Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 191

и уравнение состояния. Если в качестве независимых термодинамических параметров

выбрать давление и температуру, то поправки к средним значениям параметров будут

содержать безразмерные корреляции hρ

i/ρ

, hT

i/T

, hρ

i/ρT и т.д. Например, при

осреднении уравнения состояния идеального газа получим:

hρi =

ρ + ρ

T + T

ρRT

¿µ

1 +

¶·

1 −

+ ...

¸À

= 1 −

hρ

ρT

hρ

ρT

+ ....

Покажем, что все эти корреляционные поправки малы. Определим среднеквадратичную

пульсационную скорость hv

i = 3ω

. В пограничном слое обычно величина ω составля-

ет несколько процентов от продольной скорости (ω = δu, δ ' 0.01 ÷ 0.05). Пульсации

давления (hρ

1/2

∼ ρω

поэтому

hρ

∼

ρω

∼ χ

¿ 1,

поскольку пульсационное движение обычно является дозвуковым (χ = C

, С - ско-

рость звука). Пульсации температуры можно выразить через пульсации энтальпии T

∼

, которые имеют порядок

i ' (h(v

+ v

)

− v

1/2

= 2 uω = 2δu

≈

2δu

≤ δ,

т.к. при больших сверзвуковых скоростях средней скорости потока разность энтальпий

вне пограничного слоя и на стенке h − h

∼ C

(T − T

) ∼ u

. При меньших скоростях

потока отношение пульсаций температур к их средним значениям меньше. Поскольку

hρ

i ¿ ρ

, hT

i ¿ T

, уравнения состояния и выражения для коэффициентов переноса

могут использоваться в виде соотношений между средними величинами.

6.5.2 Турбулентные коэффициенты переноса

В результате осреднения уравнения движения несжимаемой среды и сжимаемой сре-

ды переменными теплофизическими свойствами получаются уравнения, отличающи-

еся от ламинарного движения только турбулентным напряжением Рейнольдса τ

−ρhu

i (6.95) и турбулентным тепловым потоком q

= −ρhu

i (6.103). Неизвестные

корреляции пульсационных величин можно переопределить введением турбулентных

коэффициентов переноса:

= −ρhu

i ≡ ρν

∂u/∂y, (6.104)

= −ρhu

i ≡ ρa

∂h/∂y, (6.105)

здесь ν

- кинематическая "турбулентная вязкость", a

коэффициент "турбулентной

температуропроводности". Относительно ν

Прандтлем было высказано предположение

о том, что турбулентная вязкость зависит только от локальных параметров турбулент-

ного потока. Используя аналогию с переносом импульса в молекулярных столкновениях

192 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

и теорию размерности, им было предложено следующее выражение для коэффициента

турбулентной вязкости:

= `

∂u/∂y, (6.106)

где `

- так называемая "длина смешения". В пограничном слое, когда вихри, несу-

щие большую часть энергии турбулентности настолько велики, что их поперечный раз-

мер ограничивается только расстоянием до стенки, длина смешения `

определяется

"геометрически", т.е. расстояние до стенки. Вблизи стенки `

≈ χy χ = 0.4 постоян-

ная Кармана. В некоторых работах используется более сложное выражение для `

, так

Ван-Дристом [50] была предложена формула:

/y = 0.4[1 − exp(−η/25)], (6.107)

здесь η = y

τ/ρ/ν - безразмерное расстояние до стенки. Аналогичные гипотезы можно

высказать относительно корреляций hu

i. Если длина смешения для переноса теп-

ла пропорциональна длине смешения переноса импульса, то a

/ν

= const. Отноше-

ние a

/ν

называется турбулентным числом Прандтля. Опыт показывает, что ρr

/ν

≈ 0.8 ÷ 0.9. Таким образом, задавая полуэмпирические выражения для a

, ν

получаем замкнутую систему уравнений турбулентного движения среды. Такое при-

ближение оказывается достаточно хорошим для решения многих практических задач.

Однако для понимания причин удовлетворительного согласия формул Прандтля с экс-

периментальными данными, физики турбулентного движения среды и модификации

выражений для a

, ν

в более сложных случаях, получим уравнения для пульсацион-

ных моментов hu

i и hu

i, через которые выражаются турбулентные коэффициенты

переноса.

