Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 5

ГИДРОДИНАМИКА

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

5.1 Используемые обозначения

Гидродинамика является разделом механики сплошных сред, в которой описываются

пространственно-временные изменения полей, поэтому потребуются элементы тензор-

ной алгебры. В гидродинамике будут использованы следующие обозначения:

• ab ⇔ a

– тензор второго ранга,

• σ ↔ σ

– тензор второго ранга,

• T = T

+ T

– разделение тензора на симметричную и антисимметричную части,

• ∇ · a = div a,

• ∇ · σ = div σ,

• v – скорость или удельный импульс,

• ρ – плотность среды (газа, жидкости),

• T – температура,

• u – удельная внутренняя энергия среды,

• h – удельная энтальпия среды,

• s – удельная энтропия среды,

• c

= ρ

/ρ – удельная концентрация компонента m,

• c

– удельная концентрация химического элемента α ,

• n

= N

/V – концентрация m компоненты,

• E – напряженность электрического поля,

• H – напряженность магнитного поля,

• ρ

∗

– объемный электрический заряд,

111

112 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

• i

– массовый поток k компоненты,

• q – тепловой поток,

• q

– радиационный поток энергии,

• j – плотность электрического тока,

• σ

– тензор вязких напряжений,

• ν – кинематическая вязкость,

• η = νρ – динамическая вязкость,

• D

– многокомпонентные коэффициенты диффузии,

• D

– бинарные коэффициенты диффузии,

• σ – удельная электрическая проводимость,

• λ – коэффициент теплопроводности,

• k

– скорость химической реакции r = 1 . . . R.

5.2 Гидродинамическое описание сплошных сред

В гидродинамике искомыми величинами являются локальные средняя массовая ско-

рость среды, температура, плотность, давление, удельная внутренняя энергия, удельная

энтальпия, удельная энтропия, удельные концентрации компонентов, объемные концен-

трации частиц, электрические и магнитные поля, плотность объемного электрического

заряда. Другими искомыми величинами являются потоки, к которым относятся мас-

совые потоки компонентов, поток тепла, радиационный поток тепла, плотность элек-

трического тока, тензор вязких напряжений. При этом коэффициенты переноса, такие,

как вязкость, коэффициенты диффузии, электропроводность, теплопроводность, а так-

же константы скоростей химических процессов считаются заданными функциями от

температуры и давления.

В полную систему уравнений гидродинамики входят уравнение непрерывности, урав-

нения диффузии компонентов, сохранения электрического заряда, уравнение движения,

уравнение энергии, уравнение переноса излучения и уравнения Максвелла. Кроме то-

го, система уравнений должна быть дополнена выражениями для термодинамических

функций, уравнением состояния, выражениями для констант скоростей химических ре-

акций, потоков массы компонентов, потока энергии, электрического тока, потока им-

пульса и выражениями для коэффициентов переноса.

При описании гидродинамических полей наиболее удобно использовать удельные

величины, т.е. величины, приведенные на единицу массы.

Для континуальных сред возможны два описания – эйлерово и лагранжево. Лагран-

жево описание можно представить следующим образом: в начальный момент времени

среда занимает некоторое положение в пространстве. Это положение можно отметить

некоторыми метками (лагранжевы координаты a

), затем с течением времени среда

движется, расширяется или сжимается и метки, связанные со средой, перемещаются

5.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПЛОШНЫХ СРЕД 113

в пространстве, поэтому лагранжевы координаты становятся функциями времени и на-

чальных лагранжевых координат a

= a

(0)

, t). При лагранжевом описании координата

связана с точкой среды и ее положение определяется динамикой среды, следовательно,

производная по времени от лагранжевой координаты является скоростью, а вторая про-

изводная – ускорением локальной точки среды.

При эйлеровом описании гидродинамическое поле скоростей характеризует движе-

ние среды в пространстве, следовательно, скорости равно как и поля давлений, темпе-

ратур и другие гидродинамические поля являются функциями координат и времени.

Скорости и координаты не связаны между собой кинематическими соотношениями.

В гидродинамике в основном будет использоваться эйлерово описание, хотя в ряде

задач, например, инерциального сжатия и разлета сжимаемого газа, некоторых задачах

гидродинамических неустойчивостей использование лагранжева описания оказывается

более эффективным.

Поведение сплошной среды определяется динамическими силами и степенью сжи-

маемости среды. С точки зрения гидродинамики поведение одинаково сжимаемой среды

аналогично, несмотря на различное физическое состояние. Например, жидкость и газ

при существенно дозвуковых скоростях ведут себя аналогично. По этой причине с точ-

ки зрения гидродинамики между жидкостью и газом нет принципиальных различий.

