Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 6

Турбулентное движение газов,

жидкостей и плазмы

6.1 Предисловие

Движение жидкостей, газов и плазмы в природе и технических устройствах в большин-

стве случаев является турбулентным. В связи с этим теория турбулентности должна яв-

ляться важной составной частью гидромеханики. Настоящее учебное пособие по своему

содержанию соответствует разделу курса физической механики, читаемого на факуль-

тете аэрофизики и космических исследований МФТИ. Основной целью этого раздела

является рассмотрение физических особенностей турбулентности и принципов постро-

ения приближенных методов расчетов неоднородных турбулентных потоков сред с пе-

ременными свойствами (жидкостей, газов, низкотемпературной плазмы, описываемой

в рамках механики сплошных сред). В связи с этим хорошо исследованные и описан-

ные в известных монографиях вопросы теории однородной турбулентности, а также ряд

других "классических"проблем механики турбулентности и методов ее математического

описания в настоящем учебном пособии излагаются в ограниченной степени. Для более

подробного ознакомления с этими вопросами, а также с некоторыми из рассматривае-

мых ниже проблем, могут быть рекомендованы монографии [32]÷ [38].

6.2 Основные определения и особенности турбулентности

6.2.1 Общая характеристика турбулентного движения

Как известно, турбулентным называется такой режим движения жидкости или газа,

при котором траектории отдельных частиц среды имеют сложный, "запутанный"вид.

Такое определение является, конечно, чисто качественным, в более точном определении

движение можно назвать турбулентным, если выполняются следующие условия:

непрерывность спектра, получающегося при разложении поля пульсационных ско-

ростей по выбираемому подходящим образом полному набору функций;

стремление к нулю коэффициента корреляции пульсаций любых величин в двух

точках потока при удалении этих точек друг от друга на достаточно большое рас-

стояние (но меньшее размеров потока), а также стремление к нулю коэффициента

161

162 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

корреляции пульсаций в одной и той же точке в разные моменты времени при уве-

личении временного сдвига.

Для некоторых типов течений или, по крайней мере, на начальной стадии можно на-

блюдать плавный, постепенный переход от ламинарного движения к турбулентному по

мере увеличения скорости, размеров потока или ряда других параметров (действующих

на поток сил и пр.). Такой плавный переход характерен, например, для кольцевого тече-

ния Куэтта и для свободной конвекции в стратифицированном следе в поле силы тяже-

сти. При увеличении числа Тейлора (Та) для течения Куэтта или числа Грассгофа (Gr)

для свободной конвекции эти параметры достигают критических значений, при которых

стационарное ламинарное движение оказывается неустойчивым по отношению к малым

возмущениям. При последующем небольшом возрастании чисел Тейлора или Грассгофа

в жидкости возникают слабые стационарные вихри. Интенсивность их увеличивается с

ростом чисел Тейлора или Грассгофа. Такое движение не является турбулентным - это

новый, более сложный, чем при малых значениях Та или Gr тип ламинарного движения.

При дальнейшем увеличении чисел Та или Gr этот вид ламинарного движения также

теряет устойчивость и возникают более мелкие вихри внутри ранее образовавшихся

крупных. Движение становится более запутанным, однако, его еще нужно, вероятно,

называть очень сложным ламинарным движением, а не турбулентным, так как это дви-

жение характеризуется некоторой регулярной системой вихрей, имеющей дискретный

спектр. При последующем увеличении чисел Тейлора или Грассгофа потеря устойчи-

вости и возникновение вихрей следующих "рангов"происходит многократно вследствие

нелинейного взаимодействия волн и движение в конце концов становится столь запу-

танным, что его уже нужно считать турбулентным.

Однако для многих типов течений

характерен не описанный плавный переход к турбулентности, а резкое возникновение

турбулентного режима течения. Такой характер имеет, например, переход к турбулент-

ности при возрастании числа Рейнольдса Re при течениях в трубах, пограничном слое.

