Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах

Подождите немного. Документ загружается.

Глава

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ

СООБРАЖЕНИЯ

Сейчас

выяснился

один

исключи

тельно

важный

факт,

касающийся

Космического

корабля

под

назва

нием

Земля.

Он

состоит

том,

что

для

этого

корабля

отсутствует

инструкция.

Р.

Бакминстер

Филлер,

Инструкция

по

эксплуа

тации

Космического

ко

рабля

"Земля",

1969

§ 1.

Всеобъемлющая

роль

фононов

современных

твердотельных

устройствах

На

протяжении

всей

книги

приводились

примеры

того,

что

фононные

эффекты

имеют

всеобъемлющий

характер

современных

твердотельных

приборах.

Как

показано

на

множестве

примеров

гл.

7-10,

значение

этих

эффектов

для

размерно-ограниченных

структур,

как

правило,

не

меньше,

чем

для

объемных

структур.

При

этом

гл.

было

показано,

что

эффекты

размерного

ограничения

важны

даже

для

биологических

структур!

Там

на

примере

цилин

дрической

оболочки

виде

тонкого

слоя,

потруженной

жидкость,

моделировалось

колебательное

поведение

микротубулин,

погруженных

воду

[137].

Примеры,

приведенные

гл.

7,9,

также

показывают,

что

модель

упругого

континуума

дает

достаточно

точное

описание

акустических

фононов

размерно-ограниченных

структурах,

имеющих

разнообразные

геометрические

формы,

включая

тонкие

пленки,

нанопроволоки

прямоугольного

круглого

сечения

множество

структур

точечного

типа.

Поскольку

наноразмерные

элементы

имитируют

хорошо

известные

более

крупные

микроэлектромеха

нические

устройства,

роль этих

структур

неизбежно

оказывается

фундаментальной,

имеющей

значение

для

всей

нанотехнологии.

Например,

работе

[173]

сообщалось

методе

изготовления

наноразмерных

механических

структур

из

объемных

однокристальных

Перевод

сангл.

Б.

Никифорова

В.

Пожара.

252

Гл.

11.

Заключительные

соображения

кремниевых

подложек.

качестве

другого

примера

фундаментальной

роли

акустических

фононных

эффектов

размерно-ограниченных

структурах

можно

упомянуть

недавнее

теоретическое

предсказание

возможности

генерации

высокочастотных

размерно-ограниченных

акустических

фононов

квантовых

ямах

на

основе

эффектов

черенковского

типа

[100]

(см.

§ 6

гл.

10).

гл.

было

показано,

что

значения

частот

рассеяния носителей

на

оптических

фононах,

вычисленные

для

множества

размерно-ограничен

ных

полупроводниковых

структур,

превышают

1013

с-

Понятно,

что

эти

частоты

являются

одними

из

наиболее

высоких

среди

встречаю

щихся

подобных

структурах, так что

во

многих

случаях

указанные

процессы

превалируют

над

другими

механизмами

рассеяния.

Хорошо

известно,

что

такое

взаимодействие

носителей

фононами,

являясь

весьма

сильным,

играет

основную

роль

определении

подвижности

носителей

[13, 9].

гл.

было

показано,

что

фононы

дают

домини

рующий

вклад

долинный

ток

некоторых

структурах,

содержащих

квантовые

ямы

двойным

барьером

[162],

что

свойства

достаточно

тонких

сверхпроводящих

пленок

зависят

от

спектра

размерно-ограни

ченных

фононов

[171].

Кроме

того,

гл.

было

показано,

что

полупроводнико

вых

лазерах

на

межподзонных

переходах

размерное

ограничение

фононов

при

водит

изменению

коэффициента

усиления

[155, 174],

а в

некоторых

лазерах

на

квантовых

ямах

несимметричным

двойным

барьером

росту

инверсии

населенности

[167].

Также

работах

[175-178]

было

исследовано

межподзонное

рассеяние

лазерах

на

связанных квантовых

ямах

условиях

оптической

накачки

показано,

что

переходы

участием

интерфейсных

фононов

играют

важную

роль

таких

структурах.

Эти

результаты

иллюстрируют

необходимость

учета

эффектов

размерного

ограничения

фононов

лазерах

на

межподзонных

переходах.

Как

показано

гл.

