Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

5.3. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ 121

где λ – теплопроводность, η – вязкость среды (см. следующий параграф). Это уравнение

может быть преобразовано к виду, который часто используется в задачах пограничного

слоя:

ρv

∂h

∂x

+ ρv

∂h

∂y

= v

∂p

∂x

∂

∂y

∂T

∂y

+ ρD

∂c

∂y

+ η

∂u

∂y

. (5.34)

5.3 Полная система уравнений гидродинамики

Полная система уравнений гидродинамики включает уравнения непрерывности, диф-

фузии компонент, движения

dρ

= −ρ∇ · v, (5.35)

= −∇ · i

+ ρ

r=1

, (5.36)

= −∇p + ∇ · ˆσ + ρ

∗

j × H + ρg , (5.37)

уравнение энергии в энтальпийной форме

+ ˆσ : ∇v − ∇ · (q + q

) + j · E

∗

, (5.38)

или уравнение энергии в температурной форме

ρc

= βT

+ ˆσ : ∇v − ∇ · (q + q

) + j · E

∗

. (5.39)

Здесь производная

≡

∂

∂t

+ v · ∇.

К этим уравнениям нужно добавить уравнения сохранения электрического заря-

да, уравнения Максвелла, уравнение состояния и замыкающие соотношения между по-

токами и градиентами термодинамических параметров, получению которых посвящен

следующий раздел.

5.4 Термодинамика необратимых процессов

Из выражения для внутренней энергии системы следует выражение для энтропии си-

стемы:

T dS = dE + pdV −

k=1

, (5.40)

где µ

– химический потенциал частицы сорта k. Поделим это выражение на массу

системы M = ρV =

V , (M = const) и определим удельную энтропию s = S/M

и удельную внутреннюю энергию e = E/M, тогда получим dN

/M = dn

/ρ. Уравнение

для дифференциала удельной энтропии имеет вид

T ds = de + pd

−

. (5.41)

122 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

Возможное наличие заряженных частиц существенно ввиду того, что их движение при-

водит к возникновению электрического тока и джоулева тепловыделения, что приводит

к возрастанию энтропии. При этом необходимо учесть, что среда обычно близка к элек-

тронейтральной, т.е. концентрации положительных и отрицательных зарядов в большой

степени сбалансированы. По этой причине имеет смысл вместо переменной – концен-

трации электронов ввести переменную – объемный электрический заряд. Преобразуем

сумму, выделяя явно электроны и перейдем от переменных {N

. . . N

, N

} к удельным

концентрациям и плотности электрического заряда {c

, . . . , c

, ρ

∗

}, где

∗

= e

− n

В этой формуле и ниже в знаки сумм входят все частицы кроме электронов. Сумма в

(5.41) преобразуется к виду

+ µ

−

+µ

(µ

+ µ

−

∗

+ µ

−

∗

˜µ

−

∗

Здесь определены удельные химические потенциалы компонентов

˜µ

+ µ

. (5.42)

Далее используем следующее обозначение для субстанциальной (лагранжевой) произ-

водной по времени (производной по времени в сопутствующей системе координат):

+ v · ∇.

Из (5.41) и (5.42) получаем

−

ρT

dρ

−

˜µ

dρ

∗

/ρ

. (5.43)

Для исключения членов в правой части используем баланс энергии и уравнения

непрерывности, диффузии и сохранения объемного заряда:

= −p∇ · v + σ : ∇v + j · E

∗

− ∇ · (q + q

dρ

∂ρ

∂t

+ v · ∇ρ

= −∇ · v,

= −∇ · i

k=1

∗

≡

∂ρ

∗

∂t

+ ∇ · ρ

∗

v = −∇ · j,

5.4. ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ 123

т.к.

dξ

∂ρξ

∂t

+ ∇ · ρξv.

В результате получим

σ : ∇v + j · E

∗

− ∇ · (q + q

)

˜µ

∇ · i

−

r=1

−

∇ · j.

