Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

2.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 41

Угол рассеяния равен

χ =

2ρ

∞

√

− ρ

2Ze

В результате получаем

ρ(χ) =

2Ze

Дифференциальное сечение для кулоновского потенциала имеет вид

2Ze

. (2.5)

Эта формула называется формулой Резерфорда. Для малых углов рассеяния 1−cos χ '

/2, поэтому сечение транспортного рассеяния в кулоновском потенциале

(1)

(ϑ) =

max

min

2Ze

2πχdχ = π

2Ze

max

min

где χ

max

и χ

min

– максимальный и минимальный углы рассеяния. Эти углы для задач

рассеяния в плазме будут оценены ниже.

2.2.3 Условия применимости классической механики для рассеяния частиц

ðàññåèâàþùèé

öåíòð

Рис. 2.6: Квантовое рассеяние частицы на си-

ловом центре

В классической механике частицы описыва-

ются материальными частицами бесконечно

малого размера. В квантовой механике ча-

стице соответствует волновой пакет с дли-

ной волны де-Бройля. Классическая механи-

ка прежде всего нарушается при рассеянии

на малые углы из-за возникновения дифрак-

ции. Оценим величину малого угла при клас-

сическом рассеянии:

кл

∼

⊥

∆t

∼

∂Φ

∂r

При рассеянии частицы на силовом центре

поперечное изменение импульса определяет-

ся из соотношения неопределенности ∆p

⊥

∼ ¯h/a, где a ∼ ρ – размер щели, ρ – прицель-

ный параметр. Оценим угол квантового рассеяния или угол дифракции (см. рис. 2.6):

dif

∼

∆p

⊥

∼

¯h

∼

Условие применимости классической механики имеет вид

∂Φ

∂r

Это равенство можно переписать в виде

∂

∂r

(

) À

(2.6)

42 ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ И ПЛАЗМЕ

В грубом приближении 2.6 имеет вид

Φ(ρ)

при этом условии можно ограничиться классическим рассмотрением. Так как

λ ∼ 1/

√

классическое описание в первую очередь нарушается для электронов. Рассмотрим прак-

тически наиболее важные квантовые эффекты в рассеянии электронов.

2.3 Квантовые эффекты в рассеянии электронов

2.3.1 Эффект Рамзауера

В квантовой механике электрон описывается волной, поэтому квантовые эффекты ана-

логичны волновым эффектам в оптике. В оптике существует эффект "просветления" ,

когда отраженная от препятствия волна находится в фазе с волной, отраженной от

первой границы слоя, что приводит к усилению волны. Аналогичный эффект имеется

и при рассеянии электронов. Взаимодействие электрона с атомом определяется двумя

параметрами: длиной рассеяния L, так что падающая волна получает сдвиг на вели-

чину δ

= qL, где q = 2π/λ = 1/

λ – волновое число электрона, энергия электрона

/2m = (¯hq)

/2m)/ При малых энергиях длина рассеяния L характеризует короткодей-

ствующее взаимодействие. На больших расстояниях электрон с атомом взаимодействует

поляризационно, так что потенциал равен: Φ(r ) = αe

/2r

. В квантовой теории сечение

рассеяния определяется амплитудой рассеяния

= |f(ϑ)|

, (2.7)

где амплитуда рассеяния в общем случае выражается в виде ряда по полиномам Ле-

жандра:

f(ϑ) =

∞

l=0

(2l + 1) sin δ

(q)P

(cos ϑ) ≈

λ [δ

(q) + 3δ

(q) + . . .] ,

т.к 1/q =

λ. При малых энергиях разложение нулевой фазы рассеяния имеет вид

0.2

0.4

0.6 0.8

,ýÂ

óïð

,10 ñì

-16 2

Рис. 2.7: Сечения рассеяния электронов на ато-

мах инертных газов

(q) = −Lq −

παq

соответственно амплитуда рассеяния

f = −

L +

παq

и дифференциальное сечение рассеяния

≈

L +

παq

Если длина рассеяния L < 0, что характерно

для инертных атомов, то dQ/do имеет мини-

мум. Уточненные формулы с учетом δ

(q) и

(q) имеют вид

2.3. КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНОВ 43

Q = 4π

2παqL

(1)

= 4 π

4παqL

Сечения рассеяния электронов на атомах инертных газов приведены на рис. 2.7.

Эффект Рамзауера используется в МГД-генераторах, где в качестве рабочего тела

используется смесь инертного газа с щелочным металлом, газ дает ионизацию, а щелоч-

ной металл - низкое сопротивление.

