Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

Подождите немного. Документ загружается.

Приложенив

271

Потенциал

(произв.

един.)

IFl

IF2

20 40

(А)

-40 -20

20 40

(А)

-2

2'---------L---------'---

- 2 L...u...'-'-'-'

............

.J...u..~u...u..LU..u...L'_'_'_'

c.u....-'-'-'-'-'-'-'-,-,-,-.LJ....uu...u.-'-'-'-'-'-'-'...u

-60-40

-20

-1

Рис.

8.4.

Подробное

сравнение

распределения

электрического

потенциала

вы

сокочастотных

симметричных

(IF1)

антисимметричных

(IF2)

интерфейсных

мод,

рассчитанных

из

макроскопических

микроскопических

моделей

при

q = (qx,

О,

О),

причем

для

мод,

изображенных

верхней

половине

рисунка,

Ч»

= 0,05

для

мод,

изображенных

нижней

половине

рисунка,

qx =

О,

-\.

Штрих-пунктирные

сплошные

линии

представляют

потенци

алы,

вычисленные

на

основе

макроскопической

модели

микроскопической

модели

соответственно.

Как

ожидалось,

наблюдается

хорошее

соответствие

между

макроскопическими

микроскопическими

расчетами.

Из

работ

[106],

печатается

разрешения

Американского

физического

общества

Г.1.

Одноосные

структуры

одной

поверхностью

раздела.

Рассмотрим

сначала

моды

полупространств

(HS)

гетерострукту

ры

одной

поверхностью

раздела,

разделяющей

две

полубесконеч

ные

области

полярного

полупроводника, у

которого

ось

ориенти

рована

перпендикулярно

поверхности

раздела.

области

z <

ди

электрические

постоянные

обозначены

Е:(

UJ)

..l,2

Е:(

UJ)

11,2,

а в

области

z >

E:(UJ)..l,l

E:(UJ)II,l'

Моды

полупространства

ведут

себя

как

нормальные

объемные

моды

при

----+

±оо

удовлетворяют

элек

тростатическим

граничным

условиям

при

z =

О.

Рассмотрим

случай,

котором

оптический

фонон

распространяется

область

из

области

(рис.

Г.l,а).

Обозначим

волновой

вектор

области

через

(Q,Ql.ll)'

Рис.

Г.l.

Структура

одной

поверхностью

раздела

(а)

структура

двумя

поверхностями

раздела

(6).

Из

работы

[24],

печатается

разрешения

Амери

канского

физического

оБLЦества

угол

между

этим

волновым

вектором

осью

Z -

через

(}1.

Когда

разрешенные

частоты

области

не

перекрываются

разрешенными

частотами

области

то

E(U;)11,2E(U;)..l,2

О,

моды

области

экс

поненциально

затухают.

Следуя

анализу,

проведенному

п.

3.1

гл.

запишем

Z >

О,

. { Acosqll,lZ + Bsinqll,lZ,

ф(г)

Ce"'2

Z <

О,

отсутствие

свободных

зарядов

(\7 . D =

О)

получим

E(U;)II,lq~,l

E(U;)..l,lq

О,

E(U;)II,lE(U;)..l,l

О,

(Г.l

)

(Г.2)

Из

непрерывности

тангенциальной

составляющей

электрического

поля

при

Z =

следует,

что

С.

Из

непрерывности

нормальной

состав

ляющей

индукции

электрического

поля

при

Z =

следует:

EII,lQII,lB

ЕII,2К;2С;

таким

образом,

ДlВ,

где

дl

ЕII,lQII,l/ЕII,2К;2.

итоге

имеем

. {lllCOSQII,lz+sinQII,lZ,

z>O,

ф(г)

Фа

(Г.3)

дl

e"'2

Z <

О.

Теперь

компоненты

поля

E..l

EII

описываются

посредством

соответствующих

градиентов

потенциала

ф.

Условия

нормировки

п.

3.3

гл.

= J

{_1

aE(U;)..l,n

..l

aE(u;)II,n

2u;

47Г

2u;

au; ,

47Г

2u;

au;

11,

(Г.4)

Приложенив

273

(Г.7)

можно

переписать,

используя

следующие

выражения

для

интегралов

от

величин

IE-1,nI

IEII,nI

L/2 L/2

IE-1,nI

2dz

fIsinqll,\z +

д\

cosqll,\zI

2dz

-L/2

(Г.5)

L/2 L/2

f I

EII,nI

2dz

Ф6qп,\

fIsinqll,lz +

д\

cosqll,\zI

2dz

-L/2

(Г.6)

где

нормировка

направлении

осуществляется

по

области

(-L/2,

+L/2)

переход

пределу

L/2

----7

будет

выполнен

на

более

позднем

этапе

расчета.

