Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

с

матрицей

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

121

'D=

О

(

2 2) .

d

C

z

-

c

t

Щх

dz

О

О

(

2

2)

. d

Cz

- c

t

Щх

dz

О

(7.135)

а

граничные

условия,

соответствующие

нулевому

напряжению

на

поверхности

z =

±а/2,

имеют

вид

du

y

=

О

dz

и

(7.136)

Как

показано

в

приложении

А,

в

расчетах

удобно

перейти

к

вели

чине

W =

VP

и;

при

этом

величина

р

для

акустических

мод

заменяет

величину

J

f.LN

/V,

применяемую

для

оптических

мод,

а

f.L

является

приведеиной

массой.

В

соответствии

с

этим

будем

считать,

что

ортого

нальные

собственные

векторы

этих

мод

удовлетворяют

условию

J

w~(qll'

z)·

wт(qll'

z) dz =

О,

n

-=J

m. (7.137)

Из

классической

акустики

[93]

известно,

что

рассматриваемая

задача

допускает

три

вида

решений:

сдвиговые

волны,

продольные

волны

(волны

сжатия

и

растяжения)

и

изгибные

волны.

Рассмотрим

сначала

сдвиговые

волны.

Для

этих

мод

единственная

составляющая

смещения

параллельна

поверхностям

z =

±а/2;

считая,

что

эта

ненуле

вая

составляющая

ориентирована

в

направлении

у,

имеем:

и

n

(qll' z) =

=

(О,

и

у

,

О),

где

{

cos

qz,nz

для

n =

0,2,4,

...

и

у

= (7.138)

sinqz,nz

для

n = 1,3,5, ...

и

qz,n =

пн]«.

Эти

поперечные

моды

называют

вихревыми.

Соотноше

ние

между

частотой

и

волновым

вектором

для

таких

сдвиговых

волн

имеет

вид

(7.139)

Понятно,

что

эти

сдвиговые

волны

имеют

такие

длины

волн,

что

на

толщине

а

пластины

умещается

целое

число

полуволн.

В

нано

размерных

кристаллических

пленках

число

полуволн

n

ограничено

числом элементарных

ячеек

в

пленке

толщины

а.

Таким

образом,

122

Гл.

7.

Континуальные

модели

фононов

для

полупроводниковой

пластины,

содержащей

N

m

слоев

атомов

общей

толщины

а,

число

п

принимает

целые

значения

от

О

до

N

m

.

Второй

класс

решений

связан

с

так

называемыми

продольными

мо

дами.

Эти

моды

являются

невихревыми

-

они

связаны

с

деформациями

среды,

имеющими

характер

сжатия

и

растяжения.

Такой

характер

волн

приводит

к

локальным

изменениям

объема

среды.

Эти моды

имеют

две

ненулевые

составляющие:

un(qll'

Z)

=

(и

х

,

о,

U

z

) ,

где

.

(2

2)

[.

qt

a

2'

qla ]

и

х

=

Щх

qx - qt

sш

2 cos qlZ + qlqt

sш

2 cos qt

Z

,

(7.140)

[

(

2

2)'

qt

a

. 2 2 .

««:

]

U

z

= ql - qx - qt

sш

2

sш

qlz + qx

sш

2

sш

qt

Z

,

а

ql

и

qt

являются

решениями

уравнений

4q;Лlqt

(q~

-

qn

2

'

(7.141)

Для

каждого

значения

qx

эта

пара

уравнений

имеет

либо

чисто

мни

мые,

либо

действительные

решения,

обозначаемые

ql,n(qx)

И

qt,n(qx),

причем

индекс

п

используется

для

обозначения

различных

ветвей

этих

решений.

Продольные

моды

имеют

частоты

UJ

n

,

удовлетворяющие

соотношению

(7.142)

Численные

решения

этих

дисперсионных

соотношений

были

найдены

в

работе

[121]

для

пластины

арсенида

галлия

ширины

10О

А

при

условии,

что

Cl =

5,7

х

105

см/с

И

ct =

3,35

х

105

см/с.

Наконец,

третий

класс

решений

называют

изгибными

модами.

Они

имеют

смещения

следующего

вида:

un(QIl'Z) = (ux,O,u

z

) ,

где

.

(2

2)

[ qt

a.

2

q1a.]

и

х

=

Щх

qx - qt cos 2

sш

qlz + qlqtcos 2

sш

qt

Z

,

(7.143)

а

ql

И

qt

являются

решениями

пары

уравнений:

4q;Лlqt

(q~

-

qn

2'

(7.144)

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

123

Как

и

в

случае

продольных

мод, эта

пара

уравнений

изгибных

мод

имеет

решения

вида

QZ,n(qx)

и

Qt,n(Qx),

где

п

нумерует

различные

ветви

решений.