В англоязычной литературе существуют три различных термина для газа (gas), жид-

кости (liquid) и общего описания этих сред (ﬂuid). В гидродинамике последний термин

наиболее удачен, но в русском языке такого аналога нет и мы будем далее употреб-

лять термин "газ" , подразумевая под ним также и жидкость, кроме тех случаев, когда

свойства жидкости являются существенными.

5.2.1 Уравнение непрерывности

Рис. 5.1: Выделенный фиксированный объем жид-

кости в газе

Выделим мысленно некоторый фиксиро-

ванный объем в среде, через который про-

текает газ (см. рис. 5.1). Количество мас-

сы в этом объеме равно интегралу по объ-

ему от плотности газа:

M =

ρdV.

Изменение массы со временем в выделен-

ном объеме связано только с тем, что су-

ществует втекание и вытекание массы в

данный объем. Оба эти процесса опреде-

ляются поверхностным интегралом пото-

ка массы:

ρdV = −

ρv · dA.

Переходя от интегрирования по поверхности к интегрированию по объему используя

формулу Гаусса-Остроградского, получим следующее выражение:

∂ρ

∂t

+ ∇ · (ρv)

dV = 0.

114 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

В силу произвольности объема из равенства нулю интеграла следует равенство нулю

подинтегрального выражения, т.е. получаем уравнение непрерывности

∂ρ

∂t

+ ∇ · ρv = 0. (5.1)

5.2.2 Общее уравнение переноса

Пусть ξ является удельным значением (т.е. приходящимся на единицу массы) некоторой

скалярной величины или компоненты вектора, или тензора. Выделим мысленно неко-

торый фиксированнный объем V в среде. Элемент массы объема равен ρdV , а интеграл

ρξdV представляет количество величины ξ в объеме V . Изменение со временем ве-

личины ξ определяется втеканием и вытеканием через границы объема и изменением

величины вследствие объемных и граничных источников. Скорость втекания (и выте-

кания) величины

может не совпадать со среднемассовой скоростью среды, поэтому

скорость втекания и, соответственно, поток через поверхность можно представить в ви-

де суммы потока ρξv, называемого конвективным, и диффузионного потока j

. Таким

образом интегральное уравнение баланса для удельной величины ξ имеет вид

ρξdV

−

ρξ

−

dA,

где Q

– объемный источник, т.е. изменение количества ξ в объеме за единицу времени

вследствие действия объемных факторов, Q

– поверхностный источник, т.е. изменение

количества ξ в объеме за единицу времени вследствие действия поверхностных факто-

ров. С учетом формулы Гаусса-Остроградского и в силу произвольности выделенного

объема получаем общее уравнение переноса для любой скалярной величины или ком-

поненты вектора или тензора:

∂ρξ

∂t

+ ∇ · (ρξv) = −∇ · j

+ Q

, (5.2)

где δ

– дельта-функция, отличная от нуля только на поверхности объема. Используя

уравнение непрерывности можно получить еще одну форму уравнения баланса для про-

извольной величины:

∂ξ

∂t

+ v · ∇ξ

= −∇ · j

+ Q

. (5.3)

Рассмотрим применение этого общего уравнения к частным случаям. Полагая ξ = 1,

получим уравнение баланса массы. Поскольку ни объемных, ни поверхностных источ-

ников массы не существует, если не принимать во внимание процессы рождения и гибели

электрон-позитронных пар, из общего уравнения баланса получим уравнение, совпада-

ющее с уравнением непрерывности (5.35).

5.2.3 Уравнения диффузии компонентов

Плотность компоненты k определяется произведением массы и концентрации частицы

сорта k: ρ

= m

. Удельной концентрацией называется отношение парциальной плот-

ности компонента к общей плотности среды c

= ρ

/ρ, где полная плотность среды

ρ =

. Из равенства

= 1 следует, что независимыми являются только N − 1

5.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПЛОШНЫХ СРЕД 115

концентраций компонентов. Положим в общем уравнении баланса ξ = c

(k = 1, . . . , N).