6.5.3 Полуэмпирическая "равновесная"теория турбулентности

Рассмотрим вначале несжимаемую жидкость. Для получения уравнения для одноточеч-

ного момента второго порядка hv

i подставим в (6.89) v

= hv

i+v

, вычтем осредненное

уравнение (6.91), умножим результат на v

и сложим с аналогичным уравнением, в ко-

тором представлены индексы i и j. В результате простых преобразований получим:

∂hv

∂t

= −hv

∂hv

∂x

− hv

∂hv

∂x

− (6.108)

−hv

∂hv

∂x

∂v

∂x

∂v

∂x

¶À

− 2νh

∂v

∂x

∂v

∂x

i −

−

∂

∂x

(

i −

∂hv

∂x

При i = j = ρ (без свертки) это уравнение описывает баланс турбулентной кинети-

ческой энергии вдоль соответствующей оси x

. При j = i и свертке получим полный

баланс турбулентной энергии, поэтому физический смысл отдельных членов (6.108) бу-

дем пояснять в терминах баланса турбулентной энергии. Первый член в правой части

уравнения (6.108) учитывает перенос энергии турбулентности средним потоком, второй

и третий члены - генерацию турбулентности неоднородным потоком, т.е. каскадную пе-

редачу энергии от среднего неоднородного течения в крупномасштабное турбулентное.

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 193

Свертка четвертого члена равна нулю, поэтому он ответственен за перераспределение

турбулентной энергии по различным осям координат вследствие корреляции пульсаций

давления и скорости. Следующий член учитывает вязкую диссипацию турбулентности

со скоростью

ε = 2 νh(∂v

/∂x

)(∂v

/∂x

)i.

Дивергентные члены в квадратных скобках описывают диффузию турбулентности под

действием трех механизмов - нелинейного взаимодействия вихрей, корреляции пульса-

ций давления и скорости и вязких сил.

Получим из (6.108) баланс турбулентной энергии для пограничного слоя. Для этого

в (6.108) положим j = i и сделаем обычные для пограничного слоя предположения. В

результате найдем:

3ρ

∂w

∂x

+ v

∂w

∂y

= −2ρhu

∂u

∂y

− ρν

¿µ

∂v

∂x

∂v

∂x

¶µ

∂v

∂x

∂v

∂x

¶À

∂

∂y

−ρhv

vi − 2hρ

i + 2ρν

∂v

∂y

+ 3ρν

∂w

∂y

. (6.109)

Здесь ρ = const, но уравнение записано в форме, справедливой, как будет показано ни-

же, и для сжимаемого газа. В случае, когда газ является сжимаемым, а коэффициенты

переноса являются переменными, зависящими от температуры и давления, исходной яв-

ляется система уравнений (6.96 - 6.98). Представляя каждую из величин в виде суммы

среднего и пульсационного значений, вычитая осредненные уравнения, умножая урав-

нение движения на 2v

, уравнение энергии на 2h

, получим в стационарном случае:

hρv

∂w

∂x

= −2h(ρv

)

∂ < v

∂x

+ 2

∂v

∂x

− 2

∂v

∂x

∂

∂x

−h(ρv

)

i − 2hρ

i + 2hv

hρv

∂hh

∂x

= −2h(ρv

)

∂hhi

∂x

− 2

¿µ

∂h

∂x

∂h

∂x

+ 2

(

)

∂v

∂x

∂

∂x

−h(ρv

)

i + 2

∂h

∂x

À¸

− 2

∂q

∂x

Применим эти уравнения к описанию пограничного слоя. При преобразовании диссипа-

тивных членов учтем, как и ранее, что члены, содержащие пульсации коэффициентов

переноса малы. Следующая группа преобразований относится к членам, содержащим

∂v

/∂x

= −ρ

−1

dρ/dt или пульсационные величины ∂v

/∂x

= −ρ

−1

dρ

/dt. Такие члены

содержатся в тензоре вязких напряжений и корреляции пульсаций давления и скоро-

сти. Пульсации плотности вызываются пульсациями давления или пульсациями темпе-

ратуры, которые малы по причинам, рассмотренным при осреднении уравнения состо-

яния. Подробнее эти вопросы рассмотрены в [36]. По тем же причинам члены hh

ρ/dti

(τ

∂v

/∂x

)

i малы по сравнению с диссипативным членом в этом уравнении. Учиты-

вая эти оценки и обычные приближения пограничного слоя, получим уравнения баланса