В отличие от течения Куэтта или свободной конвекции переход происходит в услови-

ях, когда ламинарное движение устойчиво по отношению к малым возмущениям, но

неустойчиво по отношению к некоторым видам конечных возмущений. В связи с этим

линейная теория устойчивости не позволяет правильно определить число Рейнольдса

перехода. После перехода к турбулентности сразу же вследствие нелинейного взаимо-

действия возникают вихри различных размеров и движение приобретает запутанный,

турбулентный характер. Следует, однако, отметить, что во многих случаях даже при

развитой турбулентности в потоке могут присутствовать одновременно с турбулентно-

стью регулярные вихревые структуры.

6.2.2 Причины возникновения турбулентности

Турбулизация потоков жидкости или газа может вызываться как влиянием возмущений

на границах рассматриваемой области течения или возмущений в начальный момент

времени (для нестационарных в среднем течении), так и возникновением турбулент-

ности из-за неоднородности распределения осредненной скорости потока или из-за на-

личия неоднородного (и вызывающего неустойчивость) распределения действующих на

Возможно, что заключительная часть указанного процесса развития турбулентности протекает не так, как описано:

после появления нескольких поколений вихрей различных масштабов движение может сразу же, скачком приобрести

запутанный, турбулентный характер (из-за нелинейного взаимодействия вихрей).

6.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 163

поток объемных сил того или иного происхождения (архимедовых сил для неустойчиво-

стей стратифицированной среды в поле силы тяжести, в ряде случаев инерционных сил

для сред переменной плотности, электромагнитных сил для неоднородных электропро-

водных сред и др.). В разреженных газах, в особенности в разреженной плазме, могут

развиваться различные колебательные движения, для описания которых требуется ис-

пользование кинетических уравнений, а не уравнений механики сплошных сред. Эти

колебания вызываются неравновесностью (и неустойчивостью) распределения частиц

среды по скоростям теплового движения, энергетическим уровням или составу, что опре-

деляется начальными или граничными условиями или особенностями воздействия на

среду внешних сил (чаще всего электромагнитных). Для некоторых типов таких "кине-

тических"неустойчивостей колебательные движения среды как целого могут быть даже

несущественными: в частности, при определенных условиях возникают взаимосвязан-

ные колебания электронной концентрации, электромагнитных полей и электрических

токов в плазме, происходящие с такими высокими частотами, что тяжелые частицы в

них практически не участвуют. При большой амплитуде "кинетических"колебаний раз-

ного происхождения возникает сильное взаимодействие между различными спектраль-

ными составляющими этих колебаний; движение приобретает сложный запутанный ха-

рактер. Для наименования таких процессов в разреженной плазме или газах также

используют термин "турбулентность". В полуэмпирических теориях "кинетической"и

"гидродинамической"турбулентности используются некоторые близкие друг к другу ме-

тоды, хотя имеются и существенные различия (подробнее см., например, [39], [40]). В

настоящем учебном пособии рассматриваются только турбулентные течения, описыва-

емые в рамках механики сплошных сред.

6.2.3 Постановка задач в теории турбулентности

Постановка задач в теории турбулентности принципиально отличается от постановки

задач в теории ламинарных течений; в соответствии с этим принципиально отличают-

ся и исходные уравнения. Объектами исследования в теории турбулентности являются

не поля истинных значений скоростей, температур и других величин в потоке, а рас-

пределения вероятностей различных значений этих величин или (значительно чаще)

распределения некоторых параметров, зависящих от указанных вероятностей. Такими

параметрами обычно являются моменты различного порядка случайных полей пуль-

сирующих в турбулентных потоках величин: осредненные значения скоростей, темпе-

ратур, концентрации, давления, плотности среды и др. в каждой точке потока, т.е.