2.3.2 Резонансное рассеяние электронов на молекулах

Следующим квантовым эффектом, определяющим рассеяние электронов на частицах,

является резонансное рассеяние электронов на молекулах. Рассмотрим рассеяние элек-

трона на молекуле азота. Потенциальные кривые молекулы азота приведена на рис. 2.8.

Нижняя кривая соответствует основному состоянию молекулы, а верхняя - отрицатель-

ному молекулярному иону, т.е. двум ядрам ионов азота и 29 электронам.

Если энергия электрона достаточна для образования возбужденного состояния от-

рицательного иона азота, то происходит реакция

De(R)

âîçá

äèñ

Рис. 2.8: Схема уровней молекулы и иона азота при

резонансном рассеянии электронов на молекуле азо-

та

e(ε)+N

(v = 0) → N

−

) → e(ε)+N

(v),

в результате которой образуется отри-

цательный ион молекулы азота. Ион

азота является нестабильным, поэтому

через некоторое время τ он распадается

на электрон и молекулу азота, но, воз-

можно, с другими значениями энергии

и колебательного состояния молекулы,

что приводит к рассеянию электрона

на молекуле без или с колебательным

возбуждением молекулы. Потенциаль-

ные кривые для этой реакции приведе-

ны на рис. 2.8. Эта реакция идет эф-

фективно, если энергия налетающего

электрона равна разности энергии воз-

бужденного состояния иона молекулы

азота и основного состояния молекулы

азота, т.е. если энергия электрона равна энергии возбуждения плюс целое количество

квантов колебательного возбуждения молекул:

ε = ε

+ n¯hω.

Энергия возбуждения примерно равняется 1.5 эВ. Для таких реакций, которые происхо-

дят с образованием короткоживущего нестабильного комплекса, сечение рассеяния опре-

деляется формулой Брейта-Вигнера, известной в теории ядерных реакций. Для реакции

44 ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ И ПЛАЗМЕ

A + B → (AB)

∗

→ C + D сечение реакции определяется формулой Брейта-Вигнера:

AB→CD

(ε) = π

(ε − ε

∗

)

+ Г

представленной на рис. 2.9, где ε

∗

– энергия образования метастабильного комплекса,

λ – длина волны де-Бройля частицы с приведенной массой частиц А и В, Г = ¯h/τ –

полуширина сечения реакции.

e = D e( )R

Рис. 2.9: Резонансное сечение реакции

A + B → ( AB)

∗

→ C + D

Применение теории Брейта-Вигнера к реак-

ции резонансного упругого рассеяния и колеба-

тельного возбуждения приводит к следующей за-

висимости сечения этого процесса от энергии:

(ε) = πλ

[ε − ∆ε(R)]

+ Г

где Г – сумма ширин уровней молекул азота в ос-

новном и возбужденном состояниях, ε разность

энергий состояний (основного и возбужденного)

молекулы. Сечение рассеяния для возбуждения

в одно состояние молекулярного иона имеет ре-

зонансный вид, а с учетом возможности возбуж-

дения в несколько состояний молекулярного иона

получаем зависимость сечения от энергии в виде

нескольких пиков, амплитуды которых постепенно падают.

Qpotential

Qelastic

Qv=0,v=1

Рис. 2.10: Резонансное сечение рассеяния и колебательного возбуждения молекулы азота электронным

ударом

Таким образом, сечение рассеяния электрона на молекуле азота имеет вид, приведен-

ный на рис. 2.10, где области малых и высоких энергий определяются потенциальным

рассеянием, а резонансные пики связаны с колебательным возбуждением состояний мо-

лекулярного иона. Резонансное колебательное возбуждение частиц имеет большие зна-

2.3. КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНОВ 45

чения сечений. Оценка сечения может быть проведена по следующей формуле:

max

≈ 4πλ + 4πa

≈ 10

−15

cм

поэтому общее значение сечения близко по величине к газокинетическому, т.е. вероят-

ность возбуждений является очень большой.

Этот эффект используется в электроразрядных лазерах для накачки CO

-лазеров,

которые действуют по следующему принципу. Первый колебательный уровень моле-

кулы азота имеет близкое значение к колебательному уровню молекулы CO

, которая

является линейной молекулой и имеет изгибную и деформационную моды колебаний

(см. рис. 2.11).

v=1

v=0

Рис. 2.11: Принцип работы электроразрядного лазе-

ра на смеси N

− CO

Вследствие резонанса Ферми, соот-

ветствующего близким значениям ко-

лебательных уровней молекул азота и

углекислого газа, в электрическом раз-

ряде, где средняя энергия электронов

порядка энергии возбуждения отрица-

тельного иона азота, электроны, взаи-

модействуя с молекулами азота, приво-

дят к появлению возбужденных состо-

яний молекулы азота. Энергии возбуж-

денных состояний молекулы азота и CO

имеют близкие энергии, поэтому существует,

так называемый, резонанс Ферми, в соответствии с которым энергия от колебательного

осциллятора N

передается к энергии колебательного осциллятора CO

. Таким образом,

возникает инверсная заселенность между верхними и нижним состояниями в трехуров-

невой модели CO

и затем в резонаторе происходит лазерный переход на длине волны

10.6 микрон.