турбулентной энергии (6.109) и тепловой энергии:

ρu

∂hh

∂x

+ ρv

∂hh

∂y

= −2ρhv

∂h

∂y

− 2ρa

∂h

∂x

∂h

∂x

194 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

Рис. 6.1: Баланс энергии турбулентности при течении жидкости в трубе при Re = 5 · 10

(a) и в погра-

ничном слое на плоской пластинке Re

= 10

(b) 1-генерация турбулентности, 2-турбулентная "диффу-

зия"энергии турбулентности, 3-"диффузия"под влиянием пульсаций давления, 4-диссипация энергии,

5-перенос энергии турбулентности средним течением. Статьи баланса энергии приведены к безразмер-

ному виду умножением на r(ρ/τ

)

3/2

и δ(ρ/τ

)

3/2

, δ - толщина пограничного слоя.

∂

∂y

+ρa

∂h

∂y

− ρhv

− 2

∂q

∂x

. (6.110)

Уравнения (6.109) и (6.110) являются основой для рассматриваемых далее методов по-

луэмпирического определения турбулентного напряжения трения и турбулентного пере-

носа энергии. Отдельные члены в балансе турбулентной энергии могут быть измерены

в эксперименте. На рис. 6.1 изображены для течений в трубе и в пограничном слое

величины отдельных членов в уравнении баланса кинетической энергии (6.109).

Из рис. 6.1 видно, что в трубе и пограничном слое имеются три характерные обла-

сти, в которых основную роль играют различные статьи баланса энергии: тонкий слой

вблизи стенки, промежуточная область и область вблизи оси канала или в верхней части

пограничного слоя. В промежуточной области главными статьями баланса энергии яв-

ляются производство энергии турбулентности и ее диссипация, которые приблизительно

уравновешивают друг друга. Это основная зона турбулентной части пограничного слоя

с переменной средней скоростью, так как в верхней части слоя (или в приосевой зоне

канала) средняя скорость изменяется мало, а в пристеночном слое большую роль играет

молекулярная вязкость. В верхней части пограничного слоя главными статьями балан-

са энергии являются диссипация и диффузия турбулентности из промежуточной зоны

под действием тройных корреляций пульсационных скоростей и диффузии, связанной

с корреляциями пульсаций давления и скорости. В промежуточной зоне пограничного

слоя влияние вязкости невелико и диссипация энергии определяется пульсационной ско-

ростью w и некоторым "масштабом турбулентности"` (т.е. средним размером вихрей,

несущих основную энергию пульсаций). Из размерности величин получаем:

ε =

h(∂v

/∂x

+ ∂v

/∂x

)(∂v

/∂x

+ ∂v

/∂x

)i = Aw

/`. (6.111)

Величина А может зависеть от соотношения интенсивностей турбулентных пульсаций

вдоль разных осей и от соотношения размеров вихрей по равным осям, но в первом

приближении можно принять A = const. В промежуточной зоне пограничного слоя

также можно принять −h u

i = Kw, (очевидно, что K > 0). Приравнивая производство

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 195

турбулентности диссипации в уравнении (6.109), получим:

∂u

∂y

= A

; w = const · `

∂u

∂y

Турбулентное напряжение трения имеет вид:

= −ρhu

i = ρ`

∂u

∂y

. (6.112)

Произвольный постоянный множитель в (6.90) приняли равным единице, переопределив

масштаб турбулентности `. Формула (6.112)) совпадает с формулой Прандтля (6.104), но

при этом становятся понятными причины, по которым эта формула хорошо описывает

турбулентные течения. В центральной турбулентной (промежуточной) зоне генерация

турбулентности уравновешена диссипацией, а в верхней части пограничного слоя, где

этот баланс нарушается, средняя скорость течения мало изменяется и даже значитель-

ные погрешности в величине "турбулентной вязкости"оказываются несущественными.