Эти

моды

нормированы

в

соответствии

с

процедурой,

описанной

в

§ 1

гл.

5,

и

выражены

в

величинах

wn(qll'

z),

которые,

как

указано

выше,

а

также

в

приложении

А,

удобнее

в

использова

нии,

чем

величины

un(qll'

z),

с

которыми

они

связаны

соотношением

W

n

=

уГри

n

:

u(r)

= L

qll'n

(7.145)

Этот

результат,

разумеется, согласуется

с

условием

нормировки,

при

веденным

в

п.

З.З

гл.

7

J

L

2

d

z

{

VJЫ1

u

(

q

,

z

)

}

*

.

{VJЫ1U(q,z)}

=

2W~Q)'

(7.146)

Это

равенство

непосредственно

получается,

если

принять

во

внимание,

что

Ч]

= q,

и

положить

р

=

ип,

поскольку,

очевидно,

именно

плот

ность

р

является соотвеТСТВУЮLЦей

величиной

для

акустических

мод.

6.2.

Акустические

ФОНОНЫ

в

гетероструктурах

с

двумя

по

верхностями

раздела.

В

работе

[125]

рассмотрены

акустические

фононные

моды,

которые

могут

распространяться

в

изотропном

слое

плотности

Р!

и

толщины

а,

ограниченном

с

двух

сторон

средой,

имеющей

плотность

Р2

и

эаполняющей

оба

полупространства.

Обо

значим

поперечные

и

продольные

скорости

звука

в

слое

ct!

и

СП

соответственно,

а

скорости

звука

окружающей

среды

- Ct2

и

CZ2

соответственно.

Из

основных

граничных

условий

классической

акусти

ки

вытекает,

что

смещения

среды

u

и

нормальные

составляющие

тензо

ра

упругого

напряжения

Т

i

З

должны

быть

непрерывными

на

границах

слоя

(Z =

±а/2).

Модуль

Юнга

Е

а

и

коэффициент

Пуассона

lJ

a

среды

а

могут

быть

выражены

через

постоянные

Ламе:

е;

=

J-lа(ЗЛ

а

+

2J-la)

Л

а

+

J-la

и

(7.147)

где

индекс

а

= 1

соответствует

СЛОЮ,

а

а

= 2 -

окружающей

среде.

Обратные

соотношения

могут

быть

записаны

в

виде

откуда

следует,

что

и

и

(7.148)

(7.149)

124

Гл.

7.

Континуальные

модели

фононов

Записывая

поле

смещений

U

как

сумму

его

продольной

части

щ,

удо

влетворяющей

условию

'V

х

щ

=

О,

и

поперечной

части

Ut,

удовлетво

ряющей

условию

'V.

ц,

=

О,

из

волнового

уравнения

(7.130)

п.

6.1

гл.

7

получаем

два

уравнения:

где

и

и

(7.150)

(7.151)

Следуя

работе

[125],

примем

среду

изотропной,

и

тогда

без

потери

общности

можно

считать,

что

акустические

волны

распространяются

в

направлении

х

и

имеют

волновой

вектор

qll.

В

работе

[125]

аку

стические

моды

для

рассматриваемого

случая

квантовой

ямы

в

среде

классифицируются

как

симметричные

сдвиговые

вертикальные,

анти

симметричные

сдвиговые

вертикальные,

симметричные

сдвиговые

го

ризонтальные

и

антисимметричные

сдвиговые

горизонтальные

волны.

Определяя

упругое

смещение

u(z)

соотношением

и(х,

у,

z) = u(z) .

ei(Qllx-wt),

(7.152)

можно

сделать

вывод,

что

все

акустические

фононы

при

надлежат

к

двум

классам

волн:

сдвиговым

вертикальным

(SV)

модам,

имеющим

две

ненулевые

составляющие,

U(z) =

(и!

(z),

о,

uз(z)),

и

сдвиговым

горизонтальным

(ВН)

модам

U(z) =

(О,

U2(Z),

О).

(7.153)

(7.154)

Как

указано

в

п.

6.1

гл.

7,

симметричные

моды

удовлетворяют

условиям

и!

(z) =

и!

(-z),

U2(Z) =

и2(

-z),

uз(z)

=

-uз(

-z),

а

антисимметричные

-

условиям

и!

(z) =

-и!

(-z),

U2(Z) =

-и2(

-z),

uз(z)

=

uз(

-z).

(7.155)

(7.156)

Локализованные

моды

для

рассматриваемого

слоя,

окруженного

сре

дой,

должны

удовлетворять

граничным

условиям

u(z)lz=±oo

=

о.

