Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 201

Здесь ξ = y/R - безразмерная радиальная координата, которая связана с координатой

η следующим соотношением:

η =

∗

. (6.129)

Здесь введено среднее число Рейнольдса Re = 2R/u/ν. При вязком течении в трубе из

баланса сил, действующих на трубу, имеем:

2πRLτ(0) = πR

∆p,

где τ(0) = τ = ρu

∗

- напряжение трения на стенке. Подставляя ∆p в (6.127), получаем

λ =

Подставляя в (6.128) логарифмический профиль скоростей (6.125), находим:

u =

ln ξ + κ + ln

¶¶

(1 − ξ)dξ =

+ κ −

Выражая u через коэффициент сопротивления, находим искомую зависимость λ(Re):

√

2κ

√

= ln

√

+ κ −

или после подстановки численных значений:

√

= 2.035 lg Re

√

λ − 0.91. (6.130)

Этот результат хорошо подтверждается экспериментально, переходя при R e < 10

формулу Блазиуса:

λ = 0 .3164Re

−1/4

. (6.131)

Задача 2. Найти изменение характеристик турбулентного потока (кинети-

ческой пульсационной энергии вдоль различных осей координат) при быст-

рой деформации потока за время, меньшее времени релаксации вязких сил.

(Дж.К.Бэтчелор [33]).

Решение. По определению вихревой линиии [52] до и после деформации компоненты

вектора завихренности (~ω = ∇ ×~v) удовлетворяют уравнениям:

(0)

, (6.132)

, (6.133)

где a

, x

- координаты до и после деформации, связанные тензором деформации S

∂x

/∂a

, который в системе координат, совпадающей с главными осями деформации име-

ет диагональный вид S

= e

(i)

(по индексу в скобках не суммируется). Из уравнения

непрерывности следует

= ρ

/ρ,

202 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

где ρ

и ρ - начальная и текущая плотности. Уравнение движения вихря в отсутствие

вязких сил имеет вид [52]:

dtb

~ω

ÃÃ

~ω

· ∇

~v.

Для элемента "жидкой линии"δ

` кинематическое уравнение движения :

dδ

= ( δ

` · ∇)~v

по форме совпадает с уравнением движения вихря, поэтому для вихревой линии в про-

извольный момент времени

~ω = const · ρδ

т.е.

(0)

= ρ

или

(0)

≡ λ

. (6.134)

Здесь λ = (ρ

/ρ)

1/3

- коэффициент деформации потока. Для пульсационного движения

корреляционный тензор вихря Ω

=< ω

> можно выразить через корреляционную

функцию скоростей. В фурье - представлении

Ω

= e

iαβ

jµν

βν

. (6.135)

Используя выражение для

iαβ

jµν

= detkδ

r,s

где (r = i, α, β; s = j, µ, ν), получаем:

Ω

= −k

+ (δ

− k

)Φ

. (6.136)

Записывая выражения (6.136) до и после деформации и учитывая, что из (6.134) следует

связь

Ω

(~κ) = e

(i)

(j)

Ω

(0)

(

k),

(~κ - волновой вектор пространства после деформации), можно найти изменение Ω

при

деформации тензора Φ

Будем предполагать, что в начальный момент турбулентность изотропна, так что спек-

тральный тензор имеет вид (6.49). Рассмотрим деформацию вдоль оси x

, так что

= c, e

= e

= λ

3/2

−1/2

= cκ

, k

= λ

3/2

−1/2

, k

= λ

3/2

−1/2

При такой деформации

(κ) =

2π

(k)

−c

− k

− κ

− k

) +

+ k

)

, (6.137)

(κ) =

2π

(k)

−

cκ

− k

) +

− κ

− k

) +

+ k

)

. (6.138)

6.5. НЕОДНОРОДНОЕ ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ 203

Выражение Φ

(χ) аналогично Φ

(χ). Среднее значения кинетической энергии вдоль

оси p определяется интегралом Φ

(χ), а относительное изменение продольной и попе-

речной к оси деформации потока равны по определению

allel

< (v

)

< (v

)

(0)

, (6.139)

⊥

< (v

)

< (v

)

(0)

, (6.140)

В результате подстановки (6.137) и (6.138) получим:

allel

1 + α

2α

1 + α

1 − α

−

, (c > 1);

⊥

2α

−

1 − α

4α

1 + α

1 − α

, (c > 1);

allel

− 1

arctan α

, (c < 1);

⊥

1 + α

2α

arctan α −

2α

, (c < 1).