46 ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ И ПЛАЗМЕ

Глава 3

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ

И ПЛАЗМЫ

3.1 Уравнение Больцмана

Рассмотрим газ, находящийся в некотором объеме при заданных давлении и темпера-

туре. Для определенности будем считать, что условия близки к нормальным, так что

в единице объема число частиц порядка числа Лошмидта, т.е. n ∼ 10

см

−3

. Введем

шестимерное фазовое пространство частиц (r, p) или (r, v). Определим функцию рас-

пределения частиц в фазовом пространстве f(r, v , t) как плотность вероятности частиц

в фазовом пространстве, т.е. она равна числу частиц в фазовом пространстве с объе-

мом drdv: dN = f(r, v, t)drdv. Функция распределения зависит от семи переменных:

времени, координат и скоростей. Интегралы функции распределения по скоростям на-

зываются моментами функции распределения. Первый момент является концентрацией

частиц:

n(r, t) =

f(r, v, t)dv. (3.1)

Полное число частиц можно получить интегрируя концентрацию частиц по координат-

ному пространству:

N =

n(r, t)dr. (3.2)

С помощью функции распределения определяются математические ожидания, моменты

или центральные моменты, которые иначе называются локальными средними величи-

нами. Средняя скорость частиц определяется вторым моментом:

(r, t) =< v >=

vf(v, r, t)dv. (3.3)

Молекулярные скорости частиц определяются разностью полных и среднемассовых ско-

ростей:

c = v − v

. (3.4)

Температура определяется как среднеквадратическое значение кинетической энергии

относительного движения частиц:

kT =<

m(v − v

)

m(v − v

)

f(r, v, t)dv. (3.5)

48 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

Таким образом, уравнения (3.1–3.5) определяют пять моментов функции распределения

(два скалярных и одно векторное).

Получим уравнение для функции распределения частиц. Найдем полную скорость

изменения числа частиц в элементе фазового пространства. Эта скорость связана с из-

менением функции распределения по времени и с входом и выходом частиц в данный

элементарный объем фазового пространства, следовательно, левая часть уравнения мо-

жет быть представлена в виде:

f(t, r, v )dv =

∂f

∂t

∂f

∂r

r +

∂f

∂v

dv.

Используя кинематическую связь скорости и координаты частиц и второй закон Нью-

тона:

r = v,

v = F/m, получим следующее выражение:

f(t, r, v )dv =

∂f

∂t

+ v · ∇f +

∂f

∂v

dv.

Правая часть уравнения определяется изменением функции распределения вследствие

взаимодействия частиц между собой и со стенками. Из данного элементарного объема

выбывают частицы, испытавшие столкновения, их число равно произведению числа ча-

стиц, находящихся в данном фазовом объеме на вероятность процесса выхода частиц из

фазового объема. В этот же объем поступают частицы после "обратных"столкновений.

Правая часть уравнения для функции распределения называется интегралом столкно-

вений и для частиц в неограниченном пространстве имеет вид, определяющийся процес-

сами прямых и обратных столкновений (обозначение St[f] для интеграла столкновений

следует исторически от немецкого слова "Stochanzatz" – гипотеза о столкновениях):

St[f] = −

f(v)dvf(v

)dv

W (v, v

→

) +

v)f(

dW (

→ v, v

В выделенный объем фазового пространства частицы входят, имея скорости v и

v, а

выходят из него со скоростями v

. Для "обратных" столкновений частицы входят

со скоростями v

, а выходят - со скоростями v и

v. Связи между скоростями могут

быть определены на основе законов сохранения импульса и энергии:

mv + mv

= m

v + m

m˜v

Уравнение сохранения импульса частиц может быть выражено в виде закона сохранения

относительной скорости сталкивающихся частиц до и после столкновения:

|v − v

| = |

v −

Из законов сохранения также следует сохранение фазового объема частиц до и после

столкновений d

= dvdv

. Это равенство является частным случаем равенства Ли-

увилля.