Рассмотрим характеристики турбулентности в пристеночном слое, в котором напря-

жение силы трения постоянно поперек слоя. При этом все осредненные величины мо-

гут зависеть только от τ, ρ, ν и расстояния от стенки Y . По теории размерностей из

этих величин можно составить единственную безразмерную комбинацию η = v

∗

y/ν, где

∗

τ/ρ - так называемая динамическая скорость. Следовательно, любая безразмер-

ная величина должна быть функцией параметра η:

∗

= f

(η),

∗

= f

(η),

= ϕ(η), ...

В промежуточной зоне τ

≈ τ , т.е. вязкое трение мало по сравнению с турбулентным

напряжением трения, поэтому из формулы Прандтля (6.111) получаем `∂u/∂y =

τ/ρ

−hu

ν∂u/∂y

(`∂u/∂y)

ν∂u/∂y

= η

= χη. (6.113)

Поясним последнее равенство. Для тонкого слоя с постоянным напряжением трения

масштаб турбулентности определяется расстоянием стенки, так что ` = χy. Постоян-

ная Кармана χ может быть определена из опытных данных, с которыми согласуется

значение χ = 0.4. Если напряжение трения в слое τ 6= const, то хотя универсальная

зависимость может нарушаться, часто используется предположение (подтвержденное

результатами расчетов) о том, что формула (6.113), справедлива, если в качестве τ ис-

пользовать локальное значение напряжения трения. Аналогичным образом можно рас-

смотреть баланс тепловой пульсационной энергии (6.110). В промежуточной зоне погра-

ничного слоя генерация также уравновешивается диссипацией турбулентной энергии. В

результате в этой зоне получаем следующую систему уравнений:

−hu

∂u

∂y

≈

¿µ

∂v

∂x

∂v

∂x

¶µ

∂v

∂x

∂v

∂x

¶À

(6.114)

−hv

∂h

∂y

≈ a

∂h

∂x

∂h

∂x

. (6.115)

Эти уравнения нарушаются в тонком слое у стенки, где существенный диффузионный

перенос турбулентности, но в этой области ν

и a

малы, поэтому ошибки в них не могут

196 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

сильно изменить суммы ν + ν

, a + a

. Уравнения (6.114), (6.115) несправедливы также

в широкой внешней зоне пограничного слоя, где важны диффузия турбулентности и

конвективные члены. Однако в этой зоне общие изменения скорости и энтальпии ма-

лы, поэтому ошибки в ν

, a

несущественны. Важной особенностью уравнений (6.114),

(6.115) является то, что в них входят только местные значения величин a, ν, ∂u/∂y и

∂h/∂y. Поэтому при построении полуэмпирической теории, необходимой для нахожде-

ния ν

и a

, определяющими параметрами будут перечисленные величины, а также

масштаб турбулентности `, который неизбежно войдет в полуэмпирические выражения.

Если ∂u/∂y выразить через τ, то ν

/ν будет иметь вид (4.30). Если величину `∂h/∂y

использовать как масштабный коэффициент для h

, то из (6.115) следует, что a

/a не

будет зависеть от ∂h/∂y. В результате из (6.114), (6.115) получаются алгебраические

соотношения и связь характеристик турбулентности сказывается локальной. При учете

диффузии турбулентности или ее конвективного переноса со средней скоростью потока

вместо алгебраических соотношений (6.113) получатся некоторые дифференциальные

уравнения и характеристики турбулентности окажутся связанными со всем полем опре-

деляющих параметров. В общем случае "неравновесной"(по отношению к полю средних

скоростей) турбулентности в пограничном слое или при необходимости уточненных рас-

четов характеристик турбулентности в верхней части слоя (или вблизи оси канала) нуж-

но учитывать все члены балансовых уравнений (6.109), (6.110). При оценках различных

членов можно как и ранее считать, что в структуре турбулентности имеется некоторое

внутреннее "равновесие"(хотя полного "равновесия"с полем средних скоростей может и

не быть). Можно предполагать, что величины ν

, a

, диссипативные и некоторые дру-

гие члены могут быть выражены через W, ` и локальные свойства среды, даже когда

распределение величины W не является "равновесным"и должно определяться с уче-

том диффузии и конвективного переноса турбулентности. Ясно, что такое "внутреннее

равновесие"в структуре турбулентности существует не всегда. В частности, могут быть

случаи, когда понятие о турбулентных коэффициентах переноса вообще нельзя ввести.

