Сон Э.Е. Лекции по физической механике
Подождите немного. Документ загружается.
6.7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 221
Умножая уравнение (6.209) на u
0
j
и складывая с аналогичным уравнением с перестав-
ленными индексами i и j, получим уравнение для вторых моментов:
∂ < u
0
i
u
0
j
>
∂t
+ < u
k
>
∂ < u
0
i
u
0
j
>
∂x
k
+ < u
0
k
u
0
j
>
∂ < u
i
>
∂x
k
+ < u
0
k
u
0
i
>
∂ < u
j
>
∂x
k
+
+
∂ < u
0
k
u
0
i
u
0
j
>
∂x
k
= −
1
ρ
∂ < p
0
u
0
j
>
∂x
i
−
1
ρ
∂ < p
0
u
0
i
>
∂x
j
+
1
ρ
*
p
0
Ã
∂u
0
j
∂x
i
+
∂u
0
i
∂x
j
!+
(6.212)
+ν
∂
2
< u
0
i
u
0
j
>
∂x
k
∂x
k
− 2ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
j
∂x
k
+
+ < F
0
i
u
0
j
> + < F
0
j
u
0
i
> .
Свертка этого уравнения (i = j) приводит к уравнению
∂ < u
0
i
u
0
i
>
∂t
+ < u
k
>
∂ < u
0
i
u
0
i
>
∂x
k
+ 2 < u
0
k
u
0
i
>
∂ < u
i
>
∂x
k
+
∂ < u
0
k
u
0
i
u
0
i
>
∂x
k
=
= −
2
ρ
∂ < p
0
u
0
i
>
∂x
i
+ ν
∂
2
< u
0
i
u
0
i
>
∂x
k
∂x
k
− 2ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
+ 2 < F
0
i
u
0
i
> . (6.213)
В эти уравнения входят пока неопределенные корреляции пульсаций удельных сил и
скорости. Будем считать, что пульсации
~
F
0
вызываются пульсациями некоторой ска-
лярной величины θ, а направление вектора
~
F при этом сохраняется, так что F
0
i
= f
i
θ
0
(
~
f - постоянный вектор). Предположим, что θ удовлетворяет уравнению конвективно--
диссипативного типа:
∂θ
∂t
+ u
k
∂θ
∂x
k
= χ
∂
2
θ
∂x
k
∂x
k
. (6.214)
Осредняя это уравнение и вычитая из неосредненного уравнения осредненное, получим
уравнение, определяющее пульсации θ
0
:
∂θ
0
∂t
+
∂
∂x
k
(u
0
k
< θ > + < u
k
> θ
0
) + u
0
k
∂θ
0
∂x
k
−
∂
∂x
k
< u
0
k
θ
0
>= χ
∂
2
θ
0
∂x
k
∂x
k
. (6.215)
Умножая (6.209) на θ
0
, (6.215) на u
0
i
и складывая, получим уравнение для вторых мо-
ментов < u
0
i
θ
0
> :
∂ < u
0
i
θ
0
>
∂t
+ < u
k
>
∂
∂x
k
< u
0
i
θ
0
>=
∂
∂x
k
"
χ
*
u
0
i
∂θ
0
∂x
k
+
+ ν
*
θ
0
∂u
0
i
∂x
k
+
+ < u
0
i
u
0
k
θ
0
> −
−
1
ρ
< θ
0
ρ
0
>
#
− < u
0
i
u
0
k
>
∂ < θ >
∂x
k
− < θ
0
u
0
k
>
∂ < u
i
>
∂x
k
+
1
ρ
*
p
0
∂θ
0
∂x
i
+
+(6.216)
+(χ + ν)
*
∂θ
0
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
+ f
i
< (θ
0
)
2
> .
