Страшинин Е.Э. Основы теории автоматического управления. Часть I. Линейные непрерывные системы управления

Подождите немного. Документ загружается.

111

Тогда

pRKpQp

pQp

ppE

⋅

⋅+⋅

⋅

→∞→

)()(

)(

lim)(lim

. (2.10-21)

Такая система при

0≠l называется астатической по командному

сигналу с порядком астатизма, равным

l .В этом случае коэффициент

называется добротностью системы. Его размерность

се

−

Если

, то

const

==∞

)( . (2.10-22)

Если

, то 0)( =∞

При

0=l система называется статической. Для нее, при

)(1)(

tvtv ⋅= (2.10-23)

имеем

=∞

)(

. (2.10-24)

В рассмотренном случае регулятор содержал

l интеграторов,

то есть, был астатическким, а объект интеграторов не содержал –

был статическим. Если рассмотреть другой вариант, где, в отличие

от (2.10-11), (2.10-12),

)(

)(;

)(

pRK

pQp

pRK

рег

регрег

рег

об

обоб

об

1)0()0()0()0(

регобрегоб

QQRR ,

то выводы по отработке командного сигнала не изменятся, а при возму-

щении (2.10-8)

рег

lim)(lim ⋅

−

∞→∞→

При

получаем

рег

)(

−

=∞

а при

ошибка с течением времени неограниченно растёт.

Таким образом,

112

порядок астатизма системы по отношению к какому-либо внешнему воз-

действию равен числу интегрирующих звеньев, включенных в обратную

связь между координатой ошибки и этим воздействием.

Системой с астатизмом

l -го порядка по отношению к команд-

ному сигналу

называется система автоматического управления,

вынужденная ошибка которой при отработке сигнала, выражаемого в

виде полинома степени

l по t

tAA

...

+++ ,

постоянна и пропорциональна величине

A , то есть старшей производ-

ной воздействия. При отработке сигнала, выражаемого полиномом

меньшей степени, установившаяся ошибка в такой системе равна нулю.

Изложенные выше рассуждения приводят к выводу, что с точки зрения

стремления к уменьшению ошибки желательно иметь более высокий

порядок астатизма и более высокое значение

рег

K . И то и другое, как

правило, вступает в противоречие с требованиями устойчивости. Уже

синтез устойчивой системы с астатизмом выше третьего порядка ставит

перед разработчиком серьёзные проблемы.

ПРИМЕР 2.10-1. Пусть дана система со структурной схемой представ-

ленной на рис.2.51. Система обладает астатизмом 1-го порядка, как по

командному, так и по возмущающему воздействиям, так как система со-

держит один интегратор с передаточной функцией

1−

p в регуляторе

(корректирующем звене). Для данной системы:

1) если

constf = и constv = , то 0

уст

;

Рис.2.51. Иллюстрация к примеру 2.10-1

p+1

(1+T

)

(1+

p)p

___

_____

p+1

2) если

tvv ⋅=

, constv =

, а f – константа или нулевая вели-

чина, то кинетическая ошибка

()

уст

=∞=

εε

где добротность

113

обp

KKK ⋅= ;

3) если

tff ⋅=

, constf =

, а

- константа или нулевая величи-

на, то

уст

Kf ⋅

;

4) если

tvv ⋅= , constv

, или

tff

⋅

, constf

, то ошиб-

ка будет непрерывно нарастать.

2.10.3. Точность систем при отработке гармонических сигналов

Каждый командный сигнал может быть разложен либо в дискрет-

ный (ряд Фурье для периодической функции времени), либо в непре-

рывный спектр гармоник (интегральное преобразование Фурье). Для то-

го, чтобы воспроизвести командный сигнал с малыми искажениями, не-

обходимо точно воспроизвести хотя бы существенные гармоники этого

спектра. В интервале этих существенных частот амплитудно

-частотная

характеристика замкнутой системы (АЧХ) должна быть близка к едини-

це, а фазочастотная (ФЧХ) - к нулю (рис. 2.52). При этом, естественно,

полоса пропускания системы должна быть заведомо шире спектра ко-

мандного сигнала.

Для оценки величины

рассмотрим спектральную плотность сиг-

нала (спектр мощности):

)()()()(

ωωωω

iVjVjVS

=−⋅= . (2.10-25)

)(

)()}({

jVtvФ

Рис. 2.52. Спектральная характеристика командного

сигнала

}({ tvФ

и АЧХ системы

)(

Полная энергия сигнала определяется выражением

∫

∞

.)(

ωω

dSЕ

(2.10-26)

114

Величину

целесообразно выбрать так, чтобы площадь под кривой

)(

S на интервале частот ],0[

составляла не менее 90% от площади

под этой кривой во всём диапазоне частот от нуля до бесконечности

(рис. 2.53).