6.5.4 Масштаб турбулентности. Параметрические модели турбулентности

Во всех использованных в этом параграфе соотношениях неопределенным остался мас-

штаб турбулентности `. Определение ` - наиболее трудная проблема в полуэмпирической

теории турбулентности, т.к. величина ` принципиально является нелокальной характе-

ристикой турбулентности. Она зависит от корреляции пульсаций в различных точках,

поэтому определяется двухточечным, а не одноточечным моментом. Однако часто до-

статочным оказывается эмпирическое определение ` по формулам `/δ = f

(y/δ) для

пограничного слоя (δ толщина пограничного слоя) или `/R = f

(y/R) - для трубы

радиуса R, т.е. ` определяется чисто геометрически вне зависимости от особенностей

течения в пограничном слое. Причины такого удовлетворительного описания заключа-

ются в следующем. В промежуточной зоне пограничного слоя, где производство энергии

турбулентности равно диссипации w ∼ `∂u/∂y, т.е. w увеличивается с ростом `. Поэтому

можно предполагать, что для рассматриваемой "равновесной"турбулентности наиболь-

шая энергия пульсаций сосредоточена

в крупных вихрях, поперечный размер которых ограничен только расстоянием до

стенки. Поэтому средний размер вихрей ` в промежуточной зоне пограничного слоя дол-

жен быть пропорционален расстоянию до стенки. В тонком пристеночном слое турбу-

лентные пульсации возникают в большей мере под влиянием "диффузии"турбулентной

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 197

энергии из более удаленной от стенки зоны, причем эта диффузия связана в основ-

ном с действием вязкости и пульсаций давления. Пульсации давления у стенки вы-

зываются интенсивными турбулентными пульсациями скорости в более удаленных от

стенки областях. Поэтому, охватывая всю толщину рассматриваемого тонкого присте-

ночного слоя, они вызывают в точках, расположенных на разном расстоянии от стенки,

пульсации скорости, являющиеся в большей степени коррелированными друг с другом.

К такой же корреляции пульсаций приводит вязкая диффузия турбулентности. Опи-

санная ситуация соответствует, очевидно, тому, что величина ` в пристеночном слое

должна быть приблизительно пропорциональна расстоянию от стенки (см. далее мате-

матическое определение `). В верхней части пограничного слоя существенна диффузия

турбулентности из более близких к стенке областей и поэтому отношение `/y должно

уменьшаться. Из приведенных рассуждений ясно, что геометрическое определение ` мо-

жет использоваться только для "равновесных", т.е. определяемых местными условиями

в каждом поперечном сечении пограничного слоя характеристик турбулентности. Если

важно влияние предистории потока на турбулентность и поток при этом не автомоделен,

то геометрические формулы для ` вряд ли будут справедливы. В неоднородной турбу-

лентности масштабы турбулентности вдоль различных осей, вообще говоря, различны,

но это различие не является определяющим, поэтому в связи с приближенностью всей

теории целесообразно ограничиться использованием одного масштаба `. Качественные

соображения показывают, что наиболее сильное влияние на баланс энергии турбулент-

ности оказывает самый малый из масштабов турбулентности по различным осям, т.е. в

пограничном слое поперечный масштаб. Этот масштаб определяется по формуле:

`E =

(~x)v

(x + ~r)idr

, (6.116)

= r

= 0 .

Здесь E = 3w

/2 = hv

i/2 кинетическая энергия турбулентного движения, r

- относи-

тельная поперечная координата рассматриваемых точек в пограничном слое. Из опре-

деления масштаба турбулентности (4.33) следует, что для получения уравнения для `

нужно получить уравнение для двухточечного момента второго порядка, которое затем

проинтегрировать по поперечной координате ( при совпадающих других r

= r

= 0 )

по всем значениям r

до бесконечности или до попадания одной из точек на стенку. Для

вывода уравнения для корреляции скоростей в несжимаемой жидкости поступим анало-

гично выводу уравнения (6.37), но учтем неоднородность среды. В результате получим:

∂hv

˜v

∂t

+ hv

∂hv

˜v

∂x

+ h˜v

∂hv

˜v

∂˜x

+ hv

˜v

∂hv

∂x

+h˜v

∂h˜v

∂x

∂hv

˜v

∂x

∂h˜v

˜v

∂˜x

= (6.117)

