Сон Э.Е. Лекции по физической механике
Подождите немного. Документ загружается.
6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 211
f
⊥
= w
2
⊥
/w
2
0
≈
3
4
Z
1
0
(1 + µ
2
) exp(−ψ
H
tµ
2
)dµ.
Вычисление интегралов дает
f
11
=
3
4
"
µ
1 −
1
2ψ
H
t
¶
s
π
ψ
H
t
Φ(
q
2ψ
H
t) +
1
ψ
H
t
exp(−ψ
H
t)
#
,
f
⊥
=
3
2
"
µ
1 −
1
2ψ
H
t
¶
s
π
ψ
H
t
Φ(
q
2ψ
H
t) −
1
ψ
H
t
exp(−ψ
H
t)
#
.
Здесь Φ(z) - интеграл вероятности
Φ(z) =
s
2
π
Z
z
0
exp(−x
2
/2)dx.
В предельных случаях малых и больших времен получаем
f
11
=
(
1 − ψ
H
t/5
3
4
q
π
ψ
H
t
, f
⊥
=
(
1 − 2ψ
H
t/5, ψ
H
t ¿ 1
3
8
q
π
ψ
H
t
, ψ
H
t >> 1
. (6.173)
Перейдем к другому случаю малых чисел Re = w`/ν, который возникает при больших
переменах. В этом случае можно воспользоваться разложением E(k) = Ck
4
+ 0(k
6
)
(Задача 3.6)
Z
∞
0
E(k)exp(−2νk
2
t) ≈
3
32
r
π
2
A(νt)
−5/2
. (6.174)
Для больших времен t >> ψ
−1
H
получим
w
2
11
≈ 2 w
2
⊥
=
3
64
πA(ψ
H
t)
−1/2
(νt)
−5/2
. (6.175)
Перейдем к нахождению зависимости от времени масштабов турбулентности. По опре-
делению масштаба турбулентности вдоль оси X
I
:
`
1
=
1
w
2
Z
∞
−∞
hv
0
i
˜v
0
i
i
r2=r3=0
dr
1
.
Используя разложение в интеграл Фурье
hv
0
i
˜v
0
i
i
r2,r3=0
=
Z
Φ
ii
(k)e
ik
1
r
1
d
3
k
(2π)
3
и представление δ - функции
δ(k
1
) =
Z
∞
−∞
e
ik
1
r
1
dk
1
2π
,
получаем формулу для нахождения масштаба турбулентности:
w
2
`
1
=
Z
Φ
ii
(0, k
2
, k
3
, t)
dk
2
dk
3
4π
2
(6.176)
и аналогичное выражение для масштаба турбулентности по другим осям. Если в началь-
ный момент турбулентность изотропна, то подставив решение (6.169) в (6.176), получим,
учитывая, что при k
1
= 0 cos ϕ = 0 и при Re >> 1, можно положить ν = 0:
w
2
`
11
=
Z
E(k)
2π
k
dk = 3w
2
0
`
0
(k
2
= k
2
2
+ k
2
3
)
212 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
w
2
`
⊥
=
Z
E(k)
2π
k
dk ·
1
π
Z
π
0
e
−ψ
H
cos
2
ϕt
dϕ = 3 w
2
0
`
0
1
π
Z
π
0
e
−ψ
H
cos
2
ϕt
dϕ.
В содержащийся здесь интеграл при ψ
H
t >> 1 наибольший вклад дает область углов
ϕ ≈ π/2, поэтому
1
π
Z
π
0
e
−ψ
H
t cos
2
ϕ
dϕ ≈
1
π
Z
∞
−∞
e
−ψ
H
tα
2
dα = (πψ
H
t)
−1/2
.