Интеграл

ρc

dV представляет массу компонента k в объеме V . Объемный источник в

данном случае связан с протеканием химических реакций и может быть представлен в

виде ρ

r=1

. Количество компонента k, появляющегося в единицу времени в еди-

нице объема, равно ν

, где ξ

– так называемая координата реакции, т.е. количество

прореагировавших молей компонента k в r-й реакции, а ν

– стехиометрические коэф-

фициенты в r-й реакции для компонента m. Диффузионный поток массы представляет

количество вещества, протекающего через поверхность в единицу времени i

= ρ(v

−v),

где v

– скорость компоненты k, а гидродинамическая скорость среды определяется со-

отношением

v =

. (5.4)

Подставляя параметры, соответствующие выбранному значению ξ, в общее уравнение

баланса для произвольной величины, получаем уравнение диффузии компонентов:

∂c

∂t

+ v · ∇c

= −∇ · i

+ ρ

r=1

. (5.5)

Суммируя уравнения диффузии компонентов по k с учетом уравнения непрерывности,

получим в левой части 0, а c учетом того, что сумма всех потоков равна нулю (

= 0 )

по определению диффузионных потоков, получим условие, налагаемое на член связан-

ный с производством массы в химических реакциях

r=1

= 0 . (5.6)

Это условие означает, что при протекании химических реакций полная масса газа не

изменяется, оно должно выполняться для любых значений скоростей и констант хими-

ческих реакций.

5.2.4 Уравнение сохранения электрического заряда

Введем объемную плотность электрического заряда ρ

∗

, где Z

– заряд ча-

стицы компонента k (для электронов Z

= −1). Для электрических зарядов объемных

источников не существует, т.к. при ионизации или рекомбинации положительно и отри-

цательно заряженные частицы появляются и исчезают одновременно, не нарушая элек-

тронейтральности среды, т.е. Q

= 0, Q

= 0 . Диффузионным потоком заряда является

плотность тока

j =

, (5.7)

где u

= v

−v – диффузионная скорость компонента k. Из общего уравнения баланса

получаем уравнение сохранения электрического заряда

∂ρ

∗

∂t

+ ∇ · (ρ

∗

v) = −∇ · j. (5.8)

5.2.5 Уравнение движения

Положим ξ = v

, т.е. v

представляет удельный импульс единицы массы в направлении i.

Объемным источником удельного импульса в соответствии с законом Ньютона является

116 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

объемная сила F

. В природе существуют только гравитационные и электромагнитные

объемные силы.

Получим выражение для электромагнитной силы. На каждую заряженную частицу

среды действует сила Лоренца:

= eZ

E +

× H

Суммируя по частицам единицы объема, получаем

k=1

E +

× H

Подставляя сюда v

= v + u

, суммируя по компонентам и используя определения

объемного электрического заряда и плотности тока, получим следующее выражение

для электромагнитной силы:

= ρ

∗

j × H, (5.9)

где

∗

= E +

v × H (5.10)

– электрическое поле в системе координат, движущейся со среднемассовой скоростью v.

Поверхностным источником скорости изменения импульса является сила, действу-

ющая на единицу площади поверхности, называемая тензором напряжений. На элемен-

тарную площадку поверхности dS, ориентированную в направлении k в направлении i,

действует сила

. Тензор напряжений

для изотропной среды может быть разделен

на диагональную часть, называемую давлением (диагональные члены по различным

осям одинаковы вследствие закона Лапласа об изотропности давления и направлены

внутрь выделенного объема, т.е. против внешней нормали, направление которой приня-

то положительным) и недиагональную часть, имеющую нулевой след – тензор вязких

напряжений:

= −pδ

+ σ

. (5.11)

Сила, действующая на единицу объема, равна разностям сил, действующих в различ-

ных направлениях, т.е. дивергенции тензора напряжений ∇·

T . Подставляя полученные

выражения в общее уравнение баланса, получаем уравнение движения с учетом вязких

напряжений, гравитационных и электромагнитных сил:

∂ρv

∂t

∂(ρv

)

∂x

= −

∂p

∂x

∂σ

∂x

+ ρ

∗

(j × H)

+ ρg

или в векторной форме:

∂v

∂t

+ (v · ∇)v

= −∇p + ∇ · σ + ρ

∗

j × H + ρg . (5.12)

Это уравнение является обобщением уравнения Навье-Стокса, учитывающим электро-

магнитные и гравитационные силы.

5.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПЛОШНЫХ СРЕД 117

5.2.6 Уравнения Максвелла

Для электромагнитных величин будем использовать гауссову систему единиц. Электри-

ческую и магнитную проницаемость среды примем равной единице. Уравнения Макс-

велла имеют вид

∇ × H =

4π

∂E

∂t

, (5.13)

∇ × E = −

∂H

∂t

, (5.14)

∇ · H = 0, (5.15)

∇ · E = 4πρ

∗

, (5.16)

где j

= j + ρ

∗

v, т.е. полный ток равен сумме тока проводимости и конвективного тока.