(7.157)

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

125

Тогда

из

волновых

уравнений

для

смещений

следует,

что

симметрич

ные

сдвиговые

вертикальные

(BBV)

моды

должны

иметь

вид

{

A~

e-7)12

Z

+

B~

e-7)t2

Z,

z >

а/2,

uf

(z) =

Af

ch 1]l1Z +

B~

ch 1]t1z,

Izl

<

а/2,

A~

e7)12

Z

+

B~

e7)t2

Z,

z <

-а/2,

(7.158)

а

антисимметричные

сдвиговые

вертикальные

(ABV)

моды

-

вид

{

Af

e-7)12

Z

+

Bf

e-7)t2

Z,

z >

а/2,

uf

(z) =

Af

8h 1]l1Z +

в:

8h 1]t1Z,

Izl

<

а/2,

-

А

А

e7)12

Z

-

в

А

e7)t2

Z

z

<

-а/2,

2

2'

u~(z)

=

u~(z)

=

. (1]12

АВ

-7)12

Z

+

qll

вВ

-7)t2

Z)

~

-

2

е

-

2

е

,

qll

1]12

. (1]11

АВ

qll

в

)

~

- 1 8h

1]l1

Z - -

В

2

8h 1]t1Z ,

qll

1]11

i (1]12

A~

e7)12

Z

- i!L

B~

e7)t2

Z)

,

qll

1]12

. (1]12

АА

-7)12

Z

+

qll

вА

-7)t2Z)

~

-

2

е

-

2

е

,

qll

1]12

. (

1]11

АА

qll

А

)

~

--

1 ch 1]II

Z

- -

В

2

ch

1]t1

Z

,

qll

1]11

i (1]12

Af

e7)12

Z

- i!L

в:

e7)t2

Z)

,

qll

1]12

z >

а/2,

Izl

<

а/2,

z <

-а/2,

z>

а/2,

Izl

<

а/2,

z <

-а/2.

(7.159)

Функции

1]1a.

и

1]ta.

определяются

формулами

1]1a.

=

Jqп

-UJ

2

/cf

a.

и

1]ta. =

Jqп

-UJ

2

/ Cla. '

(7.160)

где

индекс

а

= 1

соответствует

слою,

а

а

= 2 -

окружающей

среде.

Условия

1]1a.

=

О

и

1]ta. =

О

принимаются

в

качестве

дисперсионных

соотношений

соответственно

для

продольных

и

поперечных

объем

ных

акустических

мод

в

среде

а.

Из

определений

тензоров

упругого

напряжения

дj

и

упругой

деформации

B

ij

,

приведенных

в

§ 2

гл.

7,

получаем,

что

в

среде

а

выполняется

равенство

(7.161)

126

Гл.

7.

Континуальные

модели

фононов

2

17/1

а

d

з з

=

-2Р1

Сt1l7l1

sh

2'

Тогда

из

выражений

(7.158)

и

(7.159)

для

величин

uf(z),

uf(z),

uf(z),

u~(z)

следуют

формулы

Т

(

а

)

2 28(00)

т.(а)

О

13 =

PaCl

a

13 ' 23

= ,

(7.162)

т.

(

а

)

_

(2

2 )8(00) 2 8(00)

33 -

Ра

Cl

a

-

cta 11 +

PaCl

a

33 .

Полагая,

что

величины

Ti~a)

И

U

непрерывны

при

z =

±а/2,

получаем

четыре

уравнения.

Детерминант

этих

уравнений

det

d

m n

дает

диспер

сионные

уравнения

дЛЯ

SSV

-мод.

Индексы

т

и

n

пробегают

значения

1, 2, 3

и

4,

а

компоненты

d

m n

даются

формулами

d

ll

=

ехр

(-

l7l~a)

, d

12

=

ехр

(_

l7l~a)

,

1Щ

а

17t1

а

d

1

З

= - ch 2 ' d14 = - ch 2 '

2

qll

(l7t2

a)

d

22

= -

l7t2

ехр

-2

'

2

d

24

=

_~

sh

l7t1

a

,

l7t1

2

2 2

2 (

1712

a)

2

l7t2

+

qll

(l7t2

a)

d

31

=

-2р

2

Сt21712

е

х

р

--2

' d

32

=

-Р

2

Сt2

2

ехр

--2

'

l7t2

2 2

2

l7t1

+

qll

h

17t1

а

d

34

=

-Р

1

С

t1

2 S

-2

'

17t1

d

2 ( 2

2)

(1712

a)

41 =

P2Ct2

l7t1

+

qll

ехр

- 2 '

d

2(2

2)h

l7

lla

43 =

-Р1

Сt1

l7t1

+

qll

с

2'

d

2

2 2 h

l7t1

a

34 = -

P1Ct1qll

с

2'

(7.163)

Для

А8V-мод

соответствующие

компоненты

d

m n

получаются

путем

замен:

ch!:::::;

sh, d

14

----7

-d

14

,

d

24

----7

-d

24,

d

31

----7

-d

з

1,

d

32

----7

-d

з

2,

dзз

----7

-dзз,

d44

----7

-d44.

