Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

3.3. МЕТОД ЧЕПМЕНА-ЭНСКОГА 61

3.3.2 Теплопроводность и вязкость нейтральных газов

С помощью этого выражения вычислим тепловой поток

q =<

v >=

dvf

(0)

(v)χ(v)

Подставляя сюда (3.68), получаем

q =

√

mΩ((2.2)

∞

dxx

3/2

−x

3/2

(x)∇T = −λ∇T.

Интеграл вычисляется с учетом равенства x = (5/2)L

3/2

(x) −L

3/2

(x) и ортонормирован-

ности полиномов Сонина-Лагерра. В результате получаем коэффициент теплопровод-

ности газа:

λ =

mΩ

(2.2)

. (3.69)

Вычислим тензор вязких напряжений в соответствии с определением

= m

dvf

(0)

(v)(v

− v

)(v

− v

При интегрировании по угловым переменным v учтем, что при усреднении по углам

, v

(δ

+ δ

При интегрировании по v с помощью (3.56) и замены индексов суммирования получаем

= η

"Ã

∂v

∂x

∂v

∂x

−

∂v

∂x

где коэффициент вязкости равен

η =

8Ω

(2.2)

. (3.70)

3.3.3 Диффузия и термодиффузия нейтральных газов

Перейдем к вычислению коэффициента диффузии. В этом случае необходимо рассмат-

ривать по крайней мере бинарную смесь газов. Для частиц сорта ”а” выражение, содер-

жащее поправку к равновесному решению сохраняет вид аналогичный (3.54). Преобра-

зуем левую часть кинетического уравнения:

∂

∂t

+ v

· ∇ +

∂

∂v

(0)

∂f

(0)

∂n

∂f

(0)

∂v

∂f

∂T

· ∇n

∂f

∂n

+ v

· ∇T

∂f

∂T

+ v

∂f

∂v

∂r

∂f

∂v

. (3.71)

Здесь введено обозначение d/dt = ∂/∂t + v

· ∇. Учтем уравнения гидродинамики иде-

ального газа в форме (3.17-3.24). После подстановки производных по времени макро-

скопических параметров уравнение (3.54) может быть записано в виде

(0)

−

δv

: ∇v

2kT

· ∇ln T +

· v

62 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

− v

|dQ

(0)

(χ

+ χ

− χ

Здесь введена "термодинамическая сила" :

∇ln T −

ρkT

∇p +

ρkT

+ ∇ln n

−

ρp

−

∇ln p +

∇ln n

T. (3.72)

Дополнительные условия для неравновесной функции распределения, которые следуют

из равенства первых пяти моментов f

(0)

и f

= f

(0)

(1 + χ

), имеют вид

< χ

= 0,

< χ

>= 0,

< χ

>= 0. (3.73)

Решение неоднородной системы уравнений (3.72) для бинарной смеси, как и для вычис-

ления вязкости и теплопроводности, будем искать в виде

) = − A

(0)

· ∇ln T − B

(0)

)

−

δu

: ∇v

+ c

(a)

)nu

· d. (3.74)

Для бинарной смеси

d ≡ d

ρn

− m

+ (m

− m

)∇ln T + m

∇ln n

− m

∇ln n

= −d

функции A, B и C разлагаем в ряд по полиномам Сонина-Лагерра:

(a)

(x) =

∞

n=0

(a)

3/2

(x), B

(a)

(x) =

∞

n=0

(a)

5/2

(x), C

(a)

(x) =

∞

n=0

(a)

3/2

(x). (3.75)

Дополнительные условия на коэффициенты A, C определяются из (3.73):

√

(a)

+ n

√

(b)

= 0 , n

√

(a)

+ n

√

(b)

= 0 . (3.76)

Для вычисления коэффициента диффузии бинарной смеси предположим, что темпе-

ратура постоянна и среда находится в покое (или движется как целое с постоянной

скоростью), т.е. ∇T = 0, v

= 0. Удерживая лишь один полином в разложении (3.75),

получим

= nd · n

(a)

. (3.77)

Для второго сорта C

(b)