5.2.7 Уравнение энергии

Полная удельная энергия среды может быть представлена в виде суммы кинетической,

потенциальной, электромагнитной, энергии излучения и внутренней энергий:

tot

+ π +

+ H

8πρ

+ e

+ e.

Фактически, это уравнение является определением внутренней энергии, т.к. полную

энергию единицы массы среды можно вычислить как сумму энергий отдельных частиц

и энергию электромагнитного поля. Вычитая затем из полной энергии кинетическую,

потенциальную, электромагнитную и энергию излучения, получаем внутреннюю энер-

гию среды. Следовательно, для получения уравнения для внутренней энергии нужно

получить уравнения для отдельных видов энергии и использовать их в уравнении для

полной энергии.

Уравнение кинетической энергии

Выведем уравнение кинетической энергии, которое, как и в механике, получается из

уравнения движения умножением его на скорость и преобразованиями правой части в

виде суммы работ. Перепишем уравнение движения (5.37) в следующем виде

∂ρv

∂t

+ ∇ · (ρvv) = ∇ ·

T + ρ

∗

j × H + ρg .

Умножим это уравнение на скорость v скалярно, тогда получим уравнение сохранения

кинетической энергии в виде

∂

∂t

ρv

+ ∇ ·

ρv

v = v · (∇ ·

T ) + ρ

∗

· v +

(j × H) · v + ρg · v. (5.17)

Уравнение потенциальной энергии

Уравнение потенциальной энергии получается из уравнений диффузии для компонен-

тов, умножением на потенциальную энергию каждого из компонентов:

∂ρgz

∂t

+ ∇ · ρ

gzv = −ρv · g,

118 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

где z – вертикальная координата, которая является одной из эйлеровых координат и от

времени и других координат не зависит. Определим удельную потенциальную энергию

системы: π =

gz, тогда уравнение для потенциальной энергии преобразуется к виду

∂ρπ

∂t

+ ∇ · ρπv = −ρv · g. (5.18)

Уравнение электромагнитной энергии

Умножая уравнение Максвелла (5.13) скалярно на E, а уравнение (5.14) на H и склады-

вая их, получаем уравнение для электромагнитной энергии. Два члена в правой части

могут быть преобразованы следующим образом:

∂

∂t

+ H

8π

= −∇ · S − j

· E, (5.19)

где

S =

4π

E × H (5.20)

– вектор Пойнтинга. Электрические и магнитные поля в среде можно разделить на

макроскопические и микроскопические. Последние связаны с движением заряженных

частиц среды, соответственно, электромагнитная энергия среды делится на макроско-

пическую и микроскопическую:

+ H

8π

+ ρu

где последняя представляет плотность электромагнитной энергии излучения. Полный

поток электромагнитного излучения также может быть представлен в виде суммы по-

тока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга) и суммы микроскопических пото-

ков, которая является радиационным потоком (q

). Отношение радиационной энергии к

внутренней энергии в соответствии с теоремой вириала пропорционально отношению ра-

диационного и газового давлений, оно обычно существенно меньше единицы (u

/u) ¿ 1.

Радиационный и тепловой потоки определяются произведениями плотностей энергии

на скорость переноса энергии, которые равны соответственно скорости света и тепловой

скорости, поэтому отношение потоков пропорционально отношению плотностей энергии

умноженному на отношение скорости света к тепловой скорости. Следовательно, отно-

шение потоков может быть порядка единицы, несмотря на то, что давление излучения и

внутренняя энергия излучения малы по сравнению с газовыми давлением и внутренней

энергией.

Баланс полной энергии

Рассмотрим баланс полной энергии. Объемными источниками для полной энергии могут

быть ядерные реакции с мощностью источника Q. Других источников энергии нет, т.к.

в силу общего закона сохранения энергия переходит из одного вида в другой, но полное

ее количество не изменяется. Положим в общем уравнении баланса ξ = e

tot

ρe

tot

dV = −

ρe

tot

v · dA −

tot

· dA +

v · (T · dA ),

5.2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПЛОШНЫХ СРЕД 119

Переходя к интегралам по поверхности, учитывая произвольность элемента объема,

получим уравнение для полной энергии

∂ρe

tot

∂t

+ ∇ · (ρe

tot

v) = −∇ · q

tot

+ ∇ · (v ·

T ),

Поток полной энергии через поверхность можно вычислить через потоки энергии ча-

стиц среды и поток электромагнитной энергии. С другой стороны, поток полной энергии

можно представить в виде суммы потоков электромагнитной энергии (вектор Пойнтин-

га), радиационного потока и теплового потока:

tot

= S + q

+ q.