Уравнение для второго момента < (θ
0
)
2
> получается умножением уравнения (6.215) на
2θ
0
:
∂ < (θ
0
)
2
>
∂t
+ < u
k
>
∂ < (θ
0
)
2
>
∂x
k
= −
∂
∂x
k
Ã
< u
0
k
(θ
0
)
2
> −χ
∂ < (θ
0
)
2
>
∂x
k
!
−
−2 < u
0
k
θ
0
>
∂ < θ >
∂x
k
− 2χ
*
∂θ
0
∂x
k
∂θ
0
∂x
k
+
. (6.217)
222 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
Рис. 6.6: Турбулентное течение в стратифицированной среде.
В уравнениях (6.213), (6.217), (6.217) интерпретация отдельных членов очевидна: они
описывают конвекцию, диффузию, генерацию и диссипацию турбулентности. В осред-
ненное уравнение движения (6.207) входит среднее значение объемной силы < F
i
>
, которое легко учитывается, т.к. аналогично соответствующему члену в ламинарном
течении, а все воздействие турбулентности сводится к тому, что турбулентное напря-
жение трения или турбулентная вязкость зависят от корреляции пульсаций удельной
силы с параметрами среды. Рассмотрим вначале случай, когда влияние этих пульса-
ций на движение среды мало. При этом анизотропия, вызываемая наличием объемных
сил велика и, следовательно, пульсации скоростей и масштабы турбулентности вдоль
различных осей примерно одинаковы. В этом случае можно упростить уравнения для
вторых моментов, используя (6.213) вместо (6.213), т.к. уравнение (6.213) уже не содер-
жит обменных членов. Предполагая наличие локального баланса между генерацией и
диссипацией турбулентности в (6.213), получим:
− < u
0
k
u
0
i
>
∂ < u
i
>
∂x
k
− ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
+ f
i
< θ
0
u
0
i
>= 0. (6.218)
6.7.1 Турбулентность в стратифицированной среде
Рассмотрим влияние архимедовых сил или сил плавучести на турбулентное движение.
Рассмотрение будем проводить для пограничного слоя или турбулентной струи, находя-
щихся в поле тяжести. Система координат указана на рис. 6.6. Проблема влияния силы
тяжести на турбулентное движение существенна в задачах, когда величина объемной
силы ρ~g меняется по высоте. Это изменение плотности (стратификация) может быть
вызвано изменением температуры по высоте (температурная стратификация) или из-за
изменения солености в океане по глубине. В поле тяжести удельная сила зависит от
плотности:
F
i
=
Ã
1 +
δρ
ρ
!
g
i
,
6.7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 223
ее пульсации при этом могут быть представлены в виде зависимости от пульсаций плот-
ности:
F
0
i
= F
i
− < F
i
>= g
i
δρ− < δρ >
ρ
= g
i
g
0
ρ
.
Пульсации плотности вызываются пульсациями температуры или концентрациями со-
ли. В обоих случаях при некоторых упрощающих предположениях уравнения для тем-
пературы или концентрации соли можно записать в виде (6.214). При температурной
стратификации ρ
0
/ρ = −αT
0
/T, где α/T - коэффициент объемного расширения, для
идеального газа α = 1.
Для рассмотрения общего случая в уравнениях для пульсаций скалярной величины
θ
0
∼ ρ
0
, запишем их, выразив через пульсации плотности. Тогда учитывая, что ~g =
(0, −g, 0), получим
< F
0
i
u
0
i
>=
g
i
ρ
< ρ
0
u
0
i
>= −
g < ρ
0
v
0
>
ρ
.