моменты первого порядка полей пульсирующих величин; центральные моменты вто-

рого порядка, т.е. осредненные значения парных произведений пульсационных величин,

взятых в одной или различных точках потока в один и тот же или в различные мо-

менты времени; центральные моменты третьего и, в некоторых теориях, четвертого

порядков, т.е. осредненные значения произведений различных пульсационных величин,

имеющих суммарную третью или четвертую степень. Использованный выше термин

"осреднение"значения какой-либо величины А в теории турбулентности удобнее всего

понимать как процедуру вычисления математического ожидания этой величины, т.е.

как интегрирование по всей области возможного изменения величины А произведения

А на плотность вероятностей Р(А) разных значений этой величины или (что эквива-

лентно указанному) как осреднение величины А по бесконечному ансамблю статисти-

чески одинаковых турбулентных течений. Из такого определения осреднения следует

164 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

возможность проводить осреднение величин, стоящих под интегралами, производными

и другими линейными операторами, что важно для преобразования уравнений. Если

турбулентное течение является однородным по какой-либо пространственной координа-

те или по времени (т.е. стационарным в среднем), то указанное выше осреднение мо-

жет быть заменено осреднением по этой координате или по времени. В экспериментах

только такая процедура осреднения и используется. В соответствии со сказанным об

объектах исследования в турбулентности наиболее полная постановка задачи в теории

турбулентности должна была бы формулироваться так: для турбулентного потока най-

ти распределение вероятностей различных реализаций полей скоростей, температур и

других величин в четырехмерном пространстве (пространственные координаты и вре-

мя) при граничных условиях (в указанном четырехмерном пространстве), задаваемых

в терминах распределения вероятностей. Более ограниченная, но также весьма полная

постановка задачи могла бы формулироваться так: найти эволюцию во времени распре-

деления вероятностей различных реализаций пространственных полей пульсирующих

величин в потоке при заданном начальном распределении этой вероятности и при со-

ответствующих граничных условиях (заданных в виде, необходимом для определения

указанных распределений вероятностей). Для случая течения несжимаемой жидкости

замкнутое уравнение, соответствующее такой постановке, было получено Хопфом. Это

уравнение в функциональных производных для так называемого характеристического

функционала случайного поля скоростей (см. подробнее, например, в [32]). Однако ис-

пользовать это уравнение для решения каких-либо конкретных задач пока не представ-

ляется возможным. Менее полное описание турбулентности можно получить, определяя

плотности вероятности различных значений скорости и других пульсирующих величин

в конечных группах точек потока. Соответствующие уравнения, конечно, не могут быть

замкнутыми, так как пульсации гидродинамических параметров во всех точках потока

взаимосвязаны. Для приближенного замыкания системы уравнений теории турбулент-

ности в этом случае требуется привлечение тех или иных дополнительных соображе-

ний или гипотез [32]. Зная плотности вероятностей, можно найти моменты различно-

го порядка пульсирующих величин в выбранных группах точек. Однако и уравнения

для плотностей вероятности очень сложны.

Поэтому обычно используется еще менее

полное описание характеристик турбулентного потока: записываются уравнения не для

плотности вероятностей, а только для моментов различного (невысокого) порядка. Для

неоднородных потоков практически используются только уравнения для одноточечных

моментов и, в некоторых случаях, уравнение для так называемого масштаба турбулент-

ности, получаемое путем интегрирования и очень приближенных преобразований одно-

го из уравнений для двухточечных моментов второго порядка. Для однородной турбу-

лентности используются также уравнения для некоторых двухточечных моментов. Ука-

занные уравнения, в которые входят только такие величины, которые не дают полной

статистической характеристики турбулентного потока, принципиально не могут быть

замкнутыми. Математической причиной незамкнутости уравнений для моментов яв-

ляется нелинейность гидродинамических уравнений, но здесь хотелось бы подчеркнуть

еще раз физическую сторону проблемы: уравнения не могут быть замкнуты, потому что

в них входят только величины, не дающие полного статистического описания турбулент-

ности. В связи с этим гипотезы, используемые для приближенного замыкания системы

уравнений, должны содержать дополнительную физическую информацию. Фактически

Плотности вероятностей зависят от очень большого числа аргументов. Решения таких многомерных задач пока не

получены.