Как

и

в

работе

[125],

величины

Af.A,

A~.A,

Bf,A

и

Bf,A

выражаются

через

эти

новые

компоненты

d

m n

посред

ством

формул

-d

14

d

12

d

1

З

d

ll

d

12

-d

14

AS,A

_ 1

-d

24

d

22

d

2 З

AS,A

_ 1

d

21

d

22

-d

24

1 -

detd

mn

,

2 -

detd

mn

,

-d

34

d

32

d

з з

d

31

d

32

-d

34

и

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

d

11

-d

14

d

1

з

B

S ,A - 1 d d d

1 - 21 - 24

2З

,

detd

m n

d

З

1

-d

З

4

d

з з

127

(7.164)

(7.165)

где

индексы

т

и

n

пробегают

значения

1, 2

и

3.

SSV-моды

представляют

особый

интерес

потому,

что

обладают

иенулевым

деформационным

потенциалом.

Они

будут

нами

рассмот

рены

в

дальнейшем

в

гл.

10

в

связи

с

излучением

когерентных

аку

стических

фононов

электронным

током

в

слое,

окруженном

средой.

Выражения

для

сдвиговых

горизонтальных

(ВН)

мод

получаются

ана

логично

выражению

для

SV-мод

[125].

Для

ВВН-мод

они

имеют

вид

щ(z)

~

{

D

S

e - ryt2

Z

z >

а/2,

2 '

Dr

coset

1z,

Izl

<

а/2,

(7.166)

D

S

e ryt2

Z

z <

-а/2,

2 '

а

для

АВН-мод

-

uf(z)

~

{

D

A

e - ryt2

Z

z >

а/2,

2 '

Df

sine

t 1

z,

Izl

<

а/2,

(7.167)

_D

A

e ryt2

Z

z <

-а/2,

2 '

где

2

е

UJ 2 .

(7.168)

t1 =

:2

-

qll

= ZrJt1·

C

t1

При

помощи

процедур,

аналогичных

использованным

для

анализа

SSV-мод,

получаем

дисперсионное

соотношение

для

ВВН-мод:

(7.169)

Дисперсионное

соотношение

дЛЯ

АВН

-мод

имеет

вид

(7.170)

128

Гл.

7.

Континуальные

модели

фононов

а

амплитуды

полей

смещения

даются

выражениями

Df =

Df

= 1,

s 'f/t2

a

B

t1

a

D

2

=

ехрт

COST'

D

A

_

'f/t2a.

Bt1

a

2 -

ехр

2

SШ

2 .

(7.171)

Видно,

что

ВН-моды

существуют

только

в

области

UJ2/

C;2

<

q~

<

<

,,}/с;,.

в

работе

[125]

(см.

также

[9])

локализованные

акустические

моды

в

слое,

симметрично

окруженном

средой,

классифицированы

на

основе

разбиения

плоскости

UJQII'

Они

обнаружили,

что

в

такой

структуре

локализованные

акустические

моды

существуют

при

условии

Ct, <

сп.

Cl1,

сп.

ЭТИ

моды

распространяются

вдоль

слоя

и

зату

хают

вне

его.

Для

подобных

задач

в

работе

[125]

приведено

мно

го

численных

результатов,

касающихся

дисперсионных

соотношений

и

амплитуд

мод

для

локализованных

волн

симметричных

сдвиго

вых

вертикальных

(SSV),

антисимметричных

сдвиговых

вертикальных

(ASV),

симметричных

сдвиговых

горизонтальных

(ВВН)

и

антисим

метричных

сдвиговых

горизонтальных

(АВН)

волн.

Как

упомянуто

выше,

SV-моды

будут

рассмотрены

в

дальнейшем

в

гл.

10

в

связи

с

излучением

когерентных

акустических

Фононов

электронным

током

в

слое,

окруженном

средой.

6.3.

Акустические

фононы

в

квантовых

про

волоках

прямо

угольного

сечения.

Классические

акустические

моды

сжатия

и

растя

жения

(компрессионные

моды)

в

свободных

стержнях

прямоугольного

сечения

были

исследованы

экспериментально

[126]

и

теоретически

[127, 128].