Дальнейшее рассмотрение проведем для двух случаев относительно радиационного по-

тока излучения – либо для оптически толстого газа, когда q

= −λ

∇T , тогда поток

излучения может быть включен в тепловой поток q, либо для случая, когда поток из-

лучения мал (q

¿ q). Преобразуем члены, содержащие ∇ · i

и ∇ · j:

= ∇ ·

−

˜µ

−

k=1

r=1

˜µ

j · E

∗

+ q · ∇

−

· ∇

˜µ

+j · ∇

σ : ∇v

. (5.44)

Обозначим

k=1

r=1

, (5.45)

= −

q · ∇T

−

· ∇

˜µ

+ j ·

∗

+ ∇

, (5.46)

σ : ∇v

. (5.47)

Величины

называются скалярной, векторной и тензорной частями произ-

водства энтропии. Выражение (5.44) может быть представлено в виде

∂ρs

∂t

= −∇ ·

ρsv +

−

˜µ

Проинтегрируем это выражение по произвольному фиксированному адиабатически изо-

лированному объему, на границах которого потоки через границу равны нулю v = 0,

q = 0 , i

= 0 , j = 0. В результате получим

ρsdV =

(

)dV. (5.48)

Из второго начала термодинамики следует, что в замкнутой системе энтропия может

только возрастать, следовательно,

(

)dV ≥ 0. (5.49)

В соответствии с принципом Кюри члены различной тензорной размерности независи-

мы, поэтому неравенство (5.49) можно представить в виде трех неравенств:

(

) ≥ 0,

(

) ≥ 0,

(

) ≥ 0 . (5.50)

124 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

Объем, по которому производится интегрирование в (5.50) является произвольным, от-

куда следует, что из неравенств для интегралов следуют неравенства для подынтеграль-

ных выражений. В результате получаем неравенства

≥ 0,

≥ 0, (5.51)

которые называются неравенствами для скалярной, векторной и тензорной частей про-

изводства энтропии.

Скалярная часть производства энтропии обычно является дополнительным усло-

вием, которое используется для проверки правильности аналитических или численных

решений гидродинамических задач многокомпонентных реагирующих сред. Векторная

и тензорная части производства энтропии более важны, т.к. служат для обоснования

выражений для векторных и тензорных термодинамических потоков.

5.4.1 Векторная часть производства энтропии

Соотношения Гиббса-Дюгема

Химический потенциал компонента k определяется термодинамическим потенциалом

= Φ /N

, где

Φ(p, T ) = E − T S + pV = H − T S.

Дифференциал термодинамического потенциала dΦ = V dp−sdT , поэтому дифференци-

ал химического потенциала dµ

= V dp

− s

dT . По определению химического потенциала

= h

− T s

, где s

= −∂µ

/∂T или

− T

∂µ

∂T

= h

Вычисляя производную дроби и используя предыдущее соотношение, находим

∂

∂T

∂µ

∂T

− µ

= −

где h

-энтальпия на одну частицу, т.е. получаем соотношение Гиббса-Дюгема

∂

∂T

= −

Векторные термодинамические силы и потоки

Преобразуем векторную часть производства энтропии, используя термодинамические

соотношения Гиббса-Дюгема:

∇

∂

∂T

∇T +

∇

где

∇

≡ ∇ µ

−

∂µ

∂T

∇T.

С учетом определений химических потенциалов частиц, получаем:

∇

˜µ

∂

∂T

+ µ

∇T +

∇

˜µ

= −

∇T +

∇

˜µ

5.4. ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ 125

∇

= −

∇T +

∇

= −

∇T +

∇

Здесь использовано выражение для удельной энтальпии электронов h

= (5/2)kT

Подставим полученные выражения в векторную часть производства энтропии

= −

q · ∇T

−

∇

˜µ

+ j ·

∗

−

∇T +

∇

и перегруппируем члены:

= −

q −

5kT

·∇T −

∇

˜µ

∗

∇

≥ 0.

