Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

3.5. МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА 71

Формула Эйнштейна Определим связь между коэффициентом подвижности и коэф-

фициентом диффузии для электронов. Пусть электроны, равно как и любые другие

частицы, имеют некоторое распределение по оси x, и пусть эта сила оказывает воздей-

ствие на частицы. Например, если ось x является вертикальной, то F является силой

тяжести. В этом случае распределение частиц в этом поле в силовом или гравитацион-

ном поле определяется распределением Больцмана:

n = n

−eϕ/kT

где ϕ – потенциал, действующий на частицы. Неоднородное распределение частиц,

вследствие действия силы, приводит к тому, что концентрация частиц увеличивается в

направлении дрейфа, т.е. в направлении движения частиц под действием приложенной

силы. Вследствие этого возникает градиент концентрации и возникает диффузионный

поток, который направлен в обратном направлении. Если усреднить среднее значение

для потока, то это среднее значение имеет вид

Γ =< nv >= nµF − D∇n = 0,

где µ – подвижность частиц. Первая часть этого потока связана с силой, вторая часть

определяется градиентом концентрации. В состоянии термодинамического равновесия

эти потоки уравновешиваются и суммарный поток равен нулю. Вследствие того, что F =

−∇ϕ, а градиент концентрации определяется градиентом потенциала ∇n = −e/kT n∇ϕ,

то отсюда следует, что химический потенциал, подвижность и коэффициент диффузии

электронов связаны соотношением Эйнштейна:

Электропроводность и коэффициент диффузии также связаны между собой соотноше-

нием, которое следует из последнего уравнения.

3.5.4 Амбиполярная диффузия

Рассмотрим случай амбиполярной диффузии квазинейтральной плазмы, когда n

– кон-

центрация электронов равна концентрации ионов n

и равна n. Потоки ионов и электро-

нов определяются по формулам:

= n

E − D

∇n

, Γ

= −n

E − D

∇n

поскольку под действием электрического поля электроны движутся против поля. Элек-

трический ток в плазме определяется разностью потоков электронов и ионов. Из условия

отсутствия объемного электрического заряда следует, что дивергенция плотности тока

равняется нулю. Поэтому, если движение частиц происходит в объеме, ограниченном

стенкой, так что плотность тока равняется нулю, то j = e(Γ

−Γ

) = 0 . Отсюда следует,

что поток ионов равен потоку электронов, который далее обозначен Γ. Из приведенных

уравнений следуют выражения для потока электронов и ионов, которые могут быть

представлены в виде

= −

∇n,

72 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

или Γ = −D

∇n, где введен коэффициент амбиполярной диффузии:

+ D

+ µ

Это выражение, учитывая существенное различие в подвижностях ионов и электронов,

может быть представлено в следующем виде:

≡

+ D

= µ

+ T

где коэффициент амбиполярной диффузии

≡ µ

1 +

= D

1 +

. (3.93)

Таким образом, если подвижность электронов много больше подвижности ионов, амби-

полярная диффузия в основном определяется подвижностью тяжелых частиц ионов c

поправочным коэффициентом, связанным с возможной разницей температур электро-

нов и ионов.

3.5.5 Электропроводность газа в высокочастотном поле

Рассмотрим газ, который частично ионизован, т.е. в нем присутствуют электроны и

который находится в высокочастотном поле E(t) = E

iωt

, где ω – частота внешнего

приложенного поля. Вместо того, чтобы решать уравнение Больцмана, которое также не

трудно решить в данном случае, рассмотрим подход, основанный на описании среднего

движения частиц.