выражается через C

(a)

с помощью дополнительного условия

(3.56). Подстановка в уравнение (3.72) дает

(0)

− v

(0)

− v

−

− v

)

(a)

. (3.78)

В правой части учитываются только столкновения различных частиц, т.к. для одина-

ковых частиц соответствующий член обращается в нуль вследствие закона сохранения

3.3. МЕТОД ЧЕПМЕНА-ЭНСКОГА 63

импульса. Умножая (3.54) на v

, интегрируя по v

и учитывая сохранение импульса при

столкновениях, получим

(a)

√

2π





3/2

9/2

− v

|(v

− v

)

−(m

−m

)/2kT





−1

Вычисления проведем с использованием скорости центра масс и относительной скоро-

сти:

+ m

= W, v

− v

= v, µ

+ m

В этих переменных скорости частиц до и после столкновения:

= W +

v, v

= W +

vn, v

= W =

v, v

= W −

vn,

+ m

= ( m

+ m

+ µ

, v

− v

(vn − v).

Якобиан преобразования переменных dv

= dWdv. После подстановки и интегриро-

вания получаем

(a)

= −

2kT

+ m

ρn

Ω

(1.1)

(T )

, (3.79)

где Ω

(1.1)

(T ) определяется формулой (3.66). Подставляя (3.60) в (3.58), найдем поправку

к функции распределения. Вычислим диффузионный поток частиц сорта "а" , исполь-

зуя добавку к функции распределения в форме (3.75):

= m

< v

>= m

2kT

(0)

−A

(a)

)∇ln T + ndC

(a)

)

Перепишем это выражение в виде

= −

d − D

∇ln T,

где коэффициенты диффузии D

и термодиффузии D

определяются интегралами

∞

dxx

3/2

−x

(x) =

∞

r=0

< L

> C

(a)

= C

(a)

Таким образом, коэффициенты диффузии и термодиффузии равны

= −

ρn

(a)

, D

= n

(a)

Диффузионный поток иногда записывают в виде

+ k

∇ln T ),

где термодиффузионное отношение k

определяется формулой

= −

(a)

64 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

Подставляя C

(a)

(3.79) в (3.78), получаем

3kT

16µ

nΩ

(1.1)

(T )

. (3.80)

Вычисление коэффициента термодиффузии в принципе не отличается от вычисления

коэффициентов D

, λ, η, но требует более сложных выкладок.

3.3.4 Коэффициенты переноса смесей нейтральных газов

Приведем результаты вычислений коэффициентов переноса нейтральных газов. Для га-

за одного сорта вязкость и теплопроводность определяются формулами (3.71) и (3.69),

коэффициенты диффузии – формулой (3.79). Способ вычисления коэффициентов пе-

реноса чистых газов, таким образом, сводится к следующему. Вначале определяются

потенциалы взаимодействия частиц методами квантовой механики, затем вычисляются

сечения рассеяния по известному потенциалу, далее определяются интегралы столкно-

вений Ω

(l,s)

и, наконец, коэффициенты переноса. Для смесей газов при строгом вычис-

лении вначале необходимо решить систему линейных уравнений типа (3.54) или (3.56),

затем вычислив коэффициенты A

(a)

, C

(a)

, B

(a)

по формулам Крамера, найти коэффици-

енты переноса. Вычисления оказываются достаточно сложными, т.к. в системе N сор-

тов частиц для вычисления коэффициентов вязкости и теплопроводности и диффузии

формулы содержат определители порядка N, а для коэффициентов термодиффузии –

порядка 2N. Иногда для упрощения расчетов используются приближенные формулы,

основанные на том, что в элементарной кинетической теории кинематическая вязкость,

температуропроводность и коэффициенты диффузии определяются формулами

= ν ∼

ρc

= χ ∼ D ∼

l v

где v

– тепловая скорость частиц, l – длина пробега. Сравнение с точными форму-

лами дает выражение для длины свободного пробега части сорта a в столкновениях с

частицами сорта b l

= 1/n

(2.2)

, где усредненные сечения выражаются через столк-

новительные интегралы Q

(2.2)

= Ω

(l,s)

. При столкновениях с различными сортами

частиц складываются частоты столкновений, т.е. обратные длины свободного пробега

1/l

(2.2)

. Вязкость чистого газа может быть выражена формулой (3.71). Следо-

вательно, вязкость смеси можно вычислить по приближенной формуле:

η =

Ω

(2.2)

. (3.81)

Здесь x

= n

/n – объемная доля частиц сорта a, n =

– концентрация частиц.