)(

Рис. 2.53. К обоснованию выбора

величины

Применительно к структурной схеме, приведённой на рис. 2.41,

для которой частотная функция от командного сигнала к ошибке имеет

вид

)(1

)(

, (2.10-27)

этим требованиям соответствует неравенство

ωω

<≤Δ<

0 ,

)(1

, (2.10-28)

где

Δ - некоторая заданная величина. В рассматриваемом диапазоне

частот обычно

1)( >>

. Поэтому неравенство (2.10-28) будет все-

гда выполняться, если

Δ<

+− )(1

. (2.10-29)

Отсюда следует

≈

Δ+

. (2.10-30)

Таким образом, для точного воспроизведения командного сигнала тре-

буется, чтобы в спектре частот от

0 до

выполнялось условие

. (2.10-31)

115

Обычно принимают:

1.005.0

=Δ . Применительно к ЛАЧХ неравенство

(2.10-31) превращается в требование того, чтобы в диапазоне

≤0

выполнялось условие

дБjW дБ )2026()(

. (2.10-32)

2.10.4. Связь между логарифмическими амплитудно-частотными

характеристиками и качеством переходных процессов в САУ

Между частотными и временными характеристиками систем суще-

ствует однозначная взаимозависимость. Особенно много внимания уде-

лялось этому вопросу в те времена, когда вычислительная техника была

недоступна рядовому инженеру, и он должен был судить о свойствах

разрабатываемых систем, пользуясь только косвенными оценками.

Часть таких методик косвенных оценок качества по частотным характе-

ристикам представляет

интерес и в настоящее время. На эту тему име-

ется обширная учебная литература. В настоящем пособии затрагивает-

ся один фрагмент из этих методик, который позволяет достаточно про-

сто связать качество временных процессов в замкнутых системах с ви-

дом амплитудно-частотных логарифмических характеристик соответст-

вующих разомкнутых систем. Здесь следует отметить, что

дальнейшее

содержание параграфа относится лишь к так называемым неминималь-

нофазовым системам, то есть к таким, передаточные функции которых

не содержат ни нулей, ни полюсов с положительной вещественной ча-

стью.

Весь диапазон частот при рассмотрении ЛАЧХ (рис. 2.54) разбива-

ют на три поддиапазона:

1) Область низких частот

[]

≤

0 . Этот диапазон определяет в

значительной мере точность воспроизведения "медленно" меняющихся

воздействий. В этом диапазоне в соответствии с результатами, полу-

ченными в предыдущем разделе, должно быть выполнено условие:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≥

.02.0 если , 34дБ

;0.05 если , дБ26

lg20)(

L (2.10-33)

Кроме того, вид ЛАЧХ в этой области указывает на порядок астатизма и

статическую или кинетическую точность системы. Наклон низкочастот-

ной асимптоты равен

⋅− 20 дБ/дек., где

- порядок астатизма.

Ширина интервала

[]

,0 позволяет найти ширину спектра частот

управляющих воздействий, воспроизводимых системой без каких-либо

значительных искажений и позволяет судить о том, какие воздействия

для рассматриваемой системы можно считать медленно изменяющими-

ся.

116

2) Диапазон средних частот

[

]

кн

, – определяет запасы устойчивости

и качество системы при воздействии типа ступенчатой функции. В этом

интервале находится частота среза

, позволяющая оценить время ре-

гулирования:

)43( ÷≈ . (2.10-34)

Частота среза

примерно равна собственной частоте замкнутой

системы (частоте, где у замкнутой системы может быть некоторый резо-

нанс).

-20дБ/дек

дБ

jW )(

Рис. 2.54. Типовая ЛАЧХ

Для удовлетворительного качества переходных процессов необхо-

димо, чтобы ЛАЧХ на этом интервале имела наклон -20дБ/дек, а длина

этого интервала примерно равнялась 1дек. На этом интервале опреде-

ляются запасы устойчивости системы. Рекомендуемые значения этих

запасов составляют примерно 10дБ по модулю и 35

- 40

по фазе.

3) Интервал высоких частот

> . Этот интервал примерно соответст-

вует

16)( −≤

дБ

дБ. На этот интервал приходятся сопрягающие

частоты, пренебрежение которыми не оказывает существенного влияния

на качество переходных процессов.