Здесь α = 1 − c

−3

. Эти результаты можно применить к описанию изменения характе-

ристик турбулентности в сопле. Величина деформации при этом λ

/c пропорциональна

площади поперечного сечения сопла, а из уравнения непрерывности ρuF = const тогда

следует c ∼ u.

Задача 3. Найти изменения продольного и поперечного масштабов турбу-

лентности при быстрой осессиметричной деформации потока.

Решение. Выберем две точки, находящиеся на расстоянии r = x

− ˜x

в потоке.

Используем определения масштабов турбулентности (6.116) и выполним преобразование

Фурье:

allel

< (v

)

∞

−∞

< v

> dr

< (v

)

∞

=−∞

(~κ)e

iκ

κ, (6.141)

⊥

< (v

)

∞

−∞

< v

> dr

< (v

)

∞

=−∞

(~κ)e

iκ

κ, (6.142)

Подставляя сюда решения (задача 2) для спектрального тензора при быстрой деформа-

ции, получим

allel

(0)

allel

⊥

(0)

1/2

⊥

3/2

Задача 4. Определить изменение характеристик турбулентности при про-

хождении турбулентного потока через перпендикулярно расположенную сет-

ку, считая, что изменение распределения скоростей обусловлено сопротивле-

нием (падением давления),т.е. является безвихревым. Считать заданными

204 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

коэффициент сопротивления сетки λ и коэффициент поворота поперечной

пульсационной скорости (Дж.К.Бэтчелор [33]).

Решение. Обозначим параметры турбулентного потока перед сеткой p

, v

, за сеткой

p”, v”

. Здесь v

, v”

- вихревые турбулентные поля скоростей далеко от сетки. Сетка

вносит дополнительное влияние, создавая пульсационные скорости ∇ϕ

, ∇ϕ” (ϕ

, ϕ” -

потенциалы безвихревых составляющих). Найдем связи между пульсационными скоро-

стями при переходе через сетку. Для суммарных пульсационных скоростей у сетки

v”

(0) = αv

(0), v”

(0) = αv

(0), v”

(0) = v

(0). (6.143)

Ось x

направлена вдоль потока перпендикулярно сетке, аргумент "0"в (6.143) означает

= 0. Найдем связь между безвихревыми составляющими. Уравнения движения для

потенциалов ϕ

и ϕ” имеют вид:

∂

∂t

+ U

∂

∂x

= −

∂

∂t

+ U

∂

∂x

ϕ − −

p”

βU

Здесь член βρU

/2 описывает уменьшение давления за сеткой вследствие сопротивления

и определяет уровень давления при x

→ ∞. Вычитая эти уравнения, получим:

∂

∂t

+ U

∂

∂x

(ϕϕ

)

(0) − p”(0)

−

βU

Правая часть уравнения может быть преобразована следующим образом:

(0) − p”(0)

−

βU

(U + u

)

+ u

− U

= βUu

(−0) = βU

∂ϕ

∂x

В результате получим уравнение:

∂

∂t

+ U

∂

∂x

(ϕϕ

)

= βU

∂ϕ

∂x

. (6.144)

Найдем закон убывания ϕ

, ϕ” при удалении от стенки. Из уравнения непрерывности

следует, что потенциал является гармонической функцией (∆ ϕ = 0). Координаты x

, x

и время t является однородными координатами, поэтому по ним можно применить пре-

образование Фурье. Уравнение ∆ϕ = 0 тогда имеет вид:

∂

∂x

− k

⊥

˜ϕ = 0, k

⊥

= k

+ k

. (6.145)

Из уравнения (6.145) следует, что ϕ

и ϕ” экспоненциально уменьшаются при удалении

от сетки:

(~x, t) =

−ik

Ut+ik

+ik

⊥

˜ϕ

(

(2π)

, (6.146)

ϕ(~x, t) =

−ik

Ut+ik

+ik

⊥

˜ϕ(

(2π)

, (6.147)

6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 205

Подставляя эти уравнения в (6.144) получим:

(−ik

− k

⊥

) ˜ϕ(−ik

+ k

⊥

) ˜ϕ

= β(˜u

+ k

⊥

˜ϕ

). (6.148)

Подставляя сумму вихревых и безвихревых пульсационных скоростей в ( 6.143), полу-

чим:

˜v

” + ik

˜ϕ − α(˜u

+ ik

˜ϕ

), (p = 2, 3); (6.149)

˜v”

− k

⊥

˜ϕ − ˜v

+ k

⊥

˜ϕ

. (6.150)

Из уравнения непрерывности следует

k · ~v

k · ~v − 0. Соотношения (6.148), (6.149)

позволяют связать преобразования Фурье пульсационной скорости до и после решетки:

˜v”

= α˜v

(

k) +

− k

⊥

[J(γ) − α]˜v

(k). (6.151)

Здесь γ = k

⊥

J(γ) =

(γ + i)[2αγ + i(αβ − 1 − α)]

(γ − i)[2γ + i(β + α + 1)]

, (6.152)

Из (6.151) можно получить связь между продольными и поперечными компонентами

спектрального тензора:

Φ”

allel

(k) = |J|

allel

(k),

Φ”

+ Φ”

= α

(Φ

+ Φ

) + γ

(|J|

− α

)Φ

Относительные уменьшения продольной и поперечной пульсационных энергий равны:

allel

< (v”)

< v

|J|

(k)d

⊥

< (v”)

> + < (v”)

< (v

)

> + < (v

)

= α

|J|

− α

)Φ

(k)d

(Φ

+ Φ

Если турбулентность перед сеткой изотропна, то подставляя для Φ

(k) (6.49), получим:

allel

∞

−∞

(1 + γ

)

−3/2

|J|

dγ

∞

−∞

(1 + γ

)

−3/2

dγ

⊥

= α

(αβ − 1 − α)

−

allel

(α + β + 1)

Параметры α и β обычно не являются независимыми, так в [33] рассматривается следую-

щая связь между ними: α ≈ 1, 1(1+β)

−1/2

. Тогда единственным параметром, характери-

зующим сетку, является коэффициент сопротивления β, с ростом которого уменьшаются

allel

и f

⊥

6.6 Взаимодействие электромагнитного поля с турбулентным дви-

жением электропроводных сред

В настоящем параграфе рассматривается турбулентное движение проводящей сплош-

ной среды в отличие от турбулентности разреженной плазмы, которая рассматривается,

206 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

например, в [39], [40]. При этом будем ограничиваться не слишком большими значени-

ями магнитных полей, при которых коэффициенты переноса (электро-и теплопровод-

ность) являются изотропными, что соответствует малым значениям параметра Холла.

В таких условиях турбулентное движение среды имеет много общих черт с турбулент-

ным движением газа, а коллективные неустойчивости и связанные с ними механизмы

турбулентного движения разреженной плазмы не проявляются. Экспериментальных ис-

следований по турбулентности электропроводных сред в настоящее время недостаточно

даже для построения полуэмпирической теории, аналогичной рассмотренной в разде-

ле 6.6 для неэлектропроводных газов и жидкостей. Основная часть опытных данных

получена в турбулентности жидких металлов, поэтому перенос результатов на движе-

ние высокотемпературной сред вызывает затруднения и в данном разделе рассмотрение

ограничивается только таким кругом вопросов, в которых почти не проявляется каче-

ственное различие между плазмой и жидкими металлами.