Векторная часть производства энтропии представлена в виде скалярного произведения

векторов

= −

· Y

≥ 0 , (5.52)

где







∇T

∗

+ ∇

∇

˜µ







, Y







{q −

+ (m

+ (5kT/2e)j)}/T

−(j/T )

/T )







Векторы X

называются обобщенными термодинамическими силами, а векторы Y

–

обобщенными термодинамическими потоками. Если все X

= 0, то все Y

= 0, т.е.

в отсутствие термодинамических сил нет и термодинамических потоков. В линейной

термодинамике необратимых процессов принимается гипотеза о линейной связи между

обобщенными термодинамическими потоками и силами:

= −

. (5.53)

Линейные соотношения соответствуют первому приближению по числу Кнудсена в ме-

тоде Чепмена-Энскога, поэтому они нарушаются лишь при сильной неоднородности сре-

ды, например, при теплоотдаче с границы нагретого тела в вакуум или для электронов в

сильном электрическом поле, когда нарушается линейный закон Ома. Последний случай

будет рассмотрен ниже. Матрица L

называется матрицей кинетических коэффициен-

тов. Подставляя (5.41) в (5.40), получим

i,k

≥ 0 . (5.54)

Следовательно, матрица кинетических коэффициентов является положительно опреде-

ленной. Согласно критерию Сильвестра из (5.42) следует:

≥ 0, L

− L

≥ 0 и.т.д. (5.55)

Онсагером доказано [14] что вследствие микроскопической обратимости уравнений дви-

жения матрица кинетических коэффициентов симметрична: L

= L

. Выпишем по-

дробнее (5.41):

q −

5kT

= −L

∇T − L

∗

∇

−

k=2

∇

˜µ

126 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

−

= −L

∇T − L

∗

∇

−

k=2

∇

˜µ

= −L

∇T − L

∗

∇

−

k=2

∇

˜µ

Исторически вместо полученных общих соотношений вначале были эмпирически полу-

чены "диагональные" соотношения между потоками и градиентами соответствующих

величин:

• закон Фурье q = −λ∇T ,

• закон Фика i = −ρD∇c,

• закон Ома j = σE,

где λ – теплопроводность среды, D – коэффициент диффузии примеси, σ – удельная

электропроводность среды. Позже были исследованы так называемые перекрестные эф-

фекты. Так, в середине 1800-х годов У.Томсоном были получены выражения для потока

тепла и плотности тока в проводящей изотропной среде:

q = −λ∇T + σT SE,

j = −σS∇T + σE,

где S – коэффициент Зеебека. Появление S в перекрестных членах отражает симметрию

матрицы кинетических коэффициентов. Для слоя различных металлов S определяет

величину термоэдс, а для термоэлектрических генераторов S определяет их эффектив-

ность, т.е. КПД. Для многокомпонентной газовой среды перекрестных эффектов больше

и общие выражения для потоков выражают в виде, содержащем известные ранее коэф-

фициенты переноса:

q = −λ∇T +

−

j − β

∗

∇

−

, (5.56)

j = σ

·µ

∗

∇

+ α∇T

∇

˜µ

, (5.57)

j6=k

− ρD

∇ln T + b

∗

∇

. (5.58)

Здесь введены термодинамические силы:

= x

∇

− c

∇ln p − x

∗

, (5.59)

коэффициент теплопроводности λ = L

≥ 0, коэффициенты термодиффузии D

удельная электропроводность газа σ = L

, термоЭДС – α = L

, многокомпо-

нентные коэффициенты диффузии D

, подвижности тяжелых частиц b

= −L

/ρ

коэффициент β = L

= L

= α

, x

= n

/n – молярная концентрация.