Аналогично получается приближенная формула для теплопроводности газа:

λ =

64T

Ω

(2.2)

, (3.82)

здесь введены поправочные коэффициенты K

, учитывающие отклонение приближен-

ных формул от точных при неравных массах частиц [11].

= 1 +

1 −

¶µ

0.45 − 2.54

¶µ

1 +

3.4. ПPИБЛИЖЕНИЕ BGK 65

Взаимодействия сортов различных частиц обычно аппроксимируются одним из следу-

ющих потенциалов:

1. обратно-степенной отталкивательный потенциал

U(r) =

2. потенциал Ленарда-Джонса (12-6)

U(r) = Φ

−

3. потенциал Ленарда-Джонса с ядром

U(r) = 4Φ





1 − γ

r/r

− γ

−

1 − γ

r/r

− γ





4. потенциал (n − 4)

U(r) =

nΦ

n − 4

−

5. потенциал 12-4 с ядром

U(r) =





1 − a

∗

r/r

− a

∗

− 3

1 − a

∗

r/r

− a

∗





6. потенциал Морзе

U(r) = Φ

−2c(r−r

)/r

− 2e

−c(r−r

)/r

7. экспоненциальный потенциал

(

) =

−r/ρ

8. экранированный потенциал

U(r) = ±Φ

−r/ρ

Таблицы интегралов столкновений Ω

(l,s)

для некоторых из этих потенциалов содержатся

в [5], [23].

3.4 Пpиближение BGK

Сделаем оценку интеграла столкновения:

St[f] =

(

f − ff

)gdQdv

fgdQdv

− f

gdQdv

Второй член имеет порядок

gdQdv

≈ f v

= nv

Q = ν =

66 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

где ν – частота столкновений частиц, τ – время свободного пробега частиц. Аналогично,

первый член

fgdQdv

≈

(v)f

)gdQdv

≈

(v)

Отсюда следует, что интеграл столкновений можно приближенно записать в виде

St[f] ≈ −

f(v) − f

(v)

, (3.83)

где в общем случае можно приближенно принять

f(v

)gdQdv

В этом приближении время релаксации τ определяется функцией распределения частиц,

т.е. уравнение Больцмана с интегралом столкновений (3.83) является нелинейным. Такое

приближение называется приближением BGK (Bhatnagar, Gross, Krook).

3.4.1 τ-пpиближение

Если в определении времени релаксации заменить неравновесную функцию распреде-

ления равновесной, тогда

≈ nv

и получается так называемое линейное τ-приближение. Его удобно использовать для

приближенного решения кинетического уравнения для нахождения транспортных ко-

эффициентов, задач релаксации и описания других кинетических неравновесных явле-

ний.

3.4.2 Транспортные свойства газа в τ -приближении

Для вычисления транспортных коэффициентов переноса в простейшем случае можно

использовать τ–приближение, в котором в соответствии с методом Чепмена-Энскога

уравнение для функции распределения имеет вид

v · ∇f

= −ν

(f − f

). (3.84)

Пусть концентрация частиц в задаче о диффузии малой примеси, температура в задаче

о теплопроводности или средняя скорость газа в задаче о вязкости газа меняются по

оси z, тогда, обозначив A(z) = n(z), T (z) или U(z), где n(z) - концентрация частиц

для задачи диффузии, T (z) – температура газа для задачи теплопроводности, U(z) –

средняя скорость газа в направлении x (вдоль потока) для задачи о вязкости газа,

функцию распределения следует искать в виде

f = f

(v, z) + v

(v, z). (3.85)

Подставляя в (3.84), получим

(v) = −

(v)

∂ ln f

∂A

. (3.86)

Рассмотрим частные случаи.