Будем рассматривать движение проводящей среды в условиях, когда справедливо

магнитогидродинамическое приближение [49], при котором все действие электромагнит-

ных полей можно свести к действию дополнительной электромагнитной силы в урав-

нении движения и джоулева тепловыделения в уравнении энергии. Эти члены опреде-

ляются действием внешних и индуцированных при движении среды электромагнитных

полей, величина которых определяется из уравнения магнитной индукции. В указанном

приближении система уравнений, описывающая движение среды имеет вид [49]:

∂ρ/∂t + ∂ρv

/∂x

= 0; (6.153)

∂v

∂t

+ ρv

∂v

∂x

= −

∂ρ

∂x

∂τ

∂x

4π

∂H

∂x

−

∂H

∂x

; (6.154)

∂h

∂t

+ ρv

∂h

∂x

∂ρ

∂t

+ v

∂ρ

∂x

+ τ

∂v

∂x

−

∂(q + q

)

∂x

8π

∂H

∂x

−

∂H

∂x

¶µ

∂H

∂x

−

∂H

∂x

; (6.155)

∂H

∂t

+ v

∂H

∂x

= H

∂v

∂x

− H

∂v

∂x

+ ν

∂

∂x

∂ν

∂x

∂H

∂x

−

∂H

∂x

; (6.156)

∂H

/∂x

= 0 . (6.157)

Здесь ν

= c

/4πσ - коэффициент магнитной вязкости, τ

- тензор вязких напряжений.

Уравнения магнитной гидродинамики (6.153-6.157) описывают квазинейтральную плаз-

му и могут нарушаться вблизи стенок, на расстояниях порядка дебаевского радиуса, где

существует нескомпенсированный объемный заряд и значительные изменения потенци-

ала. Для того, чтобы избежать осложнений, связанных с такими слоями, в некоторых

случаях можно переформулировать граничные условия, поставив их на воображаемой

поверхности, удаленной от истинной на малое расстояние. В дальнейшем будем предпо-

лагать справедливыми уравнения магнитной гидродинамики вплоть до стенок. В маг-

нитной гидродинамике наряду с обычными безразмерными параметрами появляются

два новых, один из которых - магнитное число Рейнольдса Re

определяет воздействие

потока на магнитное поле, т.е. величину индуцированного магнитного поля, а второй -

действие магнитного поля на поток (число Стюарта или Гартмана). Рассмотрим вна-

чале случай Re

>> 1, когда среда является идеально проводящей и магнитное поле

6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 207

"вморожено"в плазму, т.е. каждая силовая линия все время проходит через одни и те

же частицы среды. Для больших значений магнитного числа Рейнольдса турбулент-

ных пульсаций (Re

= ω`/ν

>> 1) представление о "вмороженном"магнитном поле

применимо при рассмотрении движения крупных турбулентных вихрей, а также при

исследовании мелкомасштабной структуры турбулентности в таком диапазоне масшта-

бов, для которого Re

>> 1. Это означает, что магнитные силовые линии получаются

столь же запутанными, как и линии движения жидких частиц, т.е. возникает турбулент-

ное магнитное поле. Физической причиной его возникновения и поддержания являются

турбулентные электрические токи, возникающие в среде при турбулентных пульсациях

скорости при наличии магнитного поля и пульсациях самого поля. В пульсационном

магнитном поле может содержаться значительная часть общей энергии турбулентно-

сти. Рассмотрим теперь случай Re

¿ 1. Из уравнения магнитной индукции (6.157)

следует, что величина индуцированного магнитного поля H

/H ∼ Re

¿ 1, поэтому

удобно представить магнитное поле в среде в виде суммы внешнего и индуцированного

H + H

. Считая внешнее поле Н стационарным и создающимся током, не протекающим

в области течения, так что rot

H = (4π/C)j

= 0 , из (6.156) получим:

∂H

∂t

+ v

∂H

∂x

+ v

∂H

∂x

= H

∂v

∂x

− H

∂v

∂x

+ H

∂v

∂x

− H

∂v

∂x

+ν

∂

∂x

∂ν

∂x

∂H

∂x

−

∂H

∂x

. (6.158)

При исследовании турбулентного движения проводящей среды наиболее важен случай,

когда индуцированное машинное поле

H вызывается электрическими токами, возникаю-

щими в среде при ее движении во внешнем магнитном поле. Величина индуцированных

движением среды электрических токов и, следовательно, величина

H может ограни-

чиваться либо омическим, либо индуктивным сопротивлением среды. В первом случае

из (6.158) следует оценка ν

∼ Hv/L, т.е. H

/H ∼ Re

¿ 1. Члены v

(∂H

/∂x

)

и H

(∂v

/∂x

) по отношению к члену ν

(∂

/∂x

) имеют порядок Re

¿ 1, т.е. ими

можно пренебречь. Оценим величину члена ∂H

/∂t ∼ H

/τ, который описывает "ин-

дуктивное сопротивление"плазмы. Величина времени изменения пульсационного поля

H определяется характерным временем изменения скорости v. Это время следует оце-

нивать из уравнения движения, приравнивая ускорение жидкой частицы v/τ и раз-

личным удельным силам, вызывающим ее движение. При действии инерционных сил

τ = τ

∼ L/v, при действии магнитного поля τ = τ

∼ 4πLρv/Hh, при существенном

действии градиента давления τ ∼ τ

. Если перепад давления определяется движением

среды со скоростью v, то ∆ρ ∼ ρv

и из уравнения движения следует τ

ρ1

∼ τ

∼ L/v,

если ∆ρ уравновешивается электромагнитными силами, то τ

ρ2

∼ τ

, если ∆ρ опре-

деляется акустическими колебаниями в среде, то ∆ρ ∼ ρv

α,где α - скорость звука,

- характерная величина скорости смещения среды при акустических колебаниях. В

неподвижной среде v

= v и τ

ρs

∼ L/α, в турбулентной среде v

можно оценить из

уравнения неразрывности (1/ρ)(dρ/dt) = −∂v

/∂x

, откуда следует ρ

/ρτ ∼ v

/L (τ -

характерное время изменения плотности, v

- скорость смещения среды); подставляя

сюда связь ρ

и p

в акустических колебаниях ρ

= ρ

, получаем v

∼ Lp

/ρa

τ. В

турбулентном потоке p

, τ определяются турбулентными пульсациями p

∼ ρw

, τ ∼ `/w,

учитывая, что v

< v

, т.к. не все смещения среды, происходящие при пульсациях

плотности приводят к генерации звуковых волн, получим v

/w < (w/a)

. Таким обра-

208 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

зом, в турбулентной среде, когда изменение индуцированного магнитного поля опреде-

ляется пульсациями давления, τ

∼ Lw/av

∼ La/w

. Если магнитное поле достаточно

большое, пульсации давления вызываются электромагнитными силами и p

∼ HH

/4π,

в этом случае v

∼ Lp

/ρa

и τ

∼ (L/a )(w/v

), где

4πρa

4P Lρw

где C

= H/

√

4πρ - альфвеновская скорость колебаний в среде. Подставляя τ

, ..., τ

в условие, определяющее малость индуцированного магнитного поля (L

/ν

¿ 1),

получим следующие неравенства:

= Re

¿ 1; (6.159)

¿ 1; (6.160)

αL

= Re

(α) ¿ 1; (6.161)

= Re

(w) ·

¿ 1; (6.162)

Lα

¿ 1. (6.163)

Все эти условия обычно выполняются. Физический смысл неравенств заключается в сле-

дующем: при Re

¿ 1 справедливо приближение линейной магнитной гидродинамики,

т.е. можно учитывать влияние на поток только внешнего магнитного поля и вызывае-

мых им токов. При выполнении условия (6.160) оказывается несущественной генерация