Учитывая, что w
2
= w
2
0
(f
11
+ 2f
⊥
), где f
11
и f
⊥
в предельных случаях определяются
формулами( 6.173), получаем
`
11
`
0
=
1 +
ψ
H
t
3
2
q
ψ
H
t
π
,
`
⊥
`
0
=
(
1 −
ψ
H
t
6
, ψ
H
t ¿ 1
2
π
, ψ
H
t >> 1
(6.177)
Коэффициенты турбулентной диффузии можно определить через произведение пульса-
ционных скоростей и соответствующих масштабов. В рассматриваемом частном случае
получим:
D
11
= `
11
w
11
=
½
1 + 7ψ
H
t/30
(9ψ
H
t/π)
1/4
, D
⊥
= `
⊥
w
⊥
=
½
1 − 11ψ
H
t/30
(9/4π
3
ψ
H
t)
1/4
(6.178)
Верхняя сторона относится к случаю ψ
H
t ¿ 1, нижняя −ψHt >> 1. II. Перейдем к
рассмотрению другого предельного случая, когда влияние членов A
ij
, B
ij
очень вели-
ко, поэтому влияние магнитного поля сводится к малому возмущению, нарушающе-
му изотропию турбулентности. Условие малости члена с магнитным полем имеет вид
ψ
H
`/w = H
2
`/2πρν
m
w ¿ 1. Т.к. характерные периоды для мелких вихрей меньше,
чем для крупных, это условие в первую очередь соблюдается для мелкомасштабной
турбулентности. Возьмем свертку уравнения (6.168) и проинтегрируем по
~
k, учитывая
свойства A
ij
и B
ij
(6.57, 6.59). Интеграл от члена с вязкостью для случая Re >> 1 будем
считать пропорциональным w
3
/`. В результате получим
dw
2
dt
= −α
w
3
`
−
ψ
H
w
2
3
, (6.179)
где α = const. Первый член в этом уравнении описывает вязкую диссипацию турбу-
лентности, а второй - диссипацию под действием магнитного поля. Определим масштаб
турбулентности:
w
2
` = β
Z
∞
0
[E(k)/k]dk, (6.180)
β = const. Уравнение для масштаба турбулентности можно получить, взяв свертку
уравнения (6.168) и интегрируя его по
~
K, полагая для изотропной турбулентности Φ
ii
=
4π
2
E(k)/k
2
(следствие (6.49)):
∂E(k)/∂t = −ψ
H
E(k)/3 − 2νk
2
E(k) + A(k). (6.181)
Разделив это выражение на К и интегрируя по К, получим:
d`w
2
dt
= −ψ
H
`w
2
3
− 2νβ
Z
∞
0
KE(k)dk + β
Z
∞
0
A
K
dk.
6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 213
При больших Re членом с ν можно пренебречь, а последний член принять равным - α
0
w
3
(Из опытных следует α
0
= α/2). Учитывая уравнение (6.179), для масштаба ` получим
уравнение
d`/dt = αw/2. (6.182)
Решение системы уравнений (6.179, 6.182) имеет вид:
f
11
= f
1
=
w
2
w
2
0
=
exp(−ψ
H
t/3)
1 + 6α(w
0
/`
0
ψ
H
)
·
1 − exp(−ψ
H
t/6)
¸
; (6.183)
`
11
`
0
=
`
⊥
`
0
=
(
1 + 6α
w
0
`
0
ψ
h
·
1 − exp
µ
−
ψ
H
t
6
¶¸
)
1/2
; (6.184)
D
11
D
0
=
D
⊥
D
0
=
`w
`
0
w
0
= exp
µ
−
ψ
H
t
6
¶
. (6.185)
В предельном случае при ψ
H
t ¿ 1 отсюда следует
w
2
w
2
0
=
1 − ψ
H
t/3
1 + αw
0
t/`
0
,
`
`
0
=
s
1 +
αw
0
t
`
0
,
`w
`
0
w
0
= 1 −
ψ
H
t
6
. (6.186)
В промежуточном случае уравнение (6.168) можно решить, если использовать полуэм-
пирическое представление отдельных членов уравнения ([36]).