10,

таких

оптических

системах,

как

полупроводниковые

лазеры

на

межпод

зонных

переходах,

детали

энергетического

спектра

фононов

крайне

критичны

правильной

трактовке

эффектов

размерного

квантования.

Это

утверждение

также

верно

для

многих

новейших

полупро

водниковых

лазеров

на

межподзонных

переходах

инжекцией

тока

[179, 83, 180, 157],

что

проиллюстрировано

расчетами,

проведенными

работах

[156, 155, 174].

§ 2.

Тенденции:

фононные

эффекты

наноструктурах

фононные

технологии

настоящем

пара

графе

приведены

некоторые

соображения,

касаю

щиеся

фононов

наноструктурах,

способные

служить

«путеводителем.

по

перспективным

направлениям

исследований

размерно-ограниченных

фононов.

Для

прогнозирования

этих

направлений

будущих

§2.

Тенденции

253

разработок

области

фононных

технологий

полезно

рассмотреть

воз

никающее

международное

сотрудничество

отношении

исследований

как

нано-,

так

объемных

структур.

Действительно,

новейшие

фононные

эффекты,

обнаруживаемые

объемных

материалах,

по

всей

вероятности

имеют

свои

аналоги

наноструктурах.

Достижения

области

фемтосекундных

лазеров

спектроскопии

сверхвысокого

временного

разрешения

продолжающееся

совершенствование

новейших

методов

изготовления

наноструктур,

частности

кван

товых

точек

[181],

явились

основой

для

экспериментального

наблюдения

когерентных

акустических

колебаний

сверхрешетках

[95],

затухающих

сферических

акустических

пульсирующих

мод

квантовых

точках

[144]

(см.

также

вспомогательный

анализ

работе

[146]),

оптических

фононов

вблизи

поверхности

объемного

образца

арсен

ида

галлия

[182],

оптических

фононов

германии

[183],

возбуждения

когерентных

фононов

Sb,

Вi,

Те

тьо,

[184].

когерентными

фононными

эффектами,

вероятно,

будет

связано

одно

из

главных

направлений

области

нанотехнологий,

также

фононных

технологий.

работе

[158]

показана

потенциальная

возможность

контроля

степени

когерентности

атомах,

молекулах

полупроводниках.

Вероятно,

фононные

технологии

наноструктурах

станут

будущим

магистральным

направлением

исследований

разработок

области

приборостроения.

Действительно,

умение

моделировать

поведение

фононных

мод

размерно-ограниченных

структурах

является

основой

проектирования

таких

наноструктур,

которых

механизмы

диссипации

рассеяния

носителей

Фононов

отличались

бы

от

соответствующих

механизмов

объемных

структурах.

частности,

работе

[185]

теоретически

проанализирована

электронная

структура

таких

объектов,

как

сверхрешетки,

образованные

квантовыми

проволоками,

связанные

массивы

квантовых

точек,

целью

проектирования

такой

структуры

подзон

энергии

электронов,

которой

рассеяние

носителей

на

оптических

фононах

подавлено.

Другим

примером

подобных

разработок

является идея

использования

свойств

поверхности

раздела

металл-полупроводник

для

снижения

частоты

рассеяния

носителей

на

интерфейсных

фононах

[143],

что

представляет

собой

одну

из

первых попыток

области

фононного

технологического

проектирования

наноструктурах.

этом

слу

чае

первые

расчеты

частот

рассеяния

носителей

на

LО-фононах

полярных

полупроводниковых

квантовых

проволоках

[134, 136]

показали,

что

рассеяние

носителей

интерфейсными

оптическими

фононными

модами

преобладает

над

рассеянием,

вызванным

размерно-ограниченными

фононами

фононными

модами

полу

пространств.

потому

качестве

метода

снижения

таких

структурах

нежелательного

неупругого

рассеяния,

вызываемого

интерфейсными

LО-фононами,

было

предложено

[143]

подавить

это

рассеяние

путем

заключения

полупроводниковой

квантовой

254

Гл.

11.

Заключительные

соображения

проволоки

металлическую

оболочку.

Еще

одним

при мер

ом

фононных

технологий

является

метод

управления

частотой

рассе

яния

скоростью

диссипации

квантовых

при борах

на

основе

гетероструктур,

промоделированный

работе

[186].

Этот

метод

использовался

работах

[175-178]

процессах

ме2КПОДЗОННОГО

рассеяния

оптической

накачкой

лазерах

на

связанных

кантовых

ямах.