3.4. ПPИБЛИЖЕНИЕ BGK 67

3.4.3 Теплопроводность газа в τ-приближении

Задача о теплопроводности газа решается аналогичным образом. Поправка к функции

распределения имеет вид (3.86), где A(z) = T (z) и

∂ ln f

∂T

2kT

−

Искомой величиной в диффузии является тепловой поток

=< v

+ v

)dv.

В соответствии с законом Фурье

q = −λ∇T,

где теплопроводность газа определяется формулой

λ =

(v)

2kT

−

!Ã

2kT

(v)dv. (3.87)

После подстановки максвелловской функции распределения получаем

λ =

4πnk

2πkT

3/2

∞

(v)

2kT

−

!Ã

2kT

−mv

/2kT

dv. (3.88)

3.4.4 Вязкость газа в τ -приближении

Рассмотрим плоскопараллельное течение, при котором вектор средней скорости течения

направлен вдоль оси x: v

= ( U(z), 0, 0). Поправка к функции распределения имеет вид

(3.86), где A(z) = U(z) и

= n

2πkT

3/2

−m[(v

−U(z))

]/2kT

∂ ln f

∂U

m(v

− U(z))

Поправка к функции распределения частиц имеет вид

= −

(v)

m(v

− U(z))

Искомой величиной при определении вязкости является компонента тензора вязких на-

пряжений (Стокса):

= − < m (v

− U(z))v

>= −m

− U)v

+ v

)dv.

Представив касательное напряжение в виде закона Ньютона

= η

∂U

∂z

получим выражение для динамической вязкости η:

η =

− U(z))

(v)

dv.

68 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

Переходя к переменным интегрирования v

= v

− U(z) и переобозначив снова v

= v

получим

η =

(v)

dv.

В сферической системе координат v

= v sin ϑ cos ϕ, v

= v cos ϑ интеграл по угловым

переменным равен

4π

2π

cos

ϕdϕ sin

ϑ cos

ϑ sin ϑdϑ =

В результате для динамической вязкости получается выражение

η =

2π

2πkT

3/2

∞

(v)

2kT

−mv

/2kT

dv. (3.89)

3.5 Модель Лоренца

Есть один важный случай смеси газов, когда один из сортов частиц имеет массу мно-

го меньшую массы других частиц. В первую очередь это относится к электронам, т.к.

m ¿ M, где m – масса электрона, M – масса атома или молекулы. Если и концентра-

ция легких частиц мала по сравнению с концентрацией тяжелых частиц, т.е. n ¿ N, где

n – концентрация легких частиц, N – концентрация тяжелых частиц, то это соответ-

ствует модели Лоренца. Для модели Лоренца можно использовать или не использовать

τ-приближение. Первый случай является наиболее простым. Для примера рассмотрим

задачу об электропроводности газа в τ-приближении.

3.5.1 Диффузия

В случае диффузии малой примеси в газе следует учитывать только столкновения ча-

стиц примеси с частицами основного газа, т.е. ν

= n

, где n

– концентрация основ-

ного газа, Q

– транспортное сечение рассеяния частиц примеси на основных частицах

газа. Поправка к функции распределения имеет вид (3.86), где A(z) = n(z). Искомой ве-

личиной в диффузии является числовой поток, т.е. число частиц, падающих на единицу

поверхности в единицу времени:

=< v

+ v

(v)) dv = −

nν

(v)dv

Из закона Фика по определению имеем

= −D

Обозначим чертой сверху осреднение по направлениям вектора скорости:

A =

4π

Ado =

A(ϑ) sin ϑdϑ.

Средние значения

cos ϑ =

cos ϑ sin ϑdϑ =

−1

µdµ = 0, cos

ϑ =

−1

dµ =

3.5. МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА 69

откуда получаем выражение для коэффициента диффузии малой примеси:

D =

(v)dv.

После подстановки максвелловской функции распределения, получаем

D =

4π

2πkT

3/2

∞

(v)

−mv

/2kT

dv.