Вероятность рассеяния частиц может быть выражена через сечение рассеяния, ко-

торое по определению является отношением вероятности процесса к потоку падающих

частиц:

dQ =

dW (v, v

→

)

|v − v

3.1. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА 49

В классической теории дифференциальное сечение рассеяния выражается через при-

цельное расстояние ρ:

dQ = 2π ρdρ. (3.6)

Таким образом, уравнение Больцмана может быть записано в следующем виде:

∂f

∂t

+ v · ∇f +

∂f

∂v

Z Z

(

− ff

)|v − v

|dQdv

. (3.7)

Оценим характерную величину членов уравнения Больцмана. Левая часть уравнения

Больцмана имеет порядок f/τ

, где τ

∼ L/V – характерное гидродинамическое время,

т.е. время, которое определяется гидродинамическими параметрами, например, для те-

чения в канале это время порядка R/U, где R – радиус канала, U – средняя скорость

движения газа в канале. Правая часть имеет порядок nv

Q ∼ ν, где n - концентрация

частиц, v

- тепловая скорость частиц, Q - сечение рассеяния частиц, ν - частота столк-

новений, имеющая порядок величины ν ∼ v

/λ отношения тепловой скорости частиц

к длине свободного пробега. Таким образом, отношение левой части к правой части

уравнения:

∼

= Kn,

где Kn ≡ ε = λ/L ¿ 1 – число Кнудсена, равное отношению длины свободного пробе-

га к характерному гидродинамическому масштабу L. Это означает, что если уравнение

Больцмана привести к безразмерному виду, то в правой части появится параметр 1/ε.

Таким образом, уравнение Больцмана имеет вид дифференциального уравнения с ма-

лым параметром при старшей производной, что с одной стороны определяет сложность

его решения, с другой – дает возможность применения методов, основанных на сращи-

ваемых асимптотических разложениях. Рассмотрим свойства кинетического уравнения

Больцмана.

3.1.1 Необратимость

Введем функционал

H(t) =< ln f >=

f(t, v) ln f(t, v)dv.

Дифференцируя по времени H(t) и используя уравнение Больцмана, получаем

(

− ff

)(1 + ln f)wdvdv

Заменяя переменные v → v

и симметризуя результат, находим

(

− ff

)(1 +

ln ff

)wdvdv

Заменяя переменные еще раз v → ˜v, v

→

и проводя еще раз симметризацию, полу-

чаем

(

− ff

) ln

wdvdv

Поскольку функция

(x − y) ln

≤ 0,

50 ГЛАВА 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

отсюда следует свойство функционала H(t):

≤ 0 ,

что означает необратимость, описываемую уравнением Больцмана, а функцию −H(t)

можно отождествить с энтропией S(t) = −H(t).

3.1.2 Функция распределения Максвелла

Воспользуемся наличием малого параметра в уравнении Больцмана. В нулевом при-

ближении при ε → 0 уравнение Больцмана вырождается в равенство нулю интеграла

столкновений. Поскольку подынтегральная часть положительна для любых значений

вектора скорости v, то из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынте-

грального выражения:

(0)

= f

(0)

. (3.8)

Логарифмируя уравнение (3.8), получим

(0)

+ ln

(0)

= ln f

(0)

+ ln f

0(0)

поэтому логарифм функции распределения является инвариантом столкновения lnf

(0)

inv. Известно, что единственными инвариантами, сохраняющимися при столкновении,

являются число частиц, импульс и энергия ψ(v) = 1, mv, mv

/2. Поэтому любой дру-

гой инвариант столкновений может быть выражен в виде линейной комбинации данных

инвариантов, следовательно,

ln f

(0)

= A · v + B

+ C.

Отсюда следует, что функция распределения может быть представлена в следующем

виде:

(0)

= conste

A·v+Bmv

Воспользуемся нормировочными условиями для функции распределения (3.1), (3.3) и

(3.5), которые дают возможность определения постоянных A и B. В результате полу-

чается выражение для функции распределения, которая называется функцией распре-

деления Максвелла:

(0)

(v) = n

2πkT

3/2

−m(v−v

)

/2kT

. (3.9)

Эта функция описывает состояние газа в равновесии (т.к. оно соответствует df/dt = 0).

3.1.3 Уравнение Больцмана для смеси газов

Уравнение Больцмана очевидным образом можно обобщить на случай смеси газов. Для

каждой из компонент смеси вводится функция распределения f

(r, v, t). В столкнови-

тельном интеграле в уравнении Больцмана необходимо учесть столкновения со всеми

сортами частиц, включая собственный:

∂f

∂t

+ v

· ∇f

∂f

∂v

Z Z

(

− f

)|v

− v

|dQ

. (3.10)