Очевидно,

что

работы

области

фононных

технологий,

базирующиеся

на

представленных

настоящей

книге

теориях

размерного

квантования

фононов,

будут

оставаться

одним

из

ва2КНЫХ

направлений

исследований.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение

А:

теория

Хуан

Куня-Борна

Хуан

Кунь

Борн

[187, 188]

для

микроскопической

теории

двух

атомных

полярных

кристаллов

записали

наиболее

общей

форме

пару

уравнений,

связывающих

величины

Р:

=aw+bE

=dw+cE.

(А.l)

Они

показали

[188],

что

равно

силу

сохранения

энергии.

этих

уравнениях

w = Jp,N

и,

где

u -

относительное

смещение

двух

ионов,

р,

приведенная

масса

ионной

пары,

N -

число

элементарных

ячеек

кристалле

V -

объем

кристалла.

Вводя

временную

зависи

мость

виде

ехр(

-iUJt)

исключая

из

этих

уравнений,

получаем

соотношение

(с

Е.

-а

- UJ

(А.2)

Поскольку

D =

47ГР

E(UJ)E,

выражение

(А.2)

может

быть

пере-

писано

виде

47Гь

E(UJ)

= 1+

47ГС

+ 2 .

(А.3)

-а

- UJ

Из

обобщенного

соотношения

Лиддейна-Сакса-

Теллера

(2.32)

видно,

что

2 2 ( 2 2)

(

)

_ ( )

EUJ

-ЕОО

ОО

2 2 -

UJL20jUJT20

- 1

Е(О)

Е(ОО)

=Е(ОО)+Е(ОО)

=Е(ОО)

(А.4)

1 - UJ2

jUJ?o

1- UJ2

jUJ?o

Сравнение

формулы

(А.3),

полученной

Борном

Хуан

Кунем,

фор

мулой,

вытекающей

из

соотношения

Лиддейна-Сакса-

Теллера,

оче

видностью

при

водит

выражению

Е(ОО)

- 1

47Г

-UJ

[Е(О)-Е(оо)]'/2

47Г

-то-

(А.Б)

256

Приложения

(А.б)

Таким

образом, пара

уравнений

(А.1)

соотношение

(А.2),

введен

ные

Хуан Кунем

Борном,

могут

быть записаны

следующем

виде:

(

2 2) _

[Е(О)

Е(

(0)]

1/2

UJTO

W -

47Г

«то

(

2 _ 2) _

[Е(О)

Е(ОО)]

1/2

Е(ОО)

- 1

UJTO

W -

47Г

-то

W +

47Г

(А.7)

Используя

вновь

параметр

относительного

смещения

можно

перепи

сать

эти

уравнения

виде

(

V )

1/2

(UJfo

UJ2)u

4nf.1,N

Е(О)

Е(

(0)

UJToE,

( )

1/2

f-lV

Е(ОО)

- 1

р=

4nV

VE(O)-Е(оо)UJТОU+

47Г

Е.

(А.8)

(А.9)

Приложение

Б:

теория

Вендлера

Вендлер

[89]

сформулировал

теорию,

описывающую

взаимодей

ствие

носителей

фононами

диэлектрических

двухслойных

системах,

которая

учитывает

влияние

электронной

поляризуемости

на

собствен

ные

моды

фононов

их

частоты.

Модель

Вендлера

дает

несколько

со

отношений,

которые

помогают

при

расчете

взаимодействий

носителей

фононами

размерно-ограниченных

системах.

Как

п.

3.1

гл.

поле

смещений

модели

Вендлера

связано

полями

E(r)

Р'(г)

через

колебательное

уравнение

вынуждающей

силой

через

эффективный

заряд

e~:

для

бинарного

вещества,

из

которого

состоит

слой

номер

п,

имеем

(Б.1

)

(Б.2)

где

f-ln

mnМn/(m

приведенная

масса,

О:n

электронная

поляриэуемостъ,

отнесенная

элементарной

ячейке,

где

соответ

ствии

формулой

Лоренца

47Г

ЕЛОК(г)

E(r)

зР(г).

(Б.3)

Здесь

ЕЛОК(г)

локальное

электрическое

поле,

связанное

оптическими

фононами,

влияющими

на

электронные

оболочки

ионов.