6.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 165

во всех случаях в той или иной форме должно предполагаться существование некоторо-

го внутреннего равновесия в структуре турбулентности, позволяющего связать между

собой различные входящие в уравнение величины. Для достижения такого внутренне-

го равновесия требуется, чтобы оно устанавливалось за времена, существенно меньшие

характерных времен, определяемых осредненным течением. К сожалению, это условие

выполняется далеко не во всех случаях. Поэтому методы замыкания уравнений тео-

рии турбулентности не могут быть универсальными. Это не должно являться, конечно,

причиной отказа от использования какого-либо практически полезного метода замыка-

ния уравнений - важно только четко представлять границы области его применимости

и физические причины существования этих границ. Таким образом, в теории турбу-

лентности применяются уравнения не для истинных скоростей, температур и пр., как

при ламинарных течениях, а для различных величин, определяющих статистическую

(вероятностную) характеристику полей пульсирующих в потоке величин. Практически

используются только уравнения для моментов невысокого порядка, не дающие полного

статистического описания потока и являющиеся поэтому незамкнутыми. Проблема при-

ближенного замыкания этих уравнений является центральной в теории турбулентности.

Следует отметить, что развитие вычислительной техники и методов численных расчетов

вызывают попытки определения статистических турбулентных потоков путем "числен-

ных экспериментов-[41], [42] (и некоторыми другими, близкими к этому, методами), т.е.

путем расчетов "истинных"нестационарных полей скоростей и других величин в потоке

и определения затем с помощью осреднения различных методов пульсирующих величин.

Здесь слово "истинных"написано в кавычках, во-первых, потому, что из-за неустойчиво-

сти движения действительные истинные скорости для каждой конкретной реализации

потока принципиально не могут быть найдены при расчетах, и во-вторых, в связи с

практической невозможностью (даже с учетом любых разумных перспектив развития

ЭВМ) рассчитать для развитой турбулентности все поле пульсационных величин, вклю-

чая движение в самых мелких вихрях (подробнее см. раздел 6.3). Однако существование

указанных принципиальных трудностей не исключает возможности получения при чис-

ленном моделировании правильных статистических характеристик крупных вихрей и

осредненного течения.

6.2.4 Турбулентность сред с переменными свойствами

Турбулентность сред с переменными свойствами, в том числе и в потоках высокотем-

пературных диссоциированных или ионизованных газов имеет много общих черт с тур-

булентностью в потоках однородной несжимаемой жидкости. В связи с этим теории

турбулентности в неоднородных средах обычно в большой мере опираются на результа-

ты исследования турбулентного течения несжимаемой жидкости.

В то же время следует иметь в виду, что в средах с переменными свойствами, с

диссоциацией, ионизацией могут в ряде случаев проявляться качественно новые особен-

ности турбулентного движения (взаимодействие турбулентности с акустическими коле-

баниями; появление новых источников энергии турбулентности, связанных с возможной

неустойчивостью при действии объемных сил в случае переменных свойств среды; вза-

имодействие турбулентности с тепловым излучением в высокотемпературных потоках

и др.). В связи со сказанным, в настоящем учебном пособии изложены основы теории

турбулентности в потоках несжимаемой жидкости, дано обобщение этих результатов

на случай течения сред с переменными свойствами и кратко рассмотрены некоторые

166 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

качественно новые явления этих сред.

