'2(

)

-3

drr J1 r =

2М

(;Jt

(;Jq

(7.265)

154

Гл.

Континуальные

модели

фононов

--+--

2а

Рис.

7.25.

Пульсирующая

мода

низшего

порядка

(а)

крутильная

мода

низ

шего

порядка

(6)

сферической

квантовой

точки.

Из

работы

[142],

печатается

разрешения

Американского

института

физики

где

UJqa/Ct.

Таким

образом,

нормировочная

константа

может

быть

вычислена

помощью

того

же

самого

интеграла,

который

исполь

зовался

для

расчета

Г,

действительно:

= 1

(7.266)

JЛСWt)

jO(Wt)j2(Wt)

VAfu;.

Выполняя

ту

же

процедуру,

что

для

пульсирующей

моды,

получаем,

что

дисперсионное

соотношение

для

крутильной

моды

низшего

порядка

имеет

вид

(7.267)

Когерентные

акустические

фононы

сферических

квантовых

точках

недавно

были

исследованы

работе

[144].

Наблюдавшемуся

затуханию

акустических

фононных

мод

низшего

порядка

было

дано

объяснение

на

основе

модели

упругого

континуума

работе

[146].

Приближенное

описание

классических

изгибно-толщинных

мод

для

структуры

прямоугольного

сечения

было

дано

Мак-Скимином.

Структура,

рассматриваемая

настоящем

параграфе,

имеет

грани,

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

155

сходящиеся

друг

другом

под

прямым

углом,

грани

плоскостях

ху,

являются

прямоугольниками,

при этом

ширина

структуры

направлении

равна

а,

ее

высота

направлении

равна

Ь,

длина

направлении

равна

с.

Изгибные

толщинные

моды,

описанные

Мак

Скимином,

имеют

вид

u(х,

у,

z) =

sin

тх

(sin llY +

о:

sin l2Y +

sin

lзу)

cos

nz,

[

o:l2

(З(m

]

v(x,y,z)

Acosmx

--соsllу--соsl2У+

соslзу

m m

зm

cos

nz,

(

)

[

n . l

о:(т

l~)

. l

(зn.

l ] .

x,y,z

cosmx

-sш

lУ- sш

2У+-SШ

зу

sшnz.

nт

(7.268)

где

о:

определяются

из

граничных

условий,

заданных

на

совокуп

ности

прямоугольных

граней.

Индексы

мод

дискретного

спектра

для

направлений

обозначены

соответственно.

Для

направле

ния

индекс

для

невихревой

(т.е.

продольной)

части

моды

обозначен

ll,

индексы

lз

описывают

вихревые

составляющие

моды.

Как

ста

нет

понятно

из

дальнейшего

изложения,

деформационный

потенциал

зависит

только

от

ll,

как

следовало

ожидать.

Действительно,

прямая

подстановка

дает

дu

ди:

tl(x,y,z)

дх

ду

Acosmx

(

msinllY

sinllY + : Sinl

1Y)

cosnz,

(7.269)

Изгибные

акустические

моды

Мак-Скимина

используются

настоя

щем

разделе

для

иллюстрации

квантования

мод

подобной

структуре.

Очевидно,

что эти

моды

не

образуют

полного

набора.

Действительно,

кроме

компрессионных

мод

существуют

изгибные

моды,

вызванные

изгибом

по

ширине

по длине.

Условие

нормировки

для

изгибных

толщинных

мод

Мак-Скимина:

а/2

Ь/2

с/2

a~c

Jdx Jdy Jdz (uu* + vv* + ww*) =

2:;u;q

-а/2

-Ь/2 -с/2

сводится

выражению

(7.270)

156

Гл.

Континуальные

модели

фононов

а;с

{f,(

т,

a/2)f,(n.

с/2)

[12(1,.

Ь/2)

+2"9' (1,.1,.