Выражение для входящей сюда корреляции можно найти из уравнения ( 6.217), где,
полагая θ
0
= ρ
0
в приближении локального баланса учтем только генерацию и диссипа-
цию:
− < v
0
p
0
>
dρ
dy
≈ χ
*
∂ρ
0
∂x
k
∂ρ
0
∂x
k
+
. (6.219)
Из (6.218) получим
− < u
0
v
0
>
∂u
∂y
= ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
+
g < ρ
0
v
0
>
ρ
. (6.220)
Сделаем оценку членов в этом уравнении при больших числах Рейнольдса:
ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
= C
w
3
`
,
< u
0
v
0
>= −K`w
du
dy
,
χ
*
∂ρ
0
∂x
k
∂ρ
0
∂x
k
+
= b
1
wρ
2
1
`
,
< ρ
0
v
0
>= −b
2
`w
dρ
dy
,
где C, K, b
1
, b
2
- эмпирические постоянные. Для исключения одной из постоянных,
рассмотрим уравнение (6.220) при g = 0. Подставляя выражения для членов оценки
уравнений, получим
w =
s
K
C
`
du
dy
.
Для того чтобы напряжение трения имело вид, соответствующий формуле Прандтля
(< u
0
v
0
>= −`
2
Ã
du
dy
!
2
),
224 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
необходимо, чтобы C = K
3
, при этом
w
2
0
=
`
2
k
2
du
dy
2
.
Подставляя приведенные выше выражения отдельных членов в (6.219), (6.220) при g 6=
0, получим
w
2
w
2
0
= 1 + ξR
i
, (6.221)
ν
T
ν
T 0
=
q
1 + ξR
i
, (6.222)
где число Ричардсона определено следующим образом:
Ri =
g
ρ
dρ/dy
(du/dy)
2
, (6.223)
ξ = b
2
/k - эмпирическая постоянная. Для оценки величины эффекта влияния силы тя-
жести в этом приближении положим для условий в атмосфере g = 10m/c
2
, −ρ
−1
∂ρ/∂u =
T
−1
∂T /∂y = 10m
−1
, du/dy = 10
3
C
−1
, ξ = 1.5. При этом получается Ri = 10
−4
¿ 1, так
что величина эффекта оказывается малой. Аналогичное рассмотрение можно провести
для течения в пограничном слое у криволинейной стенки, в этом случае вместо g следу-
ет подставить центробежную силу инерции, т.е. заменить g на u
2
/R. Для температурной
стратификации число Ричардсона можно записать в виде
|Ri| =
u
2
RT
dT/dy
(du/dy)
2
=
∆T
T
∆y
R
, (6.224)
где ∆y - ширина слоя, в котором изменение скорости сравнимо с величиной скорости
(∆u ≈ u), а ∆T - изменение температуры в этом слое. В принципе возможна ситуа-
ция, когда ∆T > T , а ∆y < R; в этом случае Ri ≈ 1 и будет происходить интенсив-
ное угасание турбулентности. Таким образом, теория, основанная на предположении об
изотропии турбулентного движения в поле тяжести приводит к малой величине эффек-
та, в отличие от наблюдаемых в экспериментах. Эти отличия связаны по-видимому, с
анизотропией, вносимой гравитационным полем, поэтому в следующем приближении
нужно учесть эту анизотропию. В полуэмпирической теории эта задача была реше-
на А.Т.Онуфриевым [ [67]]. Запишем систему уравнения для вторых моментов (6.213,
6.217, 6.217) в приближении "локального равновесия", т.е. сохраняя только члены, опи-
сывающие генерацию и диссипацию турбулентности. Как и ранее, положим θ
0
= ρ
0
/ρ (с
учетом вышесказанного пульсации плотности определяются пульсациями температуры
или концентрации соли, но уравнения удобнее использовать для пульсаций плотности):
− < u
0
k
u
0
j
>
∂ < u
i
>
∂x
k
− < u
0
k
u
0
i
>
∂ < u
j
>
∂x
k
+
1
ρ
*
p
0
Ã
∂u
0
j
∂x
i
+
∂u
0
i
∂x