Уравнение

Пуассона

имеет

вид

ДФ(г,

t) =

-4

7Г

(

t),

(БА)

Приложенив

257

(Б.5)

где

рОбш(г,

включает

себя

плотность

как

объемных,

так

по

верхностных

поляризационных

зарядов.

Используя

подход,

основанный

на

функциях

Грина,

Вендлер

записал

решение

уравнения

Пуассона

следующей

форме:

Ф(г,

t) = -

LfdЗ

дд

1 1

Р(3(г',

t).

Т(3

г-г

Отсюда

учетом

соотношения

Еа(г,

t) =

-дФ(г,

t)/aT

уравнения

Лоренца

(Б.3)

получается

выражение

E~OK(г,

t) =

(л

Лоn)Ра(г,

t) +

47Т

L f

dзг'

(

г')Р(3(г',

t),

(Б.б)

где

тензор

Грина

дается

формулой

(Б.7)

Считая,

что

вектор

Р(г,

зависит

от

времени

синусоидально,

Венд

лер

показал,

что

(л

ЛОn)

4/з7ТПnCVn)

7Т

Ра(г)

ПnCVn(Л

ЛОn)

-47Т

dзг'

(

г')Р(3(г',

t),

(Б.8)

где

= 2 '

Wплазма,n

4nW5n

Оп

- 2 '

Wплазма,n

(Б.9)

(в.го)

квадрат

плазменной

частоты

W~лазма

дается

формулой

7Тп

nе

(

)

--------'-------'--

плазма,n,а(Ь)

- /1.

r-n,a(b)

Используя двумерное

преобразование

СРурье

для

электростатиче

ских

полей,

описываемое

формулой

Р(г)

(2~)

2qll

еiqll·ГIIР(qll,ТЗ),

-00

М.

А.

Сторшио,

М.

Дутта

(Б.ll

)

258

Приложения

где

вектор

rll

лежит

плоскости

поверхности

раздела

двухслойной

системы,

Вендлер

показал,

что

где

причем

фn

ЛОn

ПnО:n(Л

ЛОn)

u(qll,rз)

ve:

Р(qll,rз),

пnе

(Б.12)

(Б.13)

(Б.14

)

(Б.16)

д"

(Б.15)

1 -

ПnО:n(Л

ЛОn)

Кроме

того,

применение

Вендлером

подхода,

основанного

на

функ

циях

Грина,

дает

несколько

полезных

соотношений:

( )

ПnО:n

= 1+

41Г

1 -

З1ГПnО:n

2 2

2 1

wLO,n

= wO,n +

ЗWплазма,n

1Г

nО:n

2 2

2 1

wTO,n

= wO,n -

ЗWплазма,n

1Г

nО:n

2 2 2/ 2 1

wLO,n

wTO,n

ЗWплазма,n

1Г

nО:n

2 1

ЗWплазма,n

1Г

nО:n

Wплазма,n

где

значения

относятся

либо

материалу

либо

материалу

Как

это

может

быть

подтверждено

алгебраически,

соотношение

Лидлейна

Сакса-Теллера,

приведенное

п.

3.3

гл.

выполняется

при

подста

новке

нее

частот,

задаваемых

формулой

(Б.16)

[89].

Проведенное

Вендлером

исследование

явления

диэлектрической

поляризуемости

со

ставляет

основу

для

многих

работ

по

оптическим

фононам

размерно

ограниченных

системах.

Применимость

полученного

Вендлером

реше

ния

проиллюстрирована

гл.

Приложение

В:

моды

оптических

фононов

структурах

двумя

поверхностями

раздела

Нэш

[96]

внес

чрезвычайно

важный

вклад

физику

фононов

наноструктурах,

показав,

что

скорости

межподзонного

рассеяния

скорости

внутриподзонного

рассеяния

электронов

на

фононах

не

за

висят

от

базисного

набора

мод,

используемых

для

описания

полярных

Приложенив

259

оптических

фононов,

заключенных

полупроводниковой

пластине.

работе

[189]

тоже

сформулирована

модель

для

исследования

как

механических,

так

электростатических

полей,

связанных

фононами

гетерогенных

полупроводниковых

структурах.

частности,

Нэш

показал,

что

и так

называемые

моды

пластины,

удовлетворяющие

электростатическим

граничным

условиям,

волно

водные

моды,

удовлетворяющие

механическим

граничным

условиям,

комбинированные

моды

пластины

Хуан

Куня-Жу

[190]

предсказы

вают

одинаковые

скорости

рассеяния

при

условии,

что

каждая

группа

мод

является

ортогональной

полной.