Ь/2)

2(3g1

(ll,

ь;

bj2) +

212(l2,

bj2) +

2oo(3g2(ll,

lз,

bj2) +

(32

12(lз,

bj2)] +

где

а/2

( sin

ha)

(h,

aj2)

= dy cos hy

="2

1 +

---yu;-

-а/2

а/2

12(h,

aj2)

= f dy sin

hy =

(h, aj2),

-а/2

Ь/2

' l· bj2) -

f d . l· . l. - sin(li

-lj)bj2

_ sin(li +lj)bj2

~'J'

sш

JY - li _ lj li + lj ,

-Ь/2

Ь/2

. l· bj2) -

f d l· l. - sin(li - lj )bj2 sin(li + lj )bj2

cos

~ycos

JY - li

-lj

+ li + lj .

-Ь/2

(2.272)

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

157

Деформационный

потенциал,

соответствующий

этим

изгибным

тол

щинным

модам,

принимает

особенно

простую

форму

вневырожденной

точке

Г:

E1tl(x,

У,

2)(cosmx

sinllY

cosnz)a

соп

р.]

(7.273)

Фактически

члены,

входящие

гамильтониан

Ндеф

описывающие

пространственную

зависимость,

не

зависят

от

(3.

Глава

РАССЕЯНИЕ

НОСИТЕЛЕЙ

НА

ПРОДОЛЬНЫХ

ОПТИЧЕСКИХ

ФОНОНАХ

Красота

это

гордость

природы,

она

дол)Кна

демонстрироваться

при

дворах,

на

празднествах

торже

ствах,

где

многие

могли

бы

полюбо

ваться

этим

творением.

Джан

Мильтон,

1637

§ 1.

Фрёлиховский

потенциал

для

продольных

оптических

фононов

объемных

структурах

типа

цинковой

обманки

вюрцита

настоящей

главе

золотое

правило

Ферми

диэлектрическая

кон

тинуальная

модель

оптических

фононов

при

меняются

для

определения

частот

рассеяния

носителей

на

продольных

оптических

фононах

объемных

структурах

типа

цинковой

обманки

вюрцита.

1.1.

Частоты

рассеяния

объемных

полупроводниках

решеткой цинковой

обманки.

Частота

рассеяния носителей

на

продольных

оптических

фононах

может

быть

определена

путем

расчета

на

основе

золотого

правила

СРерми

частоты

переходов

для

гамильтониана

возмущения

приведенного

§ 2

Гл

соответствии

этим

правилом

при

испускании

или

поглощении

фонона

частота

в{

е,а}

(k,

k')

переходов

единице

объема

из

начального

состояния,

обозначаемого

Ik,

1/2

1/2/

соответствующего

состоянию

электрона

Ik/

состоянию

фонона

1/2

1/2/,

конечное

состояние,

обозначаемое

(k',

1/2

1/21

соответству

ющее

состоянию

электрона

(k'l

состоянию

фонона

1/2

1/21,

дается

выражением

s{e,a}(k,k') =

IM{e,a}(Q)1

б(Е(k')

- E(k) ±

hw),

(8.1)

где

Перевод

сангл.

Б.

Никифорова

В.

Пожара.

§ 1.

Фрёлиховекий

потенциал

для

продольных

фононое

159

этих

выражениях

знаки

плюс

минус

выбираются

соответствии

заданными начальным

конечным

состояниями

фонона.

случае

испускания

фононов

конечное

состояние

содержит

на

один

фонон

больше,

чем

начальное;

соответственно

начальное

конечное

состо

яния

выбираются

следующем

виде:

Ik,N

)

(k', N

'/2

± '/21.

Для

процесса

поглощения

фононов

начальное

конечное

состояния

выбираются

аналогичным

образом.

аргументе дельта-функции,

вхо

дящей

выражение

для

s{e,a}(k, k')

описывающей

закон

сохранения

энергии,

верхний

знак

соответствует

испусканию

фонона,

нижний

поглощению

фонона.

приведенных

выражениях

состояния

электрона

фонона

относятся

разным

пространствам,

так что

Ik) IN

)

Ik,N

) ;

следовательно,

вычисление

матричных

элементов

состояний

электро

на

подразумевает

только

интегрирование

по

координатному

простран

ству,

вычисление

матричных

элементов

состояний

фонона

включает

себя

только

действия

матричными

элементами

операторов

рождения

уничтожения

фононов

(см.