5.4. ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ 127

5.4.2 Тензорная часть производства энтропии

Тензорная часть производства энтропии имеет вид

ˆσ : ∇v =

∂v

∂x

Здесь обобщенной термодинамической силой является тензор сдвиговой деформации

потока ∂v

/∂x

, а обобщенным термодинамическим потоком тензор вязких напряже-

ний ˆσ

. В соответствии с гипотезой в линейной термодинамике необратимых процессов

принимается линейное соотношение:

ˆσ

= ε

iklj

∂v

∂x

где ε

iklj

– обобщенный тензор вязкости четвертого порядка. Используем изотропию про-

странства, что означает, что тензор второго ранга σ

может быть выражен только в

виде линейной комбинации тензоров ∂v

/∂x

и δ

∂v

/∂x

, т.к. во-первых, это должен

быть тензор второго ранга, во-вторых, он должен быть пропорциональным производ-

ным вектора скорости по координатам. Единственный тензор второго ранга, который

можно составить из членов ∂v

/∂x

имеет общий вид:

ˆσ

= a

∂v

∂x

+ a

∂v

∂x

+ b

∂v

∂x

Используем физические результаты о том, что вязкие напряжения не возникают в трех

типах течений жидкости или сжимаемого газа: при вращении жидкости как твердого

тела, поступательном движении газа как целого и однородном сферическом расширении

или сжатии. Т.е. в следующих случаях тензор напряжений должен быть равным нулю:

• поступательном движении, т.е. при v = const, т.е. тензор напряжений зависит от

производных по скоростям;

• вращении жидкости как твердого тела, когда v = ω × r, поле скоростей при этом

= e

ijl

∂v

∂x

= e

ijl

= e

ijk

∂v

∂x

= e

ijl

= 0,

= e

kjl

∂v

∂x

= e

kjl

= e

kji

= −e

ijk

откуда получаем

= ( a

− a

)ω

= 0 , a

= a

т.е. симметричность тензора вязких напряжений.

• равномерном расширении или сжатии, т.е. при v = rf(r, t). При этом движении

существуют только диагональные компоненты тензора напряжений

= σ

= 2 a

∂v

∂x

+ b

∂v

∂x

∂v

∂x

∂v

∂x

= 0 ,

откуда следует 2a + 3b = 0. Это соответствует тому, что в полном тензоре на-

пряжений диагональная часть тензора в соответствии с законом Паскаля является

давлением, а тензор вязких напряжений имеет нулевой след.

128 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

С учетом этих типов движения получаем следующий вид тензора вязких напряжений:

= a

∂v

∂x

∂v

∂x

+ b

∂v

∂x

Как показано выше, тензор сдвиговых вязких напряжений имеет нулевой след, поэто-

му выделим отдельно член, имеющий нулевой след и второй член, пропорциональный

дивергенции скорости:

= η

∂v

∂x

∂v

∂x

−

∂v

∂x

+ ζ

∂v

∂x

, (5.60)

где η – динамическая или сдвиговая вязкость, а ζ – объемная вязкость, которая, как

было показано выше, для сред, для которых при равномерном объемном расширении

работа не совершается, равна нулю. Существуют среды, для которых при расширении

меняется уравнение состояния, или система выходит из состояния термодинамического

равновесия, т.е. релаксационные процессы имею характерные времена порядка гидро-

динамических. В этом случае вторая вязкость может быть отличной от нуля. Этот вид

тензора напряжений был получен Стоксом и называется тензором напряжений Стокса.

В тензорной форме можно ввести тензор деформаций, который в общем случае сжи-

маемого газа состоит из тензора сдвиговых и объемных деформаций. Часть тензора

сдвиговых деформаций также должна быть равна нулю для вращения жидкости как

целого, поэтому она является симметричной

S = (∇v)

(∇v + (∇v)

) −

I(∇ · v), (5.61)

∂v

∂x

∂v

∂x

−

∂v

∂x

. (5.62)

Тензор вязких напряжений

ˆσ = 2η

S = η

∇v + (∇v)

−

I∇ · v

, (5.63)

Тензорная часть производства энтропии может быть представлена в виде

ˆσ : ∇v

∂v

∂x

∂v

∂x

∂v

∂x

−

∂v

∂x

∂v

∂x

Откуда следует

∂v

∂x

∂v

∂x

−

∂v

∂x

∂v

∂x

≥ 0.