Легко убедиться, что это выражение согласуется с элементарной теорией диффузии

D ∼ lv

/3, где l ≈ 1/NQ

– длина свободного пробега частиц.

3.5.2 Электропроводность

Рассмотрим электроны в газе, находящемся в слабом электрическом поле. Выберем ось

z вдоль электрического поля. Уравнение Больцмана для электронов в модели Лоренца

в τ-приближении имеет вид

−

∂f

∂v

= −

f − f

= −ν

(f − f

В соответствии с методом Чепмена-Энскога будем искать решение уравнения Больцмана

в виде f = f

(v) + v

(v). Подставляя в уравнение Больцмана, получаем

+ f

= ν

. (3.90)

Наличие возмущения, в данном случае электрического поля, приводит к тому, что функ-

ция распределения в отсутствие возмущающих факторов: градиентов, концентраций,

температуры, электрического поля – является сферически симметричной в пространстве

скоростей. При наличии электрического поля происходит некоторое смещение функции

распределения скоростей в направлении против электрического поля. Но это смещение

является малым вследствие малости числа Кнудсена. Уравнение для функции распре-

деления описывает слабое отклонение от сферической симметрии, но именно это откло-

нение от сферической симметрии приводит к потокам, таким, как электрический ток,

поток тепла и др. Поэтому такое уравнение можно решать методом угловых моментов

в пространстве скоростей, проводя осреднение по углам. Вводя угол ϑ между направ-

лением вектора скорости и вектора электрического поля, уравнение (3.90) приводится

к виду:

cos ϑ

+ f

+ v cos

= ν

cos ϑf

. (3.91)

Решим это уравнение методом моментов, Уравнение (3.91) может быть решено сле-

дующим способом. Осредняя уравнение (3.91), получаем

= 0 .

Члены при cos ϑ имеют вид

= ν

70 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

Умножая на cos

ϑ, получаем уравнение для моментов функции распределения и, обры-

вая эту бесконечную цепочку уравнений, получаем решение. Эта цепочка тем быстрее

сходится, чем меньше распределение отличается от сферически симметричного. В дан-

ном случае последнее уравнение дает поправку к функции распределения

mvν

Подставляя в выражение для плотности электрического тока

= −e < v

+ v

(v))dv,

где угловыми скобками обозначено осреднение по максвелловской функции распределе-

ния, оно, кроме осреднения по скоростям, дает еще множитель – концентрацию частиц.

В результате получаем

= −e

mvν

(v)

dv.

В соответствии с законом Ома j = σE, откуда находим электропроводность газа

σ =

2πe

∞

−

(v)

dv.

С учетом максвелловской функции распределения электронов

= n

2πkT

3/2

−mv

/2kT

получаем выражение для электропроводности газа

σ =

2π

2πkT

3/2

∞

(v)

−mv

/2kT

dv. (3.92)

Для вычисления электропроводности конкретного газа необходимо знать зависимость

транспортной частоты столкновений ν

(v) = v

T e

(v), т.е. транспортных сече-

ний столкновений электронов с нейтральными и заряженными частицами Q

(v) от

скорости.

3.5.3 Диффузия и подвижность электронов

Аналогично рассматривается и случай униполярной диффузии заряженных частиц, ко-

торый отличается от диффузии нейтральных частиц тем, что при диффузии зарядов

одного сорта возникает разделение зарядов, которое, в свою очередь, приводит к по-

явлению электрического поля, действующего на заряженные частицы. Характерным

размером, определяющим поле разделения зарядов в газе или плазме является деба-

евский радиус r

, поэтому характер диффузии заряженных частиц различен в двух

предельных случаях. Обозначим L – характерный размер неоднородности концентра-

ции заряженных частиц. При L ¿ r

поле разделения зарядов несущественно, в этом

случае заряженные частицы диффундируют аналогично нейтральным, такая диффузия

называется униполярной. В другом предельном случае L À r

возникают самогласо-

ванные электрические поля, которые являются существенными, их учет приводит к

амбиполярной диффузии заряженных частиц.