Очевидно,

что

указанном

пределе

экспоненциально

затухающая

мода

области

вносит

незначительный

вклад

интегралы

нормировки.

Отсюда

следуют

выражения

ф2

47Гn

(дЕ-1'\

дEll,\

)-\

LЗ

ду

д(;.)

q +

д(;.)

qЦI

{

€11,\qll,l

cosQII,lz

€11,2h:2

sinQll.J

€11,\QII,\

el'>2

Z >

О,

Z <

О,

(Г.8)

где

суммирование

проводится

только

по

величинам

QЦI'

удовлетво

ряющим

условию

10((;.))11,210((;.))-1,2

О.

Случай,

когда

оптический

фонон

распространяется

область

из

области

может

быть

рассмотрен

аналогичным

образом.

Угловая

зависимость

частоты

фононов

гетероструктурах

ре

шеткой

вюрцита

приводит

ситуации,

нетипичной

для

гетерострук

тур

решеткой

цинковой

обманки,

когда

существует

интервал

пе

рекрытия

разрешенных

частот

фононов,

соответствующих

двум

обла

стям

образца.

Это

приводит

появлению

мод,

которые

распростра

няются

через

границу

раздела.

Рассмотрим

случай,

когда

оптический

274

Приложения

фонон

частоты

попадает

область

из

области

этом

случае

фонон

будет

распространяться

области

если

частота

фонона

такова,

что

E(W)II,2E(W)1..,2

О.

Как

ранее,

разрешенные

частоты

области

являются

решениями

уравнения

E(W)II,lq~,1

E(w)1...

О,

Т.е.

qll,1

)-Е(W)l..,ljЕ(W)

11,1

Если

E(w)II,2E(W)1..,2

О,

то

существует

действительное

решение

дЛЯ

QII,2,

которое

удовлетворяет

уравнению

(Г.9)

откуда

QII,2

E(W)II,IE(w)1..,2

E(w)1..,IE(w)II.2

QII,I·

(Г.10)

Записывая

потенциал

фонона

виде

z >

О,

z <

О,

(Г

.11)

получаем,

что

непрерывность

тангенциальной

составляющей

электри

ческого

поля

на

поверхности

раздела

приводит

равенству

С,

непрерывность

нормальной

составляющей

индукции

электрического

поля

поверхности

раздела

приводит

условию

(А

В)/1

С,

где

Исключая

из

этих

двух

условий,

получаем:

2А

= (1 +/121

)С,

так что

2А/1

А(/1

- 1)

- 1 + /12

- 1 + /12 .

огда

z >

О,

(Г.12)

z <

О.

Как

выше,

условие

нормировки

из

п.

3.1

гл.

= J

{_1

aE(w)l..,n

IEl..

+ _1

дE(w)ll,n

2ш

47Г

2ш

дш

47Г

2ш

дш

II,n

(Г.13)

Приложенив

275

(Г.14)

может

быть

переписано

использованием

интегралов

от

величин

IE-t,nI2

IEII,nI

IE~,

I'dz

Ф6q'

(~:~:)

IEI11I'dz

фМ,

(~:

~:)

IЕцl'dz

Ф6q'

:"l,)

-L/2

1IEII,I'dz

Ф6qП,

:"l,)

-Ц2

Эти

интегралы,

входящие

условие

нормировки,

определяют

распро

страняющиеся

(PR)

моды

оптических

фононов

структурах

решеткой

вюрцита

одной

поверхностью

раздела.

Соответствующий

гамильтони

ан

взаимодействия

электронов

оптическими

фононами

имеет

вид

для

квази-симметричных мод

Z >

О,

Z <

О,

(Г.15)

. {

E'11,2q2.11

siпqЦlz,

еЩ'Р(а

)

-q

Е'11,lqц

sшq2.ll

для

квази-антисимметричных мод

[24].

Z >

О,

Z <

О,

(Г

.16)

276

Приложения

Г.2.