6.3 Локальная структура турбулентности

6.3.1 Перенос турбулентности энергии по спектру

Как указывалось в предыдущем параграфе, в турбулентном потоке присутствуют од-

новременно возмущения разных масштабов. Опыт показывает, что при больших чис-

лах Рейнольдса основная часть энергии турбулентного движения сосредотачивается в

крупномасштабных пульсациях, размер которых во многих случаях соизмерим (но все

же в несколько раз меньше) с поперечными размерами неоднородного потока (радиу-

сом трубы, толщиной пограничного слоя) или с размерами турбулизирующих устройств

(ячеек турбулизирующей решетки и т.п.). Обозначим ` - некоторый характерный размер

энергонесущих вихрей, v - какую-либо характерную величину скорости пульсационного

движения в них. Если число Рейнольдса крупномасштабного турбулентного движения

Re = `v/ν велико (Re >> 1), то диссипация энергии движения в таких вихрях вслед-

ствие прямого влияния вязкости должна быть очень мала по сравнению с потерей энер-

гии крупными вихрями вследствие нелинейного взаимодействия с вихрями меньших,

но, главным образом, близких масштабов. Вязкая диссипация происходит наиболее ин-

тенсивно в мелких вихрях с характерным размером r

и числом Рейнольдса для них

порядка единицы. Ричардсоном впервые было высказано представление о каскадной пе-

редаче диссипируемой энергии от крупных энергонесущих вихрей размера ` через вихри

промежуточных размеров к наиболее мелким вихрям размера r

, где эта энергия рассе-

ивается, превращаясь в тепло. Обозначим ε - скорость диссипации энергии турбулент-

ности, отнесенную к единице массы жидкости. Согласно сказанному выше, величина ε

при больших Re определяется главным образом крупномасштабным движением, а затем

диссипируемая энергия "транзитом"проходит через вихри промежуточных размеров к

наиболее мелким вихрям. Крупномасштабное турбулентное движение в неоднородных

потоках обычно бывает также существенно неоднородным и неизотропным. В то же вре-

мя опыт показывает, что при больших числах Re более мелкомасштабное пульсационное

движение близко к изотропному и однородному (в пределах расстояний, значительно

меньше `). При переносе энергии по спектру (от крупных вихрей к мелким) происходит

одновременно "изотропизация"турбулентности. Гипотеза об однородности и изотропно-

сти мелкомасштабного турбулентного движения при больших числах Re была впервые

сформулирована и положена вместе с представлением о каскадном механизме перено-

са энергии в основу теории локальной структуры турбулентности А.Н.Колмогоровым

и почти одновременно А.М.Обуховым. Ниже излагаются основные элементы теории

А.Н.Колмогорова. Эта теория важна и для понимания процессов в турбулентном по-

токе, и для построения рассматриваемых далее полуэмпирических методов расчета, и

для некоторых приложений.

6.3.2 Основы теории локально-изотропной турбулентности

Согласно теории А.Н.Колмогорова турбулентное движение в масштабах r ¿ ` может

считаться однородным и изотропным; все статистические свойства такого пульсационно-

го движения определяются только самой величиной r, свойствами среды (ρ, ν) и средней

скоростью диссипации энергии ε , являющейся для мелкомасштабной турбулентности

6.3. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОСТИ 167

внешним, заданным параметром (определяемым крупномасштабным движением). В ка-

честве характеристики скорости турбулентного движения в вихрях масштаба r ¿ ` мож-

но выбрать, например, разность пульсационных скоростей ∆

в каких-либо точках M

M, расположенных на расстоянии r друг от друга, ∆p

- разность пульсационных дав-

лений в этих точках. Обозначим M

любой момент указанных случайных величин (т.е.

