Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

5.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 131

учета термодиффузии и электрического тока в тепловой поток получаем

q = −λ∇T +

. (5.68)

Это приближение называется приближением локального химического равновесия (ЛХР)

[7].

Частные случаи выражений для потоков

Однокомпонентный частично-ионизованный газ В этом случае газ состоит из атомов,

ионов и электронов (A, A

, e). Потоки тепла и плотность электрического тока имеют

вид

q = −λ∇T −

j − β

∗

∇

j = σ

∗

∇

+ α

∇kT

Последнее выражение представляет закон Ома, из которого можно найти электрическое

поле:

E = −

v × H +

−

∇

− α∇T.

Проинтегрируем это соотношение вдоль некоторой линии, соединяющей произвольные

точки 1, 2 в потоке:

E · dl = −

(v × H) · dl +

· dl −

− αδT.

Химический потенциал электронов имеет вид

= kT ln n

δn

Величина αδT = α(e/k)δkT

/e, где α(e/k) = α

' 1, поэтому это соотношение можно

записать в виде

δϕ

= E

инд

+ δϕ

омич

−

δn

− α

При δn

∼ n

, обычно kT

/e ≤ δϕ

, поэтому последние члены несущественны и закон

Ома можно использовать в виде

j = σ

E +

v × H

. (5.69)

По этой же причине q ≈ −λ∇T , однако выполнение этих условий в конкретных задачах

необходимо проверять.

Двухкомпонентный частично-диссоциированный газ Газ состоит из молекул и атомов

, A). Для упрощения предположим, что и ∇p = 0. Обозначим концентрацию атомов

≡ c , тогда концентрация молекул c

= 1−c. Двухкомпонентный газ характеризуется

одним коэффициентом диффузии, т.к. i

+ i

= 0. Обозначим i

≡ i, тогда i

= −i.

Диффузионный поток атомов в простейшем виде можно принять в виде

i = − ρD∇c.

132 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

Преобразуем тепловой поток:

q = −λ∇T + i

+ i

= −λ∇T + i(h

− h

Дифференциал энтальпии равен:

dh = c

+ c

+ h

его градиент

∇h = c

∇T + (h

− h

)∇c,

где "замороженная" теплопроводность c

= c

+ c

. Переходя от градиента тем-

пературы к градиенту энтальпии, тепловой поток можно представить в виде

q = −

[∇h + (h

− h

)(L

− 1)∇c] ,

где Le = ρDc

/λ

– число Льюиса. Таким образом, массовый поток и поток тепла

выражаются через градиенты энтальпии и концентрации атомов.

Неионизованная среда с двумя химическими элементами Рассмотрим пример водород-

кислородной смеси, состоящей из атомов и молекул, содержащих водород и кислород

O, H

, O

, H, O) в модели ЛХР. Определим эффективную концентрацию химического

элемента – кислорода с

∗

≡ с

∗

в соответствии с (5.64):

∗

≡ с

∗

+ c

Выражая градиенты удельных химических потенциалов через градиенты давления и

концентрации:

∇

˜µ =

∂ ˜µ

∂p

∇p +

∂ ˜µ

∂c

∇c,

можно найти выражения для потока тепла и массового потока одного из химических

элементов:

q = −λ

эфф

∇T + λ

эфф

∇p + λ

эфф

∇c,

i = −ρD

эфф

(∇c + k

эфф

∇T + k

эфф

∇p),

где λ

эфф

, λ

эфф

, λ

эфф

, D

эфф

, k

эфф

, k

эфф

– эффективные коэффициенты теплопроводности,

диффузии, термо- и бародиффузии. Детальные выражения для них предлагается найти

самостоятельно.

Аналогично можно получить выражения для потоков тепла и массы в других слу-

чаях, например, для частично-ионизованной и частично-диссоциированной среды и т.д.

5.6.2 Магнитогидродинамическое приближение

Рассмотрим проводящую среду. Существенное отличие описания проводящей от непро-

водящей среды имеется в уравнении движения, где добавляется электромагнитная сила,

в балансе энергии добавляется джоулево выделение тепла j · E

∗

, в систему уравнений

необходимо включить систему уравнений Максвелла и замыкающие выражения для по-

токов (в случае проводящей среды это закон Ома и другие потоки).