6.6.2 Неоднородная магнитогидродинамическая турбулентность
Магнитное поле оказывает влияние на движение электропроводной жидкости. Попереч-
ное внешнее магнитное поле создает силу сопротивления, пропорциональную скорости
в данной точке. Для течения в канале это приводит к тому, что при больших магнитных
полях (точнее, числах Гартмана) профиль скорости становится более плоским, резкое
изменение скорости происходит в тонких гартмановских слоях, прилегающих к стен-
кам. Если магнитное поле является продольным, то на ламинарное движение оно не
будет оказывать никакого влияния. По этой причине наибольший интерес представля-
ют исследования действия продольного магнитного поля на турбулентный пограничный
слой электропроводной жидкости, т.к. взаимодействие продольного магнитного поля с
осредненным течением отсутствует. В данном разделе ограничимся рассмотрением
постоянного внешнего продольного магнитного поля в пограничном слое на прямоли-
нейной поверхности или в струе при Re
m
¿ 1. Для получения уравнений, описывающих
среднее значение, необходимо осреднить уравнения движения для мгновенных величин
и использовать упрощения, рассмотренные в (6.5). Для определения поля скоростей
таким образом получается система уравнений, мало отличающаяся от (6.93 - 6.95):
ρu
∂u
∂x
+ ρv
∂u
∂y
≈ −
∂p
∂x
+
1
r
α
∂r
α
τ
∂y
, τ = ρν
∂u
∂y
− ρhu
0
v
0
i; (6.187)
∂ρu
∂x
+
1
r
α
∂r
α
ρv
∂y
= 0; (6.188)
∂p
∂y
≈
H
4π
µ
∂hh
y
i
∂x
∂hh
x
i
∂y
¶
; (6.189)
214 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
ν
m
µ
∂hh
y
i
∂x
−
∂hh
x
i
∂y
¶
= −Hhvi. (6.190)
Обозначения совпадают с использованными ранее,
~
h - индуцированное магнитное поле.
Хотя выше указывалось, что взаимодействия потока с продольным магнитным полем
нет, некоторое взаимодействие все же имеется из-за того, что в пограничном слое v 6= 0,
что приводит к h
~
hi 6= 0. Из уравнения движения в проекции на у (6.189) и уравнения
магнитной индукции (6.190) следует:
∂p
∂y
= −
H
2
4πν
m
hvi = −
σH
2
C
2
hvi. (6.191)
Поскольку это взаимодействие невелико, часто полагают ∂p/∂y ≈ 0. Таким образом,
влияние магнитного поля сводится к определению зависимости турбулентного напряже-
ния Рейнольдса, или турбулентной вязкости ν
T
, от магнитного поля или в безразмерной
форме от числа Стюарта St = σH
2
/(ρc
2
∂u/∂y). Для полуэмпирического определения
ν
T
, как и в §4, будем использовать уравнение баланса энергии турбулентности. По мето-
дике, описанной в 6.5, но с учетом магнитного поля вместо (6.109) получим уравнение:
ρu
∂hv
0
i
v
0
i
i
∂x
+ ρv
∂hv
0
i
v
0
i
i
∂y
= −2ρhu
0
v
0
i
∂u
∂y
− ρν
¿µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶
·
·
µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶À
+
∂
∂y
·
−ρhv
0
v
0
i
v
0
i
i − 2hp
0
v
0
i + ρν
∂hv
0
i
v
0
i
i
∂y
+
+2ρν
¿
v
0
i
∂v
0
∂x
i
À¸
+
H
k
2π
¿
v
0
i
µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶À
. (6.192)
Последний член в этом уравнении можно преобразовать, используя уравнение магнит-
ной индукции. После его осреднения и вычитания из неосредненного уравнения осред-
ненного с учетом ∂h
i
/∂x
i
= 0 , получим
H
k
∂v
0
i
∂x
k
−
H
i
∂v
0
k
∂x
k
+
∂
∂x
0
k
·
ν
m
µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶¸
= 0
.
(6.193)
С учетом этого, пренебрегая, кроме того, диффузией в продольном направлении, полу-
чим:
ρu
∂hv
0
i
v
0
i
i
∂x
+ ρv
∂hv
0
i
v
0
i
i
∂y
= −2ρhu
0
v
0
i
∂u
∂y
− ρν
¿µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶
·
·
µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶À
+
∂
∂y
"
−ρhv
0
v
0
i
v
0
i
i − 2hp
0
0
v
0
i + ρν
µ
∂hv
0
i
v
0
i
i
∂y
+
+2
¿
v
0
i
∂v
0
∂x
i
˦
+
ν
m
4π
µ
∂hh
i
h
i
i
∂y
− 2
¿
h
i
∂h
2
∂x
i
˦
#
−
−
ν
m
4π
¿µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶À
. (6.194)
Здесь p
0
0
= p
0
+ H
k
h
k
/4π = p
0
+ Hh
1
/4π. Отдельные члены и их физический смысл
обсуждались в (6.5). Дополнительными членами являются последний член, очевидно,
описывающий диссипацию энергии турбулентности под действием магнитного поля и
6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 215
новые диффузионные члены, связанные с магнитным полем. Рассмотрим полуэмпири-
ческую теорию "равновесной"турбулентности, т.е. предполагая, что в большей части
турбулентного пограничного слоя основными статьями баланса энергии являются толь-
ко генерация и диссипация энергии турбулентности, а диффузией и конвекцией можно
пренебречь:
−hu
0
v
0
i
∂u
∂y
≈
ν
2
¿µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶À
+ (6.195)
+
ν
m
8πρ
¿µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶
·
µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶À
.