Также

анализ,

проведенный

Нэшем,

позволил

разрешить

давние

разногласия

по

поводу

того,

каким

граничным

условиям

удовлетворяют

нормальные

моды:

механическим

или

электромагнитным;

частности,

Нэш

показал,

что

механические

граничные

условия

применяются

величине

w =

..;ри

(где

u -

отно

сительное

смещение

пар

ионов,

приведенная

единице

объема

масса,

введенные

приложении

А)

ее

производным,

электромагнит

ные

граничные

условия

применяются

величинам

Более

того,

Нэш

показал,

что

для получения

нормальных

мод

этой

гетерострукту

ры

необходимы

оба

типа

граничных

условий.

Он

представил

плотность

лагранжиана

для

полярного

материала

форме

[188]

lawaw

r:..,

дt

UJTO

w . w +

е(оо)'V'Ф·

'V'Ф

-,w.

'V'Ф

+ !

Zijkl

aWk

aWI,

(В.l)

&.&.

ijkl

J t

где

[e(OO)(UJIO

UJ?o)]

1/2

{е(оо)

е(О)]

1/2

-то

4~ 4~

е(оо)

{ [1 1

]}1/2

UJLQ

е(оо)

е(О)

(В.2)

смещение

описывается

величиной

w =

..;р

силу

тех

же

причин,

что

приложении

А.

Как

станет

очевидно

ниже,

удобно

ввести

обозначения

{[

1 1

]}

1/2

е(оо)

, =

UJLQ

е(оо)

е(О)

(В.З)

выражении

для

плотности

лагранжиана

(В.l)

первый

член

описывает

кинетическую

энергию,

второй

потенциальную

энер

гию

короткодействующих

сил решетки,

третий

член

потенциаль

ную

энергию

макроскопического

электрического

поля

отсутствие

260

Приложения

движения

ионов,

четвертый

потенциальную

энергию

взаимодействия

решетки

макроскопическим

электрическим

полем,

пятый

член

представляет

собой

квадратичную

дисперсию,

связанную

короткодей

ствующими

силами,

действующими

между

ионами,

причем

случае

изотропной

дисперсии

тензор

Zijkl

AJijJkl

BJikJjl

CJilJjk.

Уравнения

Эйлера-Лагранжа,

выведенные

Нэшем

путем

вариации

величин

описывающие

моды

оптических

фононов

пластинах

(с

границами

z =

z = d),

имеют

вид

UJfoW

'У\7Ф

+ A\7

w +

(В

С)\7(\7

.w) =

о,

(В.4)

\7 .

[s(оо)\7Ф

41Т'У!(Z)W]

о.

(В.5)

этих

уравнениях

'у

дается

выражением

(В.2)

J(z) =

8(z)-

-8(d

- z),

является

ступенчатой

функцией

Хевисайда.

Согласно

Нэшу,

записывается

как

градиент

механического

потенциала

х:

W = -

\7Х.

Последнее

уравнение

представляет

собой

уравнение

Пуассона:

или

-\7

[s(оо)\7Ф]

s(oo)

41Т'У

[2-

ах

дх

I ]

= - \7

- - J(z - d +

17)

+ - J(z -

17)

s(oo)

z=d

z=o

(В.7)

где

последние

два

члена

правой

части

уравнения

(В.7)

вызваны

поверхностным

поляризационным

зарядом

ввиду

разрывности

в-ком

поненты

величины

При

выводе

этих

соотношений

величина

записывалась

нормированном

виде,

как

описано

выше.

Таким

обра

зом,

эти

моды

нормированы

(в

соответствии

процедурой

§ 1

гл.

выражены

через

величины

(qll' z),

не

через

величины

(qll' z),

поскольку

первые

использовать

удобнее,

как

это

следует

из

анализа,

проведенного

приложении

А:

(В.8)

Здесь

нижний

индекс

показывает,

что

это

соотношение

относится

m-й

среде.

Полученный

результат,

конечно,

соответствует

условию

нормировки

(7.44)

из

п.

3.1

гл.

[

JIИi

um(q,

z)]*·

[JIИi

um(q,

z)]

dz =

2UJ~(q)

(В.9)