компонент вектора

∆v

и разности давлений ∆p

). Согласно теории А.Н.Колмогорова

= M

(r, ε, ρ, ν). В безразмерном виде это соотношение имеет вид

= f

(εr)

1/3

. (6.1)

Здесь M

- приведенный к безразмерному виду (с помощью величин r, ε, ρ, ν ) момент

. Величина (εr)

1/3

, входящая в (6.1), имеет размерность скорости. Зависимость ви-

да (6.1) при Re >> 1 должна быть для каждого момента М

универсальной. При очень

больших числах Re крупномасштабного движения диапазон между ` и r

велик, поэто-

му существует интервал промежуточных (между r

и `) размера вихрей с размером r,

удовлетворяющих условию r

¿ r ¿ `. С одной стороны, влияние вязкости на такие

вихри должно быть пренебрежимо малым (т.к. r >> r

), т.е. число Рейнольдса для

рассматриваемых пульсаций много больше единицы, с другой стороны, турбулентность

в таких масштабах является однородной и изотропной. Условие r

¿ r ¿ ` выделяет

так называемый инерционный интервал в спектре мелкомасштабной турбулентности. Из

сказанного следует, что если величина r удовлетворяет приведенному неравенству, то

в выражении для M

можно исключить вязкость ν из числа аргументов, т.е. записать

= M

(r, ε, ρ). Из величин r, ε, ρ нельзя составить ни одной безразмерной комби-

нации, поэтому из теории размерностей определяется выражение для любого момента

с точностью до постоянного коэффициента. Рассмотрим в качестве примеров вид

некоторых моментов M

. Обозначим ∆v

проекцию введенного ранее вектора

∆v раз-

ности пульсационных скоростей в точках M и

M на ось, проходящую через эти точки,

а ∆v

составляющую

∆v

, перпендикулярную указанной оси. Из теории размерностей

получается:

(∆v

)

= A

(εr)

2/3

(∆v

)

= A

(εr)

2/3

, (6.2)

(∆v

)

= A

εr,

∆v

(∆v

)

= A

εr, (6.3)

(∆p

)

= A

(εr)

4/3

, ... (6.4)

Здесь А

, A

- универсальные безразмерные постоянные. Из изотропии мел-

комасштабной турбулентности следует, что

∆v

(∆v

)

= 0 .

Используя это же свойство изотропности турбулентности и уравнение неразрывности

легко найти связь между константами A

и A

, а также A

и A

, A

= −

. (6.5)

В рассматриваемом случае можно приближенно применять уравнение неразрывности, справедливое для несжимае-

мой жидкости для сред с переменными свойствами, т.к. мелкомасштабные пульсации всегда происходят с существенно

дозвуковыми скоростями и т.к. изменение свойств среды при r ¿ ` очень мало.

168 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

Величина A

определяется теоретически, A

= −4/5. Величины A

и A

могут быть

найдены только по опытным данным, в соответствии с которыми A

= 1, 9 [32]. Для

указанное значение является весьма ориентировочным. Заметим, что распределение

случайной величины ∆v

не является гауссовым; оно имеет отличную от нуля асиммет-

рию

S =

h(Av

)

h(∆v

)

3/2

≈ − 0.31. (6.6)

Согласно опытным данным эксцесс распределения ∆v

в рассматриваемом инерционном

интервале также отличен от гауссовского:

h(∆v

)

h(∆v

)

>> 3,

т.е. значительно больше, чем величина, соответствующая гауссовскому распределению.

Такая величина эксцесса может трактоваться как существование "перемежаемости"в

турбулентных пульсациях, т.е. чередующейся (нерегулярно) смены периодов относи-

тельного "затишья"и более интенсивных пульсаций. Зависимости вида (6.2) многократ-

но проверялись экспериментально при различных условиях (в атмосфере, реках, при-

осевой зонах течений в каналах и при очень больших числах Рейнольдса и пр.; вы-

полнялись проверки применительно (6.2) даже к турбулентности межзвездного газа).

Было установлено, что теория А.Н.Колмогорова вполне удовлетворительно согласует-

ся с опытными данными

. Выражения вида (6.2) получили даже специальное название

"закона 2/3". В то же время измерения в трубах, каналах и в пограничном слое пока-

зали, что при развитом турбулентном движении, но при не очень больших числах Re

мелкомасштабная турбулентность может быть неизотропной. При увеличении числа Re

исходное предположение теории А.Н.Колмогорова об изотропности мелкомасштабной

турбулентности оказывается выполненным.