Детальное рассмотрение [36], основанное на результатах однородной магнитогидроди-
намической турбулентности и неоднородной турбулентности в отсутствие магнитного
поля показывает, что отдельные члены в этом уравнении могут быть оценены следую-
щим образом:
−hu
0
v
0
i = Kw
11
w
⊥
; (6.196)
ν
2
¿µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶µ
∂v
0
i
∂x
k
+
∂v
0
k
∂x
i
¶À
=
= Bνw
2
µ
1
`
2
11
+
2
`
2
⊥
¶
+ Gν
T
µ
w
2
11
`
2
⊥
+ 2
w
11
w
⊥
`
⊥
`
11
¶
; (6.197)
ν
m
8πρ
¿µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶µ
∂h
i
∂x
k
−
∂h
k
∂x
i
¶À
=
H
2
w
2
/4πρν
m
1 + (2/3π)(`
2
11
/`
2
⊥
− 1)
. (6.198)
Здесь `
11
, `
⊥
- продольный и поперечный масштабы турбулентности, w
11
, w
⊥
- продоль-
ные и поперечные пульсационные скорости:
w
11
=
q
hv
0
2
1
i, w
⊥
=
q
hv
0
2
2
i, w
2
= (1 /3)(w
2
11
+ 2w
2
⊥
),
K, B, G - постоянные числа.
К уравнению (6.195) следовало бы добавить уравнения для пульсационных скоростей
w
11
, w
⊥
и масштабов `
11
, `
⊥
, однако при этом неизбежно возникнут новые эмпирические
постоянные, поэтому для упрощения можно найти приближенное соотношение между
w
11
, w
⊥
, `
11
, `
⊥
. В сильном магнитном поле [36].
w
11
w
⊥
≈
r
π
2
`
11
`
⊥
(6.199)
в отсутствие магнитного поля величина w
11
/w
⊥
также близка к `
11
/`
⊥
, поэтому соот-
ношение (6.199) можно использовать и в произвольном магнитном поле. После подста-
новки (6.196 - 6.198) в (6.195) с учетом (6.199) получим уравнение, определяющее ν
T
в
зависимости от чисел Рейнольдса и Стюарта
Re =
`
2
⊥
∂u/∂y
ν
, St =
H
2
4πρν
m
∂u/∂y
(6.200)
и параметра соотношения масштабов q = `
11
/`
⊥
. Для этого параметра примем такое зна-
чение q
0
, которое обеспечивает максимальное напряжение трения. Качественное обосно-
вание этого условия состоит в том, что если в потоке существуют турбулентные вихри
различных параметров, то наибольшее значение для турбулентного трения имеют те
216 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
Рис. 6.3: Влияние магнитного поля на коэффициент сопротивления при течении жидкого металла в
трубе в продольном магнитном поле (ξ
0
без магнитного поля) Re = 3.9 · 10
4
, H
a
/Re = (σν/ρ)
1/2
H/v
cp
из них, которые обеспечивают максимальное напряжение трения. Эти вихри и должны
определять масштабы турбулентности. По этим причинам будем также считать, что по-
перечный масштаб `
⊥
определяется расстоянием до стенки и примем его равным длине
смешения Прандтля. В результате получим:
ν
T
`
2
∂u/∂y
=
1
G
(
q
2 +
q
2/πq
2
−
B
3Re
(π
2
+ q
2
)(2 + 1/q
2
)
√
2π + q
2
(6.201)
−
St(π + q
2
)
(
√
2π + q
2
)[3 + (2/π)(q
2
− 1)
)
q=q
0
.
В отсутствие магнитного поля (St = 0) максимум правой части достигается при q
0
=
(2π)
1/4
, при этом
ν
T
`
2
∂u/∂y
=
(2π)
1/4
4G
= 1 .