5.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 133

Уравнение движения имеет вид (5.37):

∂v

∂t

+ (v · ∇)v

= −∇p + ∇ · σ + ρ

∗

j × H. (5.70)

Уравнения Максвелла были приведены ранее (5.13), (5.14), (5.15), (5.16). Предполагает-

ся, что кроме электромагнитных, объемных сил нет. Повторяя рассуждения по упроще-

нию закона Ома, полученном ранее (5.69), при условиях δn

∼ n

и δkT

/e ¿ δφ

можно

закон Ома использовать в виде (5.69), который справедлив при следующих условиях:

1. Электропроводность σ не зависит от магнитного поля. Движение заряженных ча-

стиц происходит по спирали с ларморовским радиусом. Если ларморовский радиус

много больше длины свободного пробега, т.е. r

À l, то, учитывая, что средний

ларморовский радиус равен r

∼ v

/ω (ω = eH/mc – циклотронная частота элек-

тронов, v

– тепловая скорость), средняя длина свободного пробега l ∼ v

/ν, при-

веденное неравенство сводится к малости параметра Холла: l

∼ ( v

/ν)(ω/v

) ∼

(ω/ν) = ωτ ¿ 1.

2. Характерное время изменения параметров должно превышать время восстанов-

ления электронейтральности τ À τ

. Рассмотрим задачу o колебаниях зарядов в

объеме, ограниченном мысленно выделенными стенками. При смещении зарядов на

границах возникает положительный и отрицательный поверхностный заряды, что

приводит к возникновению электрического поля E = 4πσ, где σ = en

xS/S = en

x –

поверхностная плотность заряда. С учетом этого, получаем E = 4πen

x. Уравнение

движения зарядов имеет вид

m¨x = −4πe

x, или ¨x + ω

x = 0,

где

4πn

/m − плазменная частота. (5.71)

Строгий вывод основан на решении системы уравнений непрерывности заряда, определения плотности

электрического тока, дрейфового движения электронов и уравнения Пуассона:

∂ρ

∗

∂t

= −∇ · j, j = −n

ev, m

∂v

∂t

= eE − ν

v, ∇ · E = 4πρ

∗

Для плотности объемного заряда получается волновое уравнение с частотой распространения колебаний

∂

∗

∂

+ ω

∆ρ

∗

= 0.

Чем выше n

, тем больше ω

, поэтому условие τ À τ

необходимо в первую очередь

проверить для малых n

. В практических единицах

4πn

= 56 .42 · 10

√

(Гц),

где n

в см

−3

. При n

= 10

см

−3

, ω

= 5.6 · 10

−1

, т.е. вышеприведенное условие

является необременительным.

3. v

др

¿ v

. При каждом столкновении электрон теряет энергию

∆ε =

m(v + v

)

−

(mv

)

= mv

др

= 2

др

ε.

134 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

Если v

др

∼ v

, то ∆ε ∼ ε. Сечение рассеяния Q

lε

∼ 1/v

∼ 1/ε

n/2

, поэтому вероят-

ность столкновений с ростом энергии уменьшается. Возникает убегание электронов,

не испытавших столкновений, что приводит к изменению закона Ома и возникно-

вению пробоя. Отношение дрейфовой к тепловой скорости электронов может быть

выражено через известные параметры:

др

mνv

mNv

σv

eEλ

¿ 1, (5.72)

где eEλ/kT ∼ E/p ∼ E/N, – параметр, используемый в физике газового разряда.

Оценим величину возможного отрыва электронной и газовой температур. В отсут-

ствие отрыва параметр (T

−T )/T ¿ 1. Баланс энергии электронов в электрическом

поле имеет вид

σE

− n

k(T

− T ) = 0,

откуда находим

mν

= n

k(T

− T ).

Из этого выражения следует величина отрыва температур:

− T

9δ

eEl

, (5.73)

где l = 1/NQ

– длина свободного пробега электронов. Отрыв температур мал,

если энергия, набираемая электроном в электрическом поле на длине свободного

пробега мала по сравнению с их средней кинетической энергией.