§ 1

гл.

5).

Понятно,

что

эти

два

типа

матричных

элементов могут

вычисляться

независимо

друг

от

друга.

По

этой

причине

запись

виде

«произведения»:

Ik) IN

)

Ik,N

) ,

не

должна

вызывать

никаких

недоразумений.

Состояния

фононов

опи

сываются

так

же,

как

§ 1

гл.

фрёлиховский

гамильтониан

так же,

как

§ 2

гл.

(8.3)

где

с=

-i

2~e2hwLO

[ 1 1_]

Е(ОО)

Е(О)'

(8.4)

(8.5)

(k'l =

e-ik'.r

/VV.

Состояния

электронов

имеют

вид

плоских

волн,

нормированных

на

объем

Матричный

элемент

M{e,a}(q)

этом

случае

дается

выражением

M{e,a}(q) =

fd3re-ik'.r+ik.r

V q

(aqe

iq.

a~e-iq.r)

)

fdзге-ik'.Г:k-Г'fiq.Г~(=f)Jnq+

'/2±

'/2,

(8.6)

160

Гл.

Рассеяние

носителей

на

продольных

оnтич.еских

фононах

где

фононные

матричные

элементы

были

вычислены

использованием

формул

§ 1

гл.

частности:

- lla

qlNq)

=,;nq

lla~INq)

vп;+1.

(8.7)

формуле

(8.6)

верхние

знаки

соответствуют

испусканию

фонона,

нижние

поглощению.

Интегрирование

множителя

exp[-ik'

. r +

. r =f

r]jV

по

объему

приводит,

очевидно,

безразмерному

выражению,

включающему

дельта-функцию

от

величины

- k ± q.

Отсюда

следует,

что

волновой

вектор

конечного

состояния

элек

трона

связан

волновым

вектором

начального

состояния

электрона

волновым

вектором

фонона

соотношением:

= k =fq.

Случай

k =

+ q

соответствует

электрону

волновым

вектором

начальном

состоянии

электрону

фонону

конечном

состоянии

волновыми

векторами

соответственно.

То

есть

этот

случай

соответствует

испусканию

(или

рождению)

фонона.

другом

случае

k +q =

k',

так что

конечное

состояние

представ

ляет

собой

электрон

волновым

вектором

k',

начальное

состояние

содержит

электрон

фонон

волновыми

векторами

соответ

ственно.

Ясно,

что

этот

случай

соответствует

поглощению

(или

уни

чтожению)

фонона.

учетом

того

что

произведение

волнового

вектора

на

постоянную

равно

импульсу

соответствующей

частицы,

каждое

из

двух

рассмотренных

равенств:

k =

k + q =

vk',

можно

рассматривать

как эквивалент

закона

сохранения

импульса.

Интеграл,

содержащий

множитель

exp[-ik'·

r]jV,

может

быть

записан

виде:

8(k'

- k ±

q),

содержащем

дельта-функцию

Кроне

кера

накладывающем

условие

выполнения

равенства

- k ± q

=0.

Отсюда

следует

(8.8)

где

27Т

2 [1 1]

IGI

= v

Ти»

е(оо)

е(О)

(8.9)

При

вычислении

интеграла

по

принято

допущение,

что

частота

фононной

моды

не

зависит

от

равна

частоте

фон

она

центре

зоны.

Это

достаточно

хорошее

приближение

для

многих

материалов.

Например,

арсениде

галлия

частота

LО-фонона

изменяется

пример

но

на

10%

пределах

всей

зоны

Бриллюэна.

Более

того,

поскольку

наибольший

вклад

интеграл

вносят

области

вблизи

центра

зоны,

что

является

следствием

зависимости

вида

q-l

подынтегральном

выражении,

приближение

-ч.о

дает

относительно

небольшую

погрешность

при

вычислении

величины

рассматриваемого

интеграла.