Одноосные

структуры

двумя

поверхностями

раздела.

Рассмотрим

сначала

интерфейсные

моды

гетероструктуры

одноосном

полярном

полупроводнике,

состоящей

из

слоя

вещества

толщины

ограниченного

двумя

полубесконечными

областями

из

вещества

занимающих

области

z <

-d/2

d/2.

Ось

направлена

перпен

дикулярно

поверхностям

раздела.

области

Izl

d/2

диэлектрические

постоянные

обозначены

C:(UJ)..l,1

C:(UJ)II,I,

а в

полубесконечных

обла

стях

Izl

d/2

соответственно

C:(UJ)..l,2

E(UJ)II,2,

как

изображено

на

рис.

Г.1,

б.

Как

для

случая

решеткой

цинковой

обманки,

опи

санного

гл.

потенциал

ф(г)

принимается

виде

{

eI<2(z+d/2)

ф(г)

Ach/1;IZ+

~Sh/1;IZ'

e-1<2(z-d/2)

z <

-d/2,

Izl

< d/2,

d/2.

(Г,17)

отсутствие

свободных

зарядов

(\7 . D =

О)

дисперсионные

соот

ношения

веществах

имеют

вид

C:(UJ)II,1/1;T

C:(UJ)..l,

l q

О,

C:(UJ)II,2/1;§

C:(UJ)..l,

О,

C:(UJ)II,IC:(UJ)..l,1

О,

C:(UJ)II,2C:(UJ)..l,2

О,

(Г.18)

откуда

следует,

что

/1;1

VC:(UJ)..l,I/C:(UJ)II,1

/1;2

VC:(UJ)..l,2/C:(UJ)

11,2

Непрерывность

тангенциальной

составляющей

электрического

поля

на

границах

раздела

имеет

место

при

выполнении

условий

= Ach/1;ld/2 - Bsh/1;ld/2,

-d/2

z = d/2.

(Г.19)

(Г.20)

Подобным

же

образом

непрерывность

нормальной

составляющей

индукции

электрического

поля

на

границах

раздела

имеет

место

при

выполнении

условий

z =

-d/2,

(Г.21

)

z = d/2.

(Г.22)

Приложенив

Исключая

из

этих

уравнений,

получаем

277

E(""')11,21\;2(Ach

1\;\d/2

sh 1\;\d/2) =

10(""')

11,\

1\;\

(-Ash

1\;\d/2 +

ch1\;\d/2)

(Г.23)

-Е(''''')11,21\;2(Асh1\;\d/2+Вsh1\;\d/2)

10(""')

11,\

1\;\

(Ash1\;\d/2 +

ch1\;\d/2).

(Г.24)

Соответственно

условие

существования

нетривиальных

решений

имеет

вид

[E(""')II,11\;\

1\;\d/2

E(""')11,21\;2

Ch1\;\d/2]

[10(""')

11,\

1\;\

ch1\;\d/2+

E(""')11,21\;2

Sh1\;\d/2] =

о.

(Г.25)

Очевидно,

что

могут

иметь

место

два

случая.

Случай,

когда

выпол

няется

соотношение

соответствует

В =

О,

что

при

водит

равенствам

(Г.26)

С=D=Фа

А=

ch1\;\d/2

Фа

ch1\;\d/2 '

(Г.27)

откуда

следует,

что

потенциал

Ф(r)

симметричен,

описывается

выра

жением

{

_e1i2

(z+d/2)

ф(r)

ФаеЩ'Р

(Ch1\;\Z)/(C~1\;\d/2),

1i2

(z- d/ 2),

Случай,

когда

выполняется

соотношение

z <

-d/2,

Izl

< d/2,

d/2.

(Г.28)

соответствует

О,

что

дает

(Г.29)

-с

= D =

Фа

В=

1\;\d/2

Фа

(Г.30)

278

Приложения

откуда

следует,

что

потенциал

антисимметричен

описывается

выра

жением

{

_eK2(Z+d/2)

ф(r)

фое

(Sh/\;'Z)/(S~fЧd/2),

2(Z-d/2)

-d/2,

Izl < d/2,

d/2.

(Г.31

)

Как

выше,

условие

нормировки

из

п.

3.1

гл.

= J

(_1

aE:(UJ)J..,n

IEJ..