∂hv

˜ρ

∂˜x

∂hρ

˜v

∂x

+ ν

∂

∂x

∂

∂˜x

˜v

Из уравнения непрерывности ∂v

/∂x

= 0 умножаем на ˜v

и на ˜v

˜v

и осреднением

получаем:

∂hv

˜v

i/∂x

= 0 , ∂hv

˜v

i/∂x

= 0 . (6.118)

Полагая в уравнение (6.117) j = i, r

= r

= 0 интегрируя по координате r

и делая

198 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

предположения, характерные для пограничного слоя, получим:

∂

∂x

+ v

∂

∂y

E` = −M

∂u

∂y

(hv

˜u

i + h˜v

i)dr

∂hv

˜v

∂r

+Mν

·µ

∂

∂r

−

∂

∂y

˜v

i − 2

∂

˜v

∂y

− −M

∂

∂r

˜v

(˜v

− v

∂

∂y

∂E`

∂y

+ 2νM

∂

∂y

˜v

idr

−

h(v

+ ˜v

˜v

i +

hρ

˜v

h˜ρ

−4νM

¿µ

∂v

∂y

)

hρ

)

i.(6.119)

Здесь M = const, все корреляционные функции и их производные берутся при r

= 0 . Индексом "ст"обозначена величина на стенке, а "2y на расстоянии 2y от стенки.

Оценим различные члены, входящие в уравнение (6.119). Первый член вправой части

пропорционален −hu

i` = ν

`(∂u/∂y), следующий член связан с воздействием на ве-

личину E` диссипации энергии, т.к.:

−ν lim

→0

¿µ

∂v

∂x

∂v

∂x

¶µ

∂˜v

∂˜x

∂˜v

∂˜x

¶À

≈

≈ ν lim

→0

∂

˜v

∂r

−

∂

˜v

∂y

− 2

∂

˜v

∂y

Объединяя этот член с двумя следующими, которые выражают влияние вязкости и

перераспределения энергии по спектру под воздействием некоторой "турбулентной вяз-

кости", запишем приближенное выражение для суммы этих членов в виде (ξνE/` +

εν

E/`), где ξ, ε = const. Дивергентные члены в (6.119), выражающие диффузию E`

под действием вязкости и "турбулентной диффузии", примем равными соответственно

Kν∂(E`)/∂y и K

∂(E`)/∂y, где K, K

= const. Из сравнения с экспериментальными

результатами следует K = 1/9χ

α, K

= 1 . Последние два члена в (6.119) определяются

корреляциями параметров на стенке и расстоянии 2y. Примем их равными соответствен-

но F ν(w/y)

и −Φw

. Функции F и Φ зависят от расстояния 2y до стенки. Поскольку

согласно опытным данным корреляции имеют экспоненциальный вид, положим

F = h exp −2y/`

, Φ = q exp −2y/`

С учетом сделанных предположений о виде отдельных членов уравнение (6.119) при-

обретает вид:

∂E`

∂x

+ v

∂E`

∂y

= m

∂u

∂y

` + ξν

+ εν

+ +

∂

∂y

9χ

∂E`

∂y

+ ν

∂E`

∂y

− (6.120)

−hν

1/2

exp

−

− qE

3/2

exp

−

Если исходить из уравнения для одноточечного момента (6.109), то после аналогичных

приближений получим уравнение

∂ε

∂x

+ v

∂E

∂y

= ν

∂u

∂y

−

9α

−

∂

∂y

9χ

∂E

∂y

+ ν

∂E

∂y

. (6.121)

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 199

Рис. 6.2: 1-диссипация, 2-генерация, 3-диффузия турбулентности а - эксперимент при Re

∗

= 1150, δ -

расчет при Re

∗

= 1000

Из опытных данных следует, что для турбулентности за решеткой при Re >> 1 величи-

на w` ∼ E

1/2

` сохраняется приблизительно постоянной вдоль потока. Из (6.121) тогда

следует ε = −1/9. При Re ¿ 1, когда ν

¿ ν можно пренебречь членами с ν

При этом E ∼ t

−5/2

, ` ∼ t

1/2

на стадии распада, поэтому E`

≈ const , отсюда следует

ξ = −8/45α. Из согласия с расчетами со струйными течениями получаем m = 0, 85.