4. Параметры, определяемые проводимостью среды. Размерность проводимо-

сти следует из формулы σ = n

/(mν

), откуда 4πσ = ω

/ν

. Предположим, что

проводимость достаточно велика, так что

4πστ À 1, (5.74)

где τ – характерное гидродинамическое время. Это соотношение можно предста-

вить в виде условия на характерное гидродинамическое время τ À ν

/ω

. Это

условие является условием на концентрацию электронов и гидродинамическое вре-

мя:

τ À 56.5(N/N

)(Q

/10

−18

см

)

эв

где N

= 3 · 10

см

−3

. Характерные значения τ ∼ L/v ∼ 10

−4

, т.е. n

À 10

см

−3

Таким образом, (5.74) обычно выполняется с запасом. При меньших концентраци-

ях электронов мала проводимость среды, следовательно, мала и электромагнитная

сила c

−1

j × H и мал джоулев нагрев σE

. Условие (5.74) нарушается в быстропе-

ременных полях, например, возникающих в плазме при распространении электро-

магнитных волн в ионосфере. При выполнении приведенного условия возникают

упрощения, приведенные ниже.

5.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 135

Упрощения в магнитной гидродинамике

1. Оценим вклад тока смещения по отношению к току проводимости:

см

4πj

∼

∂E/∂t

4πσE

∼

4πστ

¿ 1.

2. Оценим вклад конвективного тока ρ

∗

v по отношению к току проводимости, где

объемный заряд оценим из уравнения Пуассона ∇ · E = 4πρ

∗

, откуда следует ρ

∗

∼

E/(4πL). В результате получаем

конв

∼

∗

σE

∼

4πL

σE

∼

4πστ

¿ 1.

3. Оценим вклад силы, связанной с объемным зарядом:

∗

jH/c

∼

4πL

σEH

4πσLH

∼

4πστ

¿ 1.

Характерные электрические поля при заданных магнитных определяются по вели-

чине ЭДС, возникающей при запирании тока E

max

∼ vH/c:

j = σ(E +

v × H) = 0.

Следовательно, при выполнении условия (5.74) можно не учитывать тока смещения

и конвективного тока, а также силы, связанной с объемным зарядом.

Уравнения МГД приближения

Электромагнитная сила может быть преобразована следующим образом:

j × H =

4π

(∇ × H) × H = −∇

8π

4π

(H · ∇)H.

Подставляя в уравнение движения, получим

∂v

∂t

+ (v · ∇)v

= −∇

p +

8π

+ ∇ · σ +

4π

(H · ∇)H. (5.75)

В уравнение движения входит магнитное поле, поэтому для него нужно получить за-

мкнутое уравнение. Для упрощения будем считать проводимость среды постоянной

(σ = const). Уравнения Максвелла при выполнении условия (5.74) имеют вид:

∇ × H =

4π

j, ∇ · H = 0,

∇ × E = −

∂H

∂t

, j = σ(E +

v × H).

Из уравнения электромагнитной индукции Фарадея следует:

∂H

∂t

= −c∇ × E = −c∇ × (

−

v × H) = ∇ × v × H −

4πσ

∇ × ∇ × H.

136 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

Двойное векторное произведение преобразуется следующим образом:

∇ × v × H = ∇

× v × H + ∇

× v × H = (H · ∇)v − H(∇ · v) + v(∇· H) − (v · ∇)H.

∇ × ∇ × H = ∇(∇ · H) − (∇ · ∇)H = −∆H.

В результате получаем

∂H

∂t

= ν

H + ∇ × v × H,

или

∂H

∂t

+ (v · ∇)H = ν

∆H + (H · ∇) v − H(∇ · v).

Джоулев нагрев

j · E

∗

16π

(∇ × H)

4π

(∇ × H)

Система уравнений в МГД-приближении имеет вид

∂ρ

∂t

+ ∇ · ρv = 0, (5.76)

∂v

∂t

+ (v · ∇) v

= −∇

p +

8π

+ ∇ · σ +

4π

· ∇

H, (5.77)

ρT (

∂s

∂t

+ v · ∇s) = σ : ∇v − ∇ · q +

4π

(∇ × H)

, (5.78)

∂H

∂t

+ (v · ∇)H = ν

∆H + (H · ∇)v − H(∇ · v), (5.79)

p = ρRT. (5.80)

5.6.3 Критерии подобия в магнитной гидродинамике

При больших магнитных числах Рейнольдса Re

À 1 проводимость бесконечна, по-

этому появляется только один параметр, связанный с магнитным полем, в качестве

которого можно выбрать число Альфвена, равное отношению скорости альфвеновских

и звуковых волн A = c

/a = (H

/4πρa) или параметр равный отношению газового и

магнитного давлений β = 8πp/H

При малых магнитных числах Рейнольдса Re

< 1, размерных параметров два –

электропроводность σ и магнитное поле, поэтому возникают динамические критерии:

Число Стюарта, равное отношению магнитных к инерционным силам

St =

|j × H|l

cρv

σH

ρv

Квадрат числа Гартмана равен отношению магнитных сил к вязким

|j × H|

∇σ

σH

ρv

Отметим связь между параметрами: St/Ha

= Re. Кроме этого вводятся параметры

= ν/ν

– магнитное число Прандтля, Lu = aL/ν

– число Лундквиста, где a –

скорость звука в газе.