+ _1

&(UJ)II,n

2UJ

47Г

2UJ

Ви:

47Г

2UJ

aUJ

11,

(Г.32)

можно

переписать

использованием

интегралов

от

соответствующих

членов:

IEJ..,nI

2IФ(z)1

IEII,nI

lдф(z)/дzI

Для

симметричного

случая

эти

интегралы

имеют

вид:

-d/2

00 00

IEJ..,21

2dz

= J

IEJ..,21

2dz

2K2(Z-d/2)dz

Ф6

-00

d/2

d/2 d/2

IEJ..,112dz

2 1 Jch

/\;,zdz =

ch /\;,d/2

-d/2 -d/2

2ф

(_1_

/\;,

d ch

/\;,

d +

/\;,

d/2

2/\;,

2 2

-~2

00 00

12dz

= JIE 1

2dz

ф2/\;2

2K2(Z-d/2)dz

ф2/\;2

11,2

2 '

-00

d/2

~2 ~2

IEII,,12dz

Ф6/\;I

2 1 Jsh

/\;,zdz =

ch /\;,d/2

-d/2 -d/2

2Ф6/\;I

(_1_

/\;,

d ch

/\;,

d _

~).

(Г

.33)

/\;,

d/2

2/\;,

2 2 4

Для

антисимметричного

случая

эти

интегралы

принимают

вид

-d/2

00 00

IEJ..,21

2dz

= J

IEJ..,21

2dz

2K2(Z-d/2)dz

Ф6

-00

d/2

Приложенив

279

Ц2

IE-t,112dz

2 1 J

"'l

z dz

"'ld/2

-Ц2 -Ц2

2ф

(_1_

"'l

2"'1 2 2 4

-Ц2

= =

12dz

= JIE 1

2dz

ф2",2

2r<2(Z-d/2)dz

ф2

"'2

11,2 11,2

2 '

d/2

Ц2 Ц2

IEII,112dz

Ф5"'Т

2 1 Jch

"'I

dz =

"'ld/2

-Ц2 -d~

2ф5"'Т

(_1_

"'l

~).

(Г.34)

"'ld/2

2"'1 2 2 4

Следовательно,

гамильтониан

взаимодействия

носителей

оптиче

скими

фононами

для

симметричных

мод

описывается

выражением

где

частота

является

решением

трансцендентного

уравнения

JE-t,IЕII,1

(JE-t,IЕII,1

qd/2)

JE-t,2ЕII,2

О,

(Г.36)

удовлетворяющим

условию

EII,IEII,2

и,

как

уже

указывалось

выше,

условиям

E-t,IЕII,1

E-t,2ЕII,2

О.

ДЛЯ

антисимметричной

моды

вы

ражение

для

гамильтониана

имеет

вид

280

Приложения

_1_

eiq,p(a

+ at ) {

YI2(i

q-q

Sh(JG..l,IGII,1

qz)

sh(JG..l,IGII,1

qd/2) ,

sign(z)e-~

Q(l

zl-d/2),

Izl < d/2,

Izl > d/2,

(Г.37)

где

частота

определяется

из

уравнения

VG..l,1GII,i

cth

(VG..l,IGII,1

qd/2)

VG..l,2GII,2

при

условии

GII,1GII,2

О.

Дисперсионные

соотношения

для

этих

интер

фейсных

мод

изображены

на

рис.

Г.2

дЛЯ

имеющей

решетку вюрцита

структуры

AIN/GaN/AIN,

образующей

квантовую

яму

толщины

Частота

фонона

(CM-

500

'-----_--'-----_----'---_-----'--_-----.J'-----_--'-----_-'

1000

600

700

800

900

Волновой

вектор

(qd)

Рис.

Г.2.

Дисперсионные

соотношения

интерфейсных

фононов

для

гетеро

структуры

A1N/GaN/

A1N

двумя

поверхностями

раздела,

разнесенными

на

расстояние

Из

работы

[24],

печатается

разрешения

Американского

физического

общества

Для

симметричных

размерно-ограниченных

мод

структуре

дву

мя

поверхностями

раздела

потенциал

ф(г)

выбирается

следующей

форме:

{

cosqll,ld/2eК02(z+d/2),

ф(г)

Фа

cosqll,1Z,

cos

Qll,l

d/2

КО

2(z-d/2)

z <

-d/2,

Izl < d/2,

z > d/2.

(Г.38)