Это равенство, как и для полной энергии, является определением теплового потока q.

Подставляя в уравнение для полной энергии выражения для полной энергии и по-

тока полной энергии, получим уравнение полной энергии

∂

∂t

ρv

+ ρπ +

+ H

8π

+ ρu + ρu

+ ∇ ·

ρv

+ π +

+ H

8πρ

+ u + u

= ∇ ·

−

T · v + S + q + q

. (5.21)

Баланс внутренней энергии

Вычитая из уравнения (5.21) для полной энергии уравнение для кинетической энергии

(5.17), уравнение для потенциальной энергии (5.18) и уравнение для электромагнитной

энергии (5.19) получим уравнение баланса внутренней энергии:

∂ρe

∂t

+ ∇ · (ρev) = −∇ · (q + q

) +

T : ∇v + j · E

∗

. (5.22)

∂ρe

∂t

+ ∇ · (ρev) = −∇ · (q + q

) − p∇ · v + ˆσ : ∇v + j · E

∗

. (5.23)

С учетом уравнения непрерывности

∂e

∂t

+ v · ∇e

= −∇ · (q + q

) − p∇ · v + ˆσ : ∇v + j · E

∗

. (5.24)

Уравнение для энтальпии

Из уравнения для внутренней энергии можно получить уравнение для удельной энталь-

пии h = e + p/ρ. С учетом ∂ρ/∂t = −∇ · ρv, что следует из уравнения непрерывности,

получаем уравнение для удельной энтальпии:

∂h

∂t

+ v · ∇h

∂p

∂t

+ v · ∇p + ˆσ : ∇v − ∇ · (q + q

) + j · E

∗

. (5.25)

Еще одна форма уравнения бывает удобна для так называемой полной энтальпии

= u +

120 ГЛАВА 5. ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД

уравнение для которой с учетом баланса энергии имеет вид, при котором работа вязких

напряжений имеет дивергентный вид, т.е если ее проинтегрировать по объему, на гра-

ницах которого работа напряжений равна нулю, этот член исчезает, что означает, что

для величины h

, в которую входит сумма внутренней и кинетической энергии среды,

имеет место сохранение, т.к. при движении кинетическая энергия переходит в тепло и

сумма кинетической и внутренней энергий сохраняется:

∂h

∂t

+ v · ∇h

∂p

∂t

+ j · E

∗

+ ∇ · (ˆσ · v) − ∇(q + q

). (5.26)

Уравнение теплопроводности

Иногда удобно использовать уравнение для температуры. Из выражения для диффе-

ренциала энтальпии через собственные переменные следует

dh =

dp + T ds. (5.27)

выражая энтропию через температуру и давление

T ds = T

∂s

∂T

+ T

∂s

∂p

= c

dT − βT

dp, (5.28)

где использовано соотношение Максвелла:

∂s

∂p

∂(s, T )

∂(p, T )

∂(s, T )

∂(p, T )

∂(v, p)

∂(p, T )

= −

∂v

∂T

= −βv, (5.29)

и определение коэффициента объемного расширения

β =

∂v

∂T

, (5.30)

В результате получаем уравнение для температуры:

ρc

∂T

∂t

+ v · ∇T

= βT

∂p

∂t

+ v · ∇p

+ ˆσ : ∇v − ∇ · (q + q

) + j · E

∗

. (5.31)

Для идеального газа βT = 1.

В теории пограничного слоя используется форма уравнения энергии, в которой от-

сутствует электрический ток и задача является стационарной. В системе координат с

осью x, направленной вдоль пограничного слоя, и осью y – поперек, уравнение для

внутренней энергии может быть переписано в виде уравнения для полной энтальпии в

виде:

ρv

∂h

∂x

+ ρv

∂h

∂y

∂

∂y

∂T

∂y

−

k=1

+ ηv

∂v

∂y

. (5.32)

Используя простое приближение для массового потока и потока тепла (которые получе-

ны в следующем разделе) и выражения для энтальпии и ее дифференциала, получаем:

ρv

∂h

∂x

+ ρv

∂h

∂y

∂

∂y

∂h

∂y

+ η

1 −

∂

∂y

−

− 1

ρD

∂c

∂y

, (5.33)