магнитогидродинамических волн турбулентными пульсациями. При выполнении усло-

вия (6.163) динамика развития турбулентности может рассматриваться без учета гене-

рации акустических колебаний. Безиндукционное приближение (малость члена ∂H

/∂t)

означает, что магнитное поле

H в каждый момент времени определяется полями гидро-

динамических параметров в этот же момент времени, т.е. квазистационарно "следит"за

величинами этих параметров. Рассмотрим качественно воздействие магнитного поля на

турбулентное

движение проводящей среды. Если течение является плоским, а внешнее магнитное

поле постоянно и перпендикулярно плоскости течения, то его действие на поле скоро-

стей проявляется только в том случае, если div~v 6= 0, т.е. на движение несжимаемой

жидкости магнитное поле никакого влияния не оказывает. Приведем доказательство

этого утверждения: при div~v = 0 и плоском движении жидкости площадь, охватыва-

емая любой замкнутой линией, лежащей в плоскости течения и движущейся вместе с

жидкостью, не изменяется с течением времени, поэтому сохраняется магнитный поток

через этот контур и не возникает индукционных токов и электромагнитных сил. Если

div~v 6= 0, то при плоском движении среды в постоянном магнитном поле, перпенди-

кулярном плоскости течения, в среде возникают такие электрические токи, взаимодей-

ствие которых с магнитным полем приводит к появлению сил, препятствующих расши-

рению или сжатию среды (т.е. сил, действие которых направлено на уменьшение | div~v |).

Следовательно, если бы при плоском среднем движении жидкости в перпендикулярном

6.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 209

плоскости течения постоянным магнитном поле существовала чисто плоская турбулент-

ность, то магнитное поле не оказывало бы никакого действия на это движение. Если при

плоском среднем движении жидкости турбулентность является трехмерной, то в жид-

кости появятся такие электромагнитные силы, которые будут стремиться уменьшить

| ∂v

/∂x

+ ∂v

/∂x

|= −∂v

/∂x

, т.е. увеличить размер турбулентных вихрей по оси x

Эти же рассуждения применимы и к осесимметричному случаю, если среднее движение

жидкости происходит в меридиональных плоскостях, а магнитное поле создается элек-

трическим током, протекающим вдоль оси симметрии. Аналогичные особенности имеет

и турбулентность в продольном магнитном поле, т.е. когда магнитное поле направле-

но параллельно средней скорости. При этом также происходит увеличение масштаба

вихрей вдоль поля, но турбулентность не становится плоской, как в поперечном поле

[36]. Степень влияния продольного магнитного поля на турбулентность высокотемпера-

турных сред зависит от температуры, поэтому в пограничном слое на холодной стенке

может сложиться такая необычная ситуация, когда течение в верхней части погранич-

ного слоя будет ламинарным, из-за подавления турбулентности магнитным полем, а у

стенки - турбулентным.

6.6.1 Однородная магнитогидродинамическая турбулентность

Наиболее простым случаем турбулентности в несжимаемой жидкости в отсутствие элек-

тромагнитных полей является однородная изотропная турбулентность, рассмотренная

в 6.4. В магнитном поле турбулентность не может быть изотропной из-за наличия вы-

деленного направления, связанного с магнитным полем, но может быть однородной.

Такая однородная магнитогидродинамическая турбулентность имеет практическое при-

ложение для течений электропроводных сред за турбулизирующими решетками, и, без-

условно, эта задача важна для построения полуэмпирической теории турбулентности в

магнитном поле. В задачах однородной турбулентности удобно использовать спектраль-

ную форму уравнений. Вывод уравнения для спектральной функции корреляции скоро-

стей Φ

(6.170) аналогичен выводу уравнения (6.50). Система уравнений, описывающая

движение несжимаемой жидкости в магнитном поле в безиндукционном приближении

имеет вид (для точек M(~x)

˜x)):

∂v

∂t

∂

∂x

= −

∂p

∂x

+ ν

∂

∂x

4πρ

∂H

∂x

, (6.164)