Последнее равенство следует из формулы Прандтля, т.к. ` - длина смешения. Отсюда
получаем G = (2π)
1/4
/4. Результаты сравнения расчетов по формуле (6.201) с опытны-
ми данными [53], приведены на рис. (6.3). Аналогичным образом может быть описано
влияние продольного магнитного поля на турбулентный теплообмен [36].
6.6.3 Турбулентность в электрических разрядах
Важной областью приложений теории турбулентности являются электрические разряды
в потоках газа. Эти разделы в турбулентности наименее изучены, поэтому здесь мы огра-
ничимся качественным описанием явлений, отсылая интересующихся к журнальным
публикациям. Необходимость дальнейшего изучения этих процессов очевидна. Элек-
трические разряды весьма разнообразны, но с точки зрения практических приложений
наиболее интересными представляются дуговые и тлеющие разряды. Дуговые разряды
используются в плазмотронах, предназначенных для технологических целей [54], [55],
а тлеющие - в электроразрядных конвективно охлажденных лазерах [59]. Рассмотрим
6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 217
Рис. 6.4: Схема течения в плазматроне. 1 - столб дуги, 2 - тепловой столб около дуги, 3 - пристенный
пограничный слой
вначале проявления турбулентности в электрических дугах [56]. На рис. 6.4 показана
схема течения газа в цилиндрическом канале плазматрона На начальном участие АС
дуга горит в ламинарном потоке, теплообмен со стенками на этом участке происходит
за счет теплового излучения. На участке СД турбулентный пограничный слой взаимо-
действует с тепловым слоем газа дуги, к потоку излучения на стенку здесь добавляется
конвективный тепловой поток. В сечении Д происходит смыкание пограничного слоя
со столбом дуги и в области ДВ дуга горит в турбулентном потоке. Для расчета ха-
рактеристик плазматрона с дуговыми разрядами используются следующие уравнения
турбулентного движения, рассмотренные в разделе 6.5: уравнения неразрывности и дви-
жения в проекции на продольное и поперечное направления (последнее в приближении
∂p/∂r = 0 , r - радиальная координата). В уравнении энергии следует учесть член,
связанный с флуктуациями джоулева тепловыделения:
1
r
∂
∂r
(rhρvih
0
) +
∂
∂z
(ρuh
0
) = σE
2
µ
1 + 2
hσ
0
E
0
i
σE
+
hE
0
2
i
hE
2
i
¶
+
+
1
r
∂
∂r
·
r(q + uτ )
¸
. (6.202)
Электропроводность газа σ в области частичной ионизации является равной функци-
ей температуры, поэтому пульсации джоулева тепловыделения могут быть немалыми.
Осреднение закона Ома дает:
j = σE
µ
1 +
hσ
0
E
0
i
σE
¶
. (6.203)
Турбулентное напряжение трения, входящее в τ и турбулентный поток тепла в q, опре-
деляется по формулам Прандтля, аналогичным приведенным в 6.5 с масштабом тур-
булентности, соответствующим течениям в трубах, или основанном на модели приме-
нения теории смешения турбулентных струй к движению дуги, при этом получается
` = 0, 09r
k
, где z
∗
- радиус дугового столба. Анализ теоретических и эксперименталь-
ных работ приводит к следующим выводам: природа турбулентности дуговой плазмы
является гидродинамической, возникающей вследствие торможения газа в пограничном
218 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
слое, либо вследствие тангенциального разрыва скоростей между горячим ядром тече-
ния и холодным окружающим потоком. Дуга в турбулентном потоке представляется в
виде случайной кривой, а увеличение напряжения горения дуги связано с увеличением
длины столба дуги по сравнению с его невозмущенной длиной вследствие электромаг-
нитных и турбулентных возмущений. Рассмотрение этой задачи методом Монте-Карло
содержится в [60]. Влияние флуктуаций джоулева нагрева на температурные спек-
тры рассматривалось в [57], [58], где показано, что джоулев нагрев от протекающего по
плазме тока приводит к анизотропии температурного поля и к уменьшению скорости
затухания флуктуаций температуры с ростом волновых чисел. Перейдем к рассмот-
рению турбулентности в тлеющих разрядах. В отличие от дуги, где плазма является
слабонеравновесной, катодное падение потенциала небольшим, тлеющий разряд харак-
теризуется высокой степенью неравновесности, температура электронов составляет де-
сятки тысяч градусов, в то время, как ионы остаются холодными. Катодное падение
потенциала составляет сотни вольт концентрация электронов ∼ 10
10
cm
−3
. Такой тип
тлеющего разряда используется в мощных электроразрядных лазерах [59], [61]. Основ-
ной целью использования потока газа в таких лазерах является конвективный отвод
тепла из области лазерного резонатора, что позволяет увеличить вкладываемую в раз-
ряд электрическую мощность лазерного излучения. При больших скоростях прокачки
газа режим становится турбулентным. Увеличение мощности таких лазеров ограничено
развитием неустойчивостей тлеющего разряда, приводящих к контрагированию диффу-
зионной формы разряда, при котором происходит нагрев газа и прекращение генерации.