Уравнение движения некоторого электрона имеет вид

= −

− νv, (3.94)

где первый член описывает силу, действующую на электрон, а второй – трение или

потерю импульса при столкновениях электрона с частицами среды. Здесь ν – часто-

та столкновений электронов с частицами среды. При движении электрона в перемен-

ном электрическом поле, когда поле является частотно зависящей величиной, скорость

электрона также будет величиной, зависящей от частоты в силу того, что обыкновен-

ное дифференциальное уравнение (3.94) имеет общее решение в виде частного решения

неоднородного уравнения, которое описывает релаксацию начального распределения и

общего решения однородного уравнения, связанного с внешней силой, изменяющего-

ся с той же частотой. На больших интервалах времени t À ν

−1

скорость имеет вид

v = v

−iωt

, и решение уравнения (3.94) может быть представлено в виде

v =

−eE

m(ν − iω)

Плотность электрического тока в плазме определяется по формуле

j = −n

ev =

m(ν − iω)

3.5. МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА 73

откуда следует выражение для высокочастотной проводимости плазмы:

σ =

m(ν − iω)

(ν + iω)

m(ν

+ ω

)

Это выражение может быть разделено на вещественную и мнимую части. Вещественная

и мнимая части имеют следующий вид:

Re σ =

m(ν

+ ω

)

, Im σ =

m(ν

+ ω

)

где при частоте, равной нулю, вещественная часть проводимости равна статической

проводимости плазмы, совпадающая с выражением, полученным ранее.

Комплексная электропроводность плазмы, как известно [1], связана с диэлектриче-

ской проницаемостью плазмы. Для рассмотрения этой связи воспользуемся следующим

соотношением, которое следует из уравнений Максвелла. Примем магнитную проницае-

мость среды равной единице, т.е. среда является диа- или парамагнитной, и рассмотрим

электрические свойства плазмы.

Уравнения Максвелла имеют вид

∇ × H =

4π

j +

∂E

∂t

∂D

∂t

, (3.95)

∇ × E = −

∂H

∂t

. (3.96)

Из уравнения (3.95) следует

∂D

∂t

∂E

∂t

+ 4πj (3.97)

Используем связь вектора индукции с электрическим полем D = εE, а соответствен-

но плотность тока и напряженность электрического поля связаны законом Ома j = σE.

Учтем, что электромагнитные волны являются поперечными, т.е. волновой вектор вол-

ны

перпендикулярны друг другу

= 0

. Подставляя зависимость для электри-

ческого поля E = E

−iωt+ik·r

, получим связь между диэлектрической проницаемостью

и электропроводностью плазмы:

ε = 1 +

4πσi

. (3.98)

Вещественная часть диэлектрической проницаемости имеет вид

Re ε = 1 −

4πImσ

= 1 −

+ ν

, (3.99)

где введена плазменная частота

4πn

. (3.100)

Найдем коэффициент поглощения электромагнитных волн. Из уравнения Максвел-

ла следует баланс электромагнитной энергии

∂

∂t

+ H

8π

= ∇ · S − j · E,

74 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

где вектор Пойнтинга

S =

4π

E × H =

4π

В стационарном случае, когда поток поглощается с коэффициентом поглощения κ

так что уравнение dS/dx = −κ

S имеет решение

S(x) = S

−κ

Из баланса энергии получаем κ

S = jE, откуда следует выражение для коэффициента

поглощения электромагнитных волн:

4πσ

4πn

m(ν

+ ω

)

c(ν

+ ω

)

. (3.101)

Здесь рассматривалась элементарная теория для высокочастотных электропровод-

ности и коэффициента поглощения электромагнитных волн. В приближении Лоренца

в результате решения кинетического уравнения для электронов в газе в высокочастот-

ном поле получаются аналогичные результаты, но содержащие интегралы с частотой

столкновений электронов, зависящей от скорости. Читателю предлагается это проде-

лать самостоятельно.

3.6 Коэффициенты переноса полностью ионизованной плазмы

Для слабоионизованной плазмы можно учитывать только столкновения электронов с

атомами. Однако, если плазма является полностью ионизованной, необходимо учиты-

вать столкновения электронов с ионами и электронами. Если предположить, что форму-

лы, полученные для газа Лоренца, справедливы и в этом случае, получим для полностью

ионизованного газа электропроводность и электронную теплопроводность:

σ =

mν

π(e

/kT )

ln Λ

= a

3/2

ln Λ

, λ

= ρ

T e

= b

5/2

ln Λ

где a, b - постоянные, l

= 1 /n

T e

π(e

/kT )

ln Λ - длина свободного пробега электронов.