6.3.3 Характеристики мелкомасштабной турбулентности

Оценим некоторые характерные величины, связанные с мелкомасштабной турбулентно-

стью. Из (6.2) получается

h(∆v

)

i ≈ ( εr)

1/3

т.е. характерная величина пульсационной скорости для вихрей размера r, v

≈ (εr)

1/3

Число Рейнольдса пульсаций в вихрях размера r (обозначим его Re

) равно

≈

1/3

4/3

(6.7)

Экстраполируя приближенно (только для оценки порядка величин) эту зависимость

вплоть до "вязкого"интервала размеров вихрей (до r = r

) и определяя r

из условия

= ε

1/3

4/3

−1

≈ 1,

получим

≈ ν

3/4

−1/4

Об уточнениях этой теории см., например, [32].

6.3. ЛОКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОСТИ 169

Из определения v

получаем ε = v

/r. Экстраполируя приближенно эту зависимость

вплоть до r = `, получим

ε =

. (6.8)

Более точное выражение для ε через характерную величину пульсационной скорости v и

размер крупных (энергонесущих) вихрей ` должно, конечно, иметь вид ε = Cv

/`, где C

- безразмерная величина порядка единицы, зависящая от структуры крупномасштабной

турбулентности (не являющейся изотропной). Это выражение будет применяться ниже

в полуэмпирических теориях. Однако для оценки порядка величин можно использовать

(6.8). Из (6.8) и определения r

следует r

≈ ν

3/4

1/4

−3/4

, т.е.

' Re

3/4

. (6.9)

Как видно из (6.9), чем больше число Re, тем больше отличаются друг от друга размеры

энергонесущих вихрей и тех вихрей, в которых происходит вязкая диссипация энергии.

Оценим характерную величину частоты турбулентных пульсаций для вихрей размера r

(обозначим ее ν

). Величина ν

может быть определена через v

и r:

= ε

1/3

−2/3

. (6.10)

Экстраполируя это выражение по r = r

и r = ` с учетом (6.9), найдем:

≈

2/3

≈ Re

1/2

. (6.11)

Из (6.10) и (6.11) видно, что мелкомасштабные турбулентные пульсации происходят с

большей частотой, чем пульсации в крупных вихрях. Рассмотрим некоторые интересные

и важные выводы, следующие из полученных соотношений.

Если для численных расчетов эволюции истинного поля скоростей в турбулентном

потоке пытаться записывать уравнения гидродинамики в конечно-разностной форме,

то необходимо выбирать размер пространственной сетки меньше r

и временной шаг

меньше ν

−1

, так как при выборе больших размеров сетки или шага по времени распре-

деления скоростей (и давления) между узлами расчетной пространственно-временной

сетки не будет гладким

. Оценим для примера величины r

и ν

−1

в атмосфере. Рассмот-

рим состояние атмосферы, при котором имеются характерные величины скорости ветра

в ∆v

≈ 0.2м/с при расстоянии между точками наблюдения 10 м. Согласно (6.8) при этом

ε = 8 cm

/сек

и r

= 0 , 136 см (для воздуха при нормальных условиях ν = 0.14см

/сек).

Из (6.10) при r = r

получается ν

−1

≈ 0.13сек. Бессмысленность и невозможность ис-

пользования сетки с ячейками с размерами меньше 1 мм и шага по времени, меньшего

0,1 сек при расчете атмосферных явлений совершенно очевидна. Приведенный пример

дополнительно иллюстрирует то, что было отмечено по рассматриваемому вопросу в

предыдущем параграфе. В данном случае нужно использовать уравнения для осред-

ненных величин (моментов) или пытаться проводить приближенный расчет с крупными

ячейками с полуэмпирическим определением характеристик мелких вихрей.