ПРИМЕР 2.10-2.

Дана система с передаточной функцией

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

117

Это система с астатизмом третьего порядка. На рис.2.55 представлена

её логарифмическая амплитудно-частотная характеристика. Цифрами 1,

2, 3 обозначены соответственно области низких, средних и высоких час-

тот.

Рис. 2.55. Иллюстрация к примеру 2.10-2

ум

ув

ωн

ср

1/Т

-60 дБ/дек

-20 дБ/дек

-180

-90

-270

2.10.5. Соотношение масштабов во временной и частотной облас-

тях

1. Если функция )(tf преобразуема по Фурье,

{

}

)()( tfФjF =

ее преобразование по Фурье и

a - положительное вещественное чис-

ло, то справедливо равенство

)(

jaF

fФ =

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (2.10-35)

Докажем, это. Прямое преобразование Фурье выражается формулой

tdtfjF

∫

∞

−

⋅=

)()(

(2.10-36)

Введем новые переменные

att

=⋅= , . Тогда

ajF

∫

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

118

откуда

fajaF

∫

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

и равенство (2.10-35) доказано.

Таким образом, при растяжении (сжатии) в "а" раз графика функ-

ции )(tf вдоль оси времени, график модуля спектральной характеристи-

ки

)(

jF , во-первых, сжимается (растягивается) вдоль оси частот в "а"

раз и, во-вторых, увеличиваются (уменьшаются) в "а" раз его значения.

Известно, что чем короче импульс, тем шире его спектр.

2. Изображение по Фурье от переходной функции

)(th системы с

передаточной функцией

)(

W имеет вид

)(

)( =

, (2.10-37)

поэтому сама функция

)(

h может быть определена с помощью обрат-

ного преобразования Фурье:

∫

+∞

∞−

⋅=

)(

. (2.10-38)

По аналогии с пунктом 1 введем новые переменные

att

=⋅= ,

и, подставив их в (2.10-38), получим:

ωω

jaW

∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

⋅=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

1)(

(2.10-39)

Таким образом, если частотная характеристика системы, получа-

ется путем сжатия (или растяжения) вдоль оси частот частотной харак-

теристики некоторой исходной системы (рис. 2.56), то ее переходная

функция соответственно растягивается (или сжимается) вдоль оси вре-

мени.

119

Рис. 2.56. Связь между изменением полосы пропускания

системы и длительностью её переходной функции

120

2.11. Интегральные критерии качества с позиций общности

задач оптимального и модального синтеза

При рассмотрении качества систем управления большое место за-

нимает группа интегральных критериев качества. Они достаточно полно

изложены в обширной литературе по теории автоматического регулиро-

вания и управления. Это – интегралы от координат вектора состояния,

вектора управления, ошибки регулирования. Интегральные показатели,

или критерии качества непосредственно выходят на синтез оптимально-

го управления. При этом

под оптимальностью понимается минимум ка-

кого-либо интегрального критерия. Наиболее простой из них – это инте-

грал от квадрата ошибки отработки командного сигнала на бесконечном

интервале времени

∫

∞

)(

dttJ

. (2.11-1)

Однако, как показала практика, стремление к минимизации такого

критерия приводит к чрезмерной колебательности переходных процес-

сов. В связи с этим стали усложнять функционал. Так например, кроме

квадрата ошибки с целью уменьшения выбросов в переходных процес-

сах в функционал стали вводить квадрат от её производной

∫

∞

))()((

dttctcJ

εε

. (2.11-2)

Кроме этого, оказалось полезным учитывать величину управляю-

щего воздействия:

∫

∞

++=

))()()((

dttuctctcJ

εε

. (2.11-3)

Различные исполнения системы в некоторых случаях стало удоб-

ным сравнивать по величине соответствующих интегральных показате-

лей. Такой анализ неизбежно стал перерастать в синтез оптимального

управления с различными интегральными критериями. В одной из наи-

более общих форм интегральные критерии, используемые оптимальном

синтезе, записывают в виде:

∫

∞

++=

))()()()(2)()(( dttuQtutuQtxtxQtxJ

rrrrrr

. (2.11-4)

Возникло целое направление в теории оптимальных систем – ана-

литическое конструирование регуляторов (АКР). Был разработан специ-

альный математический аппарат, обеспечивающий расчёт управления,

которое минимизирует функционал вида (2.11-4).

Однако, возникла очередная проблема, - проблема выбора значе-

ний элементов матриц

Q ,

Q в соответствующих квадратичных