Поэтому одним из основных вопросов для физики электроразрядных лазеров является
исследование влияния турбулентного потока на характеристики и устойчивость элек-
трического разряда. При изучении влияния турбулентности на поток газа следует от-
метить следующие экспериментально обнаруженные факты [62]: при увеличении числа
Рейнольдса до критического значения (Re
kp
= 1800 для положительного столба в тлею-
щем разряде в аргоне) наблюдается резкое увеличение напряженности электрического
поля, при увеличении числа Рейнольдса от 0 до 6300 скорость ионизации увеличивается
на порядок, напряженность электрического поля возрастает вдвое, а электронная темпе-
ратура увеличивается на 10С учетом экспериментальных и теоретических результатов
можно, видимо, считать, что в условиях слабоионизованной плазмы с концентрацией
заряженных частиц около 10
10
+ 10
12
cm
−3
наличие заряженных частиц не влияет на
турбулентные характеристики нейтрального газа (в опытах сравнивались спектры тур-
булентности в турбулентном потоке плазмы и нейтрального газа). Наличие интенсивной
мелкомасштабной турбулентности в разряде приводит к хорошему перемешиванию и
быстрому рассасыванию зарождающихся возмущений и затрудняет развитие неустой-
чивостей. Турбулентное перемешивание приводит к движению отдельных объемов газа,
содержащих ионы и электроны, т.е. по своему механизму аналогично действию амбипо-
лярной диффузии. Поэтому при вычислении эффективного коэффициента диффузии
следует складывать коэффициенты турбулентной и амбиполярной диффузии [61]:
D
эфф
= D
T
+ D
Q
. (6.204)
В случае, когда коэффициент турбулентной диффузии превышает амбиполярный, элек-
троны быстрее диффундируют к стенкам и эта убыль заряженных частиц должна ком-
пенсироваться ростом скорости ионизации. Скорость ионизации, в свою очередь, явля-
ется резной функцией напряженности электрического поля или температуры электро-
нов, поэтому соответственно должны увеличиваться напряженность поля и температура
6.7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 219
Рис. 6.5: Зависимость диаметра видимой границы столба от давления гелия в трубке d = 10mm, ` =
20cm, I = 30mA, 0 − v = 0, 1 − v = 40m/c, 2 − v = 250m/c
электронов. Рассмотренный механизм влияния турбулентности на газовый разряд су-
ществен для разряда в трубках, и быстропроточных лазерах, когда скорость прокачки
превышает 100 м/с при длине разрядной камеры менее 1 и время пребывания газа в
камере меньше 10 мсек, это пролетное время оказывается сравнимым с характерны-
ми временами развития перегревной неустойчивости, поэтому улучшение устойчивости
разряда может быть связано с конвективным выносом объемов плазмы, в которых раз-
виваются неустойчивости из области разряда [63]. В [64] изучалось влияние перехода
ламинарного режима в турбулентный на контрагированный разряд в трубках. Экспе-
рименты производились в водоохлаждаемых стеклянных трубках диаметром 10-25 мм
в потоке гелия. На рис. 6.5 представлены результаты измерений. Для неподвижного га-
за с ростом давления происходит контрагирование разряда. При увеличении скорости
прокачки на переходном режиме (кривая 1) происходит частичное расконтрагирование
разряда, а при развитом турбулентном течении достигается полное расконтрагирова-
ние разряда (кривая 2). Для течения в трубе критическое число Рейнольдса перехода
из ламинарного течения в турбулентное составляет Re
kp
= 2300, однако, эта величина
существенно зависит от уровня начальных возмущений, поэтому результаты, описыва-
ющиеся кривой 1, могут зависеть от условий входа газа в трубку, а стационарное значе-
ние, соответствующее кривой Е, может быть описано теорией развитого турбулентного
течения слабоионизованной плазмы. В [65],[66] рассматривалось влияние турбулентной
диффузии и конвективного выноса газа на устойчивость разряда в турбулентном по-
токе молекулярного газа, где физическая картина сложнее из-за большего количества
механизмов неустойчивости разряда в молекулярном газе.