Электрон-электронные столкновения не приводят к изменению импульса электрон-

ной подсистемы, поэтому прямого влияния на коэффициенты переноса они не имеют,

однако, существует косвенное влияние, которое вследствие диффузии в пространстве

скоростей дают уменьшение доли электронов, направленных против электрического по-

ля, следовательно, функция распределения без электрон-электронных столкновений яв-

ляется более вытянутой против поля, а с учетом электрон-электронных столкновений

она более симметризуется, что приводит к уменьшению потоков электронов и электрон-

ных коэффициентов переноса. Эта задача была решена численно Спитцером и Хермом

[30]. Соответствующие коэффициенты переноса имеют вид

= γ

, λ

= γ

где γ

= 0 .5816, γ

= 0.2727, σ

, λ

- значения для модели Лоренца.

Для полностью ионизованной плазмы с учетом электрон-электронных столкновений

электропроводность и электронная теплопроводность в системе СИ имеют вид

= 1 .53 ∗ 10

−2

3/2

ln Λ

, где [T ] = K , [σ] = Ом

−1

3.7. ВЛИЯНИЕ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА 75

= 4 .6 ∗ 10

5/2

ln Λ

, [λ] = Вт/м · K,

ln Λ = ln(3

√

2/Γ

) – кулоновский логарифм, Γ

– параметр неидеальности.

3.7 Влияние химических реакций на коэффициенты переноса

При химических реакциях изменяется только теплопроводность газа вследствие того,

что происходит диффузия и перенос энергии связи. Рассмотрим такой пример. Пусть

газ находится между холодной и горячей стенками, так что при температуре холодной

стенки T

газ находится в молекулярном состоянии, а при температуре горячей стенки T

газ диссоциирован, т.е. состоит из атомов. Например, это может быть пограничный слой

у тела, входящего в атмосферу Земли, когда поверхность тела имеет низкую температу-

ру, а внешняя часть пограничного слоя имеет высокую температуру. При температуре

стенки T

газ является холодным, поэтому в этом месте собираются молекулы, а атомы

концентрируются в области высоких температур, где молекулы распадаются на атомы.

Таким образом, градиент концентрации молекул направлен в сторону высоких темпе-

ратур, а градиент концентрации атомов в сторону низких температур. Вследствие диф-

фузии при этом возникает поток атомов от холодной к горячей стенке, а поток молекул

– в обратном направлении – от горячей к холодной стенке. В области холодной стенки

происходит диссоциация молекул, т.е. поглощение тепла, а в области холодной стенки

происходит рекомбинация, т.е. выделение тепла. Таким образом, происходит перенос

энергии диссоциации, которая определяет дополнительный перенос тепла, что приво-

дит к дополнительному механизму теплопроводности, не изменяя вязких напряжений

и других потоков. Следовательно, вследствие сохранения импульса при столкновениях,

происходящих с химическими реакциями, вязкость изменяется несущественно, только

вследствие изменения компонентного состава и соответственно сечений рассеяния.

àòîìû

ìîëåêóëû

ïîòîêàòîìîâïîòîêìîëåêóë

T <T <T

1 D 2

ïîòîêâíóòð.

ýíåðãèè

Рис. 3.2: Пограничный слой с реакцией диссоциации

Для получения выраже-

ния для потока тепла в газе

с диссоциацией или с хими-

ческими реакциями исполь-

зуем выражение для потока

тепла в многокомпонентном

газе, которое будет получено

в разделе гидродинамики и

имеет следующий вид:

q = −λ

∇T +

где первая часть – транспортный перенос тепла, а вторая сумма определяется массовым

потоком компонент i

, который переносит удельную энтальпию частиц сорта k.