5.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 137

Принцип Фейнмана: одинаковые уравнения – одинаковое движение

Магнитогидродинамическое приближение имеет два аспекта.

• Магнитное поле оказывает силовое воздействие на проводящую среду.

• При движении проводящей среды возникают токи, которые создают индуцирован-

ное магнитное поле.

Задачи МГД являются линейными в двух случаях – либо когда внешнее магнитное по-

ле существенно превышает индуцированное, либо в том случае, когда индуцированное

поле имеет такое направление, при котором это поле не влияет на движение жидко-

сти. В этом случае надобность в уравнении магнитной индукции отпадает. Величина

индукционного магнитного поля определяется соотношением источников в уравнении

магнитной индукции.

|∇ × v × H |

|ν

δH|

∼

4πσvL

= vL/ν

= 4 πσvL/c

– магнитное число Рейнольдса, оно характеризует отношение

индуцированного магнитного поля h к внешнему магнитному полю H

(H = H

+ h).

Уравнение магнитной индукции в несжимаемой среде имеет вид

= ν

∆h + (H

· ∇)v.

В стационарном состоянии h/H

∼ vL/ν

∼ Re

. При Re

¿ 1 индуцированное маг-

нитное поле много меньше внешнего h ¿ H

В этом разделе мы продемонстрируем принцип Фейнмана [22], заключающийся в

подобии движений, описываемых одинаковыми уравнениями. В МГД – приближении

магнитное поле удовлетворяет системе уравнений соленоидальности магнитного поля и

уравнению магнитной индукции:

∇ · H = 0, (5.81)

∂H

∂t

= ν

∆H + ∇ × v × H, (5.82)

или в другой форме

∂H

∂t

+ (v · ∇)H = ν

∆H + (H · ∇)v − H(∇ · v). (5.83)

Проведем аналогию с движением жидкости. Уравнение движения жидкости (Навье-

Стокса) имеет вид

∂v

∂t

+ (v · ∇)v = −

∇p + ν∆v. (5.84)

Пусть движение баротропно, т.е. ρ = f(p), тогда ∇p/ρ = ∇π. Применим к уравнению

(5.84) операцию ротора:

∂

∂t

(∇ × v) = ν∆(∇ × v) − ∇ × (v · ∇)v.

138 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

Определим завихренность Ω = ∇ × v и преобразуем двойное векторное произведение

∇ × v × Ω = ∇ × (v × ∇ × v) = ∇ ×

∇

− (v · ∇)v

= −∇ × (v · ∇) v.

Следовательно, для завихренности получаем уравнение

∂Ω

∂t

= ν∆Ω + ∇ × v × Ω. (5.85)

Дивергенция завихренности

∇ · Ω = ∇ · (∇ × v) = 0. (5.86)

Сравним уравнения (5.82) и (5.85), а также (5.15) и (5.86). Из одинаковости уравне-

ний следуют одинаковые свойства, поэтому для изучения свойств уравнения магнитной

индукции можно использовать свойства уравнения для завихренности. В обоих случа-

ях движение среды различно для двух случаев – больших и малых магнитных чисел

Рейнольдса и, соответственно, больших и малых чисел Рейнольдса для жидкости.

Первый случай соответствует идеальной жидкости, поэтому напомним основные

уравнения и теоремы кинематики и динамики идеальной жидкости.

Кинематика идеальной жидкости

Введем понятие о трубке тока. Проведем в жидкости замкнутый контур и через каждую

точку проведем линию тока. Совокупность линий тока является поверхностью трубки,

а жидкость внутри – трубкой тока. Рассмотрим две точки, находящиеся на расстоянии

δr. Разность скоростей в точках равна δv = (δr · ∇)v. Перепишем это соотношение в

виде

(δr · ∇)v = δv = (∇v)

· δr + (∇v)

· δr,

получаем, что (∇v)

· δr = Ω × δr, где (∇v)

· δr – тензор деформаций.