Это ясно видно, например, из того, что отношение v

/r = ν

при r > r

возрастает при уменьшении r (см. (6.10)),

поэтому это отношение меньше характерных значений абсолютной величины истинных производных от скорости (опре-

деляемых вихрями с r ≤ r

170 ГЛАВА 6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВ, ЖИДКОСТЕЙ И ПЛАЗМЫ

При r >> r

величина ν

−1

определяет порядок величины времени, необходимого

для перемешивания какой-либо примеси к жидкости (или тепла) вихрями масштаба r

в пределах области, имеющей размер также порядка r. Этот вывод с точностью до по-

стоянного коэффициента

следует просто из теории размерностей (т.к. ν

−1

= r

2/3

−1/3

является единственной комбинацией с размерностью времени, которую можно соста-

вить из величин r, ε, ρ, определяющих все статистические свойства мелкомасштабной

турбулентности при ` >> r >> r

). Величина ν

−1

уменьшается при уменьшении r; сле-

довательно, перемешивание тепла или примеси в мелких вихрях происходит быстрее,

чем в более крупных. Отсюда следует, что если в турбулентном потоке произошло круп-

номасштабное перемешивание газов или жидкости различного состава или температуры,

то за это же время может успеть произойти и мелкомасштабное смешение в вихрях всех

размеров в инерционном интервале спектра (при r >> r). При r < r

перемешивание

примеси или тепла определяется молекулярными процессами диффузии или теплопро-

водности. Характерное время перемешивания (r = r

) при этом равно τ

= r

/D или

/a, где D - коэффициент диффузии примеси, a - коэффициент температуропроводно-

сти. Сопоставим τ

с временем перемешивания крупных вихрей τ

= ν

−1

= `

r/3

= `/v. С

учетом (6.9) получается

√

, (6.12)

или

P r

√

. (6.13)

Здесь Sm = ν/D - число Шмидта, P r = ν/a - число Прандтля, Re = `v/ν - чис-

ло Рейнольдса для крупных ("энергонесущих") турбулентных вихрей. Для газообраз-

ных сред числа Sm и P r близки к 1 и в рассматриваемом случае больших чисел R e ,

¿ τ

. Следовательно, при этом практически одновременно с крупномасштабным тур-

булентным смешением происходит перемешивание до молекулярного уровня. Этот вы-

вод имеет принципиальное значение при рассмотрении, например, турбулентного го-

рения и других химических превращений в турбулентных потоках. Для жидких сред

при Sm >> 1 и при не очень больших числах R e (но достаточных для применимости

теории А.Н.Колмогорова) может быть τ

> τ

(см. (6.12)). При этом процесс перемеши-

вания вплоть до масштабов порядка r

будет происходить практически одновременно с

крупномасштабным смешением, а неравномерности распределения примеси в масшта-

бах r ≤ r

будут выравниваться более медленно.

Так как характерные времена турбулентных пульсаций для мелких вихрей (ν

−1

)

меньше, чем для крупных, можно предположить, что если для какого-либо рассмат-

риваемого типа турбулентного движения имеется тенденция к установлению некоторой

равновесной структуры, то такая структура будет быстрее достигнута в мелких вихрях,

чем в более крупных. Хотя этот вывод носит качественный характер, он принципиально

важен для построения полуэмпирических теорий турбулентности. Действительно, если

бы нужно было учитывать инерционность перестройки мелкомасштабной турбулент-

ности при изменении характеристик крупных энергонесущих вихрей, то в уравнениях

полуэмпирической теории турбулентности нельзя было бы использовать выражения для

отдельных членов (например, типа (6.8)), обладающих хотя бы ограниченной универ-

сальностью применимости.

Указанный коэффициент должен быть больше 1, но порядка единицы, т.к. ν

−1

= r/v

- продолжительность одиночной

турбулентной пульсации в вихрях масштаба r, а для перемешивания требуется несколько пульсаций.