∂ ˜v

∂t

∂

∂x

˜v

= −

∂p

∂x

+ ν

∂

˜v

∂x

4πρ

∂

∂x

. (6.165)

Здесь p = p

ra3

H ·

/4π. К уравнениям движения ( 6.164, 6.165) следует добавить

уравнения несжимаемости жидкости ∂v

/∂x

= 0 и соленоидеальности магнитного поля

∂H

/∂x

= 0 , а также уравнения магнитной индукции

∂

∂x

+ He

∂v

∂x

= 0 , (6.166)

∂

∂˜x

+ He

∂˜v

∂x

= 0. (6.167)

Как и при выводе (6.50) умножим (6.164) на ˜v

, (6.165) на v

, сложим полученные урав-

нения и осредним их, затем перейдем к однородной координате r

= ˜x

−x

и применим

210 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

фурье-преобразование на этой координате. Получающиеся корреляционные функции

давления и скоростей hp˜v

i и h˜pv

i исключим, как и в 6.40. Для исключения корреля-

ционных функций hH

˜v

i и h

i используем уравнения (6.166) и (6.167), умножая

их на ˜v

и v

соответственно, осредняя, переходя к однородной координате и выполняя

преобразование Фурье. В результате получим уравнение

∂Φ

∂t

= A

(

k) + B

(

k) − 2νk

− ν

cos

ϕΦ

, (6.168)

= 2C

/ν

, ϕ - угол между волновым вектором

k и магнитным полем

H. Тен-

зоры A

, B

определяются равенствами (6.51, 6.52) с соответствующими свойствами

(6.57, 6.59), откуда следует их физический смысл - A

ответственен за перераспределе-

ние энергии от крупных вихрей к малым, а B

приводит к перераспределению энергии

пульсаций по различным осям координат. Проанализируем влияние магнитного поля на

однородную турбулентность. Для этого рассмотрим частные случаи уравнения (6.168).

I.A

≈ B

≈ 0 . Это возможно в двух случаях. В первом - при малых числах Рейнольдса

Re = w`/ν ¿ 1, когда все тройные корреляции малы, что соответствует вырождению

турбулентности. Во втором, когда влияние магнитного поля настолько велико, что пре-

вышает действие процессов, описывающихся членами A

, B

, отношение этих членов

определяется параметром

2πρν

При ξ

>> 1 членами A

и B

можно пренебречь для всех углов ϕ не близких к π/2.

Если вначале турбулентность была изотропной, то вследствие быстрого угасания вих-

рей, имеющих ϕ ≈ π/2, турбулентность станет анизотропной и члены с A

, B

станут

существенными. Следовательно, решение с A

= B

= 0 в этом случае будет справед-

ливо только на ограниченном интервале времени. Найдем решение уравнения (6.168)

при A

= B

= 0:

(

k) = Φ

(0)

(

k)exp

−(ψ

cos

ϕ + 2νk

. (6.169)

Если турбулентность в начальный момент времени была изотропной, то Φ

(0)

(

k) опре-

деляется формулой (6.49). Найдем значения продольных и поперечных пульсационных

скоростей:

= hv

i =

(

k, r)

(2π)

∞

E(k)e

−2νk

(1 − µ

−ψ

dµ, (6.170)

⊥

= hv

i =

(

k, t)

(2π)

∞

E(k)e

−2νk

1 + µ

−ψ

dµ. (6.171)

Первый интеграл можно вычислить для больших чисел Re = w`/ν, когда можно считать

exp(−2νk

t) ≈ 1, что справедливо при 2νk

t ¿⊥ или t ¿ Re`

/2w

, тогда

∞

E(k)exp(−2νk

t)dk ≈ 3w

/2, (6.172)

w = w

110

= w

⊥

0 - начальная пульсационная скорость.Для относительной пульсационной

энергии получим

= w

≈

(1 − µ

) exp(−ψ

tµ

)dµ,