j
!+
− (6.225)
−2ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
j
∂x
k
+
+
g
i
ρ
< ρ
0
u
0
j
> +
g
j
ρ
< ρ
0
u
0
i
>= 0
− < u
0
i
u
0
k
>
∂ρ
∂x
k
− < ρ
0
u
0
k
>
∂u
i
∂x
k
+
1
ρ
< p
0
∂ρ
0
∂x
i
> +(χ + ν)
*
∂ρ
0
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
+
+
g
i
ρ
< (ρ
0
)
2
>= 0, (6.226)
6.7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 225
< u
0
k
ρ
0
>
∂ρ
∂x
k
+ χ
*
∂ρ
0
∂x
k
∂ρ
0
∂x
k
+
= 0 . (6.227)
Будем рассматривать турбулентный след за телом в соответствии с ( 6.6). Для отдель-
ных членов в этих уравнениях примем следующие оценки:
2ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
j
∂x
k
+
=
< u
0
i
u
0
j
>
τ
,
χ
ρ
2
*
∂ρ
0
∂x
k
∂ρ
0
∂x
k
+
=
< (ρ
0
)
2
>
τρ
2
,
(χ + ν)
*
∂ρ
0
∂x
k
∂u
0
i
∂x
k
+
= −
< ρ
0
u
0
>
τ
,
1
ρ
*
p
0
Ã
∂u
0
j
∂x
i
+
∂u
0
i
∂x
j
!+
= −
1
τ
(< v
0
i
v
0
j
> −
2
3
Eδ
ij
),
1
ρ
2
*
p
0
∂ρ
0
∂x
i
+
= −
< ρ
0
v
0
i
>
τ
.
Здесь
E =
< v
0
i
v
0
i
>
2
= 3
w
2
2
- пульсационная энергия, τ ∼ `/w ∼ `E
−1/2
- характерное время пульсаций крупных
вихрей. Подставляя эти выражения в уравнения (6.226)- (6.227) и считая изменения
параметров по сечению следа большими, чем вдоль него, получим:
< (u
0
)
2
>=
E
3
− τ
Ã
< u
0
v
0
>
∂u
∂y
+ < u
0
w
0
>
∂u
∂z
!
(6.228)
< (v
0
)
2
>=
E
3
− 2τg < ρ
0
v
0
> (6.229)
< (w
0
)
2
>=
E
3
l abeleqn : T U6.25c (6.230)
< u
0
v
0
>= −
τ
2
Ã
< (v
0
)
2
>
∂u
∂y
+ < v
0
w
0
>
∂u
∂z
!
−
τ
2
g < ρ
0
u
0
>
ρ
(6.231)
< u
0
w
0
>= −
τ
2
Ã
< v
0
w
0
>
∂u
∂y
+ < (w
0
)
2
>
∂u
∂z
!
(6.232)
< ρ
0
u
0
>= −
τ
2
Ã
< u
0
v
0
>
dρ
dy
+ < ρ
0
v
0
>
∂u
∂y
!
(6.233)
< ρ
0
v
0
>= −
τ
2
Ã
< (v
0
)
2
>
dρ
dy
+
g
ρ
< (ρ
0
)
2
>
!
(6.234)
< (ρ
0
)
2
>= −τ < ρ
0
v
0
>
dρ
dy
(6.235)
В результате получаем систему 8 уравнений с 8 неизвестными моментами < (u
0
)
2
>, <
(v
0
)
2
>, < (w
0
)
2
>, < u
0
v
0
>, < u
0
w
0
>, < ρ
0
u
0
>, < ρ
0
v
0
>, < ρ
02
> . Вообще говоря,
226 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
приведенные оценки отдельных членов должны содержать некоторые неопределенные
константы, часть из которых можно найти рассмотрением задачи при ~g = 0 (такая
задача рассмотрена ниже). В результате зависимость от поля тяжести определяется
параметром ωτ , где
ω
2
= −
g
ρ
dρ
dy
(6.236)
- квадрат частоты Вяйсяля-Брента. Наибольший интерес представляют турбулентные
напряжения трения в различных плоскостях:
< u
0
w
0
>= −w`
∂u
∂z
, (6.237)
< u
0
v
0
>= −
w`
1 + ω
2
τ
2
/3
∂u
∂z
. (6.238)
Будем считать, что в турбулентном следе за телом τ = τ(x). Из экспериментальных
исследований известно, что в следе τ ∼ x
n
, где n ≈ 1. Физически это означает, что
величина τ ∼ `E
−1/2
увеличивается в следе вследствие увеличения размеров вихрей
(` ∼ x). Найдем распределение средней скорости в следе за телом, используя уравнение
движения осредненное по сечению следа:
U
0
∂U
∂x
= ν
T
(x)
∂
2
U
∂y
2
+ ν
T
(x)ϕ(x)
∂
2
U
∂z
2
. (6.239)
Здесь ν
T
(x) - турбулентная вязкость, а функция
ϕ(x) =
1
[1 + ω
2
τ
2
(x)/3]
. (6.240)
Уравнение (6.239) имеет вид уравнения теплопроводности, его решение
U(x, y, z) =
1
π
Z Z
U(0, ˜y, ˜z) exp
−
Ã
˜y − y
`
y
!