Из рассмотрения течения в непосредственной близости у стенки можно получить h =

(11/15

√

α)exp(3

√

α), а из задачи с постоянным напряжением трения (Re >> 1) вдали от

стенки получается q = 1, 68. Наилучшее согласие расчетов по рассматриваемой модели

дает значение α = 0, 063. Предложенная двухпараметрическая (E, `) модель турбулент-

ности основана на совместном решении и анализе системы уравнений (6.121, (6.121)

для величин E` и Е. Если уравнение для второго момента вначале преобразовать, а за-

тем использовать приближенные выражения, то можно построить несколько отличные

модели. В литературе (см. обзор [37]) в качестве параметров использовались различные

комбинации: `, `

, E

1/2

`, E`, E

1/2

−1

, E`

−2

3/2

−1

, E

−1

. Можно получить уравнение для диссипации энергии, которое будет со-

держать величину ε = CE

3/2

−1

. Все эти комбинации могут быть представлены в виде

F = E

. Из самых общих соображений теории размерности можно получить урав-

нение, которому должна удовлетворять величина F [51]. Так, например, для течения в

канале получается уравнение

∂

∂y

1/2

L + B

ν)

∂F

∂y

−

m −

1/2

F − (6.122)

−

m −

cν

− nd

∂u

∂y

= 0 (6.123)

Напряжение трения τ здесь является третьим параметром, a

, B

, c, d - постоянные, ко-

торые определяются из сравнения с известными решениями или опытными данными

в частных случаях. Для того чтобы уравнение (6.123) не имело особенностей, следует

выбирать комбинации, удовлетворяющие неравенству m ≥ 1 − 0, 5n [51]. На рис. 6.2

приведены примеры расчетов по этой модели [51] для течений в круглой трубе и плос-

ком канале, которые с хорошей точностью описывают баланс турбулентной энергии.

Подведем итоги рассмотрения неоднородной турбулентности и укажем рекомендации по

применению различных полуэмпирических теорий в практических расчетах. Для ста-

ционарных течений в пограничных слоях и струях, возможно с переменными теплофи-

200 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

зическими свойствами, т.е. в сложных задачах следует использовать наиболее простые

формулы, например, теорию Прандтля с ламинарным подслоем или с гладкой зависимо-

стью турбулентной вязкости от расстояния до стенки. В случаях, когда требуется учесть

диффузию или конвекцию турбулентности для течения в пограничных слоях, каналах

и струях, следует использовать двух- или трехпараметрическую модель турбулентно-

сти. В более сложных случаях турбулентных течений, видимо, целесообразно развивать

методы численного моделирования крупномасштабной турбулентности, используя раз-

личные модели для описания мелкомасштабной турбулентности и ее взаимодействия с

крупными вихрями.

6.5.5 Задачи

Задача 1. Найти закон сопротивления при турбулентном течении в круглой

трубе, используя теорию Прандтля, считая, что напряжение трения τ = const.

Решение. Пренебрегая ламинарным подслоем из теории Прандтля получаем:

τ = τ

= ρ`

∂u

∂y

= ρκ

∂u

∂y

. (6.124)

Здесь y - расстояние от стенки трубы, постоянная Кармана κ = 0.4. В безразмерных

переменных

∗

, U

∗

где y

∗

= ν/u

∗

, u

∗

= ( τ /ρ)

1/2

). Из (6.124) получаем:

κη

dη

= 1. (6.125)

Решением этого уравнения является следующее распределение скоростей в слое:

U = κ

−1

ln η + C.

Вблизи стенки течение является ламинарным, а напряжение трения является молеку-

лярным:

τ = ρν

∂u

∂y

. (6.126)

В этом "ламинарном"подслое распределение скоростей является линейным:

U = η.

Экспериментальные измерения показывают, что граница между двумя рассмотренны-

ми случаями находится примерно при η = 10. Рассмотрим течение в круглой трубе с

радиусом R и длиной L. Коэффициент сопротивления λ определяется выражением:

∆p = λ

ρu

, (6.127)

где u - средняя по сечению скорость течения:

u =

πR

u(y)2π(R − y)dy = 2

u(ξ)(1 − ξ)dξ. (6.128)