6.7 Некоторые специальные типы турбулентности
Наряду с традиционными задачами турбулентного описания движения жидкостей и га-
зов в последние годы появился ряд новых задач в турбулентности. Некоторые из таких
направлений были качественно рассмотрены в разделе 6.6: турбулентное движение в
магнитном поле, турбулентные дуги и тлеющие разряды, Другие направления связаны
с воздействием объемных сил неэлектромагнитной природы - силы тяжести и центро-
220 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ
бежной силы инерции, возникающей при движении у криволинейной стенки. Интерес-
ными представляются работы по влиянию поверхностно-активных веществ и полимер-
ных добавок на турбулентное движение жидкости. В приложениях важны также задачи
турбулентного горения, где необходимо рассматривать турбулентное движение в хими-
чески реагирующих средах. При повышении температуры газа становится существен-
ным теплообмен излучением, поэтому актуальной является и задача взаимодействия
турбулентности с полем излучения.
В этом параграфе будут рассмотрены лишь отдельные аспекты этих новых, еще
не законченных, но практически важных областей приложения теории турбулентно-
сти. Для исследования влияния объемных сил и полимерных добавок на турбулент-
ное движение среды мы будем использовать полуэмпирическую теорию, основанную
на уравнениях для вторых моментов и гипотезе локального равновесия в основной ча-
сти турбулентной области, т.е. считать, что в ней локально уравновешены генерация
и диссипация, а конвекция и диффузия турбулентности несущественны. В рассматри-
ваемых задачах влияние архимедовых сил (в литературе их называют иногда силами
плавучести) и полимерных добавок на турбулентность можно рассматривать движение
несжимаемой жидкости (для конвекции в поле тяжести это соответствует приближению
Буссинеска). Уравнения движения и непрерывности среды при наличии объемных сил
имеют вид:
∂u
i
∂t
+
∂
∂x
k
u
i
u
k
= −
1
ρ
∂p
∂x
i
+ ν
∂
2
u
i
∂x
k
∂x
k
+ F
i
, (6.205)
∂u
i
∂x
i
= 0 . (6.206)
Здесь F
i
- удельные силы ( действующие на единицу массы жидкости). Осредняя эти
уравнения, получим:
∂ < u
i
>
∂t
+
∂
∂x
k
(< u
k
>< u
i
> + < u
0
k
u
0
i
>) = −
1
ρ
∂ < p >
∂x
i
+ν
∂
2
< u
i
>
∂x
k
∂x
k
+ < F
i
>, (6.207)
∂ < u
k
>
∂x
k
= 0 . (6.208)
Вычитая из неосредненного осредненное уравнение, получим уравнения для пульсаци-
онных величин u
0
i
= u
i
− < u
i
>, p
0
= p− < p >, F
0
i
= F
i
− < F
i
>:
∂u
0
i
∂t
+
∂
∂x
k
(< u
k
> u
0
i
+ u
0
k
< u
i
> +u
0
k
u
0
i
− < u
0
k
u
0
i
>) =
= −
1
ρ
∂p
0
∂x
i
+ ν
∂
2
u
0
i
∂x
k
∂x
k
+ F
0
i
, (6.209)
∂u
0
k
∂x
k
= 0 . (6.210)
Дифференцируя уравнение (6.209) по x
i
с учетом (6.207) и (6.210), получим уравнение,
определяющее пульсации давления:
∂
2
∂x
k
∂x
i
(< u
k
> u
0
i
+ u
0
k
< u
i
> +u
0
k
u
0
i
< u
0
k
u
0
i
>) = −
1
ρ
∂
2
p
0
∂x
i
∂x
i
+
∂F
0
i
∂x
i
. (6.211)