2
−
µ
˜z − z
`
z
¶
2
d˜yd˜z
`
y
`
z
, (6.241)
где вертикальный и горизонтальный по сечению следа масштабы равны:
`
2
y
= 4
Z
x
0
ν
T
(˜x)
U
0
ϕ(˜x)d˜x, (6.242)
`
2
z
= 4
Z
x
0
ν
T
(˜x)
U
0
d˜x. (6.243)
Функция ϕ(x) в следе за телом уменьшается, когда τ(x) увеличивается настолько, что
ωτ ∼ 1, следовательно, на больших расстояниях след становится плоским, что и наблю-
дается в экспериментах. Для дальнейшего развития теории турбулентного движения
в стратифицированной среде следует более точно учесть члены с обменом пульсация-
ми между различными осями, т.е. уточнить выражения для оценки различных членов
уравнения баланса турбулентности. Для этой цели поставим задачу определения корре-
ляции пульсаций давления и скорости. Пульсации давления определяются из уравнения
Лапласа ( 6.211):
1
ρ
∆p
0
= f(~x) = −2
∂ < u
k
>
∂x
q
∂u
0
q
∂x
k
−
∂
2
∂x
k
∂x
q
(u
0
k
u
0
q
− < u
0
k
u
0
q
>) −
g
k
ρ
∂ρ
0
∂x
k
. (6.244)
6.7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 227
Решение этого уравнения имеет вид:
p
0
ρ
=
1
4π
Z
f(
~
˜x)
r
d
3
˜x =
1
2π
Z
1
r
∂ < u
k
>
∂˜x
q
∂
˜
u
0
k
∂x
k
d
3
˜x +
+
1
4π
Z
1
r
∂
2
∂˜x
k
∂˜x
q
(u
0
k
u
0
q
− < u
0
k
u
0
q
>)d
3
˜x +
g
k
4πρ
Z
1
r
∂
˜
ρ
0
∂˜x
k
d
3
˜x. (6.245)
Найдем выражение для корреляции пульсаций давления и производных ∂u
0
j
/∂x
i
, учи-
тывая следующие преобразования
*
p
0
∂u
0
j
∂x
i
+
=
Z
1
4πr
*
˜
f
0
∂u
0
j
∂x
i
+
d
3
˜x
или
*
p
0
∂u
0
j
∂x
i
+
=
Z
1
4πr
∂
∂x
i
<
˜
f
0
u
0
i
> d
3
˜x
вводя относительную координату r
l
= ˜x
l
− x
l
получим:
*
p
0
∂u
0
j
∂x
i
+
= −
Z
1
4πr
∂
∂r
i
<
˜
fu
0
j
> d
3
r,
Кроме того, учтем, что осредненные параметры мало изменяются на длине корреляции
поля скоростей, поэтому величины [∂ < ˜u
k
> /∂˜x
q
могут быть вынесены из-под знака
интеграла по теореме о среднем. В результате получим следующее выражение:
1
ρ
*
p
0
∂u
0
j
∂x
i
+
= a
jq
ik
∂ < u
k
>
∂x
q
+ b
j
i
+ g
k
c
j
ik
. (6.246)
В этом выражении в коэффициентах a, b, c верхние индексы соответствуют компонен-
там скоростей или ускорения g, а нижние - дифференцированию. Коэффициенты a, b, c
определяются выражениями:
a
jq
ik
= −
Z
1
2πr
∂
2
< u
0
j
˜
u
0
q
>
∂r
i
∂r
k
d
3
r, (6.247)
b
j
i
= −
Z
1
4πr
∂
3
< u
0
j
˜
u
0
k
˜
u
0
q
>
∂r
i
∂r
k
∂r
q
d
3
r, (6.248)
c
j
ik
= −
1
4πρ
Z
1
r
∂
2
< u
0
j
ρ
0
>
∂r
i
∂r
k
d
3
r. (6.249)
Вследствие инвариантности относительно порядка дифференцирования по координатам
коэффициенты a
jq
ik
и c
j
ik
симметричны по нижним индексам a
jq
ik
= a
iq
ki
, c
j
ik
= c
j
ki
, а из
уравнения непрерывности следует, что свертка по верхнему и нижнему индексу равна
нулю:
a
jk
ik
= 0 , b
i
i
= 0 , c
j
jk
= 0 . (6.250)
Кроме того, тензор a
jq
ik
симметричен по верхним индексам a
jq
ik
= a
qj
ik
. Используя опреде-
ление функции Грина уравнения Пуассона, можно найти свертку коэффициентов a
jq
ik
и
c
j
ik
по нижним индексам. Для уравнения ∆ϕ = f решение имеет вид
ϕ(˜x) =
Z
G(r)f(~x + ~r)d
3
r, G(r) = −1/4πr.
228 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
В частности,
ϕ(0) =
Z
G(r)f(~r)d
3
r =
Z
G(r)∆ϕd
3
r. (6.251)
Из этого равенства следуют свойства
a
iq
kk
= 2 < u
0
j
u
0
q
>, c
j
kk
=
1
ρ
< u
0
j
ρ
0
> . (6.252)
Используя эти свойства тензоров a
jq
ik
, b
j
i
, c
j
ik
получим выражения для них. Величина c
j
ik
определяется корреляцией пульсаций плотности и скорости, поэтому, учитывая свойства
c
j
ik
, запишем следующее общее выражение:
ρc
j
ik
= c
1
δ
ik
< u
0
j
ρ
0
> +c
2
(δ
kj
< u
0
i
ρ
0
> +δ
ij
< u
0
k
ρ
0
>),
тогда из условий (6.250), (6.252) следует c
1
= 0, 4; c
2
= −0, 1, так что
c
j
ik
=
0.4
ρ
δ
ik
< u
0
j
ρ
0
> −
0.1
ρ
(δ
kj
< u
0
i
ρ
0
> +δ
ij
< u
0
k
ρ
0
>). (6.253)
Общее выражение для a
jq
ik
имеет вид
a
jq
ik
= a
1
< u
0
j
u
0
q
> δ
ik
+ a
2
< u
0
i
u
0
k
> δ
jq
+ a
3
(< u
0
i
u
0
j
> δ
kq
+ < u
0
k
u
0
q
> δ
ij
+
+ < u
0
k
u
0
j
> δ
iq
+ < u
0
i
u
0
q
> δ
kj
) + a
4
< u
0
`
u
0
`
> δ
ik
δ
jq
+ a
5
< u
0
`
u
0
`
> (δ
ij
δ
kq
+ δ
kj
δ
iq
)(6.254)
Из условия (6.250) приравнивая коэффициенты при < u
0
i
u
0
j
> и δ
ij
, получим
a
1
+ a
2
+ 5a
3
= 0 ,
a
3
+ a
4
+ 4a
5
= 0 ,
а из (6.252), приравнивая коэффициенты при < u
0
j
u
0
q
> и δ
jq
, получим
3a
1
+ 4a
3
= 2 , a
2
+ 3a
4
+ 2a
5
= 0 .