Рассмотрим в качестве примера идеальный диссоциирующий газ, т.е. газ, в котором

проходит реакция A

)

2A. Определим удельные концентрации атомов c = ρ

/ρ и

молекул c

= ρ

/ρ = 1 − c. Диффузионные потоки атомов и молекул i

= −ρD∇c

где k = A, A

, D – коэффициент взаимной диффузии. Энтальпия смеси равна h =

+ (1 −c)h

. Принимая за нуль энергии системы атомов и молекул энергию молекул

76 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

в основном состоянии, получим выражения для энтальпии молекул и атомов:

dt, h

dt + h

где h

= ²

/2m

, ²

– энергия диссоциации молекулы, коэффициент "2" связан с

образованием двух атомов при диссоциации молекулы.

Тепловой поток в смеси атомарного и молекулярного газов

q = −λ∇T + h

+ h

Подставляя выражения для энтальпий атомов и молекул, получим

q = −λ∇T + ρD

− h

)∇c,

где

− h

= h

− c

)dT ≈ h

Если газ находится в состоянии локального химического равновесия, то c = c(T, p). Для

плоскопараллельного движения, в т.ч. и для пограничного слоя, давление постоянно

поперек слоя p = const, поэтому c = c(T ), ∇c = ( dc/dT )∇T .

Уравнение диссоциативного равновесия, выраженное через массовые концентрации,

имеет вид тот же, что через степень диссоциации α, т.к. α = n

/(n

). Зависимость

степени диссоциации (и аналогично, удельная концентрация атомов) представлена на

рис. 3.3:

c =

+ m

+ 2n

= α.

При p = const, c

/(1 − c

) = F (T ), где

F (T ) =

√

2pΛ

)

−²

/kT

Дифференцируя по температуре при g

, g

= onst , получаем

c(1 − c

)

Более точная зависимость статистической суммы молекулы от температуры имеет вид

∼ g

rot

∼ T

3/2

, поэтому

äèññîöèàöèÿ

èîíèçàöèÿ

Рис. 3.3: Зависимость степени диссоциации и степени иони-

зации от температуры

c(1 − c

)

2kT

Представим тепловой поток в

виде: q = (λ

+ λ

)∇T , где хими-

ческая теплопроводность

= ρD

ρD

c(1 −c

)

(3.102)

3.8. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА 77

где R

= R

ун

/M – газовая по-

стоянная для молекул. Определяя

число Льюиса

Le =

ρD

запишем общую теплопроводность реагирующей смеси λ = λ

+ λ

λ = λ

1 + Le

− 1

2κ

c(1 − c

)

¶¸

, (3.103)

где κ

– постоянная адиабаты для молекулярного газа. Химическая теплопроводность

имеет пик в максимуме порядка (²

/kT )

À 1, ее характерный вид представлен на рис.

3.5.

3.8 Температурная зависимость коэффициентов переноса

Рассмотрим общий характер зависимости коэффициентов переноса от температуры.

3.8.1 Температурная зависимость электропроводности

Îáëàñòü

èîíèçàöèè

kTI

~ T

Рис. 3.4: Электропроводность газа в об-

ласти ионизации

Электропроводность газа определяется произве-

дением концентрации электронов и их подвиж-

ности. Концентрация электронов в соответствии

с уравнением Саха экспоненциально зависит от

температуры, а подвижность – от температуры

степенным образом, поэтому типичный вид зави-

симости электропроводности газа от температуры

имеет вид, представленный на рис. 3.4.

3.8.2 Температурная зависимость вязко-

сти

Вязкость газа определяется, в основном, тяжелы-

ми частицами, поэтому вязкость газа при переходе от низких температур, когда газ

состоит из молекул, до высоких температур, когда газ диссоциирует, а затем - иони-

зуется, зависит от температуры только вследствие изменения компонентного состава и

характера изменения сечений от энергии.