Отсюда следует положительность коэффициентов сдвиговой и объемной вязкостей η ≥

0, ζ ≥ 0.

5.5 Критерии подобия в гидродинамике

Существует два способа получения безразмерных критериев – из уравнений при их обез-

размеривании, а если такие уравнения не составлены, то из физических соображений,

составляя комбинации из величин, влияющих на явление. Рассмотрим отдельные груп-

пы безразмерных критериев.

5.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ 129

1. Безразмерные коэффициенты переноса:

Pr =

, Sm =

, Le =

2. Группа критериев, определяющих отношение диссипативных процессов к перенос-

ным:

Re =

, Re

, Pe =

3. Акустические критерии:

M =

, λ =

∗

4. Безразмерные критерии, определяющие процессы на границе раздела жидкой и

газообразной фаз с твердым телом:

Nu =

αd

, St =

U(h

− h

)

, α =

T − T

– числа Нуссельта и Стэнтона, α – коэффициент теплопередачи, w – индекс пара-

метра стенки, δ – индекс внешней части пограничного слоя.

Другие критерии, используемые в гидродинамике:

• Kn = l

/L ¿ 1 – число Кнудсена,

• Sh = L/vt – число Стpухаля,

• Eu = p/ρv

– число Эйлера,

• Fr = v

/gL – число Фруда,

• Re = vl/ν – число Рейнольдса,

• M = v/a – число Маха,

• Ar = g∆ρ/(ρv

/L) = β∆T gL/v

– число Архимеда,

• Gr = g∆ρ/µv

= gβL

∆T/ν

– число Грассгофа,

• Ra = gβL

∆T/νχ – число Релея,

• Pr = ν/χ – число Прандтля,

• Sm = ν/D – число Шмидта,

• Le = D/χ – число Льюиса (Семенова),

• Pe = vL/χ – число Пекле,

• Ek = v

– число Эккерта,

• Da = L

/Dτ

xим

– число Дамкеллера.

130 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

5.6 Гидродинамические модели

Гидродинамическими моделями называются приближенные модели, получаемые из об-

щих уравнений гидродинамики при определенных условиях. Рассмотрим приближения

локально-равновесной среды, магнитогидродинамические и некоторые другие прибли-

жения.

5.6.1 Локально-химически равновесная среда

Пусть температура достаточно высока, так что химические реакции протекают со скоро-

стями, превышающими характерные скорости диффузионных процессов. Тогда можно

перейти от компонентного к элементному описанию среды, при котором число уравне-

ний диффузии резко сокращается.

Определим эффективные молярные концентрации химических элементов так, чтобы

в единице объема их число соответствовало числу атомов данного химического элемента,

в каком бы химическом компоненте он не находился:

αk

где u

αk

– число атомов химического элемента α в компоненте k. Плотность среды мо-

жет быть выражена через концентрации компонентов или эффективные концентрации

химических компонентов:

ρ =

Определим эффективные массовые концентрации химических элементов:

αk

. (5.64)

Аналогично определяются эффективные потоки элементов:

αk

. (5.65)

Из уравнений диффузии компонентов суммированием по компонентам, содержащим

заданный элемент, следуют уравнения диффузии элементов:

∂c

∂t

+ v · ∇c

= −∇ · i

, α = 1, . . . , N

. (5.66)

Член с химическими реакциями здесь отсутствует, т.к. в химических превращениях чис-

ло ядер химических элементов не изменяется, а ядерные превращения при рассматри-

ваемых температурах не существенны. Подставив выражения для потоков компонент,

потоки элементов можно преобразовать к виду

αβ

∇c

− D

∗

− ρD

ln T, (5.67)

где введены эффективные многокомпонентные коэффициенты диффузии D

αβ

, эффек-

тивные коэффициенты подвижности D

и эффективные коэффициенты термодиффу-

зии элементов, D

. Аналогично можно ввести эффективный тепловой поток, выражен-

ный через градиент температуры и эффективные потоки химических элементов. Без