ω =

∇ × v · δv = (δr · ∇)v = S · δr −

Ω × δr.

Отсюда следует первая теорема Гельмгольца: движение элементарного объема среды

разлагается на поступательное, вращательное и деформационное.

Введем понятие о вихревой трубке. Проведем в жидкости некоторый контур и через

его точки проведем вихревые линии, часть жидкости внутри этой поверхности обра-

зует вихревую трубку. Сформулируем вторую теорема Гельмгольца. Вычислим поток

завихренности через замкнутый контур

W’

Vdt

M’

M ’

e W

Рис. 5.2: Смещение вектора завихренности

в потоке

Ω · dA =

∇ · ΩdV =

∇ · (∇ × v)dV = 0,

следовательно, сохраняется поток завихренно-

сти через замкнутый контур

Ω · dA = const.

Поток завихренности через поверхность может

быть выражен через циркуляцию скорости:

Ω · dA =

(∇ × v) · dA =

v · dr.

5.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 139

Ускорение жидкой частицы можно представить в виде

∂v

∂t

+ (v · ∇)v,

где первый член в правой части выражает нестационарность, а второй – неоднородность,

определяющую движение жидкой частицы.

Покажем, что имеет место теорема Кельвина:

v · δr =

v · δr.

Доказательство состоит в вычислении изменения по времени циркуляции вдоль линии

жидкой частицы:

v · δr =

v · δr +

v · δv =

v · δr +

− v

При совпадении точек А и В получаем теорему Кельвина.

Динамика идеальной жидкости

Выше было доказано, что Ω ×v = ( v ·∇)v −∇(v

/2), поэтому уравнение движения для

баротропной среды можно записать в форме Громека-Лэмба:

∂v

∂t

+ Ω × v = −∇

+ π

или в форме (5.85):

∂Ω

∂t

= ν∆Ω + ∇ × v × Ω.

Преобразуя двойное векторное произведение

∇ × v × Ω = (∇ · Ω)v + (Ω · ∇)v − (v · ∇)Ω − Ω(∇ · v),

для завихренности получаем уравнение, совпадающее со второй формой уравнения маг-

нитной индукции:

dΩ

∂Ω

∂t

+ (v · ∇)Ω = (Ω · ∇)v − Ω(∇ · v). (5.87)

Первые члены в правой части уравнений для завихренности и магнитного поля

(Ω · ∇)v = Ω · (∇v) = Ω · S − Ω · Ω/2 = Ω · S

выражают эффекты деформации вектора Ω(H) скоростным полем, а член Ω(∇ · v)

определяет влияние сжимаемости среды.

Идеальная несжимаемая жидкость

В динамике идеальной несжимаемой жидкости имеет место уравнение Гельмгольца:

dΩ

= ( Ω · ∇)v,

140 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

имеющее результатом сохранение вихревых линий. В динамике сжимаемой жидкости

это уравнение имеет вид, который следует из уравнения (5.85) и уравнения непрерыв-

ности:

Ω

· ∇

v+ d v

Рис. 5.3: Смещение элемента длины в

потоке

Получим уравнение для элемента длины жидкой

линии

δv = (δl · ∇)v,

но по определению

dδl

= δv, (5.88)

поэтому δl удовлетворяет уравнению Гельмгольца

даже в сжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости δl = const, следовательно, и

Ω/ρ ∼ δl.

vdt

Рис. 5.4: Сохранение потока магнитного поля

Рассмотрим движение проводящей

жидкости при Re

À 1. Докажем теоре-

му, аналогичную теореме Гельмгольца о

сохранении потока.

H · dA = const,

Выделим жидкий контур и рассмот-

рим его положения в момент t и t + dt

Поток магнитного поля пересекает осно-

вания и боковую поверхность:

dΦ

S(t)

H · dA =

∂H

∂t

· dA +

H · (v × dl ).

Заменяя ∂H/∂t = −с∇ × E, получим

dΦ

= −с

E +

v × H

= 0.

Рассмотрим приближение вмороженного поля. Уравнения магнитной индукции и

непрерывности сжимаемого газа имеют вид

= (H · ∇)v − H (∇ · v),

dρ

= −ρ∇ · v.

Найдем производную отношения

− H

dρ

[ρ(H · ∇)v − ρH(∇ · v) + ρH(∇ · v)],

или

· ∇