Решения,

полученные

в

этих

работах,

основываются

на

модели

упругого

континуума,

а

также

на

приближенном

методе

разделения

переменных.

Как

было

продемонстрировано

ранее,

эти

классические

решения

модели

упругого

континуума

дают

основу

для

описания

компрессионных,

т. е.

продольных,

фононных

мод

В

нано

размерной

квантовой

проволоке

прямоугольного

сечения.

Для

случая,

когда

соотношение

размеров

сечения

достигает

двух

и

более,

было

обнаружено

[126, 127, 128],

что

указанные

решения

дают

простые

и

точные

аналитические

выражения,

согласующиеся

с

эксперименталь

но

наблюдающимися

модами

в

широком

диапазоне

условий.

Рассмот

рим

изолированный

прямоугольный

стержень

бесконечной

длины

в

на

правлении

оси

z,

имеющий

высоту 2а

в

направлении

оси

х

и

ширину

2d

в

направлении

оси

у

(см.

рис.

7.18).

§6.

Континуальная

модель

акустических

мод

129

х

z

+d

+а

f-----j<---+-+---(

"--------+-+-----.-

У

-а

к:.......

..J

-d

Рис.

7.18.

Прямоугольная

квантовая

проволока

шириной

2d

в

направлении

у

и

высотой

2а

в

направлении

х.

Из

работы

[129],

печатается

с

разрешения

Американского

физического

общества

Если

положить,

ЧТО

начало

координат

плоскости

ху

находится

в

центре

проволоки,

ТО

смещения

среды,

соответствующие

рассмат

риваемым

акустическим

модам,

описываются

вектором

u(x,

У,

z) =

=

(и\,

V\,

Ш\)

с

координатами

UJ

=

и(х,

У)

ei"((z-ct)

, v\ =

v(x,

У)

ei"((z-ct),

(7.172)

Ш\

=

ш(х,

У)

ei"((z-ct).

Здесь

с

-

фазовая

скорость

акустических

мод,

а

'у

-

волновой

вектор

в

направлении

z.

Решения

волновых

уравнений

(7.173)

могут

быть записаны

в

виде

произведения

тригонометрических

функций:

ф

о;

{

sinq\x

} {

sinh\y

},

cosq\x

cosh\y

'ljJ

ос

{

sin

Q2

x

} {

sin

h

2

y

},

cos

Q2x

cos h

2

y

(7.174)

где

2 2 h2

Ql = Q\ + \

и (7.175)

5

М.

А.

Сторшио,

М.

Дутта

130

Гл.

7.

Континуальные

модели

фононов

Граничные

условия при

х

=

±а

и

у

= ±d

записываются

в

следующем

виде:

Т

х

х

=

О,

Тух

=

О,

T

zx

=

О при

х

=

±а,

(7.176)

Т

у у

=

О,

Т

х

у

=

О,

T

zy

=

О при

х

= ±d.

Эти

граничные

условия

нельзя

удовлетворить

полностью.

В

работах

[127, 128]

разработан

простой

метод,

позволяющий

выполнить

эти

условия

и

заключающийся

в

том,

чтобы

представить

упругие

компо

ненты

в

виде

произведения

функций

от

х

и

у.

Это

возможно,

если

либо

q, = q2 ,

либо

h,

= h

2.

Приближенное

решение

для

компрессионных

мод,

основанное

на

разделении

переменных,

при

условии

h =

h,

= h

2

имеет

следующий

вид:

u =

(Asinq,x

+

BSin

q2

X)

coshy,

где

V=

(~

ACOSQ,x+csinQ

2x)sinh

Y,

w = i

(_l

AcosQ'x

+

~

(Q2B +

hC)

sin

Q

2x)

coshy,

Q' I

ql

+

hl

~

l'

[

ш

2 -

1]

,

q1

+h1

~12

[(~)'

-1],

(7.177)

(7.178)

р

--

плотность

упругой

среды,

а

продольная

и

поперечная

скорость

звука

даются

выражениями

С!

=

yI(>

..

+

2м)/

р

и (7.179)

Моды,

соответствующие

этому

случаю,

известны

как

«голщинные

моды»

В

соответствии

с

обозначением,

данным

в

работе

[126],

где

показано,

что

условие

h =

h,

= h

2

приводит

К

адекватному

описанию

экспериментально

определенных мод

для

случая,

когда

d

~

2а.

Под

ставляя

выражения

(7.177)

для

и,

V

и

w

в

равенства

Т

х

х

=

Тух

= T

zx

=

=

о

в

точках

х

=

±а

получаем,

что