Таким образом, все коэффициенты разложения могут быть выражены через один из
них, например, через a
5
, который обозначим далее a ≡ a
5
:
a
1
= 0 .8 + 2a, a
2
= −0.3 + 5.5a, a
3
= −0.1 − 1.5a, a
4
= 0.1 − 2.5a, a
5
= a. (6.255)
Член b
j
i
, содержащий тройные корреляции скорости, выразим через парные корреляции
следующим образом:
b
j
i
=
1
τ
(b
1
< u
0
i
u
0
j
> +b < u
0
`
u
0
`
> δ
ij
),
где характерное время турбулентных пульсаций примем равным
τ =
`
q
< u
0
i
u
0
i
> / 3
.
Из условия (6.250) следует b
1
= −3b, поэтому
b
j
i
=
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> δ
ij
− 3 < u
0
i
u
0
j
>). (6.256)
6.7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 229
Подставим выражения (6.253), (6.254) с коэффициентами (6.255) и (6.256) в уравне-
ния баланса энергии по различным осям ( 6.226). Пренебрежем конвективными и диф-
фузионными членами в этом уравнении и применим его для турбулентного плоско-
параллельного течения, со средним направлением скорости по оси x
1
= x. Примем
x
2
= y, x
3
= z, ~g = (0, −g, 0), u
i
= (u, v, w), ρ
0
/ρ = −αT
0
/T . Для вязкой диссипа-
ции примем следующее выражение:
ν
*
∂u
0
i
∂x
k
∂u
0
j
∂x
k
+
= c
< u
0
`
u
0
`
>
τ
δ
ij
, (6.257)
и будем считать, что корреляции < u
0
w
0
>=< v
0
w
0
>= 0, т.е. малы по сравнению с
корреляциями < u
0
v
0
>, обеспечивающими турбулентный перенос. Подстановка этих
выражений в ( 6.226) для компонент ij = 11, 22, 33, 12 приводит к системе уравнений:
< u
0
v
0
>
dU
dy
= a
12
11
dU
dy
+ b
1
1
− gc
1
12
c
τ
< u
0
`
u
0
`
>,
a
22
21
dU
dy
+ b
2
2
− gc
2
22
−
c
τ
< u
0
`
u
0
`
> −
g
ρ
< ρ
0
v
0
>= 0,
a
32
31
dU
dy
+ b
3
3
− gc
3
32
−
c
τ
< u
0
`
u
0
`
>= 0 ,
< (v
0
)
2
>
dU
dy
= ( a
22
11
+ a
12
21
)
dU
dy
+ b
2
1
+ b
1
2
− g(c
2
12
+ c
1
22
) −
g
ρ
< ρ
0
u
0
> .