3.8.3 Температурная зависимость теплопроводности

~ T

Îáëàñòü

äèññîöèàöèè

Îáëàñòü

èîíèçàöèè

Рис. 3.5: Теплопроводность газа в области диссоциации и

ионизации

При низких температурах газ со-

стоит из молекул, его теплопро-

водность определяется теплопро-

водностью молекулярного газа:

8kT

πm

78 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

При повышении температуры газ

диссоциирует, превращаясь в ато-

марный, теплопроводность кото-

рого имеет следующий вид:

= ρc

8kT

πm

Следовательно, транспортная теп-

лопроводность пропорциональна

температуре во всем интервале температур, если считать, что сечение рассеяния атомов

и молекул приблизительно является постоянным.

Общая теплопроводность смеси является суммой транспортной, химической, элек-

тронной:

λ = λ

+ λ

При высоких температурах для оптически толстого газа может быть существенной так-

же лучистая теплопроводность. Общий характер зависимости теплопроводности газа в

области высоких температур приведен на рис. 3.5.

В области слабой ионизации, когда превалирует электронная теплопроводность, теп-

лопроводность газа пропорциональна его электропроводности, что соответствует закону

Видемана-Франца, т.е. постоянству отношения теплопроводности и электропроводности,

если каждая из величин определяется электронами.

3.9 Безразмерные критерии, связанные с коэффициентами пе-

реноса

Важными являются часто не сами коэффициенты переноса, а их относительные вели-

чины. С коэффициентами переноса связаны такие безразмерные критерии, как число

Прандтля, равное отношению температуропроводности к кинематической вязкости:

P r =

λρ

ρc

µc

число Льюиса

Le =

ρDc

равное отношению коэффициента диффузии к температуропроводности, и число Шмид-

та, равное отношению коэффициента вязкости к коэффициенту диффузии:

Sm =

Для простого газа существует зависимость Le = P r ·Sm. В газовой среде числа Прандт-

ля, Шмидта и Льюиса определяются различными моментами функции распределения,

следовательно, безразмерные критерии, связанные с коэффициентами переноса, имеют

порядок единицы, если не учитываются процессы типа химической теплопроводности.

3.10. СКОРОСТИ ПОРОГОВЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ 79

3.10 Скорости пороговых химических реакций

Используя уравнение Больцмана, можно определить, например, константы скорости хи-

мических реакций, которые определяются интегралом произведения соответствующего

сечения неупругого процесса и функции распределения, где интегрирование в простран-

стве энергий выполняется от энергии активации до бесконечности. Поскольку функция

распределения спадает экспоненциально, это выражение содержит exp(−E

акт

/kT ) – так

называемый фактор Аррениуса в выражении для скоростей химических реакций, иду-

щих с порогом.

Типичный вид пороговой реакции имеет вид

Q(ε) = g(ε)Θ(ε − E

акт

где Θ(x) = 0 при x < 0, Θ(x) = 1 при x > 0 – функция Хевисайда.

Усредняя скорость реакции (число актов в единицу времени), получим константу

скорости реакции, зависящую от температуры:

k(T ) =< vQ >=

vQ(v)f

(v)dv.

Интегралы функции распределения по энергии удобно выражать через плотность со-

стояний ρ(ε):

(v)dv = f

(ε)ρ(ε)dε,

где ε = mv

/2, mvdv = dε, поэтому плотность состояний

ρ(ε) =

√

π(kT )

3/2

√

ε.

В результате константа скорости реакции имеет вид

k(T ) =< vQ >=

∞

акт

2ε

1/2

Q(ε)e

−ε/kT

ρ(ε)dε.

После интегрирования вследствие пороговой зависимости получаем

k(T ) = A(T )e

−E

акт

/kT

Экспоненциальная зависимость отражает тот факт, что произвести реакцию могут толь-

ко частицы, имеющие энергию выше порога реакции, число которых пропорционально

соответствующему "хвосту"функции распределения.

80 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