Вычислим коэффициенты, которые входят в эти выражения:
a
12
11
= a
1
< u
0
v
0
> +2a
3
< u
0
v
0
>= (0.6 − a) < u
0
v
0
>,
a
22
21
= a
2
< u
0
v
0
> +2a
3
< u
0
v
0
>= (− 0.5 + 2.5a) < u
0
v
0
>,
a
32
31
= a
3
< u
0
v
0
>= (−0.1 − 1.5a) < u
0
v
0
>,
a
22
11
= a
1
< (v
0
)
2
> +a
2
< (u
0
)
2
> +a
4
< u
0
`
u
0
`
>=
= (0.8 + 2a) < (v
0
)
2
> +(−0.3 + 5.5a) < (u
0
)
2
> +(0.1 − 2.5a) < u
0
`
u
0
`
>,
a
12
21
= a
3
(< (u
0
)
2
> + < (v
0
)
2
>) + a
5
< u
0
`
u
0
`
>=
= ( −0.1 − 1.5a)(< (u
0
)
2
> + < (v
0
)
2
>) + a < u
0
`
u
0
`
>,
a
22
11
+ a
12
21
= ( −0.4 + 4a) < (u
0
)
2
> +(0.7 + 0.5a) < (v
0
)
2
> +(0.1 − 1.5a) < u
0
`
u
0
`
>,
b
1
1
=
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> −3 < (u
0
)
2
>),
b
2
2
=
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> −3 < (v
0
)
2
>),
b
3
3
=
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> −3 < (w
0
)
2
>),
b
2
1
+ b
1
2
= −
6b
τ
< u
0
v
0
>,
c
1
12
= −0.1
< ρ
0
v
0
>
ρ
,
230 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
c
2
22
= 0 .2
< ρ
0
v
0
>
ρ
,
c
3
32
= −0.1
< ρ
0
v
0
>
ρ
,
c
2
12
+ c
1
22
= 0 .3
< u
0
ρ
0
>
ρ
.
После подстановки этих коэффициентов в систему уравнений, получим
< u
0
v
0
>
dU
dy
= (0.6 − a) < u
0
v
0
>
dU
dy
+
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> −3 < (u
0
)
2
>)+
+0.1g
< ρ
0
v
0
>
ρ
−
c
τ
< u
0
`
u
0
`
>,
(−0.5 + 2.5a) < u
0
v
0
>
dU
dy
+
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> −3 < (v
0
)
2
>)1.2g
< ρ
0
v
0
>
ρ
−
c
τ
< u
0
`
u
0
`
>= 0
(−0.1 − 1.5a) < u
0
v
0
>
dU
dy
+
b
τ
(< u
0
`
u
0
`
> −3 < (w
0
)
2
>) + +0.1g
< ρ
0
v
0
>
ρ
−
c
τ
< u
0
`
u
0
`
>= 0
< (v
0
)
2
>
dU
dy
= [( −0.4 + 4a) < (u
0
)
2
> +(0.7 + 0.5a) < (v
0
)
2
> +
+(0.1 − 1.5a) < u
0
`
u
0
`
>]
dU
dy
−
6b
τ
< u
0
v
0
> −1.3g
< u
0
ρ
0
>
ρ
Сумма приведенных уравнений дает результат, совпадающий с (6.220):
− < u
0
v
0
>
dU
dy
=
3c
τ
< u
0
`
u
0
`
> +
g < ρ
0
v
0
>
ρ
. (6.258)
Добавим к уравнениям последней системы и (6.258) разности первоначальной системы
уравнений:
(0.1 − 3.5a) < u
0
v
0
>
dU
dy
=
3b
τ
(< (u
0
)
2
> − < (v
0
)
2
>) −
1.3g < ρ
0
v
0
>
ρ
(6.259)
(0.4 − 4a) < u
0
v
0
>
dU
dy
=
3b
τ
(< (w
0
)
2
> − < (v
0
)
2
>) −
1.3g < ρ
0
v
0
>
ρ
(6.260)
Из полученной системы уравнений найдем < (u
0
)
2
>, < (v
0
)
2
>, < (w
0
)
2
>:
< (u
0
)
2
>= −
τ
9
µ
0.2 + 3a
b
+
1
c
¶
< u
0
v
0
>
dU
dy
+
1.3τg
9bρ
< ρ
0
v
0
>, (6.261)
< (v
0
)
2
>= −
τ
9
µ
0.5 − 7.5a
b
+
1
c
¶
< u
0
v
0
>
dU
dy
−
2.6τg
9bρ
< ρ
0
u
0
>, (6.262)
< (w
0
)
2
>= −
τ
9
µ
−0.7 + 4.5a
b
+
1
c
¶
< u
0
v
0
>
dU
dy
+
1.3τg
9bρ
< ρ
0
v
0
> . (6.263)